Нелинейные когерентные волновые процессы в системах взаимодействующих фермионов и бозонов

* Содержание
Введение 5
1.1 Актуальность темы и цель работы ...................................... С
1.2 Обзор содержания диссертации.......................................... 7
1.3 Научная новизна и практическая значимость диссертационной работы 28
1.4 Научные положения, выносимые на защиту, апробация и публикации . 31
Интегрируемые динамические системы 35
2.1 Конечномерные гамильтоновы системы в классической и квантовой физике ............................................................... 35
2.2 Бесконечномерные гамильтоновы системы в класической и квантовой
физике .............................................................. 39
2.3 Интегрируемые нелинейные эволюционные уравнения...................... 42
2.4 Квантование.......................................................... 44
2.4.1 Квантование на плоскости Лобачевского ......................... 47
2.4.2 Квантование на сфере........................................... 48
2.5 Когерентные состояния................................................ 49
Конечномерные динамические системы на фазовых пространствах механических систем 54
3.1 Классификация конечномерных систем................................... 54
3.2 Конечномерные системы для двух связанных шаровых волчков .... 60
3.3 Конечномерные системы дія двух связанных волчков (псевдосвклидово
пространство) ....................................................... 73
3.4 Конечномерные системы для волчка и осциллятора ...................... 85
3.5 Конечномерные системы для волчка и осциллятора (псевдосвклидово
пространство) ....................................................... 94
3 6 Конечномерные системы для двух связанных осцилляторов............... 101
3.7 Принцип стационарного действия для конечномерных динамических систем ................................................................... 104
2
3.8 Каноническая форма уравнений Гамильтона для физических систем с
неплоским фазовым пространством................................... 106
3 9 Механическая модель для систем взаимодействующих фермионов и бозонов.................................................................. 109
4 Конечномерные динамические системы для взаимодействующих фермионов и бозонов 111
4.1 Модельные гамильтонианы квантовых систем .......................... 111
4.1.1 Модельные гамильтонианы в теории оптического и магнитного резонансов......................................................... 111
4.1.2 Модельные гамильтонианы в теории фотон-фононного взаимодействия .......................................................... 117
4.1.3 Модельные гамильтонианы в теории сверхпроводимости.......... 117
4.1.4 Модельные гамильтонианы в теории сверхтекучести............. 119
4.2 Канонические кої'ерентньїс состояния для квантовых систем с динамической группой SO(3)................................................... 121
4.3 Канонические когерентные состояния для квантовых систем с динамической группой SO(2.1)................................................. 139
4.4 Гамильтонова форма уравнений движения для квантовых систем . . . 152
5 Квантование классических систем 157
5.1 Квантование системы, состоящей из двух связанных волчков.......... 157
5.2 Квантование системы, состоящей из двух связанных волчков (псевдоев-
клидово пространство)............................................. 161
5.3 Когерентные процессы в системах взаимодействующих фермионов и бозонов ................................................................. 163
6 Бесконечномерные динамические системы для взаимодействующих фермионов и бозонов 165
6.1 Нелинейные эволюционные уравнения для системы взаимодействующих фермионов.............................................................. 165
6.2 Нелинейные эволюционные уравнения для системы взаимодействующих бозонов................................................................ 175
6.3 Нелинейные эволюционные уравнения для систем бозон - бозонного взаимодействия ........................................................... 181
6.4 Нелинейные эволюционные уравнения для систем оптического (магнитного) резонанса........................................................ 183
4
6.5 Нелинейные эволюционные уравнения на двухмерных фазовых поверхностях ................................................................ 185
6.6 Интегрируемость эволюционных уравнений (фермионные системы) . . 188
6.7 Интегрируемость эволюционных уравнений (бозонные системы) .... 194
6.8 Бигамильтоновость эволюционной системы взаимодействующих ферми-
^ онов.............................................................. 200
6.9 Бигамильтоновость эволюционной системы взаимодействующих бозонов 206
