РОЗДІЛ 2
ПОБУДОВА УЗАГАЛЬНЕНИХ СПЕКТРІВ
2.1. Знаходження узагальнених спектрів на основі квадратурних формул.
Спектральні методи дають можливість розв'язувати задачі в тому випадку, коли функції, що входять в математичну модель опису фізичного процесу, зображаються збіжними рядами за даним базисом. Серед спектральних базисів заслуговують на увагу базиси многочленів Якобі та Чебишева-Лагерра де - вільні параметри, - порядок многочлена, (. Значна частина досліджень властивостей розкладу функцій за многочленами Якобі вивчена достатньо добре і подана в кандидатській дисертації автора та роботах [3,13,14,66,91,92,94,95,103]. Тому надалі в роботі розглядається, в основному, базис Чебишева-Лагерра та подаються нові результати, отримані для многочленів Якобі.
В теорії ортогональних рядів відомі теореми, в яких сформульовано умови збіжності. Зокрема для многочленів можна відзначити [153, 158, 159].
Теорема 2.1. Якщо і функція задовольняє умови:
1) ;
2) в околі фіксованої точки задовольняє умову Ліпшіца
3) існують інтеграли
то ряд Фур'є за многочленами Чебишева-Лагерра функції збіжний до цієї функції в точці .
Теорема 2.2. Якщо і функція задовольняє умови 1) та 2) попередньої теореми, а також існують інтеграли
то має місце розклад
(2.1)
де - гамма-функція Ейлера.
Наведені теореми дають можливість розв'язувати досить широкий клас прикладних задач. Спектральні методи розв'язування задач зводяться до обчислення узагальнених спектрів, а способи їх обчислення залежать від виду вхідної інформації. Якщо апроксимуюча функція задається аналітично, то параметричне зображення узагальненого спектру ряду (2.1) є
(2.2)
При заданні вхідних значень в дискретній формі, тобто відомі значення , для знаходження узагальнених спектрів можна використати квадратурні формули для обчислення інтегралу (2.2), метод найменших квадратів або ж інші способи [41, 52-54,63,70]. В деяких випадках у залежності від вхідної інформації можна вказати оптимальні в класі формули для обчислення узагальнених спектрів.
Нехай многочлени ортогональні на проміжку і функція подається ортогональним рядом за даними многочленами
(2.3)
Відомо [11,153,159], що -ий ортогональний многочлен має дійсний корінь, який належить до проміжку ортогональності. Тоді для обчислення узагальнених спектрів має місце оптимальна в квадратурна формула [41, 54, 63,105]
(2.4)
де - корені рівняння а
У вимірювальних приладах інформація, як правило, фіксується у рівновіддалених точках в той час, як корені многочленів, що входять в квадратурні формули типу розміщені на проміжку ортогональності, в загальному, нерівномірно. Тому, щоб використати формулу для обчислення коефіцієнтів, зокрема, Фур'є-Якобі, необхідно, щоб значення функції , що розкладається, були задані в коренях відповідного многочлена Якобі. Тоді для обробки еквідистантних даних необхідно знайти залежність, яка давала б можливість переводити рівновіддалені точки у відповідні корені многочленів Якобі [66,94,107].
Якщо проміжок ортогональності [-1,1] перевести в за формулою
то корені
(2.5)
будуть майже рівномірно (з точністю до кількох значних цифр) розміщені на проміжку . Звідси й слідує спосіб переведення рівномірної шкали в корені для многочлена Якобі.
Лінійною заміною
(2.6)
значення переведемо в корені так, щоб переходило в , а в . Тоді формула (2.6) буде мати вигляд
Переходячи в останній формулі до змінної , дістаємо
(2.7)
Формула (2.7) дає можливість перевести точки рівномірної шкали в точки які є коренями многочлена .
Для прикладу розглянемо рівномірну шкалу . Результати обчислень для відображено в таблиці 2.1, де - точне значення кореня, - значення кореня, обчислене за формулою (2.7), а
.
Таблиця 2.1
Точні та наближені значення коренів, обчислені за формулою (2.7) для
iнаближенеточне123.09201-0.99877-0.998770.000002243.02727-0.99347-0.993530.0057362.96254-0.98401-0.984120.011482.89781-0.97043-0.970590.0165102.83307-0.95278-0.952980.0216122.76834-0.93114-0.931380.0257142.70361-0.90561-0.905870.029
Як видно з наведених результатів, формула (2.7) дає можливість отримати 3-4 точних цифри значень коренів многочленів Якобі.
Коефіцієнти залежать від значень коренів і значень функції . Як показує обчислювальний експеримент, похибка в значеннях має значно менший вплив на точність обчислень , ніж похибка в визначенні значень коренів . Якщо врахувати, що при реальних вимірюваннях значення визначаються з деякою похибкою (в основному не більше 3-4 точних значних цифри), то формула (2.7) дає можливість задовільно переводити точки в корені . Тому будемо вважати, що значення функції задаються в відповідному -му корені многочлена Якобі.
Стосовно ряду
(2.8)
формула (2.3) буде такою
(2.9)
Тут - корені - го многочлена Чебишева-Лагерра, тобто
Зауважимо, що в залежності від особливостей задачі, зображення сигналу рядом (2.1) можна модифікувати. Наприклад
(2.10)
або
(2.11)
Відповідно до цих представлень модифікується й квадратурна формула (2.9).
Вибір виду апроксимації функції рядом (2.8), (2.10) або (2.11) доцільно проводити на основі апріорної інформації. Якщо відомо, що в околі нуля апроксимована функція має степеневу поведінку з показником , то її доцільно апроксимувати рядом (2.8), якщо, крім того, на безмежності спадає експоненціально - то рядом (2.11).
Многочлени Чебишева-Лагерра мають той істотний недолік, що при великих їхня поведінка наступна [1,11,70,153,159]
Ця властивість многочленів Чебишева-Лагерра значно звужує клас задач, в яких використовується ортогональне перетворення типу (2.2), оскільки виникають обчислювальні труднощі при сумуванні ряду (2.8) для великих . На практиці ця проблема розв'язується введенням масштабного множника. Одна