РАЗДЕЛ 2
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ, ОПИСЫВАЮЩАЯ ТРАЕКТОРНОЕ ПОЛЕ ВИБРОМАШИНЫ С НЕОДНОРОДНЫМИ
ПЛОСКИМИ И ОБЪЕМНЫМИ КОЛЕБАНИЯМИ РАБОЧЕГО ОРГАНА
2.1. Системы отсчета и принятые допущения для описания процесса колебаний
Как было показано в разделе 1.4 настоящей работы, характер и параметры
колебаний точек рабочего органа грохота с плоским неоднородным полем колебаний
впервые рассматривались и выбирались с помощью универсальной диаграммы,
полученной А. С. Жгулевым. Универсальная диаграмма позволяет решать задачи как
анализа, так и синтеза колебаний точек рабочего органа с целью выбора
рационального траекторного поля для улучшения показателей процесса грохочения.
Им же были проведены исследования, направленные на изучение динамики рабочего
органа вибромашины с пространственным полем колебаний, однако предложенные
методы расчетов включали допущения о постоянстве отношений угловых скоростей
самосинхронизирующихся вибромашин, причем, эти угловые скорости принимались
равными. Реально во всех случаях упомянутые угловые скорости не равны (что
связано с невозможностью подбора двигателей с абсолютно идентичными внешними
характеристиками и разными кинематическими параметрами точек подвеса
дисбалансов) между собой.
Во всех случаях, вне зависимости от наличия жесткой связи между валами
неуравновешенных масс, при колебаниях точек подвеса дисбалансов возникает
вибрационный момент, который является нелинейной сложной функцией, зависящей, в
том числе, от кинематических параметров точек подвеса дисбалансов; при наличии
жестких связей самосинхронизация достигается принудительно, и упомянутый
вибрационный момент влияет исключительно на нагрузку в связи. При отсутствии
принудительной связи обеспечивается равенство угловых скоростей дисбалансов в
среднем за период вращений (в определении И. И. Блехмана в «медленном
движении»). Мгновенные угловые скорости под воздействием вибрационного момента
не одинаковы (в «быстром движении»), что приводит к нелинейности системы
уравнений, описывающих движение точек рабочего органа. Кроме этого, не
учитывалась и технологическая нагрузка, которая оказывает влияние на
кинематические и динамические параметры рабочего органа вибромашины.
Нами предложена математическая модель, описывающая общий случай расчета
кинематических параметров точек рабочего органа, в которой целевыми функциями
являются кинематические параметры любой точки рабочего органа, а в число
аргументов этой функции включена координата рассматриваемой точки относительно
центра масс системы.
Поэтому в настоящем разделе описан общий случай, который позволяет рассчитать
кинематические параметры точек рабочего органа вибромашины с неоднородными
плоскими и объемными колебаниями в холостом ходу и с технологической
нагрузкой.
Если представить рабочий орган как массив материальных точек, принадлежащих
твердому телу, образующему относительно неподвижного основания голономную
консервативную систему, причем, это тело содержит произвольным образом
расположенную ось, вокруг которой происходит вращение одной несбалансированной
массы, то возможно описание свободного движения такого тела в трех системах
отсчета [150, 151, 152, 153, 154, 155, 156, 157].
Первая система отсчета представляет собой пространственную систему связанных с
телом линейно независимых координат (рис. 2.1), совершающую движение вместе с
телом. Начало этой системы координат удобно принять в центре масс тела.
Рис. 2.1. Связанная с телом система координат
Вторая неподвижная система отсчета сориентирована таким образом, что ее оси
параллельны осям уже введенной нами относительной системы координат при
отсутствии воздействия на исследуемое тело вращающейся несбалансированной
массы. Именно в этой системе отсчета формируется закон движения тела.
Третья система координат жестко связана с относительной системой отсчета и
неподвижна в ней. Оси этой системы снабдим подстрочными индексами с цифрой 2.
При своем формировании она также будет сориентирована особым образом.
Рассмотрим особенности расположения третьей системы координат с целью
дальнейшей унификации этого расположения во всех практических случаях (рис.
2.2).
Во-первых, начало дополнительной системы координат жестко связано с точкой
приложения А циркулирующей силы . Эта сила возникает в результате действия на
тело вращающейся несбалансированной массы и представляет собой центробежную
силу инерции, поэтому точка А является конструктивно заданным параметром.
Во-вторых, ось Ау2 должна быть направлена вдоль вектора угловой скорости
вращения несбалансированной массы. И эта ось, и вектор угловой скорости
вращения несбалансированной массы должны совпадать по направлению.
В-третьих, ось Ах2 этой системы координат должна быть сориентирована вдоль
конструктивной горизонтали. Это еще одно обязательное требование для унификации
дальнейших расчетов и упрощения математических преобразований.
Твердое тело колеблется в глубоко зарезонансной области, поэтому при описании
закона его движения, как показано рядом исследований [158, 159], можно
пренебречь влиянием упругих связей и демпфирующими силами пружин. (Вследствие
того, что эти колебания происходят около положения статического равновесия,
которое достигается противодействием сил тяжести твердого тела и упругих опор,
то их из расчета исключаем).
Рис. 2.2. Расчетная схема вибромашины
На рис. 2.2 видно, что система отсчета Ах2у2z2 развернута по отношению к
абсолютной и относительной системам координат посредством двух последовательных
поворотов. Первый поворот производится на угол азимута a вокруг вертикально