РАЗДЕЛ 2
ОЦЕНИВАНИЕ ПАРАМЕТРОВ В НЕКОТОРЫХ ПРИКЛАДНЫХ МОДЕЛЯХ ТЕОРИИ РИСКА И
РАСПОЗНАВАНИЯ
В этом разделе рассматриваются некоторые новые подходы к проблемам как
параметрического, так и непараметрического оценивания на основании выборочных
наблюдений. При этом учитывается специфика областей приложений применительно к
задачам теории надежности, теории распознавания и оценки риска возникновения
экологических катаклизмов. Если в теории надёжности существенным
обстоятельством является недостаточность статистической информации и задача
состоит в построении параметрических робастных байесовских оценок, то в задачах
моделирования и прогнозирования катострофических наводнений возникает
необходимость построения непараметрической оценки гармонической функции,
описывающей паводок, на основании наблюдений его значений, подверженных
аддитивной помехе. При этом в том или ином вероятностном смысле возникает
задача сходимости оценки полезного сигнала к его истинному виду. Предложенный
метод построения параметрических робастных байесовских оценок оказывается также
полезным при решении некоторых задач теории распознования.
2.1. Анализ подходов к оцениванию параметров при наличии неполной информации
Одним из важных этапов существующей методологии оценивания риска, связанного с
функционированием некоторой системы, является определение параметров, которые
характеризуют надежность отдельных её элементов. К таким параметрам относятся,
например, интенсивность отказов и вероятность отказов, возникающих в момент
поступлення требования на срабатывание оборудования. Точность полученных на
этом этапе оценок параметров в значительной мере влияет на конечный результат –
на оценку риска всего объекта.
Статистические методы, которые широко используются для оценки параметров
стохастических систем, базируются на двух основных подходах: методах
классической выборочной теории и процедурах байесовского оценивания.
Классический выборочный подход обеспечивает получение удовлетворительной оценки
в тех случаях, когда имеется достаточное количество первичной информации.
Однако выборочные методы не всегда пригодны для обработки малых выборок, с
которыми приходится часто иметь дело при оценивании, например, параметров
высоконадежного оборудования. Так, в практике оценивания параметров надежности
оборудования АЭС были случаи, когда для оборудования некоторых видов не было
зарегистрировано ни одного отказа на протяжении многих реакторо-лет.
Использование в таких случаях классических выборочных методов приводит к
неточности оценивания и снижению степени доверия к полученным результатам.
Один из способов преодоления проблемы малых выборок состоит в использовании не
только информации, полученной при проведении текущего исследования, но и в
привлечении к анализу дополнительной информации из различных источников. К
таким источникам относятся результаты предыдущих исследований аналогичного
оборудования, результаты стендовых испытаний, инженерные расчеты и т.п. К
сожалению, классические методы по самой своей сути совершенно непригодны для
того, чтобы одновременно использовать текущую и дополнительную информацию при
проведении статистических выводов.
В отличие от методов выборочной теории, байесовский подход допускает
естественное объединение данных из различных источников для получения оценок
параметров надежности. Обусловлено это тем обстоятельством, что в отличие от
классического при байесовском подходе параметры считаются не константами, а
рассматриваются как случайные величины, которые описываются некоторой априорной
функцией распределения.
К основным элементам байесовского подхода относятся:
выборочная модель f(xi | q) - условная плотность распределения наблюдений
случайной величины Xi, которая зависит от параметра q;
семейство H(q) - априорных распределений параметра q с плотностью h(q);
семейство G(q | x) - апостериорных распределений параметра q, при условии, что
x - фиксировано, с плотностью g(q | x);
функция потерь L(q, d) для оценки решения d.
Априорная плотность распределения h(q) аккумулирует в себе все, что известно о
параметре q до момента получения эмпирических данных. Априорная информация,
трансформированная в априорную функцию распределения, может иметь как
объективный, так и субъективный характер. К объективной априорной информации
можно отнести оперативную информацию о функционировании оборудования в
предыдущие моменты времени, а также информацию, полученную при проведении
соответствующих экспериментов с данным оборудованием. К субъективной информации
можно отнести экспертные оценки, которые базируются на собственном опыте
специалистов, их мнениях и проектных решениях.
На практике, как правило, имеющейся априорной информации не достаточно для
точного определения априорной функции распределения. В этих условиях проблема
выбора априорной функции распределения и вычисления байесовских оценок
становится нетривиальной.
В случаях, когда полностью отсутствует априорная информация относительно
параметра q, или имеется незначительное количество такой информации, используют
неинформативную априорную функцию распределения. В основе такого выбора лежит
“принцип недостаточной причины”, в соответствии с которым распределение на
конечном множестве возможных значений параметра q должно быть равномерным, если
отсутствуют какие-либо основания считать одно значение параметра более
вероятным, чем другое. Этот принцип впервые был сформулирован Джеффрисом
(Jeffreys H.) в роботе [139].
Более распространенной является ситуация, когда в наличии имеется некоторая
информация о неизвестном пара
- Київ+380960830922