Розділ 2
ІНТЕРПОЛЯЦІЙНІ Інтегральні поліноми типу Ньютона з континуальними вузлами
2.1. Постановка задачі.
Нехай функціонал визначений на просторі . Задана континуальна множина функцій
, (2.1)
що залежить від параметрів з області
– функція Хевісайда,
– множина поліномів –го степеня вигляду
, (2.2)
де
Ї неперервні функції по кожній змінній окремо на відрізку . Необхідно на
множині поліномів знайти такий поліном , для якого виконувалась би
інтерполяційна умова
(2.3)
при будь-яких з області .
Відмітимо, що поліноми інтегрального вигляду з множини знаходять широке
застосування в теорії нелінійних систем [42].
Задача побудови інтерполянта з умовою (2.3) при розв’язана в [28], при умові,
що функція симетрична відносно параметрів і ця обставина суттєво спрощувала
розв’язок. В нашому випадку такої симетрії не припускається і спосіб
знаходження умов розв’язності інтерполяційної задачі, викладений в [28], тут
застосовувати не можна.
2.2. Необхідні умови розв’язності інтерполяційної задачі.
Теорема 2.1. Нехай функціонал є таким, що
є неперервними функціями по кожній змінній з . Тоді для того, щоб поліном
вигляду
(2.4)
був інтерполяційним на континуальній множині вузлів (2.1) необхідно, щоб його
ядра визначались за формулами
. (2.5)
при .
Доведення. Будемо шукати інтерполянт з , що задовольняє умові (2.3), у вигляді
де функції підлягають визначенню. Неважко показати, що будь-який поліном з
(2.2) може бути приведений до вигляду (2.4) і навпаки. Значить . В припущенні,
що мішані похідні
є неперервними функціями по кожній змінній з , будемо шукати ядра полінома
(2.4) виходячи з наступних умов
Проводячи обчислення при умові, що , отримаємо
.
Необхідність доведено.
2.3. Достатні умови розв’язності інтерполяційної задачі (перший підхід).
Перед доведенням достатності приведемо деякі міркування. Розглянемо випадок .
Знайдемо, які додаткові умови треба накласти на функціонал , щоб поліном
був інтерполяційним на континуальній множині вузлів
(2.6)
Підставимо (2.6) у формулу для і розглянемо два останніх доданки
=
Тут при перетвореннях було враховано симетричність функції . В результаті
одержуємо
і ніяких додаткових умов на функціонал не виникає, крім того, що функція
повинна бути інтегрованою за Ріманом у квадраті.
Ситуація кардинально змінюється, якщо каркас континуальних інтерполяційних
вузлів приводить до несиметричності відповідної функції, яка з’являється
замість . Тут під каркасом континуальної множини інтерполяційних вузлів
розуміється наступне. Нехай
(2.7)
тоді функції будемо називати каркасом континуальної множини (2.7). У випадку
(2.6) . Для інтерполяційних вузлів (2.7) інтерполяційним поліномом буде
, (2.8)
Підставимо (2.7) в (2.8) і будемо вимагати, щоб виконувалась інтерполяційна
умова
В результаті одержуємо
Оскільки
то з попередньої рівності одержуємо
або
. З рівності інтегралів з однаковими межами інтегрування маємо (2.9)
А отже для того, щоб функціональний поліном (2.8) був інтерполяційним
достатньо, щоб функціонал задовольняв умовам
,
та співвідношенню (2.9) (правило підстановки).
Для доведення достатності в загальному випадку скористуємося твердженням 1.9 з
[19] про диференціювання функціоналів за параметром.
Твердження 2.1 (1.9 з [19]). Нехай – числова функція, що залежить від числового
параметру – функціонал на лінійному просторі функцій . Нехай при даному :
при всіх як функція від (умова узгодженості);
при всіх існує ;
рівномірно по ;
функціонал має сильну - похідну в точці .
Тоді складна функція диференційована в точці і
. (2.10)
Формула (2.10) є формулою диференціювання за параметром під знаком функціонала.
Тут – «узагальнена функція» від аргументу :
Введемо наступні позначення. Позначимо через неперервно-диференційовані
апроксимації при ступінчатих функцій , через – похідні за параметрами , які
представляють собою неперервні апроксимації дельта-функцій Дірака при (такі
наближення розглянуті в [15]), – множина функцій вигляду
де . У відповідності з функціоналом введемо функціонал , визначений на множині
функцій :
З використанням твердження 2.1 при доведемо лему, яка буде використана при
побудові операторів розділених різниць.
Лема 2.1. (правило підстановки). Нехай функціонал і фіксовані функції , такі,
що має місце рівномірна збіжність
по , коли і для справедлива формула (2.10) диференціювання за параметром під
знаком функціонала:
з неперервними по функціональними похідними і має місце рівномірна по
збіжність
при . Тоді виконується правило підстановки
, (2.11)
.
Доведення. В умовах леми 2.1, поклавши в твердженні 1.9 з [19] , з урахуванням
гладких апроксимацій функцій Хевісайда з [20], маємо
Оскільки по при , то віднімаючи і додаючи під знаком інтегралу функцію ,
отримаємо
Для першого інтеграла при умові , що не є обтяжливим (див. [20]), з урахуванням
рівномірної збіжності отримаємо
де може бути вибране як завгодно малим числом, а
, при .
Тому
.(2.12)
З іншої сторони
Провівши такі ж перетворення як і при обчислені , отримаємо
. (2.13)
Порівнюючи співвідношення (2.12),
- Київ+380960830922