РОЗДІЛ 2
ТЕОРЕТИЧНІ ДОСЛІДЖЕННЯ РОБОЧИХ ПРОЦЕСІВ РОЗЧИНОЗМІШУВАЛЬНОЇ УСТАНОВКИ, ОБЛАДНАНОЇ РОЗЧИНОНАСОСОМ, ДЛЯ ПРИГОТУВАННЯ ТА ТРАНСПОРТУВАННЯ БУДІВЕЛЬНИХ РОЗЧИНІВ
2.1 Математичне моделювання процесу змішування суміші з сухих компонентів
Під час приготування будівельного розчину в малогабаритній розчинозмішувальній установці із сухих компонентів (в'яжучого та піску) змішування являє собою випадковий процес, що полягає у перерозподілі компонентів і пов'язаний із приготуванням сухих будівельних сумішей. Складність та випадковість явищ, які відбуваються у змішувачі, ускладнюють математичний опис картини розподілу компонентів залежно від фізико-механічних властивостей, технологічних та конструктивних факторів. Для зручності представлення математичного опису процесу неоднозначного змішування, котре відбувається у змішувачі, пропонується розглядати процес як утворення бінарної композиції, що повторюється декілька разів. У даний час оцінювання якості багатокомпонентних гетерогенних сумішей відсутня єдина точка зору щодо вибору визначального параметра, що характеризує суміш. У більшості випадків ідуть шляхом вивчення розподілу компонента, котрий найбільш легко аналізується (ключовий компонент). Часто в якості ключового компонента приймають той, який міститься в суміші в мінімальній кількості.
Відомий неформальний метод побудови математичних моделей процесу змішування: модифікація для конкретного типу змішувального апарата математичних описів процесів змішування, отриманих на етапі якісного аналізу в масштабі робочого об'єму апарата [72]. Дані описи характеризують зміну концентрації компонентів, що змішуються, в робочому об'ємі змішувача. Часто застосовують для опису процесу розносу компонентів, яка змішуються, за комірками змішувача періодичної дії апарат ланцюгів Маркова [97].
На відміну від розглянутого у роботах [70, 72, 97] математичного опису процесів змішування, пропонується в одновальному шнековому змішувачі враховувати цілеспрямований перерозподіл частинок усередині бункера змішувача за рахунок робочого органа та на основі цього опис зміни концентрації ключового компонента в комірках. Виходячи з теорії стохастичних процесів, змішування у шнековому змішувачі необхідно віднести до дискретного у просторі та часі [72]. Дискретний у часі тому, що процес змішування періодичний, тобто обмежений певним часом. Дискретний у просторі тому, що комірка змішування є самостійною. Використовуючи коміркову модель потоку частинок у змішувачі за замкненим контуром, замінюємо робочу поверхню шнекового робочого органа певною кількістю елементарних ділянок , які будуть відповідати кількості комірок змішування відповідно. Таким чином, система складається з - кількості елементарних об'ємів . Припустимо, що в межах елементарного об'єму (комірки) розподіл компонентів є ідеальним.
Основне переміщення частинок, що визначає процес змішування у шнековому змішувачі, розглянемо в осьовому напрямі. За один перехід будемо вважати таке положення системи, при якому елементарна ділянка шнека призведе до переміщення частинок матеріалу з одного ряду до сусідніх із ним. Нехай необхідно змішати сухі компоненти Ц (цемент) і П (пісок). Вважаємо, що в початковий момент часу () компонент Ц, який приймаємо за ключовий, знаходиться в перших комірках, а компонент П - в інших () комірках. Кількість комірок, зайнятих у початковий момент часу компонентом Ц, пропорційна його частці в об'ємі суміші, тобто
,(2.1)
де - сумарний об'єм комірок, зайнятих компонентом Ц, м3;
- загальний об'єм суміші, м3.
Кількість переходів компонента з однієї комірки до іншої є функцією часу. Сумарне значення цих імовірностей становитиме [143, 144]
,(2.2)
де - кількість комірок, в які перемістився матеріал із комірки, що розглядалась.
При цьому
.(2.3)
Стан системи після - переходу визначимо за допомогою вектора стану . Його координатами буде ймовірність знаходження ключового компонента в елементарному об'ємі після переходу. Вектор можна визначити, застосовуючи співвідношення
(2.4)
де - матриця ймовірностей переходу;
- вектор початкового стану системи, координати якого дорівнюють імовірностям знаходження ключового компонента (при ) відповідно в першому, другому і т.д. елементарних об'ємах.
Для системи, що розглядається, матриця ймовірностей переходу матиме такий вигляд [143, 144]
,(2.5)
де - ймовірності переходу ключового компонента з - го об'єму до -го та - го відповідно;
- ймовірність того, що ключовий компонент -го об'єму залишиться в -му об'ємі;
- номер комірки змішування, .
Для знаходження матриці необхідно визначити окремо її елементи. Можливе існування трьох варіантів, а саме: частинка залишилась у своєму елементарному об'ємі; частинка перейшла до сусідньої комірки зліва; частинка перейшла до сусідньої комірки справа. Виняток становить перша комірка (для її частинок можливі лише перший та третій варіанти) й остання (перший та другий варіанти переходу).
Вектор початкового стану системи
,(2.6)
де - ймовірності знаходження компонента Ц у комірках системи у початковий момент часу .
Імовірність знаходження компонента у початковий момент часу в одній із комірок
,(2.7) де - об'єм компонента Ц в - тій комірці.
Визначимо об'єм компонента , що захоплюється елементарною ділянкою шнека (рис.2.1, а) під час змішування [135].
а) б)
Рис.2.1. Елементарна ділянка шнекового робочого органа [135]:
а - елементарний об'єм ; б - елементарна ділянка
Елементарний об'єм dV - об'єм тіла ABCDA'B'C'D'. Воно являє собою похилу криволінійну призму з основою ABB'A'. Фігура ABB'A' є сектором кола з радіусами R1, R2 та кутом d?, тобто площа фігури ABB'A'
,(2.8)
, - зовнішній і внутрішній радіуси шнека, м;
- кут, що відповідає елементарній ділянці, град.
Тоді об'єм дорівнюватиме
,(2.9)
де h - відстань між площинами ABB'A' та DCC