РОЗДІЛ 2
ТЕОРІЯ СТОВПЦЕВИХ ТА РЯДКОВИХ ВИЗНАЧНИКІВ
НАД ТІЛОМ З ІНВОЛЮЦІЄЮ
2.1. Означення основного тіла
Означення 2.1.1. Відображення кільця в себе називається інволюцією, якщо
виконуються умови , та .
Нехай ? довільне поле, ? векторний простір ненульової розмірності над .
Означення 2.1.2. Відображення називається білінійною формою, якщо для довільних
, виконуються наступні умови:
1) ;
2) ;
3) .
Означення 2.1.3. Білінійна форма називається симетричною, якщо для довільних .
Означення 2.1.4. Симетрична білінійна форма називається невиродженою, якщо із
того, що для довільного випливає, що , і виродженою в протилежному випадку.
Означення 2.1.5. Відображення називається квадратичною формою, якщо
1) , де , ;
2) функція є білінійною формою на .
Означення 2.1.6. Квадратична форма називається невиродженою, якщо невироджена
відповідна їй симетрична білінійна форма, і виродженою в протилежному випадку.
Означення 2.1.7. Алгебра з одиницею 1 над полем характеристики, що не дорівнює
2, називається композиційною, якщо на векторному просторі визначена невироджена
квадратична форма , яка задовольняє наступні дві умови.
Вона індукує невироджену симетричну білінійну форму , тобто означає ізоморфізм
, де - група гомоморфізмів із в .
Квадратична форма допускає композицію
Означення 2.1.8. -алгебра з одиницею 1 називається квадратичною над полем ,
якщо кожен елемент задовольняє рівність
, (2.1)
де ? лінійна форма на зі значенням у полі . Якщо , то рівність (2.1) однозначно
визначає форми і . При покладемо за означенням , . Елементи та називають,
відповідно, нормою та слідом елемента .
Твердження 2.1.1. [7, 35] Лінійне відображення кільця є інволюцією, що залишає
нерухомими елементи поля .
При цьому елемент будемо називати спряженим до елемента .
Означення 2.1.9. Алгебра називається альтернативною, якщо для довільних із
справедливими є рівності , .
Твердження 2.1.2. [7, 58] Довільна композиційна алгебра альтернативна і
квадратична.
Справедливими є і обернені твердження.
Твердження 2.1.3. [7, 58] Якщо ? альтернативна -алгебра з одиницею 1 і
інволюцією такою, що і , то квадратична форма задовольняє рівність (2.1).
Твердження 2.1.4. [7, 58] Нехай ? проста квадратична альтернативна -алгебра, що
містить хоча б три елементи. Тоді або ? композиційна алгебра, або ? деяке поле
характеристики 2.
Означення 2.1.10. Композиційна алгебра називається розщеплюваною, якщо в ній
виконується одна з наступних еквівалентних умов:
для деякого з ;
для деяких і із ;
містить нетривіальний ідемпотент, тобто, такий елемент , що .
Оскільки, асоціативна алгебра є альтернативною, то очевидним наслідком
тверджень 2.1.3, 2.1.4 та означення 2.1.10 є наступне
Твердження 2.1.5. Нехай тіло як асоціативна алгебра з діленням над своїм
центром ? полем нульової характеристики володіє інволюцією такою, що і для всіх
, тоді є нерозщеплюваною композиційною алгеброю.
Головною в теорії композиційних алгебр є теорема Гурвіца.
Теорема 2.1.1. (Гурвіца) Скінченновимірна композиційна алгебра має розмірності
1, 2, 4 або 8 над полем .
Для опису всіх композиційних алгебр скористаємося процесом Келі-Діксона. Нехай
? алгебра над полем з одиницею 1 і інволюцією такою, що , для довільного .
Зафіксуємо , , і визначимо на векторному просторі операцію множення:
Отриману алгебру називають алгеброю, що одержується з алгебри за допомогою
процесу Келі – Діксона. Очевидно, що ізоморфно вкладається в і . Нехай , тоді і
=. Для довільного елемента покладемо . Тоді і , і відображення є інволюцією
алгебри , що продовжує інволюцію алгебри . Якщо квадратична форма невироджена
на , то квадратична форма невироджена на . При цьому форма допускає композицію
тоді і тільки тоді, коли асоціативна.
Таким чином, одержимо [7, 35, 36, 58, 67, 68, 90] наступні приклади
композиційних алгебр над полем :
? поле характеристики, що не дорівнює 2.
, . Якщо многочлен незвідний над , тоді ? поле; у протилежному випадку .
, ? алгебрі узагальнених кватерніонів. Ця алгебра асоціативна, але
некомутативна.
, ? алгебрі Келі-Діксона. Ця алгебра вже неасоціативна, тому на ній індуктивний
процес побудови композиційних алгебр завершується.
Оскільки, надалі всюди в роботі алгебра розглядається як тіло з інволюцією, а
його центр ? поле нульової характеристики, то внаслідок твердження 2.1.5
одержимо наступні приклади композиційних алгебр.
Поле .
, , ? алгебра, яка одержується з алгебри за допомогою процесу Келі - Діксона,
при умові, що многочлен незвідний над . Тоді ? поле.
, ? алгебра узагальнених кватерніонів або як прийнято в англомовній літературі
кватерніонова алгебра (the quaternion algebra), при умові, що , беруться
такими, щоб виконувалась умова її нерозщеплюваності. Ця алгебра асоціативна,
але некомутативна. Позначатимемо її .
В загальному, розглядувану -алгебру можна означити як алгебру породжену
генераторами та , що пов’язані співвідношеннями:
, , .
І ця алгебра є множиною всіх можливих виразів виду
де .
Якщо , тоді і в канонічному базисі простору , що в цьому випадку співпадає з
полем , форма . Якщо і , тоді і норма в просторі приймає вигляд . Якщо і , тоді
і норма в просторі , що в цьому випадку є кватерніоновою алгеброю, приймає
вигляд
Таким чином, єдиним прикладом некомутативної асоціативної композиційної
алгебри, що розглядається в роботі, є кватерніонова алгебра [42, 43, 62. 71,
72] із врахуванням умови її нерозщеплюваності. З іншого боку підтвердженням
цьому є наступна теорема.
Теорема 2.1.2. [72] Кватерніонова алгебра є тілом тоді і тільки, тоді коли її
квадратична форма, - норма , є невиродженою.
Означення 2.1.11. Дві квадратичні форми і будемо називати ізометричними, якщо
існує ізоморф
- Київ+380960830922