6.10 Принцип стационарного действия для бесконечномерных динамических систем..................................................................209
6.11 Трехмерная форма нелинейных эволюционных уравнений.................211
7 Нелинейные когерентные волновые процессы в системах взаимодействующих фермионов и бозонов 215
7.1 Динамические квантовые системы в теории явлений оптического резо-
V нанса ............................................................ 215
7.2 Нелинейные эволюционные уравнения в теории магнетизма. Магнетик Гейзенберга............................................................ 220
7.3 Калибровочная эквивалентность модели Дикке и модели Гейзенберга . 228
7.4 Динамические квантовые системы в теории свсрхпроводимости...........229
7.5 Нелинейные эволюционные уравнения в теории сверхтекучести...........232
7.6 Уравнение непрерывности для физических систем, участвующих в когерентных процессах ....................................................234
7.7 Система гидродинамических уравнений ................................237
щ 8 Частные случаи решений интегрируемых нелинейных эволюционных
уравнений 240
8.1 Стационарные решения нелинейных эволюционных уравнений для фер-
мионных систем.....................................................240
8.2 Стационарные решения нелинейных эволюционных уравнений для бозонных систем...........................................................250
8.3 Солитонные решения эволюционных уравнений...........................257
8.4 Фазовые портреты нелинейных эволюционных систем.....................263
Ф 9 Заключение 266
10 Приложения 269
11 Литература
275
Глава 1
Введение
Идея о колебательной или волновой общности кажущихся непохожими на первый взгляд явлений самой различной природы (механических, электромагнитных, химических, биологических и т.д.) в наше время представляется совершенно естественной. Но тем не менее и сегодня колебательные и волновые процессы, наблюдаемые в различных областях физики, не всегда легко связать с какой-либо одной математической моделью; особенно это относится к нелинейным явлениям. Поэтому и сейчас остается актуальной потребность в построении моделей, системы понятий и представлений, позволяющих ориентироваться в чрезвычайном разнообразии колебательных и волновых процессов, которые встречаются в природе и технике.
На современном этапе исследований колебательные процессы описываются конечномерными динамическими системами (или гамильтоновыми системами), а волновые процессы - бесконечномерными динамическими системами (или нелинейными эволюционными уравнениями). С дальнейшим развитием теории динамических систем пришло понимание, что конечномерные гамильтоновы системы могут быть обобщены до бесконечномерных гамильтоновых систем, уравнениями эволюции которых могут быть нелинейные дифференциальные уравнения в частных производных.
Наиболее общее описание эволюции произвольной физической системы проводится либо в рамках формализма Лагранжа, когда движение системы определяется на конфигурационном пространстве с помощью функции Лагранжа, либо и рамках гамильтонова формализма, когда эволюция физической системы определяется как геометрией фазового пространства, так и заданной на фазовом пространстве функцией Гамильтона. И в том, и в другом представлении решение проблемы описания эволюции физической системы сводится к решению или линейных, или нелинейных дифференциальных уравнений. Но при этом обращение к гамильтонову формализму предоставляет преимущество, так как именно на его основе теория интегрируемых нелинейных
с
дифференциальных уравнений получила наиболее элегантную и продуктивную формулировку. Кроме того, в рамках гамильтонова формализма наиболее прозрачно и корректно осуществляется связь между классическими и квантовыми системами.
Успехи, достигнутые в последние десятилетия в разработке теории нелинейных дифференциальных уравнений, выдвинули на передний план физических исследований нелинейные эволюционные процессы. Тем более, что большое количество физически значимых уравнений - уравнения теории тяготения Эйнштейна, гидродинамические уравнения Эйлера и Навье - Стокса, уравнения нелинейной оптики и т.д. -являются нелинейными уравнениями и могут быть записаны как уравнения движения либо в лагранжевой, либо в гамильтоновой механике.
Многие из интегрируемых нелинейных уравнений имеют большую степень универсальности и встречаются в самых разнообразных областях физики. В целом, нелинейные интегрируемые уравнения имеют широкий диапазон применения: от теории гравитации и квантовой теории ноля, физики плазмы и нелинейной оптики до гидродинамики, теории движения твёрдого тела и физики конденсированного состояния вещества.
