розділ 2.9.
Реалізація цієї простої ідеї вимагає досить громіздких конструкцій; тому ми
вирішили спершу дати окремий випадок, в якому є достатнім простіший метод
доведення.
5.2. Визначальні характеристики системи
Розглянемо систему масового обслуговування з повторними викликами, що
характеризується пуассонівським вхідним потоком з параметром , функцією
розподілу часу обслуговування ; ; середнім часом обслуговування Позначимо .
Також позначимо через розподіл циклу перебування вимоги на орбіті; .
Нашою метою є встановлення умов, за яких деякий вкладений ланцюг Маркова, що
характеризує дію системи, має ергодичний розподіл.
5.3. Система RQ з експоненціальним розподілом часу
перебування заявки на орбіті
Щоб проілюструвати суть справи, у цьому параграфі ми розглянемо найпростіший
випадок: час заявки на орбіті – експоненціально розподілена випадкова величина
з параметром . Таким чином, якщо у даний момент часу на орбіті знаходиться
заявок, то час до першого повернення якоїсь із них – експоненціальний, з
параметром . Нехай – число заявок на орбіті після закінчення -го
обслуговування. Очевидно, ) – однорідний ланцюг Маркова.
Припустимо, що . Існує дві можливості:
До того, як надійде нова заявка, якась заявка повернеться з орбіти. У цьому
випадку
де - число заявок, що надійдуть до системи за час -го обслуговування;
Першою надійде нова заявка. Тоді
Обчисливши математичне сподівання, дістанемо
Маємо
Звідси
Припустимо, що і фіксуємо . Тоді при досить великому маємо
водночас
при будь-якому Крім того
Таким чином, для ланцюга Маркова справджуються всі умови теореми Мустафи, і
отже, цей ланцюг Маркова ергодичний.
Наведений приклад добре відомий [155].
5.4.Умова ергодичності для системи M/G/1 з повторенням
заявок при негратчастому розподілі циклу на орбіті
Наведемо достатню умову ергодичності ланцюга Маркова, що випливає з теорії
рекурентних подій [7], а також з умови досяжності (accessibility) для ланцюга
Маркова з довільною множиною станів [50]. Ця умова являє собою деяке
переформулювання в інших термінах теореми, наведеної в Додатку 1.
Нехай – однорідний ланцюг Маркова, де – “основна” компонента, – “додаткова”
компонента, що набуває значень з евклідового простору розмірності, що залежить
від значення основної компоненти, причому, якщо , то ця розмірність – нульова,
тобто в цьому випадку не визначається.
Лема 5.1. Нехай знайдуться такі натуральні числа та додатні числа що
виповнюються оцінки
,
та
Тоді ланцюг Маркова ергодичний.
Позначимо через момент закінчення -го обслуговування. Введемо ланцюг Маркова ,
де – кількість заявок на орбіті після закінчення -го обслуговування, , де –
час, що пройшов з початку останнього циклу на орбіті -ої з заявок, які там
знаходяться, до моменту .
Теорема 5.1. Нехай виконано наступні умови:
1. ;
2. – негратчаста функція розподілу;
3. Для деяких і
(5.1)
для будь-якого при якому Тоді ланцюг Маркова має ергодичний розподіл.
Перш ніж доводити теорему, відзначимо важливі окремі випадки, коли
виконуються нерівність (5.1).
Випадок 1. Час на орбіті обмежений сталою . Дійсно, в цьому випадку
при ; таким чином
отже (4.4) виконується при , .
Випадок 2. – “старіюча” функція розподілу, тобто, така функція, що не спадає
при . Дійсно, взявши , для якого , отримаємо нерівність (5.1).
Випадок 3. – суміш показникових функцій розподілу. Маємо формулу ; отже
Умови 2 і 3 справджуються, наприклад, якщо час на орбіті має один з наступних
розподілів: рівномірне, гамма або Вейбулла з параметром форми (зокрема,
показниковий розподіл).
Теорема не дає відповіді на питання про ергодичність у випадку, коли час на
орбіті є сталою величиною .
Доведення теореми 5.1. Фіксуємо деяке та розглянемо поведінку системи
обслуговування в інтервалі , припускаючи, що . У момент на орбіті знаходиться
заявок. Кожна з них породжує потік можливих моментів повернень з орбіти. Таким
чином, маємо рекурентні потоки з запізненнями , де .
Позначимо тривалості перших обслуговувань заявок після моменту . Покладемо ,
якщо -е після моменту обслуговування починається в деякий момент з множини ,
якщо воно починається в момент надходження нової заявки або повернення з орбіти
заявки, що надійшла до системи пізніше моменту . Тоді справджується стохастичне
рекурентне рівняння
, (5.2)
де - кількість нових заявок, що надійшли за час -го обслуговування після
моменту , . Позначимо також через момент початку -го обслуговування. Тоді можна
записати
(див. Рис.5.1).
Рис. 5.1. Процес обслуговування
Лема 5.2. Нехай – число різних , , для кожного з яких в інтервал потрапить
принаймні одна точка , . Тоді за умов теореми знайдеться таке , що при
довільних та
рівномірно відносно та .
Доведення леми 5.2. Математичне сподівання числа подій потоку в інтервалі , де
, не менше, ніж
де – функція відновлення процесу відновлення (без запізнення), побудованого за
розподілом інтервалів. Внаслідок локальної теореми відновлення [23]
, (5.3)
де – середній час перебування заявок на орбіті. Скінченність випливає з
нерівності (5.1); дійсно, цю нерівність можна переписати як
і отже
Позначимо через ймовірність події {хоч би одна подія потоку потрапить в
інтервал }. Маємо
Враховуючи (5.3), отримаємо нерівність
, , (5.4)
де . Таким чином, є сумою незалежних випадкових величин, що приймають значення
1 та 0, з оцінкою (5.4) дл
- Київ+380960830922