РАЗДЕЛ 2
ОБОБЩЕННЫЕ МОДЕЛИ АВТОРЕГРЕССИИ, СКОЛЬЗЯЩЕГО СРЕДНЕГО,
АВТОРЕГРЕССИИ–СКОЛЬЗЯЩЕГО СРЕДНЕГО НЕГАУССОВЫХ ПРОЦЕССОВ
Случайный процесс полностью описывается либо набором многомерных плотностей
распределения вероятностей, либо набором кумулянтных или моментных функций всех
порядков. Использование многомерной плотности распределения коррелированных
процессов, за исключением гауссова распределения, крайне затруднено. Это
связано, прежде всего, с проблемой получения многомерных распределений по
известным одномерным распределениям в случае коррелированных процессов. Весьма
сложной практической задачей является также получение выборочных многомерных
плотностей распределения негауссовых процессов.
Использование корреляционной функции, описывающей статистические связи первого
порядка, позволяет решать методом линейного предсказания широкий круг
прикладных задач. На основе моделей линейного предсказания синтезируются
обеляющие и формирующие фильтры, решается задача прогнозирования, получают
параметрические спектральные оценки и т. д. Несмотря на то, что корреляционные
связи являются наиболее важными при описании статистически связанных случайных
процессов, для решения ряда проблем статистического анализа негауссовых
процессов следует учитывать статистические связи более высокого порядка.
Для характеристики статистических связей высших порядков используются
кумулянтные и моментные функции. На основе кумулянтного анализа был получен ряд
полезных результатов [2, 66, 67]. В то же время, кумулянтное описание случайных
процессов, несмотря на свои достоинства в решении некоторых задач, не позволяет
использовать аппарат статистических средних. Это обстоятельство затрудняет его
применение при синтезе систем обработки негауссовых процессов. С этой точки
зрения, более перспективными являются моментные функции для которых
сравнительно легко можно получить необходимые уравнения и соответствующие
оценки параметров. Статистические связи порядка описываются набором моментных
функций порядка .
В данном разделе диссертации разработана теория обобщенных моделей линейного
предсказания стационарных действительных негауссовых процессов. Согласно этой
теории параметры обобщенных моделей рассчитываются либо по моментным, либо по
кумулянтным функциям процесса. Классические модели линейного предсказания
описывают негауссовы случайные процессы в рамках корреляционной теории. В
обобщенных моделях линейного предсказания учитываются негауссовы свойства
случайных процессов. Принципы построения обобщенной модели авторегрессии
распространены на комплексные негауссовы процессы.
В разделе рассмотрены также вопросы преобразования негауссовых случайных
процессов типа белого шума в линейных системах, описываемых обобщенными
моделями авторегрессии и скользящего среднего. Показано, что использование
предложенных обобщенных уравнений авторегрессии и скользящего среднего
позволяет получить уравнения, описывающие преобразования моментных и
кумулянтных функций в таких линейных системах. Эти уравнения совпадают с
найденными в предыдущих подразделах уравнениями для расчета коэффициентов
обобщенных моделей авторегрессии и скользящего среднего. Таким образом, найдено
дополнительное подтверждение предложенных обобщенных моделей линейного
предсказания.
При построении обобщенных моделей линейного предсказания возникает проблема
выбора удобного и наглядного представления многомерных матриц параметров модели
и многомерных моментных матриц, а также упрощения операций над ними. Наиболее
простым способом представления матричных выражений является использование
привычных математических форм, применяемых при построении классических моделей
второго ранга. Поэтому в уравнениях для расчета параметров моделей будут
использоваться векторы-столбцы и двухмерные моментные матрицы. При таком
способе получения уравнений полагаются фиксированными значения свободных
индексов, равных сдвигам моментных индексов.
2.1. Принципы построения обобщенных моделей линейного предсказания
В зависимости от свойств негауссовых случайных процессов их можно моделировать
процессами АР, СС или АРСС. В отличие от обычных моделей линейного
предсказания, параметры обобщенных моделей определяются не корреляционными
функциями, а моментными функциями некоторого порядка . Принципы построения
новых моделей более общие, чем для обычных моделей линейного предсказания.
Обобщенная теория линейного предсказания удовлетворяет принципу соответствия,
согласно которому частные случаи теории органично вытекают из общей теории.
Поэтому модели в обобщенной теории линейного предсказания названы
соответственно обобщенной авторегрессией (ОАР), обобщенным скользящим средним
(ОСС), обобщенной авторегрессией–скользящим средним (ОАРСС). По моментным
функциям -го порядка строятся модели ОАР, ОСС, ОАРСС -го ранга. При построении
обобщенных моделей будем полагать, что процессы имеют нулевое математическое
ожидание.
Векторы параметров моделей ОАР, ОСС, ОАРСС находятся с помощью моментных
функций некоторых порядков. При построении ОАР, ОСС, ОАРСС моделей будем
опираться на следующие положения, предложенные автором диссертации [129],
являющиеся обобщением принципов, лежащих в основе построения обычных моделей
АР, СС, АРСС.
1. Стационарные негауссовы процессы описываются разностными уравнениями
линейного предсказания с постоянными коэффициентами, рассчитанными по моментным
функциям, соответствующих моделям ОАР, ОСС, ОАРСС.
2. Предсказанное текущее значение процесса, полученное в виде взвешенной суммы
предыдущих значений про
- Київ+380960830922