РОЗДІЛ 2
НЕПЕРЕРВНІ НЕЛІНІЙНІ ЗАДАЧІ ОП122ТИМАЛЬНОГО РОЗБИТТЯ МНОЖИН (ОРМ) ІЗ
РОЗТАШУВАННЯМ ЦЕНТРІВ ПІДМНОЖИН ІЗ ОБМЕЖЕННЯМИ У ФОРМІ НЕРІВНОСТЕЙ
2.1. Неперервна нелінійна задача ОРМ із розташуванням центрів підмножин у
випадку опуклої нелінійної частини цільового функціонала
2.1.1. М а т е м а т и ч н а п о с т а н о в к а з а д а ч і. Нехай – обмежена,
вимірювана за Лебегом множина з n-вимірного евклідового простору .
Сукупність вимірюваних за Лебегом підмножин з назвемо можливим розбиттям
множини, якщо , де mes(·) – міра Лебега.
Позначимо клас усіх можливих розбиттів множини через , тобто
, }. 233
Введемо функціонал
, 445
де
= () ? деяка, невідома заздалегідь, еталонна точка підмножини , , яка
називається «центром» цієї підмножини, причому
;
? будь-яка точка підмножини ;
– дійсні, обмежені, визначені на функції, вимірні по при будь-якому фіксованому
= ( ) з для всіх ;
– дійсна, обмежена, вимірна, невід'ємна на функція;
(·), ? дійсні, обмежені, опуклі, двічі неперервно-диференці-
йовні функції.
Тут і надалі інтеграли розуміються в сенсі Лебега. Будемо вважати, що міра
множини граничних точок , i = 1,..., N, дорівнює нулю.
Тоді під неперервною нелінійною однопродуктовою задачею оптимального розбиття
множини з на її неперетинні підмножини із розташуванням центрів підмножин,
невідомих заздалегідь, при обмеженнях у формі нерівностей будемо розуміти
наступну задачу.
Задача 2.1. Знайти
657
за умов
, 869
де , , , , ; – задані дійсні
невід'ємні числа, причому виконується умова розв’язності задачі
. 10711
Розбиття , що є розв’язком задачі 2.1, назвемо оптимальним.
2.1.2. П е р е х і д д о е к в і в а л е н т н о ї з а д а ч і . Н е о б х і д
н і т а д о с т а т н і у м о в и о п т и м а л ь н о с т і д л я е к в і в а л
е н т н о ї з а д а ч і . Уводячи характеристичну функцію підмножин у вигляді
, 12813
вектор-функцію у вигляді та функціонал
, 14915
перепишемо задачу 2.1 у термінах характеристичних функций підмножин , , тобто у
наступному вигляді.
Задача 2.2. Знайти : ,
де
майже всюди (м.в.) для
, м.в. для . 161017
Очевидно, що має місце рівність
. 181119
Від задачі 2.2 нескінченновимірного математичного програмування з булевими
значеннями змінних перейдемо до відповідної задачі зі значеннями змінних з
відрізку , тобто розглянемо задачу 2.3.
Задача 2.3. Знайти :
, 201221
де
м.в. для 221323
, м.в. для }. 241425
Як доведено у [61], ? обмежена, замкнена, опукла множина гільберто-
вого простору з нормою
261527
і, згідно з [24] 1
[/24/ 1) с. 238. ]), є слабко компактною в гільбертовому просторі .
Вводячи позначення
, 281629
перепишемо функціонал з (2.7) у вигляді:
301731
і сформулюємо деякі його властивості.
Твердження 2.1. Якщо функції , , – опуклі, то при кожному фіксованому
функціонал з (2.15) опуклий по на .
Доведення. З опуклості функцій , , в області визначення, лінійності (а тому
опуклості) функціоналів (), , з (2.14) на й властивостей складних функцій
випливає, що функціонали , , будуть опуклі по на .
Нехай О м.в. для . Визначимо квазіваріацію
= м.в. для , . 321833
Очевидно, що О. Для функціонала при будь-якому
фіксованому має місце наступне:
= =
?
Твердження 2.1 доведено.
Зауваження 2.1. З опуклості функціонала по на випливає його неперервність по на
[33].
Очевидно [110], мінімум з виразу (2.10) можна переписати у вигляді:
= = . 341935
Теорема 2.1. Внутрішня задача з (2.17) є глобально
розв’язною при кожному фіксованому .
Доведення. Дійсно, з узагальненої теореми Вейерштрасса [24] випливає,
що неперервний опуклий по (за твердженням 2.1 та зауваженням 2.1) функціонал з
(2.17), який визначено на гільбертовому просторі , досягає при кожному
фіксованому свого глобального мінімуму по на будь-якій опуклій, замкненій,
обмеженій множині (в даному випадку на множині ). Теорему 2.1 доведено.
Зауваження 2.2. Умови теореми 2.1 можуть бути послаблені, тому що не тільки
опуклі неперервні функціонали будуть досягати на своєї нижньої границі, а й
неперервні знизу (слабко напівнеперервні знизу) функціонали.
Дійсно, як доведено в [61], ? обмежена, замкнена, опукла множина гільбертового
простору , і, згідно з [24] 1
[/24/ 1) с. 238. ]), є слабко компактною в . За узагальненою теоремою
Вейерштрасса [24] напівнеперервний знизу по (слабко напівнеперервний знизу по )
функціонал на слабко компактній множині з є обмеженим знизу й досягає на цій
множині своєї нижньої границі по при кожному фіксованому .
Розглянемо наступну допоміжну задачу.
Задача 2.4. Знайти
, 362037
де
, 382139
Задача 2.4 є одноекстремальною і має глобальний розв’язок, [61] 1
[/61/ 1) с. 104–139.]), оскільки цільова функція з (2.19) має наступні
властивості:
множину введенням певних відношень порядку між координатами центрів можна
подати у вигляді об’єднання скінченного числа опуклих підмножин , на кожній з
яких цільова функція задачі (2.18) опукла і має точку локального мінімуму;
значення цільової функції задачі (2.18) у точках локальних мінімумів, кожний з
яких належить підмножині , множини , що визначається своїм відношенням порядку,
збігаються.
Теорема 2.2. Зовнішня задача з (2.17) при кожному фіксованому є
одноекстремальною і має глобальний розв’язок.
Доведення. При кожному фіксованому , а тому і при , що є розв’язком внутрішньої
задачі з (2.17), зовнішня задача з (2.1
- Київ+380960830922