РОЗДІЛ 2
ДОСЛІДЖЕННЯ ПРОЦЕСІВ ВЗАЄМОДІЇ ПОТУЖНОГО ІМПУЛЬСУ СТРУМУ З КОНДЕНСОВАНОЮ РЕЧОВИНОЮ
2.1. Теоретичне дослідження радіальної однорідності
2.1.1. Радіальні розподіли швидко змінних струмів і полів у циліндричних провідниках. Досліджуємо радіальні неоднорідності, виникаючі в циліндричному провіднику при швидкому "включенні" струму I(t) ~ ebt або "виключенні" I(t )~ e-bt, де b - коефіцієнт наростання або убування струму.
Процес дифузії електричного поля напруженістю можна описати рівнянням
,
де ? - магнітна проникність;
? - електропровідність.
У циліндричних координатах для подовжньої компоненти електричного поля Ez і, відповідно, z - компоненти густини струму j=?Ez рівняння дифузії має вигляд
. (2.1)
Підставимо в праву частину рівняння (2.1) похідну . Розв'язок рівняння шукатимемо у вигляді ряду
. (2.2)
Значення густини струму на осі провідника j(0,0) можна визначити з умови
. (2.3)
Підставляючи ряд (2.2) в рівняння (2.1) і прирівнюючи коефіцієнти при однакових ступенях r, одержимо розв'язок рівняння дифузії у вигляді
, (2.4)
де - глибина проникнення поля (або струму) в провідник (товщина скін-шару).
За початковий прийнятий момент часу, в який Визначимо j(0,0) з виразу (2.4)
. (2.5)
Вираз (2.4) - це дві різні функціональні залежності, які відповідають зростанню і падінню струму. При зростанні струму [147]
. (2.6)
При , як випливає з виразу (2.6), має місце скін-ефект.
У разі різкого убування струму вираз (2.4) має вигляд [147]
, (2.7)
де - функція Беселя першого роду;
j(0,0) визначено виразом (2.5).
З (2.7) витікає, що при різкому спаді і виконанні співвідношення 2 < (( - перше коріння ) струм, навпаки, тече по всьому провіднику, а в поверхневому шарі густина струму менше, ніж на осі [147].
2.1.2. Зворотний скін - ефект. У п. 2.1.1. показано, що при експоненціальному законі зміни струму (~) розподіл густини струму залежить від того, зростає струм або убуває. Проте частіше за все поле і струми, які течуть в електричному колі, мають коливальний характер. Тому інтерес представляє аналітичний розв'язок рівняння дифузії магнітного поля для випадку, коли нестаціонарна гранична умова на поверхні провідника радіусу а має вид синусоїдальної функції.
Процес дифузії магнітного поля в нескінченно довгий циліндричний провідник можна описати рівнянням дифузії
, (2.8)
де - магнітна індукція.
Скориставшись методом розділення змінних і виразом = B(r)b(t), одержимо два рівняння
, (2.9)
, (2.10)
де - власні значення, які можна визначити з граничної умови
B(а,t)= B0sin?t.
Власні функції для системи рівнянь (2.9), (2.10) мають вигляд
, (2.11)
де С - константа;
I(r,?) - функція Бесселя першого роду.
Константу С визначимо з умови
.
Для визначення залежності власних значень від частоти розкладемо часові складові власних функцій і у ряди. Виносячи загальний множник, одержимо рівняння
.
Сума ряду дорівнює нулю, коли всі коефіцієнти ряду рівні нулю. Тоді шукане рівняння можна переписати у вигляді
. (2.12)
Добуваючи коріння (2к+1) -го ступеня і умножаючи (2.12) на , одержимо
, (2.13)
де .
Оскільки при , то .
Власні значення, які визначені рівнянням (2.13), є ,
де . Оскільки значення l достатньо швидко сходяться до одиниці, приймемо , або , де глибина проникнення поля
. (2.14)
Одержаний вираз для товщини скін-шару (2.14) відрізняється від відомого (див. (1.2) ) [87] - в раз.
Враховуючи непарність радіальної частини функції (2.11), необхідно вибрати позитивне власне значення ?1.
Оскільки , то загальний вигляд одержаного наближеного розв'язку при зростанні поля на поверхні провідника ()
, (2.15)
а при убуванні () -
, (2.16)
де , ,
- функція Бесселя першого роду.
При для зшивання функцій B1(r,t) і B2(r,t) використовуємо вираз
.
Одержимо радіальний розподіл густини струму, використовуючи рівняння Максвела , з якого знаходимо густину струму. У циліндричних координатах , тоді
, , (2.17)
, , (2.18)
.
Хай провідник має радіус a0 = 0,52 мм і початкову електропровідність 105 См/м. При частоті коливань ? = 108 Гц і амплітуді зовнішнього магнітного поля В0 = 54 Тл радіальні розподіли індукції магнітного поля і густини струму в різні моме