РАЗДЕЛ 2. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ СТРУЙНЫХ
ПОТОКОВ
2.1. Гомогенная двухфазная модель ламинарной струи
Струя рассматривается как гидродинамическая двухфазная среда. Основное
допущение – взаимное непроникновение фаз.
Физическая модель
Предметом рассмотрения является свободная цилиндрическая струя жидкости,
истекающая из сопла в воздушную среду.
На рис. 2.1 показана схема исследуемой области. Через сопло с диаметром d0
вытекает струя жидкости в неограниченное пространство, заполненное воздухом. На
скорость истечения струи накладываются осцилляции различной частоты и
амплитуды. Скорость истечения на срезе сопла определяется выражением
(2.1)
Физические условия по фазам на границах расчетной области следующие: из сопла
вытекает жидкость без воздуха, а за боковыми границами исследуемой области
присутствует только воздух, а жидкость полностью отсутствует. Давление на всех
границах кроме среза сопла – атмосферное.
Рис. 2.1 Физическая постановка задачи
Математическая модель
Для возможности наиболее полного учета всех факторов, возникающих в физических
процессах, протекающих в струе, математическая модель включает полную
трехмерную систему уравнений Навье-Стокса. Влияние поверхностного натяжения на
поверхности раздела фаз учтено в модели не в виде граничных условий, а в виде
сил поверхностного натяжения. Это позволит не задавать границы раздела, а
рассчитывать их пространственное положение.
Движение жидкости в струйном потоке описывается трехмерной системой уравнений
Навье-Стокса
(2.2)
где - поверхностно-объемная сила, возникающая от поверхностного натяжения на
границе раздела фаз.
Граничные условия поверхностного натяжения на разделе двух жидкостей согласно
работе [92] описываются следующим уравнением
(2.3)
Поверхностное натяжение у может изменяться вдоль поверхности раздела. Градиент
коэффициента поверхностного натяжения в направлении нормали к поверхности можно
записать в виде следующего выражения
(2.4)
Касательная составляющая градиента поверхностного натяжения на поверхности
раздела может быть определена, используя дифференциальный поверхностный
оператор, , следующим образом
(2.5)
Тензоры вязких напряжений этих жидкостей можно выразить в виде выражения
(2.6)
Следовательно, нормальная составляющая выражения (2.3) для жидкостей 1 и 2 с
учетом формулы (2.6) будет иметь следующий вид
(2.7)
а касательную составляющую выражения (2.3) можно записать в виде
(2.8)
В то время как граничное условие нормального напряжения на поверхности раздела
может быть удовлетворено при неподвижных жидкостях, граничное условие
касательного напряжения требует, чтобы жидкости пребывали в движении. Из (2.7)
можно сделать вывод, что поверхностное напряжение в направлении нормали ведет
себя как сила , ведущая поверхность жидкости к минимальному энергетическому
состоянию. Это состояние можно охарактеризовать минимальной площадью
поверхности раздела жидкостей. Из выражения (2.8) следует, что пространственные
изменения коэффициента поверхностного натяжения по поверхности раздела вызывают
течение жидкости от области низкого к области более высокого значения
коэффициента поверхностного натяжения. Для границы раздела между невязкими
несжимающимися жидкостями с постоянным коэффициентом поверхностного натяжения
скачек давления на границе определяется формулой Лапласа согласно работе [92]
(2.9)
т.е. поверхностное давление пропорционально кривизне поверхности раздела. Из
этого выражения следует, что поверхностное натяжение вносит в баланс сил
поверхностное давление в виде перпендикулярной силы на единицу площади
межфазной поверхности. Следовательно, перепад давления в точке (рис. 2.2)
определяется выражением
(2.10)
где - нормальная составляющая общей поверхностной силы .
Рис. 2.2. Фрагмент расчетной области с межфазной границей.
Поверхностную силу на границе между невязкими жидкостями, имеющими постоянный
коэффициент поверхностного напряжения (т.е. ) можно записать следующим образом
(2.11)
Примем, что две жидкости, разделенные границей, обладают некоторой
характеристической функцией , имеющей следующие свойства,
в жидкости 1
в жидкости 2
на границе раздела,
(2.12)
которая изменяется скачком на поверхности раздела. Для движения двух
несжимаемых и несмешивающихся жидкостей вдоль поверхности раздела в качестве
такой характеристической функции можно принять плотность этих жидкостей. Тогда
плотность в точке на поверхности раздела будет равна
(2.13)
Рассмотрим замену дискретной характеристической функции плотности плавным
изменением плотности жидкости от до .на протяжении O(h), где - расстояние,
соизмеримое с разрешением вычислительной сетки с интервалом . Это позволяет
заменить дискретную модель с граничными значениями на поверхности раздела
приближенной непрерывной моделью и определять плотность в узлах расчетной сетки
путем интерполяции значений плотности в соседних узлах.
Рис. 2.2 иллюстрирует замену дискретной границы раздела на плавную переходную
область. Как видно из рисунка, эта область не обязательно должна быть выровнена
по сетке. Внутри области перехода находятся контуры постоянной плотности , на
которых . Их кривизна медленно меняется от контура к контуру при .
Введем объемную силу , описывающую истинное значение силы поверхностного
натяжения при , т.е. эта сила должна удовлетворять следующему выражению
(2.14)
где интеграл по площади поверхности раздела заменим на интеграл по
элементарному объему . Этот объем выбираем таким, чтобы его границы были
перпендикулярны поверхности раздела, а высота значительно меньше радиуса
- Київ+380960830922