РАЗДЕЛ 2
СОСТОЯНИЕ ПРОБЛЕМЫ И ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
ИССЛЕДОВАНИЯ
Во втором разделе формулируется постановка основной задачи исследования.
Рассматриваются базовые средства моделирования оптимизационных задач размещения
в рамках теории геометрического проектирования, в том числе, представление
геометрической информации о геометрических объектах. Вводится понятие -функции
и приводятся основные ее свойства. Рассматриваются некоторые аспекты приложения
теории интервального анализа в геометрическом проектировании, в том числе:
вводится интервальное пространство , понятие интервального произведения в ,
рассматриваются некоторые виды интервальных отображений в , определяется
интервальная гиперплоскость в , вводится понятие интервального выпуклого
множества в . Рассматриваются интервальные геометрические объекты пространства
, . Вводится понятие интервального касания точек пространств , . Описывается
условие интервального касания интервальных выпуклых многоугольников. Приводится
определение интервальной -функции интервальных геометрических объектов.
Формулируется математическая модель основной оптимизационной задачи в
интервальном виде. Обосновывается необходимость аналитического построения
-функций произвольных геометрических объектов пространства , требуемых для
построения математических моделей задач размещения, в том числе с учетом
погрешностей исходных данных и учетом расстояний на минимально и максимально
допустимые расстояния.
2.1. Элементы теории геометрического проектирования
2.1.1. Представление геометрической информации о реальных объектах в
пространстве . При построении математических моделей оптимизационных задач
геометрического проектирования, разработке эффективных методов их решения, а
также при создании интеллектуальных систем решения задач данного класса,
возникает необходимость построения единой вычислительной основы представления
информации об объектах реального мира. При этом формальная модель описания
информации должна быть однозначной, конструктивной, полной, не
избыточно-информативной, компактной и удобной для вычислительных процессов.
В классе оптимизационных задач геометрического проектирования в качестве
математических моделей материальных объектов выбираются непустые точечные
множества , , которые удовлетворяют следующим требованиям:1) ? канонически
замкнутое множество [348]; 2) внутренность и замыкание множества имеют один и
тот же гомотопический тип [349]; 3) в любой точке существует окрестность ,
такая, что и имеют один и тот же гомотопический тип. Точечные множества,
удовлетворяющие требованиям 1)-3), называются -объектами [319].
Представление информации о –объектах как о математических моделях материальных
объектов в задачах геометрического проектирования связана с понятием
геометрической информации [9], введенной как совокупность трех элементов:
пространственной формы –объекта; метрических характеристик, определяющих
“размеры” –объекта; параметров размещения, задающих местоположение –объекта в
пространстве , .
Как известно, пространственная форма линейно связного точечного множества в
топологическом пространстве определяется его гомотопическим типом. Однако в
евклидовом пространстве , , топологическое определение пространственной формы
является слишком грубым, поскольку при таком подходе не учитывается все
разнообразие пространственных форм точечных множеств, порождаемых линейностью и
метрикой евклидового пространства (например, не учитываются такие понятия как
выпуклость, вогнутость, порядок гладкости, дифференцируемость и т.д.). Поэтому
в евклидовом пространстве , , пространственная форма линейно связного точечного
множества задается не только гомотопическим типом, но и пространственной формой
его границы.
Пусть
, (2.1)
где ; –-объект, компоненты линейной связности границы которого имеют
гомотопический тип окружности в двумерном случае и топологической сферы – в
трехмерном.
Геометрическую информацию о описывает кортеж , где – пространственная форма в
пространстве , , – пространственная форма компоненты линейной связности границы
объекта , . Здесь , если гомотопический тип объекта – точка, і , если
гомотопический тип объекта – топологическая окружность в двумерном случае и
топологическая сфера – в трехмерном случае; – метрические характеристики ,
которые определяют размеры , причем количество элементов и их качество
непосредственно зависят от ; – параметры размещеия , – вектор трансляции полюса
объекта относительно собственой системы координат объекта , – угол поворота (в
трехмерном случае – углы Эйлера). Заметим, что полюс объекта совпадает с
началом его собственной системы координат.
2.1.1.1. Геометрическая информация о двумерных -объектах. Для представления
геометрической информации о произвольном –объекте базисной является
геометрическая информация о компонентах линейной связности его границы (в
дальнейшем frT ). Рассмотрим подробнее каждый из перечисленных выше элементов
геометрической информации о произвольной компоненте линейной связности границы
frT.
Основываясь на определении и свойствах –объектов, а также исходя из
особенностей задач рассматриваемого класса [40, 70], полагаем, что
пространственная форма s компоненты линейной связности frT может принимать
следующие значения: окружность – s1; граница прямоугольника – s2; граница
правильного многоугольника – s3, граница выпуклого многоугольника (исключая s2,
s3) – s4, граница невыпуклого многоугольника – s5; все остальные виды
пространственных форм, описываемые замкнутыми кривыми Жордана –
- Київ+380960830922