Среди множества исследований нелинейных явлений особенное место занимает направление, которое изучает когерентные образования и сложные детерменированные структуры. Когерентные нелинейные процессы и образования исследуются в физике плазмы (ленгмюровские солитоны), в нелинейной оптике (сверхкороткие импульсы), в физике высоких энергий (ударные волны), в физике конденсированного состояния вещества (бозе - и ферми - конденсаты). Явления сверхпроводимости и сверхтекучести, одномодовые лазеры и бозс - эйнштейновский конденсат (совокупность полностью скоординированных атомов) имеют различную природу и обнаруживают себя в средах с различными свойствами, но, с другой стороны, они все проявляют макроскопическое квантовое поведение, которое характеризуется согласованностью или когерентностью протекающих процессов. Описание этих явлений осуществляется на базе разных представлений и с помощью разных уравнений, и для того, чтобы учесть их одинаковое качество - когерентность - необходимо разработать единообразный подход, основанный на единых представлениях и моделях нелинейных эволюционных процессов.
1.1 Актуальность темы и цель работы
Актуальность темы. Развитие техники эксперимента и успехи, достигнутые в теории интегрируемых нелинейных уравнений, привлекают исследовательский интерес ко все новым и новым нелинейным эффектам в различных областях физики. Прове-
денные к настоящему времени исследования показывают, что, хотя физическая природа нелинейных явлений в различных средах и различна, но в характере распространения нелинейных волн в этих средах много общего.
Список экспериментов, связанных с нелинейными свойствами физических систем, постоянно расширяется, с другой стороны, увеличивается и список интегрируемых нелинейных уравнений, что заставляет быть актуальными как проблему описания нелинейных явлений с помощью интегрируемых систем уравнений, так и проблему применения новых нелинейных уравнений к исследованию физических процессов в различных средах.
В нашей работе исследование систем взаимодействующих фермионов и бозонов увязывается в единообразном подходе, который базируется на теории конечномерных и бесконечномерных эволюционных систем, гамильтоновом формализме и процедуре квантоавния.
Целью диссертационной работы является осуществление единообразного описания нелинейных когерентных колебательных и волновых процессов, возникающих в различных системах взаимодействующих фермионов и бозонов, на базе теории интегрируемых нелинейных эволюционных уравнений. На первом этапе строятся механические модели нелинейных колебательных и волновых систем. Затем определяются основные типы квантовых моделей, формализующих различные случаи систем взаимодействующих фермионов и бозонов. На следующем этапе с помощью теории когерентных состояний и процедуры квантования устанавливается точное соответствие между механическими и квантовыми моделями. Дифференциально - геометрические свойства фазовых пространств созданных моделей являются вполне достаточными для того, чтобы определить эволюционные системы и доказать их интегрируемость. Трехмерная (пространственная) форма эволюционных уравнений позволяет записать нелинейные эволюционные системы как систему гидродинамических уравнений и применить их к единообразному описанию нелинейных когерентных процессов, возникающих в системах взаимодействующих фермионов и бозонов.
1.2 Обзор содержания диссертации
Во введении (первая глава) дана общая характеристика диссертационной работы, обоснована актуальность темы, определены цели и задачи исследования, изложены научная новизна и практическая значимость работы, сформулированы основные положения, выносимые на защиту.
Вторая глава носит вспомогательный характер. В ней изложены основные методы и понятия теории интегрируемых систем, процессы квантования и теории коге-
»
8
<*
<Є
рентных состояний, которые используются при исследовании свойств гамильтоновых систем классической и квантовой физики в остальных главах диссертации.
В третьей главе (в первых пяти пунктах) диссертации создаются механические модели, которые затем выступают в качестве механических аналогов для квантовых моделей, реализующих различные варианты систем взаимодействующих фермионов и бозонов: сверхпроводящие и сверхтекучие среды, системы спин - <}юнонного взаимодействия, полупроводники, взаимодействующие с электромагнитным нолем, ферромагнетики, оптический и магнитный резонанс.
