Методи і засоби підвищення якості обслуговування в комп'ютерних мережах, що динамічно реконфігуруються

ГЛАВА 2
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ОБЪЕДИНЕННЫХ КОМПЬЮТЕРНЫХ СЕТЕЙ
2.1. Характер сетевого трафика в современных компьютерных сетях
Последние исследования различных типов сетевого трафика
[[clii],[cliii],[cliv],[clv],[clvi],[clvii],[clviii]] в компьютерных сетях
доказывают, что сетевой трафик является самоподобным (self-similar) или
фрактальным (fractal) по своей природе, то есть в нем присутствуют так
называемые вспышки или пачки (burst) пакетов, наблюдаемые в различных временных
интервалах (от милисекунд до минут или даже часов).
Математическое определение самоподобного (фрактального) стохастического
процесса основано на прямом масштабировании непрерывной переменной во времени.
Стохастический процесс X(t), считается статистически самоподобным с параметром
H (0.5 ? H ? 1) [[clix]], если для любого вещественного числа a>0, процессы
X(t) и a-HX(at) будут иметь идентичные распределения, то есть обладать
одинаковыми статистическими свойства для всех положительных целых n.
Математически это можно выразить следующими условиями [[clx]]:
• среднее ,
• дисперсия ,
• функция автокорреляции ,
где H - параметр Херста или параметр самоподобия (self similarity) указывает на
степень устойчивости статистического явления или меру длительности долгосрочной
зависимости стохастического процесса. Значение H = 0.5 указывает на отсутствие
самоподобия или долгосрочной зависимости. Значения H близкие к 1 указывают на
большую степень самоподобия или долгосрочную зависимость (long-range dependent,
LRD) процесса. Это обозначает, что если процесс, характеризующийся долгосрочной
зависимостью, имеет тенденцию к увеличению (или уменьшению) в прошлом, то с
большой вероятностью он будет иметь тенденцию к увеличению (или уменьшению) в
будущем.
В работе [158] показано, что процессом, удовлетворяющим данному определению
самоподобия, является процесс дробного броуновского движения. Процесс дробного
броуновского движения BH(t) с параметром Херста H(0способом [[clxi]]:
Функция BH(t) непрерывна.
Функция BH(0)=0.
Для любых tі0 и d>0 приращение BH(t+d) - BH(t) подчиняется нормальному
распределению со средним значением 0 и дисперсией d 2H.
Самоподобный стохастический процесс можно определить при помощи медленно
затухающего распределения или распределения с «тяжелыми хвостами»
(heavy-tailed). Говорят [160], что распределение случайной переменной Х
медленно затухает, если
1-F(x)=Pr[X>x] ~ 1/xa , при x®Ґ, 0Самым простым и наиболее используемым распределением является распределение
Парето:
где б - параметр формы, характеризующий, будет ли распределение иметь конечное
или бесконечное среднее и дисперсию, и в - параметр нижней границы (минимальное
значение случайной величены x).
Плотность распределения Парето задается функцией:
для x > в и б > 0,
f(x)=F(X)=0
для x ? в.
Параметр б определяет среднее и дисперсию x следующим образом:
для б ? 1 распределение имеет бесконечное среднее;
для 1 ? б ? 2 распределение имеет конечное среднее и бесконечную дисперсию;
для б ? 2 распределение имеет бесконечную дисперсию.
Также существует отношение между параметрами б и H:
Другой концепцией, связанной с самоподобием, является медленно затухающие
рас­пределения или распределения с «тяжелыми хвостами» (heavy-tailed
distributions). По существу, самоподобный стохастический процесс можно
определить при помощи таких распределений, причем подобный класс процессов
подразумевает больше, чем предыдущие формулировки.
Медленно затухающие распределения могут использоваться для представле­ния
плотности вероятностей, описывающих процессы передачи данных, такие как
интервалы между поступлениями пакетов и продолжительности передачи пакетов.
Считается, что распределение случайной переменной X медленно затухает, если:
при x®Ґ, 0В работе [[clxii]] приводятся результаты детальных измерений трафи­ка в сетях
Ethernet с высокой точностью измерения времени, которая составляла 20 мкс.
Данные состоят из четырех множеств данных измерений Ethernet-трафика,
произведенных на протяжении от 20 до 40 последовательных часов и состоящих в
общей сложности из более чем 100 миллионов пакетов. Данные были собраны на
различных локальных сетях Ethernet лабораторией Bellcore. Опираясь на множество
статистических тестов, авторы приходят к выводу, что Ethernet-трафик является
самоподобным с параметром Херста Н = 0,9.
В распределении с высокой дисперсией диапазон временных интер­валов может быть
достаточно широким с большим количеством коротких всплесков, большим
количеством длинных всплесков и небольшим количеством очень долгих всплесков.
В ряде последних работ [[clxiii]] по исследованию трафика сети Интернет
показано, что трафик, формируемый веб-браузерами, является самоподобным.
Исследователи моделировали каждый веб-браузер и обнаружили, что данные очень
хорошо соответствуют распределению Парето. Для различных наборов измерений
исследователи нашли соответствующие распределения Парето с параметром a в
диапазоне от 1,16 до 1,5.
В [[clxiv]] сообщается об исследовании широкого спектра TCP-трафика, а также об
изучении FTP- и TELNET-трафика, передаваемого по TCP-соединениям. Были сделаны
следующие общие выводы:
* В используемых обычно пуассоновских моделях существенно недооцени­вается
неравномерность TCP-трафика в широком диапазоне временных шкал.
* Для интерактивного TELNET-трафика поступления соединений хорошо моделируются
пуассоновским распределением. Однако предположение о пуассоновском
распределении поступления пакетов, а именно об экспо­ненциальном распределении
интервалов времени между поступлениями пакетов,