РОЗДІЛ 2. ЕЛЕКТРОННА СТРУКТУРА ТА ЕЛЕКТРОПРОВІДНІСТЬ СИСТЕМ З СИЛЬНИМИ ЕЛЕКТРОННИМИ КОРЕЛЯЦІЯМИ
2. 1. Гамільтоніан системи
Розглянемо рух електрона у невпорядкованому середовищі, де у вузлах кристалічної ґратниці деяким чином розташовано атоми різного сорту, які мають певної орієнтації локалізовані магнітні моменти. Кожний електрон, як частинка, що має електричний заряд і спін, при русі у такому середовищі буде розсіюватися як за рахунок неперіодичності кристалічного потенціалу та теплових коливань атомів кристалічної ґратниці, так і за рахунок флуктуацій спінової й зарядової густин, обумовлених сильною взаємодією (в тому числі, статистичною) між всіма електронами системи.
Гамільтоніан системи електронів і фононів невпорядкованого кристалу (металевого сплаву, невпорядкованого напівпровідника) можна записати у вигляді суми [66, 147]
(2.1)
Гамільтоніана нульового наближення
(2.2)
і Гамільтоніана збурення
. (2.3)
Розпишемо вирази для складових Гамільтоніанів (2.2), (2.3) у представленні Ванньє. Так, H0 складається з Гамільтоніана підсистеми невзаємодіючих електронів
, (2.4)
Гамільтоніана підсистеми невзаємодіючих фононів
(2.5)
і енергії взаємодії йонів у положеннях рівноваги.
Гамільтоніан збурення Hint складається з Гамільтоніана електрон-йонної (електрон-домішкової) взаємодії
, (2.6)
Гамільтоніана електрон-фононної взаємодії
, (2.7)
Гамільтоніана парної електрон-електронної взаємодії
, (2.8)
Гамільтоніана фонон-йонної (фонон-домішкової) взаємодії
(2.9)
де
,
,
і Гамільтоніана фонон-фононної взаємодії
(2.10)
Тут , - оператори народження і знищення електрона в стані, що описується функцією Ванньє , ; індекс стану ? визначається номером енергетичної зони і проекцією спіну ? на вісь z, n - номер примітивної елементарної комірки кристалу, i - номер вузла (підґратниці) в примітивній комірці; - матричні елементи одноелектронного Гамільтоніана чистого кристалу, що складається з атомів сорту А; - оператор вектора динамічного "коливного" зміщення атома у вузлі (ni); - оператор ?-проекції імпульсу атома на декартові осі координат (? ? x, y, z); , - силові "сталі". Оператор потенціальної енергії електрона в полі йонних остовів кристалу можна представити у вигляді:
, (2.11)
, де r - радіус-вектор електрона, - радіус-вектор рівноважного положення атома у вузлі (ni) кристалічної ґратниці, - вектор статичного зміщення атома у вузлі (ni) з положення рівноваги. Випадкова добавка до матричного елементу одноелектронного Гамільтоніана чистого кристалу, пов'язана з наявністю домішки, є наступною [66]:
, (2.12)
де
Тут - випадкові числа, що набувають значення 1 або 0 залежно від того, знаходиться атом сорту ? у вузлі (ni) чи ні; - потенціальна енергія електрона в полі йону сорту ?. У формулі (2.7) величини виражаються через оператори зміни координат йонів кристалічної ґратниці наступним чином:
, (2.13)
де
,
а визначається формулами типу (2.12), в яких замість стоїть [66]
де
Величини у формулах (2.12) описують розсіяння електронів на статичних зміщеннях атомів і визначаються виразом:
. (2.14)
Вирази (2.1)-(2.12) для Гамільтоніана системи електронів і фононів невпорядкованого кристалу вперше одержано в роботі [66].
2. 2. Ґрінові функції та густина електронних станів невпорядкованої кристалічної системи
У невпорядкованих кристалах точний просторовий розподіл атомів у експерименті неспостережний. Можна лише стверджувати, що такий випадковий розподіл є неперіодичним. Структура зазначених матеріалів описується лише статистичними методами. Так, статистична постановка задачі стає необхідною, наприклад, для знаходження енергетичного спектру системи. При цьому використання для випадкового середовища звичайної громіздкої трактовки в межах Шредінґерових рівнянь для хвильових функцій є недоцільним. Більш зручним для опису властивостей невпорядкованих систем є метод Ґрінових функцій, через які можна безпосередньо вирахувати величини, що міряються у експериментах (густина електронних станів, електропровідність та ін.).
Для розрахунку енергетичного спектру електронів і фононів, вільної енергії та електропровідності невпорядкованого кристалу введемо двочасові Ґрінові функції.
Означимо двочасові загаяну і випередну Ґрінові функції системи [66, 148, 149]:
,
. (2.15)
Тут кожний оператор у Гайзенберґовому представленні має вигляд:
, (2.15 а)
де ; , - відповідно хімічний потенціал і оператор числа електронів, - Хевісайдова функція. Дужки в (2.15) позначають операцію усереднення:
, , (2.15 б)
де - термодинамічний потенціал системи; , T- абсолютна температура системи.
Усереднення у формулі (2.15) провадиться по станах системи електронів і фононів у кристалі при заданому розташуванні атомів.
Розрахунок двочасових загаяних і випередних Ґрінових функцій (2.15) базується на розрахунку температурних Ґрінових функцій. При цьому використовується відоме співвідношення між спектральними представленнями для загаяної, випередної та температурної Ґрінових функцій.
Визначимо температурну Ґрінову функцію співвідношенням
, (2.16)
де оператор одержується з оператора (2.15 а) шляхом заміни :
,
для бозе-операторів А, B і для фермі-операторів.
Введемо оператор
, (2.17)
де , . Оператор (2.17) задовольняє рівнянню
, (2.18)
де . Розв'язок рівняння (2.18) за умови , що випливає з визначення (2.17), має вигляд
. (2.19)
Враховуючи вираз (2.17), для оператора А також у Гайзенберґовому представленні можна написати:
. (2.20)
Вираз (2.16) для температурної Ґрінової функції з врахуванням (2.19), (2.20) можна привести до наступного вигляду:
, (2.21)
де
, .
Задамо функцію у інтервалі і використовуватимемо відоме розвинення в ряд Фур'є [148].
Розглянемо одночастинкові температурні Ґрінові функції (2.21), означені при заданому розташуванні атомів різного сорт