РОЗДІЛ 2
РОЗРОБЛЕННЯ СТРУКТУРИ ЦИФРОВОГО АДАПТИВНОГО ДИНАМІЧНОГО ФІЛЬТРУ ДЛЯ СИСТЕМ УПРАВЛІННЯ
В першому розділі була поставлена задача пошуку рішення щодо побудови нових моделей прогнозування у класі так званих цифрових фільтрів. В цьому розділі ми розглянемо проблему фільтрації випадкових процесів; застосування для опису фільтрів інтегральних подань, а саме - імпульсної перехідної (вагової) функції, та методи її апроксимації; перспективи застосування різних критеріїв апроксимації. Буде розглянута модель багатовходового фільтру, методика оцінювання невідомих параметрів фільтрів на базі використання даних спостереження за входом та виходом об'єкту, поведінка якого прогнозується. Будуть розроблені рекомендації стосовно придання фільтру властивостей адаптації.
2.1. Загальні засади вибору структури цифрового фільтру
2.1.1. Фільтрація випадкових процесів. Фільтрація є одною із задач прогнозування випадкових процесів і полягає в тому, що на якійсь множині E спостерігають випадковий процес ?(t) = ?(t) + ?(t), де ?(t) - сигнал, що нас цікавить, а ?(t) - перешкоди (шум), що спотворюють сигнал [34-38]. Треба побудувати в певному розумінні найкращу оцінку значення процесу ?(t) в якийсь момент часу t0. Інакше кажучи, треба побудувати такий функціонал f{?(t), t?E} від результатів спостереження, який можна було б з найбільшою підставою прирівняти ?(t0). Як похибку, що виникає від заміни ?(t0) на , здебільшого розглядають середньоквадратичну похибку (СКП) .
Оцінка, для якої СКП мінімальна, має вигляд:
. (2.1)
Формула (2.1) визначає умовне математичне сподівання (МС) величини ?(t0) при відомих ?(t). Але одержати із співвідношення (2.1) зручні формули, які явно виражають через результати спостережень ?(t) на множині E, вдається тільки в деяких спеціальних випадках за допоміжних припущень щодо ?(t) та ?(t). Тому на практиці при мінімізації СКП обмежуються розглядом функціоналів спеціального виду (наприклад, лінійних або поліноміальних).
Задача лінійної фільтрації випадкових процесів полягає у відшукуванні оцінки , що лінійно залежить від результатів спостереження і має мінімальну СКП [39]. Якщо обмежитися тільки лінійними оцінками. це зменшує точність фільтрації. Але це компенсується можливістю одержати явний розв'язок, зручний для практичного використання. Крім того, якщо відомо, що ?(t) та ?(t) - незалежні гаусівські процеси, розв'язок задачі лінійної фільтрації співпадає з оптимальним розв'язком .
2.1.2. Імпульсна перехідна (вагова) функція. Можливість опису динамічних властивостей лінійних систем за допомогою часових функцій ґрунтується на застосуванні до цих систем принципу суперпозиції [40-42]. Використовуючи цей принцип, можна визначити реакцію лінійної системи на довільний вплив, якщо відома вагова функція системи.
Імпульсною перехідною функцією w(t), або ваговою функцією системи, називається зміна вихідної величини у часі, викликана вхідним впливом типу ?-функції, за умови, що до моменту додатка вхідного впливу система перебувала в спокої:
w(t) = y(t) при x(t) = ?(t).
Вагова функція дорівнює похідній за часом від перехідної функції (відповідно перехідна функція дорівнює інтегралу від функції ваги).
Використання вагової функції дозволяє описувати систему у вигляді інтеграла Дюамеля (інтеграла згортки)
(2.2)
На рис. 2.1. показана схема використання моделі з ваговою функцією (у загальному випадку невідомою) як прогнозуючого фільтру.
Тобто задача побудови цифрового динамічного фільтру ставиться як задача відтворення невідомої w(?), використовуючи спостереження за входом об'єкта x(t) та його виходом y(t). Як правило вихід об'єкта y(t) спостерігається нами не безпосередньо, а у спотвореному вигляді, як сума ?(t) = y(t) + N(t), де N(t) - завада (шум) з характеристиками M[N(t)] = 0; M[N(t)]2 = ?2; M[N(t1)?N(t2)]= 0; t1 ? t2; M[N(t)?x(t1)], тобто "білий шум" некорельований із вхідним сигналом.
2.2. Поточкове вирішення задачі
2.2.1. Модель вирішення. Формула (2.1), з урахуванням накладеного на вихідний сигнал шуму N(t) (рис.2.1), набуває вигляду
(2.3)
На практиці ми маємо справу із дискретними сигналами [44].
Так, для об'єкта з ваговою функцією, зображеною в табл. 2.1 й на рис. 2.2., ми маємо вхідні й вихідні сигнали, зображені на в табл. 2.2. й на рис. 2.3, 2.4 й 2.5.
Таблиця 2.1.
Значення вагової функції досліджуваного об'єкта
?w(?)0,000,001,001,782,000,893,000,404,000,205,000,116,000,077,000,048,000,039,000,0210,000,0211,000,0112,000,0113,000,0114,000,0115,000,00
Рис. 2.2. Графік вагової функції досліджуваного об'єкта
Таблиця 2.2
Значення сигналів й шумів на вході й виході об'єкта
tx(t)y(t)N1(t)?1(t)=y(t)+N1(t)N2(t)?2(t)=y(t)+N2(t)0,0039,000,003,90003,9000-11,0000-11,00001,0073,000,007,30007,300023,000023,00002,0072,000,007,20007,200022,000022,00003,0075,000,007,50007,500025,000025,00004,0037,000,003,70003,7000-13,0000-13,00005,002,000,000,20000,2000-48,0000-48,00006,0087,000,008,70008,700037,000037,00007,0098,000,009,80009,800048,000048,00008,0010,000,001,00001,0000-40,0000-40,00009,0047,000,004,70004,7000-3,0000-3,000010,0093,000,009,30009,300043,000043,000011,0021,000,002,10002,1000-29,0000-29,000012,0095,000,009,50009,500045,000045,000013,0097,000,009,70009,700047,000047,000014,0069,00299,126,9000306,017319,0000318,117315,0041,00271,354,1000275,4504-9,0000262,350416,0091,00207,069,1000216,160741,0000248,060717,0080,00265,508,0000273,504630,0000295,504618,0067,00276,946,7000283,640117,0000293,940119,0059,00257,455