В качестве базовой механической модели выбираются два образца тяжелого твердого тела с одной закрепленной точкой - система из двух заряженных шаровых волчков, совершающих вращательное движение. Находится, что уравнения движения системы из двух шаровых волчков имеют следующий вид:
= [Пг,Ка], ^ = (П,, Я,];
(2.1)
где Ні, В,2 - векторы моментов импульсов волчков, а Пі, П2 есть электрические ПОЛЯ, которые создаются заряженными волчками. Причем, вектор Пі зависит от пара.ме-т|юв второго волчка, а П2 - от параметров первого. Данная векторная модель содержит, как частный случай, гироскопическую модель явлений ядерного и электронного магнитного резонанса.
Вращательное движение твердого тела, в современном вариаше теории [96] соотносится с конечномерными динамическими системами на алгебрах Ли. Наша базовая модель представляется в нескольких вариантах: мы рассматриваем конечномерные динамические системы, возникающие на алгебрах Ли вида д = дх © д2, где <?, = 5о(3), б-о(2Л), Н. (Л - алгебра Гейзенберіа - Вейля)) с квадратичным гамильтонианом по переменным {х,}, параметризующим алгебры Ли. С помощью структурных констант алгебр Ли задаются структурные матрицы П:
/ с О4 0 (І
с =
,71 „.П
2^ с*х
£та</п
(2.2)
где с"А, 7,* - структурные константы для алгебр д1} д2, соотвсгственно, а х\у' - величины, параметризующие д* - пространства, дуальные к дг. На нространстне Р(д') гладких функций на д* определяется скобка Пуассона:
с>7Г до
{Р,С} = ^П^
0,3
д£а д&'
Р,СеУ(д').
(2.3)
где £в = Xі,у1
Рассматриваются пять случаев структуры алгебры д:
1-91 ~ 9\ Ф 92 = ^о(З) @ 5о(3), 5о(3) 5іг(2).
9
2.д2 = д\ © 02 = 5о(2.1) ф 5о(2.1), 5о(3) =* 5и(1.1).
3.д3 = /г © зо(3) 4. д* = И 0 зо(2.1) 5.д5 = к © к. (2.4)
На пространствах д*1 определяются конечномерные динамические системы
^
(11 *
Так как постоянный ранг матрицы П, (равный четырем) на д" меньше размерности самого пространства ((1гтд“ = б), то д** расщепляется на четномерные (четырехмер-ные) симплектические подмногообразия Лт„ являющиеся орбитами конрисоедиценного представления групп С*. На многообразиях Лг, существуют невырожденные матрицы 57,, являющиеся редукцией структурных матриц 12, на ЛГ,. С помощью 57, определяются скобки Пуассона и динамические системы
Система (2.7) является естественным ограничением гамильтоновой системы (2.5) на фазовое пространство Л7,. Явный вид матрицы 57, зависит от выбора локальных координат на ЛГ,. Фазовое пространство N и структурная матрица 57 определяют классическую механику (хУ, 57). В нашей ситуации возникают пять типов классических механик (Л7,, 57,). Классическая механика Эйлера I (М£ 1) - имеет фазовым пространством ЛГ1 произведение двух сфер, для классической механики Эйлера \\(М£ 2) фазовым пространством Лг2 служит прямое произведение двух псевдосфер; классическая механика Лагранжа I (А4С 1) имеет фазовым пространством Лгз прямое произведение плоскости и сферы, классическая механика Лагранжа II (МС2) имеет фазовым пространством Аг< прямое произведение плоскости и псевдосферы, и, наконец, для классической механики Пуассона (Л4Р) фазовым пространством Дг5 служит прямое произведение двух плоскостей. Каждой паре (ЛГ„ 57,) сопоставляется конкретная механическая модель: взаимодействующие посредством электрического ноля шаровые волчки с томи или иными значениями 11^ 17,. Уравнения движения (Эйлера) (2.5), соответствующие классическим механикам, с гамильтонианами (2.6) в переменных имеют следующий вид. Для классической механики Эйлера I:
(1р (1д (1г . .
— = -и{д + дги, - = и}р- дги, — = д(ид - ри);
<1и
(1и
~ = д(ру - ид).
