Розділ 2
Інтегральні зображення розв'язків крайових задач для диференціальних рівнянь
еліптичного типу
в кусково-однорідних середовищах
2.1. Інтегральні зображення розв'язків крайових задач для диференціальних
рівнянь еліптичного типу в кусково-однорідних циліндричних середовищах
2.1.1. Інтегральні зображення розв'язків крайових задач для диференціальних
рівнянь еліптичного типу в двоскладових циліндричних просторах
Розглянемо задачу побудови обмеженого на множині
-періодичного щодо розв'язку диференціальних рівнянь еліптичного типу другого
порядку зі сталими коефіцієнтами [30, 117, 158, 181]
(2.1)
з крайовими умовами
(2.2)
(2.3)
та умовами спряження [14]
(2.4)
де
,,, – деякі додатні сталі,
– задана обмежена функція,
– шукана функція.
Теорема 2.1. Нехай виконуються умови:
1) функція двічі неперервно диференційовна і має обмежену варіацію за
сукупністю змінних на множині , абсолютно сумовна на проміжку і зникає разом зі
своїми частинними похідними 1-го порядку при ;
2) функція двічі неперервно диференційовна і має обмежену варіацію за
сукупністю змінних на множині , абсолютно сумовна на проміжку і зникає разом зі
своїми частинними похідними 1-го порядку при ;
3) функції абсолютно сумовні з вагою на проміжку і зникають разом зі своїми
частинними похідними 1-го порядку при та ;
4) функції задовольняють умови спряження.
Тоді в класі двічі неперервно диференційовних на множині функцій , що
задовольняють умови 1)-3), еліптична крайова задача (2.1)-(2.4) має єдиний
обмежений розв'язок, який визначається формулами
(2.5)
Доведення. Припустимо, що розв'язок задачі (2.1)-(2.4) існує. Для розглянутої
задачі виконуються умови застосовності залучених нижче інтегральних
перетворень. До задачі (2.1)-(2.4) застосуємо скінченне інтегральне
перетворення Фур'є щодо кутової змінної [182]:
(2.6)
(2.7)
(2.8)
де
Re(…) – дійсна частина виразу (...) щодо
Інтегральний оператор за правилом (2.6) внаслідок тотожності (2.8) крайовій
задачі (2.1)-(2.4) ставить у відповідність задачу побудови обмеженого на
множині розв'язку диференціальних рівнянь
(2.9)
з крайовими умовами
(2.10)
(2.11)
та умовами спряження
(2.12)
де
Застосуємо до задачі (2.9)-(2.12) інтегральне перетворення Фур'є-Бесселя щодо
радіальної змінної r [131]:
(2.13)
(2.14)
(2.15)
де
– циліндрична функція дійсного аргументу 1-го роду -го порядку [116].
Інтегральний оператор за правилом (2.13) внаслідок тотожності (2.15) крайовій
задачі (2.9)-(2.12) ставить у відповідність задачу про структуру обмеженого на
двоскладовій декартовій осі розв'язку звичайних диференціальних рівнянь 2-го
порядку зі сталими коефіцієнтами
(2.16)
з крайовими умовами
(2.17)
та умовами спряження
(2.18)
Застосуємо до задачі (2.16)-(2.18) інтегральне перетворення Фур'є на декартовій
осі з однією точкою спряження щодо змінної z [133]:
(2.19)
(2.20)
(2.21)
де
– одинична функція Гевісайда [4].
При цьому функції задовольняють диференціальні рівняння
крайові умови (2.17) та умови спряження (2.18).
Диференціальні рівняння (2.16) запишемо у матричній формі
(2.22)
та зобразимо інтегральний оператор у вигляді операторної матриці-рядка
(2.23)
За правилом множення матриць застосуємо операторну матрицю-рядок (2.23) до
системи (2.22). Внаслідок тотожності (2.21) одержуємо алгебраїчне рівняння
(2.24)
де
Припустимо, не зменшуючи загальності, що і покладемо всюди Рівняння (2.24)
набуває вигляду
(2.25)
де
Із рівняння (2.25) знаходимо функцію
(2.26)
Оскільки суперпозиція операторів та є одиничним оператором, то оператор
зобразимо у вигляді операторної матриці-стовпця
(2.27)
За правилом множення матриць застосуємо операторну матрицю-стовпець (2.27) до
матриці-елемента , де функція визначена формулою (2.26). Одержуємо єдиний
обмежений розв'язок задачі (2.16)-(2.18):
(2.28)
Застосувавши послідовно до функцій , визначених формулами (2.28), обернені
оператори та , маємо функції (2.5), які визначають єдиний обмежений розв'язок
розглянутої крайової задачі в ортотропному двоскладовому циліндрично-круговому
просторі. У формулах (2.5) беруть участь компоненти фундаментальної матриці
розв'язків
(2.29)
еліптичної крайової задачі (2.1)-(2.4), де
(2.30)
За своїм змістом функціонали в сенсі теорії узагальнених функцій задовольняють
умови [30, 33, 68]:
де
– міра Дірака, зосереджена в точці
– тензорний добуток функціоналів, – символ Кронекера.
Отже,
Виконання крайових умов (2.2), (2.3) очевидне. Умови спряження (2.4)
виконуються внаслідок відповідних властивостей функцій Таким чином, функції
визначені формулами (2.5), є узагальненим розв'язком крайової задачі
(2.1)-(2.4). Єдиність розв'язку (2.5) випливає із його структури та єдиності
компонент фундаментальної матриці розв'язків. При заданій гладкості функцій
(вихідних даних задачі) розв'язок (2.5) є також класичним розв'язком задачі
(2.1)-(2.4) [30, 33, 68]. Теорему доведено.
Відомо [43], що
(2.31)
де
– модифікована циліндрична функція 1-го роду -го порядку,
– модифікована циліндрична функція 2-го роду -го порядку.
Отже, формула (2.30) набуває вигляду
(2.32)
Зауваження 2.1. Якщо , то потрібно покласти і у формулах (2.32) замість писати
.
Наслідок. Якщо функції не залежать від кутової змінної , то згідно з формулами
(2.5), (2.29), (2.32) структуру розв'язку крайової задачі (2.1)-(2.4)
визначають функції
Зазначимо, що інтегральні зображення розв'язків еліптичних крайових задач в
двоскладових циліндричних просторах з порожниною , необмежених двоскладових
циліндричних тілах та необмежених двоскладових циліндричних тілах з порожниною
одержано
- Київ+380960830922