РАЗДЕЛ 2
МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИКИ МАШИНЫ С УПРУГИМИ ПОДШИПНИКОВЫМИ ОП0РАМИ
2.1. Общие сведения, рабочие гипотезы и системы координат
2.1.1. Рабочие гипотезы и посылки
В соответствии с поставленными в первом разделе задачами исследований рассмотрим основные особенности многоканатной безредукторной подъемной машины, принципиальная схема которой изображена на рис. 2.1.
Рис. 2.1. Конструктивная схема многоканатной безредукторной машины:
1 - обечайка; 2 - левая и правая лобовины; 3 - тормозные обода; 4 - реборды; 5 - кольцевые ребра жесткости; 6 - колодки футеровки; 7 - клинья для крепления футеровки; 8 - распорные вставки; 9 - ступицы, к которым крепятся лобовины; 10 - коренной вал; 11 - подшипниковые узлы коренного вала; 12 - полумуфты; 13 - подшипниковые опоры ротора двигателя; 14 - электродвигатель.
То обстоятельство, что при работе машины подшипниковые узлы коренного вала находятся в довольно интенсивном вибрационном состоянии, является экспериментальным фактом, проверенным и подтвержденным многочисленными приборными измерениями. Это свидетельствует о податливости подшипниковых опор машины. Будем считать такое утверждение первой посылкой, принятой в основу разрабатываемой математической модели.
Вместе с тем, вибрации подшипниковых опор ротора электродвигателя практически отсутствуют или оказываются пренебрежимо малыми, если делать оценку по измеряемым амплитудам виброскорости. Объясняется это тем, что, во-первых, наличие в трансмиссии машины специальной зубчатой муфты со сферической кромкой зубьев шестерни, приводят к тому, что в данном случае муфта является эффективным виброизолятором. Во-вторых, на ротор двигателя в поперечном направлении, кроме его собственного веса, не действуют никакие нагрузки, тем более, вибрационного характера. Эти две особенности позволяют считать, что правая полумуфта на рис. 2.1 совершает только вращательное движение вокруг оси вала ротора, а ее поперечные линейные перемещения и угловые сдвиги равны нулю. Это является второй посылкой.
А так как в силу кинематики зацепления исключается любая возможность малых радиальных смещений шестерни относительно венца даже при наличии регламентируемых боковых зазоров в зацеплении, то, в целом, коренной вал машины вместе с барабаном, используя терминологию классической механики, можно уподобить волчку с неподвижной точкой в полумуфте этого вала. Это будет третьей посылкой.
Такого рода волчок будем считать абсолютно твердым телом, совершающим кроме естественного собственного вращения также характерные движения, называемые прецессией и нутацией [37], что обуславливается податливостью опор коренного вала. Возможность принятия концепции "твердого тела" основана на следующих соображениях. Как видно из схемы, представленной на рис. 2.1, нагрузка на вал машины 10 от собственного веса барабана и от суммарного натяжения канатов сбегающей и набегающей ветвей передается посредством лобовин 2 и ступиц 9. Поскольку эти элементы расположены в непосредственной близости к опорам 11, то изгибные деформации вала оказываются настолько незначительными, что ими можно и нужно пренебречь, чтобы не отягощать математическую модель малозначащими факторами. Так, расчеты показывают, например, что поперечный прогиб вала в окрестности ступицы, по крайней мере, на два порядка меньше прогиба опоры даже при самых "грубых" оценках ее податливости. Итак, концепцию "твердого тела" примем в качестве четвертой посылки.
Таким образом, первоочередная задача состоит в математическом описании движения вала машины с барабаном, основываясь на принятых исходных посылках.
2.1.2. Углы Эйлера и кинематика волчка
В общем случае положение твердого тела в трехмерном физическом пространстве относительно произвольно выбранной неподвижной системы координат задается тремя координатами какой-либо характерной для тела точки , например, его центра инерции (центра тяжести), и тремя специальным образом означенными углами поворота тела относительно осей . Таким образом, шесть независимых переменных и образуют систему обобщенных координат тела с шестью степенями свободы. Углы называются эйлеровыми углами. В рассматриваемой задаче, в силу принятых исходных посылок, коренной вал машины с насаженным на него барабаном представляет собой волчок с одной неподвижной точкой в зубчатой муфте, которую условно и обозначим символом . Следовательно, положение вала в пространстве полностью определено только тремя углами , то есть в данном случае вал машины с барабаном представляет собой тело с тремя степенями свободы.
Существуют две принципиально различные системы эйлеровых углов: углы Крылова, служащие для описания движения различных транспортных средств, и, собственно, углы Эйлера, используемые для описания пространственных движений монотонно вращающихся тел.
В рассматриваемой задаче воспользуемся углами Эйлера, которые устанавливают взаимосвязь положений в пространстве осей неподвижной и подвижной систем координат, как это изображено на рис. 2.2.
Рис. 2.2. Углы Эйлера
Проблема обнаружения такой взаимосвязи состоит в том, чтобы в результате последовательных трех вращений осей системы вокруг неподвижной точки добиться их соответствующего совмещения с осями системы , которые в данный момент времени имеет движущееся тело. Делается это следующим образом.
Вначале (первый акт вращения) осуществляется поворот осей и на угол вокруг оси до совмещения оси с осью , и величина этого угла должна быть такой, чтобы ось стала перпендикулярной плоскости, в которой располагаются оси и .
В таком положении оси (она называется линией узлов и представляет собой линию пересечения плоскостей и ) производится вращение вокруг нее на угол (второй акт вращения), в результате чего ось совместится с осью .
В третьем акте выполняется вращение на угол вокруг оси до совмещения линии узлов с осью . При этом ось неизбежно совпадет с осью , так как трехгранник, образованный осями подвижной с