(2.7)
Здесь мы выполнили переопределение:
«1=Р, С2 = ?, ?3 = г, ? = и, е = =
Система (1.10) имеет следующие интегралы движения:
А — 9ІРи + 9у) + ^іг + &2Щ К = ри + ду - д~1{и2г + и\ю),
Я? = р2 + д2 + г2, Щ = и2 + V2 + г/Л Для классической механики Эйлера II:
йр (1д (1г
— = -им - дгу, — = игр + ргн, — = р(ид - ру);
с/« (ІУ сій/ .
— = -и2У - дхпд, — = и2и 4- ршр, — = д{рь - ид).
Система (1.16) имеет следующие интегралы движения:
Н2 = д[ри + ду) 4- и\Г 4- и2ху, К = ри + ду - д~1(и2Г 4- с^ш),
Я[ = г2 - р2 - д2, ИІ = ю2 - и2 - у2.
Для классической механики Лагранжа I:
(ір (ід (1г
_ = и„-9„,- = -Шр + №- = о,
б/їі СІУ сіи> . .
^ =ии~ 9*>Ч, + дгир, — = б?(ш? - ру).
Система уравнений (1.22) имеет интегралы движения:
/із = ^(р2 4- <?2) — 2олу, К = ри + <?у,
Я2 = и2 + V2 4- щ2, г = 1.
Для классической механики Лагранжа II:
сір (Ід (іг
_ = -шр+№-=°,
б/ц , (ІУ (1\1) . .
— = 4- .уту?, ^ - 9У’Р, -ДЇ = 9\Щ - Vу)-
Система уравнений (1.27) имеет интегралы движения:
Л4 = и(р2 4- д2) - 2ию, К = ри + ду,
Я2 = и2 - XI2 - у2, г - 1.
И, наконец, для классической механики Пуассона :
11
Система уравнений(1.32) имеет интегралы движения:
= иhip2 + Я2) + W2(u2 + v2), К = ри + qv, г = w = const. (2.1G)
Для каждой классической механики рассмотрено до восьми случаев параметризаций фазовых пространств: 0, <p\wt Ф\ Л+>в> Д+>Л; 0,0*, большинство
из которых имеет дело с канонически сопряжёнными переменными: та, <р; ги,ф; а+,а; Д4, Л; и показано, что переход от одного набора переменных к другому не имеет особенностей, то есть, якобианы преобразований невырождены.
Для каждого типа параметризаций записаны структурные матрицы и обратные к ним матрицы ти,, задающие на Дг, симилектическую структуру. Матрицы to* и ги» для всех N, имеют следующую форму:
E, = Jg\ ' . (2.17)
Здесь д1 - детерминанты метрических тензоров сомножителей фазового пространства N. Другими словами, делается вывод : скобка Пуассона на ДГ, определяется контрва-риантными компонентами дискриминантного тензора фазовой поверхности ДГ„ а снмплектическая форма ковариантными компонентами дискриминантного тензора фазовой поверхности Дг,
Для каждого типа параметризации записаны уравнения Эйлера в гамильтоновой форме. Показывается, что уравнения Эйлера каждой классической механики переопределяются через систему линейных дифференциальных уравнений, ф В седьмом пункте третьей главы дается лагранжево представление системы конеч-
номерных динамических систем. Записывается в явном виде функционал действия 5, условие стационарности которого приводит к рассматриваемым нами уравнениям Эйлера:
5 = / (л " н[х)) ** (2Л8)
где и2 - форма связности, согласованная с метрикой сомножителя пространства ДГ,.
В следующем пункте показывается, что каноническая форма уравнений Гамильтона для физических систем с ненлоским фазовым пространством может содержать (О структурную матриц>' ||а>**||, недиагональные элементы которой для некоторых пере-
менных могут быть отличны от ±1.
В последнем пункте третьей главы рассматриваются несколько вариантов механической модели (в виде двух взаимодействующих диполей) для различных вариантов взаимодействия фермионов и бозонов.
