РОЗДІЛ 2
ПОСТАНОВКА ГРАНИЧНИХ ЗАДАЧ ДЛЯ КЛИНОВИДНИХ ОБЛАСТЕЙ
Наведені основні рівняння теорії пружності і граничні умови запропонованих до
розгляду плоских задач для криволінійного бруса, зрізаного клина і
бігармонічної задачі для сектора.
2.1. Постановка задач про силове навантаження бруса і зрізаного клина
Відомо, що вводячи функцію напружень Ері F, плоска задача теорії пружності
зводиться до відшукання цієї скалярної функції, яка задовольняє бігармонічне
рівняння
, i.
де – оператор Лапласа у полярних координатах (r,J),
і відповідні граничні умови, враховуючи що напруження визначаються
. ii.
Проведемо заміну змінної r на нову в такий спосіб:
iii.
Тоді у координатах t,J бігармонічне рівняння 1) прийме такий вигляд
iv.
вже для “прямокутної” області 0ЈtЈt0, |J|Јa (тут ). Подаючи функцію F як
, v.
прийдемо до рівняння відносно функції F
. vi.
В нових змінних, враховуючи що , напруження обраховуватимуться за формулами:
, vii.
Після визначення напружень переміщення можна встановити прямим інтегруванням
виразів для деформацій, підставляючи напруження в закон Гука [Ошибка! Источник
ссылки не найден.,Ошибка! Источник ссылки не найден.]. Також їх можна визначити
через функцію напружень і так звану функцію переміщень y [Ошибка! Источник
ссылки не найден.]:
viii.
ix.
де у разі плоскої деформації або плоского напруженого стану, відповідно, k=1-n
або k=(1+n)-1.
Відзначимо, що для статичних та квазістатичних задач механіки, коли переміщення
не є метою дослідження, методи розв’язування у напруженнях дають можливість
оминути операції диференціювання, необхідні для визначення напружень через
переміщення і замінити операції диференціювання інтегруванням для визначення
переміщень через деформації та напруження, що принципово легше з точки зору
обчислювальних методів. Тому розв’язок першої основної задачі для відповідних
областей будемо шукати з використанням бігармонічної функції напружень без
залучення функцій переміщень.
2.1.1. Особливості розв’язання задач рівноваги криволінійних тіл у полярних
координатах під дією довільної системи сил. Вигляд напружень 7) відображає
відомий факт, що загальну задачу навантаження бруса не можна розділити на дві
незалежні задачі навантаження окремо нормальними і дотичними напруженнями, на
відміну від задачі навантаження прямокутника. Зокрема, нероздільними очевидно є
напруження і . Так, при розв’язанні задачі навантаження дотичними зусиллями, по
аналогії з класичною бігармонічною задачею ми тотожно виконуємо нульові
граничні умови для функції F, або, що те саме, для певного диференційного
оператору від неї, як в нашому випадку і . Натомість граничні умови для
нормальної похідної від F на границі виконуються наближено. Проте, ця нормальна
похідна входить і до складу , тобто нормальні напруження на кругових границях
бруса будуть відмінними від нуля. Отже, формулювання задачі навантаження бруса
дотичними зусиллями є до певної міри умовним.
Тому при розв’язанні загальної задачі навантаження бруса пропонується:
1) спочатку розв’язати задачу "навантаження дотичними зусиллями", аби досягти
заданих дотичних напружень;
2) розв’язати задачу навантаження нормальними зусиллями з урахуванням тих
ненульових нормальних напружень, що з’являються на кругових границях при
розв’язанні першої задачі.
Таким чином, на відміну від навантаження бруса лише нормальними зусиллями,
задача навантаження лише дотичними зусиллями, як і загальна, вимагає
розв’язання двох задач.
Рис. 2.1
2.1.2. Рівновага криволінійного бруса під дією силового навантаження.
Розглянемо першу основну граничну задачу для плоского криволінійного бруса
aЈrЈb, -aЈJЈa (Рис. 2.1) у полярній системі координат (r,J). Брус навантажений
довільною системою нормальних і дотичних зусиль на границі. Подібно задачам
рівноваги для прямокутних областей, розділимо дану задачу на дві окремі задачі:
навантаження тільки заданими нормальними зусиллями і тільки дотичними
зусиллями. Тоді задачі навантаження бруса, наприклад симетричною відносно осі
J=0 системою нормальних зусиль, відповідатимуть такі граничні умови:
x.
де – задані парні функції кутової координати J. Враховуючи заміну змінної 3),
перетворимо останню з граничних умов 10) таким чином
, xi.
де , – функція, отримана з після відповідної заміни змінної, загалом відмінна
від неї. Враховуючи вигляд 7) нормального напруження , граничну функцію у
фактичних обрахунках необхідно розкласти у суму певної функції та похідної від
неї
Для задачі рівноваги бруса під дією заданих дотичних зусиль, враховуючи пп.
2.1.1, у симетричному випадку граничні умови матимуть вигляд
xii.
де – задані дотичні напруження (непарні функції). Відповідно до п.2.1.1 вони
визначають функції
Отже, після доповнення вихідних рівнянь 4), 7) граничними умовами 11) і 12)
постановка задачі силового навантаження бруса завершена.
2.1.3. Силове навантаження нескінченного зрізаного клина. Розглянемо
антисиметричну по J задачу навантаження нескінченного зрізаного клина на
круговій границі. Аналогічно п. 2.1.2, розділимо цю задачу на задачі
навантаження лише заданими нормальними зусиллями і дотичними зусиллями. Тоді
відповідні граничні умови для задачі у нормальних напруженнях будуть
, xiii.
де – непарна функція. Для задачі у дотичних напруженнях:
, xiv.
де – парна функція, яка відповідно до п. 2.1.1 визначає функцію .
2.2. Мішана задача для нескінченн
- Київ+380960830922