РАЗДЕЛ 2
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССА
ГРОХОЧЕНИЯ
2.1. Математическая модель кинетики грохочения
Рассмотрим математическую модель кинетики процесса грохочения на примере
двухситного грохота. Это позволит сравнительно просто описать основные
модельные представления кинетики. Сверх того, при незначительных ее изменениях,
о которых будет сказано ниже, возможно моделирование и процессов, происходящих
как на одно-, так и многоситных грохотах.
Расчетная схема процесса грохочения приведена на рис. 2.1. Грохот имеет верхнее
сито 1 и нижнее – 2. Грохотимый материал 3 подают на верхнее сито 1. В
результате вибрационного воздействия происходят сегрегация и просеивание –
получают три различных по крупности продукта, один из которых остается на сите
1, второй на сите 2, а третий проходит через его отверстия. Вследствие
вибротранспортирования продукты разделения перемещаются в зону разгрузки,
причем высота слоя изменяется по длине сита: на сите 1 уменьшается, а на сите 2
может, как увеличиваться, так и уменьшаться. Проведем две плоскости: первую –
через начало сита, а вторую – на расстоянии от нее. Грохотимый материал,
находящийся на ситах 1, 2 и ограниченный этими плоскостями, назовем контрольным
объемом 4. Начальная высота материала на сите 1 равна
, (2.1)
где – массовая производительность по питанию;
– насыпная плотность;
– скорость вибротранспортирования при высоте ;
– ширина сита.
Рис. 2.1. Расчетная схема процесса грохочения:
а) – составляющие процесса; б) – вероятности переходов;
1 и 2 – верхнее и нижнее сито; 3 – грохотимый материал; 4 – контрольный
объем; 5 и 6 – элементарные слои
Материал на ситах 1 и 2 по высоте разделим на элементарные слои 5 и 6, высоты
которых и примем равными длинам свободного пробега частиц минусовой крупности.
Сита 1 и 2 условно назовем слоями и , а пространство под ними соответственно –
слоями и . Здесь и далее цифра, стоящая за буквой, означает номер сита, к
которому относится величина. Всем элементарным слоям присвоим индекс . Их
нумерацию , , … выполним сверху вниз. Пусть сита 1 и 2 имеют отверстия размером
и . Частицы крупностью, + и обозначим , где .
Распределения частиц , и по высоте контрольного объема описываются n – мерными
векторами , и вероятностей состояний, компонентами которых являются
вероятности
(2.2)
где t – время;
и соответственно массы указанных частиц в i-ом слое и в контрольном объеме.
Далее символ времени опускаем.
Определим, как изменяется вектор вероятности состояния в процессе
транспортирования контрольного объема вдоль сита, что в конечном итоге позволит
вычислить технологические показатели грохочения.
Под действием вибрации частицы с вероятностью переходят из элементарного слоя в
слой . Переход совершается за время , кратное периоду колебаний. Это событие
назовем шагом . Предположим, что вероятность перехода на шаге не зависит от ее
значения на шаге . При таких допущениях грохочение является дискретным
марковским процессом с дискретными состояниями (цепь Маркова). Распределение
частиц на -ом шаге описывается выражением [72, 132–139]
(2.3)
где – вектор-строка вероятностей начального состояния;
– стохастическая матрица размера . Далее размер будем обозначать буквой с
указанием в скобках матрицы, т. е. .
Вектор вероятностей начального состояния и стохастическая матрица имеют вид
, , (2.4)
, ; (2.5)
где
; ;
– количество элементарных слоев на верхнем сите;
– блок , все элементы которого кроме равны нулю;
– максимальное количество элементарных слоев на нижнем сите; текущее значение
будем записывать без штриха;
– нулевой блок ;
;
;
Пример стохастической матрицы размера 8 х 8 приведен на рис. 2.2.
В блоке вероятности переходов описывают: сегрегацию в материале на верхнем сите
(); попадание частиц в отверстия сита (,); забивание отверстий сита ();
самоочистку сита (, ).
Поскольку частицы из слоя грохотимого материала, находящегося на верхнем сите
s1, не могут перейти в материал, расположенный на нижнем сите, иным путем, как
только через отверстия сита s1, то по этой причине все элементы блока кроме
равны нулю.
Блок описывает процессы на нижнем сите s2: сегрегацию (); попадание частиц в
отверстия сита (, ); прохождение их через отверстия (,); забивание () и
самоочистку сита (, ). Частицы не могут напрямую попасть под сито s2, не пройдя
через его отверстия, поэтому элементы с индексами и равны нулю. Так как частицы
из под сита s2 не возвращаются назад в слой на сите, то (здесь ). Точно также
частицы, находящиеся на сите s2, не могут вернуться на сито s1, потому в блоке
все элементы нулевые.
а)
б)
в)
Рис. 2.2. Стохастическая матрица 8 х 8 на различных этапах грохочения:
а) – начальная матрица при е1=3 и е2=1;
б) – матрица после уменьшения высоты слоя (е1=2) на верхнем сите;
в) – матрица после уменьшения высоты слоя (е1=2) на верхнем сите и
увеличении на нижнем (е2=2)
Элементы вектора состояния и матрицы должны удовлетворять условиям нормировки
[72, 132, 133]
и . (2.6)
После к шагов на верхнем сите остались частицы , и , массы которых
соответственно равны
где – содержания частиц в исходном грохотимом материале;
– масса всех частиц в контрольном объеме.
С учетом этого высота сл