12
В четвертой главе рассмотрены модельные гамильтонианы, которые, с одной стороны, формализуют типы взаимодействия фермионов и бозонов, а, с другой стороны, могут быть привлечены для описания широкого круга квантовых явлений: сверхпроводимости, сверхтекучести, явления оптического и магнитного резонанса, <|>ерро-магнетизма, спин-фононного взаимодействия, полупроводников, взаимодействующих
могут быть приведены к такому виду, что они но форме совпадают с уравнениями Гамильтона классических систем из третьей главы.
Для большей формализации соответствия между классическими и квантовыми объектами наряду с определением классических механик дается определение и квантовых механик (квантовых моделей). Каждая квантовая механика задается набором, состоящим из гамильтониана, уравнения движения Гейзенберга и интегралов движения. Исходя из конкретной формы данного набора, определены квантовые механики Эйлера I и II (fCMS 1,2), квантовая механика Лагранжа l(KMC 1) и квантовая механика Пуассона (ICMV). Квантовая механика Лагранжа описывает явления оптического и магнитного резонансов, ферромагнетизма, акустического магнитного резонанса, описывает полупроводник, взаимодействующий с резонансным электромагнитным полем; квантовая механика Пуассона описывает взаимодействие оптических фононов с фотонами или взаимодействие поляризаций решетки с фотонами; квантовые механики Эйлера 1,11 описывают явления сверхпроводимости и сверхтекучести соответственно.
Квантовая механика Лагранжа характеризуется гамильтонианом и уравнениями движения следующего вида.
То есть, операторы Р, (}, I образуют базис алгебры Гейзенберга - Вейля, а и, V, IV -базис алгебры яо(3). Уравнения Гейзенберга с гамильтонианом (1.13) задают систему уравнений
с электромагнитным полем. Показано, что уравнения движения квантовых систем
Я = fioja^a 4- TvjjRz + h(g*a+R- + gaR+),
(2.19)
где а+,а - бозонные операторы, Я±, Я3 - операторы углового момента. Если ввести но определению операторы
Р = два+ + да, Q = г(да - д*а+), s = \д\2]
U = і(Я+ + Я_), V = і(Я_ - Я+), W = Я*,
(2.20)
то будут очевидны коммутационные соотношения
[Р> Q] = 21Ы2, [U, V) = iW, \W, и) = %Vt [V, W] = ги.
т
13
^ = -ыК +1VQ, ^-=U>U~ WP, ^- = PV- UQ. (2.21)
at at at
Система (1.15) имеет интегралы движения
Н = faf>4|g|?2 + + h(uP + V>), К-UP + QV,
H' = Up2 + Q‘) + 2s W, ш = const. (2.22)
Таким образом, уравнения движения и интегралы движения квантовой механики Лагранжа формально совпадают с уравнениями движения и интегралами движения классической механики Лагранжа I.
Квантовая механика Пуассона характеризуется гамильтонианом и уравнениями движения следующего вида:
Я = ]T/iwkb£bk + ^/M<ajak + y}2h{gb£ak +g*a£bk). (2.23)
k k k
где «+(о), b+(b) - бозе-операторы. Если ввести по определению следующие величины: V ~ 9*аk + 9ак» 9 = " 9«к)\ и = Ь£+ bk, v = i(b£ - bk), (2.24)
то квантовые уравнения движения для вновь введенных величин будут иметь вид: dp dq du dv
— = uq + sv, — = -ojp - svy — = ojv + qy — = -wu - p. (2.25)
Здесь операторы p,q;u,v являются генераторами группы Гейзенберга - Вейля, ык = u,s = |р|2. Система уравнений (1.25) имеет интегралы движения
(р2 + 92) + s(u2 + v2) = Е} ри + qv = К.
Таким образом, уравнения движения и интегралы движения квантовой механики Пуассона формально совпадают с уравнениями движения и интегралами движения классической механики Пуассона. В микроскопической теории сверхпроводящий ту-нельный контакт (квантовая механика Эйлера I) описывается гамильтонианом следующего вида:
II - liui flj«к + Гш2 Y2 + 9b+ak). (2.26)
к q k,q
Здесь a+(a) - оператор рождения (уничтожения) электрона в левом сверхпроводнике, b+(b) - в правом. Образуем по определению следующие параметры:
р = \ ^(5*Як + №), Q — 7) ^2(9'ак - 90-ку )> Я = - 1/2).
