ГЛАВА 2
Постановки исследуемых проблем, обсуждение моделей и вывод систем уравнений,
описывающих тепло - и массоперенос в локально- равновесных и массоперенос в
локально-неравновесных условиях
2.1. Система уравнений, описывающая изотермический массоперенос
В данном пункте будет обсуждена модель и соответственно выведена система
уравнений для описания кинетики изотермической адсорбции. Как следует из
лите-ратурного обзора, ряд проблем, возникших при исследовании процессов
адсорбции в бипористых средах, связаны как со способом описания сопротивления,
испытыва-емого адсорбатом на входе в микропористую зону, так и с разграничением
предель-ных случаев кинетики в зависимости от параметра ,
где - характерное время диффузии в транспортных порах,
- характерное время диффузии в микропористых зонах,
- коэффициент диффузии в транспортных порах,
- коэффициент диффузии в микропористых зонах,
- характерный размер бипористой гранулы, равный ее радиусу в случае гранул
правильной формы,
- аналогичный размер микропористой зоны.
Подчеркнем, что в данной работе мы будем рассматривать только физическую
адсорбцию, протекающую на таких бипористых сорбентах, в которых микропори-стые
зоны непосредственно сорбатом не обмениваются. Последнее условие не очень
сильно ограничивает общность рассмотрения, хотя, как это следует из
литературно-го обзора, существует ряд [14,170,171] систем, в которых такой
обмен имеет место. Для определенности будут рассматриваться, кроме особо
оговоренных случаев, би-пористые гранулы типа "сфера в сфере", либо "цилиндр в
цилиндре". Формула "сфе-ра в сфере" означает, что бипористая гранула
сферической формы содержит равно-мерно распределенные по своему объему
сферические микропористые зоны. Анало-гично определяется и геометрия системы
"цилиндр в цилиндре" с тем лишь уточне-
нием, что диффузия в такой грануле, как и в микропористой зоне, протекает с
бо-ковой поверхности. Некоторая специфичность последней модели обусловлена тем
обстоятельством, что она может быть применена в том числе и к исследованию
про-цессов окрашивания текстильных материалов, точнее, нити, состоящей из
множест-ва пористых параллельно упакованных в ней волокон. В [31,32,34,71]
возможность использования такой модели при описании этих процессов обоснована и
показано, что она вполне удовлетворяет экспериментальным данным. Предполагается
также, что микропористые зоны обладают гомогенной структурой. Коэффициенты
диффу-зии в обеих подсистемах являются постоянными величинами и не зависят от
кон-центрации сорбата, пространственных координат и (в изотермическом режиме)
вре-мени. Адсорбцией на стенках транспортных пор пренебрегается. Наконец,
рассмот-рение ведется в линейном приближении по концентрации. Но в последнем
пункте следующей главы будут определены границы применимости предельных случаев
сорбции и при нелинейных монотонно возрастающих изотермах.
Выпишем теперь основное уравнение кинетики. В самом общем случае оно имеет
вид:
, (2.1)
где - осредненная по объемам, содержащим достаточно большое число зон, но
ма-лым по сравнению с объемом всей гранулы, концентрация сорбата в транспортных
порах,
- осредненная аналогичным образом концентрация в микропористой зоне,
- объемная доля микропористых зон,
- оператор Лапласа.
Учитывая, что ниже при выводе уравнений массопереноса для описания кине-тики
адсорбции в нелокальных условиях процедура осреднения будет также необхо-дима,
покажем здесь полный вывод уравнения (2.1). В грануле выделяется [14,74] объем
,
где - объем гранулы,
содержащий большое число микропористых зон, но малый по сравнению с объемом
гранулы, т.е., , и называемый "элементарным физическим объемом" (э.ф.о.)
пористой среды [64] [[64]1) Часть I. Структура и капиллярные свойства пористых
материалов, стр 17.]) или "макроточкой" [74]. Исходные уравнения массопереноса
должны быть усреднены по этим элементарным физическим объемам. Очевидно, что
где - объем транспортных пор,
- объем микропористых зон.
Следует при этом учитывать, что адсорбция протекает только в объеме .Тогда
балансовое уравнение может быть записано следующим образом:
, (2.1')
где - локальная концентрация в транспортных порах,
- локальная концентрация сорбата в микропористых зонах,
- поток сорбата в транспортных порах.
Если теперь определить локальные осредненные значения по э.ф.о. величины и как
, ,
и объемную долю микропористых зон в грануле в виде:
то после деления балансового уравнения на и использования закона Фика
где - оператор Гамильтона,
получим (2.1).
Проведенная процедура осреднения справедлива [64] в отсутствие в системе
химических реакций, что мы и предполагаем в данной работе. Отметим, что по
срав-нению с (1.1) уравнение (2.1) содержит множитель у второго слагаемого.
Введение представления об объемной доле микропористых зон позволяет [74]
рас-ширить границы применимости (2.1) примерно до значений .
Явный вид должен определиться из решения уравнения массопереноса по объему
микропористой зоны. Предполагая, что поле концентрации по объему зо-ны
подчиняется второму закону Фика, т.е., что
, (2.2)
можно записать, исходя из равенства потоков на ее поверхности, что
, (2.3)
где - поверхность зоны,
- ее объем,
- поток сорбата в микропористой зоне на ее поверхности.
Поэтому для гранулы типа "сфера в сфере" , а для цилиндрической гра-нулы с
цилиндрическими зонами .
Из (2.1) и (2.2) видно, что предлагаемая модель массопереноса предполагает
сохранение центральной или осевой симметрии (в зависимости от типа гранулы) как
в грануле, так и в микропористой зоне. Если для гранулы это выполнимо уже в
силу рав
- Київ+380960830922