РАЗДЕЛ 2
ПРОСТРАНСТВЕННАЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ
НИЗКОЧАСТОТНЫХ (ЖГУТОВЫХ) ПУЛЬСАЦИЙ ДАВЛЕНИЯ
ЗА РАБОЧИМ КОЛЕСОМ В ОТСАСЫВАЮЩЕЙ ТРУБЕ
2.1. Общие положения
В расчетах на прочность и вибрацию узлов гидротурбины необходимо учитывать п.д. от вращающихся в.ж. за р.к. При расчете п.д. в о.т. радиально-осевых гидротурбин нужно определить скорости, индуцируемые в.ж. Для их расчета можно использовать пространственную м.м. для случая произвольного числа физических в.ж. спиралевидной формы. Рассматривалось вращение относительно оси трубы физических элементарных в.ж. равной интенсивности в цилиндрической о.т. при . Стенка о.т. моделировалась вихревой поверхностью переменной интенсивности, состоящей из бесконечно большого числа бесконечно тонких вихревых нитей с шагом равным шагу физических вихрей ?18, 35, 36, 113?. Задача рассматривалась в квазистационарной постановке, жидкость невязкая, поток вне вихрей при определнении индуцированных скоростей принимался потенциальным. Учитывался дополнительный осесимметричный поток.
При этом суммарная скорость в о.т. может быть записана
, (2.1)
где - скорость, индуцируемая физическим в.ж., - скорость, индуци-руемая вихревой поверхностью, - скорость дополнительного осесимметричного потока через турбину, s - порядковый номер физических в.ж., - число в.ж.
Скорости, индуцируемые физическими и моделирующими вихревыми нитями в любой точке жидкости, могут быть определены из известного решения при заданном распределении вихрей и расхождении ?52?
, (2.2)
где,
здесь А - векторный потенциал; его проекции на оси x, y, z (2.3)
. (2.3)
2.2. Скорости, индуцируемые вихревыми (физическими) жгутами
Так как для бесконечно тонкого в.ж. ?52, 59?:
и , то формулы (2.3) примут вид:
(2.4)
где - интенсивность в.ж.; - координаты точки М, расположенной на в.ж. (рис. 2.1а); - длина в.ж., ? - расстояние между точкой N(x,y,z), в которой определяется индуцированная скорость в.ж. и точкой М (), причем
. (2.5)
а б
Рис. 2.1. Расчетная схема жгутовых пульсаций давления в отсасывающей трубе:
а - схема основного вихревого жгута (внутренний - случай с одним в.ж.) и
вихревая линия поверхности, моделирующей стенку отсасывающей трубы;
б - вихревой жгут в отсасывающей трубе
Для несжимаемой жидкости и, следовательно, в (2.2) . В таком случае проекции индуцированных скоростей определяются как:
. (2.6)
Выражения для , и могут быть преобразованы с учетом (2.4),(2.5) и (2.6). Выполним преобразования для ?52?:
, (2.7)
где .
Подставляя значения производных в (2.7) получим формулу для . Выполняя аналогичные преобразования для и , получим соответствующие выражения (2.8) для скоростей:
. (2.8)
Так как в данной задаче рассматривается в.ж. в о.т., то целесообразно перейти к цилиндрической системе координат. Учитывая, что форма в.ж. принимается в виде винтообразной спирали с постоянным шагом, можно записать координаты точки М на в.ж. ?18, 35?:
, (2.9)
где - соответственно радиус (эксцентриситет), шаг и угловая координата в.ж. в цилиндрической системе; при ?=0, ?=0. Координаты x, y, z произвольной точки N также записываются:
, (2.10)
где r, ?, z - цилиндрические координаты произвольной точки N; ?1 - значение угла ?, при котором ??z. Параметр m можно определить через эксцентриситет жгута e , угол наклона винтовой линии в.ж. ?ж и радиус отсасывающей трубы :
, (2.11)
следовательно, теперь М (е,?? ?), а N(r,?? z).
Подставляя ?, ?, ? из (2.9) и x, y, z из (2.10) в (2.8) и (2.5) получим (преобразования см. Приложение Ж):
, (2.12)
(2.13)
Здесь ? - расстояние между точками N(r,?, z) и М(e,?,?), и - пределы интегрирования по углу ?.
Связь между проекциями скоростей в цилиндрической и декартовой системах координат:
. (2.14)
Подставляя из ( 2.12) в ( 2.14), получим компоненты индуцированной в.ж. скорости в произвольной точке N(r,?, z) в цилиндрической системе координат для случая нескольких в.ж. ?37?:
, (2.15)
где - число в.ж., - расстояние между точками на в.ж. Мs и в произвольном месте о.т. N,
. (2.16)
2.3. Скорости, индуцируемые вихревой поверхностью о.т.
В данной м.м. стенка о.т. представлена в виде вихревой поверхности, как и в работе проф. Григорьева В.И. ?18?, состоящей из вихревых нитей с шагом . Скорости, индуцируемые одной (элементарной) вихревой линией слоя в точке N(r,?, z) вычисляются по формулам, аналогичным (2.15) со следующими заменами: компоненты V на V, Г на , где - циркуляция (интенсивность) вихревой нити слоя; - напряженность (погонная интенсивность) вихревого слоя; - расстояние между вихревыми нитями; - угол подъема вихревой нити слоя;- угол смещения вихревой нити слоя относительно винтовой линии основного в.ж. (s=1); координаты элемента вихревой нити поверхности .
Для расчетов более удобна зависимость от в связи с возможностью непосредственного использования опытных данных для различных турбин по углам в.ж. , чем определяемых теоретически -. Связь между углами и вытекает из условия :
и . (2.17)
Для компонент полной скорости, индуцируемой в произвольной точке N(r,,z) о.т. бесконечным числом вихревых нитей ( и, следовательно ), т.е. всей вихревой поверхностью с учетом вышесказанного и после преобразований можно записать:
,(2.18)
здесь - расстояние от элемента вихревой нити поверхности до точки N():
. (2.19)
2.4. Граничные условия
Решение рассма