к к к
14
V = \ Ew + W. V = \ - fc,,), IV = X>Ji„ - 1/2). (2.27)
к q q
Коммутационные соотношения операторов (1.29), как показывают прямые вычисления, подчиняются коммутационным соотношениям генераторов группы 50(3).
Тогда уравнения Гейзенберга для операторов (1.29) приводят к следующей системе уравнений:
~ = -uf,<3 + 2sRV, ^ = UlP-2sRU, ^ = 2(UQ - PV); dU dV d\V
Ji = -^K + 2 WQ, — =u2U-2WF} ^- = 2 (PV-UQ). (2.28)
Здесь s = |<?|2. Система (1.31) имеет интегралы движения:
Я2 = Р2 + Q2 + Л2, Rl = U2 + V2 + И/2, К = UP + QV - (о/2Я + wiW). (2.29)
В теории сверхтекучести (квантовая механика Эйлера II) используют гамильтони-
ан следующего вида:
Я = £ feka£ak + hgaJaJ' aoa0 + 4%q^q0 У^а^ок+
к к/0
%(ajaj ]Pakak + a0a0^akaj). k/0 k/0
Здесь a£, ak - бозонные операторы, g - константа взаимодействия.
Если ввести но определению следующие величины:
Р = “5(00 ao + °о«о), Q = ^(a?aо - ао<ю), Я = aja0 + 1/2,
-5(5Z“k“-k+ Eaka-x)’ V - 5(E°ka-k “ E“““-*)'
k/0 k/0 k/0 k/0
IV = J>+0k + atka.k + 1), (2.30)
k/0
то гейзенберговские уравнения движения приводят к следующей системе уравнений: ^ = -w,(3 - So*V. ^ = о,,Р + ~ = ffo(QC7 - PV);
rff/ Д1/ /У IF
“ = -«»У - ^ = a/2tf + flbPW; = g0(PV - QU);
a/i = 2g, a/2 = 2a/, <70 = 4g. (2.31)
Прямые расчеты показывают, что операторы P,Q,R;U,V,W являются генераторами группы 5С/(1.1).
Система (1.38) имеет следующие интегралы движения:
_ р2 _ о? = уу2 _и2_ у2 = Д2
РС/ + С2У- 9о1(ол\У + ^2Я) = К. (2.32)
Таким образом, уравнения движения и интегралы движения квантовых механик Эйлера 1,11 формально совпадают с уравнениями движения и интегралами движения классических механик Эйлера 1,11.
Во втором пункте четвертой главы изучаются свойства когерентных состояний для группы 50(3). При этом восемь случаев параметризаций фазового пространства непосредственно переходят и в параметризацию когерентных состояний. С помощью полученных производящих функций найдены выражения для ковариантных и контрвариантных символов инфинитеземальных операторов представлений соответствующих групп для всех типов когерентных состояний; доказывается справедливость следующего утверждения: при больших квантовых числах ковариантный символ произведения операторов переходит в произведение символов сомножителей. Ковариантный символ от коммутатора операторов равен скобке Пуассона от ковариантных символов этих операторов. Для каждого типа когерентных состояний найден соответствующий вид операторов представления.
В третьем пункте рассмотрены когерентные состояния для группы 50(2.1). Для них проводятся те же операции и вычисления, что и для группы 50(3), но с учётом особенностей некомпактной группы 50(2.1).
В четвёртом пункте все модельные гамильтонианы и гейзенберговские уравнения движения квантовых систем, ранее полученные в первом пункте, записываются для ковариантных символов. При этом доказывается справедливость следующих результатов: усреднение уравнений Гейзенберга для операторов квантовых механик по когерентным состояниям (К,МЕ 1,2;/С.М£1;/СЛ'1'Р) приводит к уравнениям Гамильтона для ковариантных символов, тождественных уравнениям Гамильтона для классических механик (М£ 1,2; МС\\ МТ) соответственно.
