РОЗДІЛ 2
Аналіз взаємодії деформаторів з ґрунтом
Рівняння механіки суцільних середовищ, критерії оцінки
Загальні положення
Під дією ґрунтообробних робочих органів у ґрунті виникає об’ємний
напружено–деформований стан, який залежить від величини і розподілу зовнішнього
навантаження та фізико–механічних властивостей ґрунту.
Напружено-деформований стан ґрунту, як суцільного середовища в загальному
випадку характеризується тензорами напружень і деформацій та їх інваріантами.
Повний тензор напружень або деформацій являє собою суму гідростатичної та
девіаторної їх складових: 112
2323
де - компоненти нормальних та зсувних напружень, лінійних та кутові деформацій,
а також гідростатичні напруження та об’ємні деформації, відповідно.
Інваріанти тензорів напружень та деформацій, які не залежать від положення
системи координат в якій розглядається напружено-деформований стан мають
вигляд:
4435
В загальному випадку напружено-деформований стан суцільного середовища може
бути визначений на основі вирішення трьох груп рівнянь.
Перша група включає статичні рівняння рівноваги та умов на поверхні:
6547
де - напрямні косинуси зовнішньої нормалі до поверхні, яка обмежує середовище.
Друга група рівнянь включає геометричні рівняння: рівняння зв’язку переміщень з
деформаціями (рівняння Коші) та рівняння суцільності середовища (
характеризують сумісність та нерозривність деформацій ).
Для першої фази деформацій (до настання пластичних незворотніх деформацій):
8659
де - компоненти переміщень точок середовища.
Для другої фази деформацій (пластична течія):
; ; ; ; ; . 107611
Для вирішення задач взаємодії робочих органів ґрунтообробних машин з ґрунтом
складовими другого порядку в рівняннях (2.1.5) можна нехтувати (таке спрощення
вважається коректним [16,80,83], оскільки деформації ґрунту при яких настає
пластична течія на один – два порядки нижче одиниці [43,108].
Рівняння суцільності середовища:
128713
Для швидкостей деформацій справедливі вирази (2.1.4-2.1.6), в яких замість
переміщень входять компоненти швидкостей переміщень .
Третя група рівнянь – це фізичні рівняння, які характеризують суцільне
середовище та містять функціональні зв’язки напружень з деформаціями.
Ця група рівнянь може бути представлена реологічними рівняннями стану ґрунту.
Наведені рівняння, разом з фізичними, включають 15 невідомих.
Рішення рівнянь (2.1.3)- (2.1.6) у сукупності із фізичними рівняннями зв’язку
напружень з деформаціями можна виконати різними способами в залежності від
того, які величини прийняті за невідомі та від початкових умов:
* рішення у напруженнях (швидкостях переміщень), коли на поверхні задані
напруження – пряма задача:
;
* рішення у переміщеннях (швидкостях переміщень), коли на поверхні задані
переміщення ( швидкості переміщень) – обернена задача:
* змішана задача, коли відомі деякі з переміщень (швидкостей переміщень) та
деякі з напружень.
Умови постановки задач взаємодії робочих органів ґрунтообробних машин
відповідають постановці оберненої задачі, оскільки початковими умовами є
кінематика робочого органа ґрунтообробної машини.
Фізичні рівняння зв’язку напружень з деформаціями у ґрунті
Для аналізу напружено-деформованого стану ґрунтового середовища, представленого
у вигляді суцільного пружно-в’язко-пластичного середовища, необхідне
використання фізичних рівнянь зв’язку напружень з деформаціями, які найбільш
адекватно відображають реальний процес деформування ґрунту під дією напружень,
що в ньому виникають.
Найбільш адекватною є формалізація ґрунту як суцільного середовища з
властивостями пружності, в’язкості та пластичності
[3,14,30,57,91,93,134,135,136,203,204]. Для виконання аналізу адекватності
фізичних рівнянь зв’язку напружень з деформаціями ґрунту необхідно визначити
фізичні рівняння для цих механічних моделей. Фізичні рівняння для суцільного
середовища в залежності від наявності таких властивостей, як в’язкість,
пружність та пластичність, можуть бути представлені механічними моделями
суцільного середовища, які складаються з трьох основних елементів: тіла Гука,
тіла Н’ютона та тіла Сен-Венана (рис.2.1) та мають такі зв’язки напружень з
деформаціями:
* тіло Н’ютона (рис.2.1.а.):
, ; 149815
* тіло Гука (рис.2.1.б):
,,; 1610917
* тіло Сен-Венана (рис.2.1.в.):
, , 18111019
де , -- компоненти напружень,
,,,,-- компоненти деформацій та швидкостей деформацій, відповідно,
, -- граничне значення пластичності середовища,
-- коефіцієнт Пуассона,
-- модуль пружності при зсувних деформаціях,
-- об’ємний модуль пружності,
, -- модуль в’язкості об’ємних та зсувних деформацій, відповідно.
Рис.2.1. Елементи механічних моделей суцільного середовища
Найбільш поширеними механічними моделями суцільного середовища є тіла Максвела,
Бінгама, Кельвіна-Фойгта, Гольдштейна, Вялова та інші більш складні
багатоелементні моделі. Графічне зображення таких механічних моделей наведено
на рис. 2.2.
Ці моделі являють собою послідовно або паралельно з’єднані елементи тіл Гука,
Н’ютона та Сен-Венана. При складанні механічних моделей в разі паралельного
з’єднання елементів сумуються напруження для відповідних елементів, що входять
в модель, а в разі послідовного з’єднання – деформації. Для побудови фізичних
рівнянь для складних тіл необхідно виразити величини деформацій та їх похідні
по часу з рівнянь (2.1.7)-(2.1.9).
Рис.2.2.Механічні моделі суцільного середовища: а -- Кельвіна-Фойгта, б --
Максвела, в -- Бінгама, г – Бінгама „Н” з послідовно з’єднаним елементом Гука,
д -- тіло Вялова, е – тіло Гольдштейна, ж-- тіло Кушнарьова, з – тіло