РОЗДІЛ 2
Методи математичного моделювання і дослідження нелінійних систем типу
“фільтрація-конвекція-дифузія”
В цьому розділі викладені попередні відомості про підходи до побудови методів
розв’язання поставлених задач дослідження.
2.1. Підходи до моделювання нелінійних процесів типу “фільтрація-суфозія” в
середовищах схильних до деформації (на прикладах осесиметричних задач)
В даному параграфі наведені приклади побудови нелінійних моделей процесів
фільтрації (плоска течія в осесиметричному пласті, радіальна течія в кулі) в
зернистих середовищах, де при великих градієнтах напору мають місце суфозійні
деформації. При врахуванні такого роду деформацій нами замість того, щоб
розглядати нові нелінійні задачі, пропонується дещо локально “збурювати”
класичну просторово-часову лінійність закону Дарсі. А при розв’язанні
відповідних нелінійних задач пропонується процедура почергового “заморожування”
коефіцієнта фільтрації (при розрахунках напору та його градієнта на кожному
етапі) та градієнта напору при врахуванні зворотного впливу (“поправках”
коефіцієнта фільтрації). Перевагами такого підходу є те, що при врахуванні
зворотного впливу градієнта напору на коефіцієнт фільтрації (при переході від
лінійної задачі до нелінійної) непотрібно починати “все спочатку”, а отримані
раніше розв’язки доповнювати відповідними різними поправками.
Як базову, запишемо модель стаціонарного процесу осесиметричної фільтрації в
круговому недеформованому пласті (див, напр., [98 – 113]) у вигляді такої
задачі:
(2.1)
де – радіус свердловини (дрени); – радіус області впливу; – коефіцієнт
фільтрації ; (розглядається притік до свердловини); – напір в точці (на колі
радіуса ), звідки
. (2.2)
При великих градієнтах напору (більших за критичні значення, ) навколо
свердловини відбуваються суфозійні деформації ґрунту (переміщення та зупинка
дрібних частинок, переорієнтація у просторі частинок, які формують скелет,
тощо), що приводить до зміни коефіцієнта фільтрації як в просторі, так і в
часі, а, отже, дана модель (2.1), побудована на класичній (лінійній) формі
закону Дарсі , стає неточною, а, в ряді випадків, і зовсім непридатною.
Збурення коефіцієнта фільтрації, отже, і градієнта напору, в найпростіших
випадках нами отримані таким чином. В результаті розв’язку рівняння знаходимо –
нульове наближення точки-радіуса розділу збуреної та незбуреної зон: . В зоні
збурення певним чином змінюємо коефіцієнт фільтрації, поклавши .
Напір в даному випадку шукаємо у вигляді , якщо , або , якщо , де та є
розв’язками таких “неповних” задач:
, , ,
, ,
при умовах узгодженості (спряження) у точці розділу зон , . В результаті їх
розв’язання матимемо
(2.3)
звідки
(2.4)
де . Легко бачити, що для довільного має місце нерівність , а єдиний корінь
(перше наближення точки розділу) рівняння задовольняє нерівність , причому
Аналогічно знаходимо наступні наближення точки розділу
. (2.5)
Відзначимо, що для довільного має місце нерівність . Наприклад, для дане
твердження випливає із нерівності
Більше того, відображення (2.5) є стискаючим [101 – 116]. Отже, існує єдина
точка поділу збуреної і незбуреної зон, яка може бути знайдена в результаті
розв’язку рівняння
. (2.6)
В роботах [101 – 116] встановлено, що із зростанням радіуса дрени радіус
розділу зон збільшується, причому для незбурена зона зникає , а також
встановлено монотонно спадну залежність зони збу-
Рис. 2.1. Графіки залежностей І=Іі(r), k=ki(r) при для моделі k=k0rci/r.
рення від критичного градієнта та значення , при якому вся область буде
збуреною: , що є, в деякому розумінні, середнім значенням градієнта вихідної
задачі.
На рис. 2.1, для прикладу, зображені графіки зміни градієнтів напору
та коефіцієнта фільтрації ґрунту
в збурених та незбурених зонах для даної моделі. Як бачимо зростання
коефіцієнта фільтрації ґрунту завдяки вимивання суфозійних частинок із зони в
порожнину дрени приводить до перерозподілу градієнтів: для вони стають більші
за початкові, , а для – менші, тобто область із градієнтами розповсюджується
від дрени в масив фільтрації. Таке явище, в даному випадку, відбувається до
моменту, коли градієнти напору стають меншими або рівними .
З метою врахування розвитку суфозійних процесів, а, отже, зміни коефіцієнта
фільтрації в часі, нами пропонується доповнити модельну задачу (2.1) – (2.2)
наступним чином. Розглядаючи елементарний об’єм пористого середовища, яке
містить як рідину, так і суфозійні (тобто рухомі) частинки, приходимо до
загального рівняння балансу маси для осесиметричної фільтрації
, (2.7)
де , – відповідно щільність води та частинок ґрунту; – пористість ґрунту; –
кількість (по об’єму) суфозійних частинок в одиниці об’єму ґрунту; – дійсна
(фактична) середня швидкість води в порах; – швидкість руху суфозійних
частинок. На відміну від процесів, наприклад, масообміну [159, 254, 231], в
суфозійних процесах (діаметр суфозійних частинок більший за 0,03 мм)
перетворення маси однієї компоненти в масу іншої не відбувається, тому загальне
рівняння балансу розкладається на два незалежні
(2.8)
а звідси приходимо до необхідності введення, крім рівняння руху рідини (закону
Дарсі), ще і рівняння для швидкості руху суфозійних частинок. Виконаний нами
аналіз дослідних даних та відповідних теоретичних розробок показує, що
швидкість суфозійних частинок можна визначити за формулою
, (2.9)
де – дійсна середня швидкість води в порах, при якій починається рух частинки.
Тепер, приймаючи рівняння стану: і переходячи від дійсних середніх швидкостей
до фіктивних за формулою , отримуємо систему двох рівнянь з частинними
похідними
- Київ+380960830922