В пятой главе рассматривается квантование классических механик, согласно схеме квантования, предложенной в работах Березина [22]. Доказывается справедливость следующих положений: результатом квантования классических механик М8 1, 2;МС 1; МР являются квантовые механики КМ£ 1, 2\КМС1\ 1СМР соответственно. В качестве пространства состояний (фазового пространства) квантовой системы выбирается гильбертово пространство, элементами которого служат когерентные состояния.
В случае групп 50(3), 50(2.1) когерентные состояния параметризуются двумя переменными, которые одноврменно являются и фазовыми координатами соответствую-
16
шей классической системы. Другими словами, динамика и квантового и классического объекта определяется одними и темн же уравнениями движения, записанными относительно одних и тех же величин, поэтому дальнейшие методы исследования динамических систем относятся в равной мерс и к классическим, и к квантовым объектам.
В шестой главе определяются бесконечномерные динамические системы на фазовых щюстранствах классических и квантовых систем, которые затем применяются для исследования когерентных волновых процессов.
В первом пункте шестой главы определяются бесконечномерные динамические системы на фазовом пространстве механики Эйлера I, которая реализует систему взаимодействующих фермионов.
< = (2-33)
Здесь гамильтонов функционал II задается нами в следующем виде:
Н = J [&fc(“Ku£- V(u)]dxt (2.34)
а оператор К определяется так: К'} = где о>,7[ц(т)] - структурная матрица
классической механики MS 1, в которой координаты и1 фазового пространства стано-
вятся зависимыми от непрерывного параметра х: и‘ = и‘(т); потенциал V(u) - произвольная функция от и. Затем выписываются эволюционные системы в явном виде для пяти случаев параметризации фазового пространства. Для сферических координат :
Q
&t = -Ухх sin в - 2ірхвх cos О, = 11 п ~ cos (2.35)
cos U
Для цилиндрических координат:
Wxx wwl 2
= -2и>гпх<рх + (1 - м2)<Рхх- (2.36)
Для координат комплексного цилиндра:
Фі = -гфхх - ™ф2х> = -гМхх - 2гь'юхфх + (1 - ги2)фхх. (2.37)
Для переменных (р,0 = АгіЬіу:
4>і = -Рхх + р1 = <рхх - 2р>хрхї)і/3. (2.38)
Для координат стереографической проекции:
2щи\ х + 4иіЦііІи2^с - 2и2и\ х 4- 2и2р2
и-1 ,е = -и2,хх + ---1--------------\+р------1----------,
и 2,t — «1,11 -
2щи\уХ + 4u2UitIU2,x - 2tiiu£(S + 2ui/32
1 +p*
(2.39)
где р2 = ц2 + «2* Эволюционные системы (2.12-2.16) были нами получены для произвольного параметра х. Если же перейти к натуральному параметру й - дойне дуги кривой на фазовой поверхности, то эволюционная система переопределяется следующим образом:
Здесь rj* - коэффициенты Кристофсля связности, согласованной с римановой метрикой на N.
Выражение uJj+r^uJtiJ представляет собой вариацию геодезической линии на N с метрикой ds2 = дгкс1иЫик9 а выражение и*, 4* rjfcu* uj — Vх есть вариация геодезической линии на N с метрикой dp2 — (Е — V)gtkdulduk>E = const.
Таким образом, доказывается, что эволюционная система (2.10) с гамильтоновым функционалом
определяется действием оператора К = са[и(х)] на вариацию линии, лежащей на фазовой поверхности. Отсюда вытекает, что, во-первых, стационарные решения нелинейной эволюционной системы (2.10) являются геодезическими линиями фазового пространства; и во-вторых, - система стандартных нелинейных уравнений Шрёдингера определяется действием оператора К = и>[и(х)] на вариацию геодезической линии, лежащей на поверхности с метрикой ds2 = (Е - У)5^и*<1ик. Здесь V = е,*(и,)2(и*)2.
Показывается также, что уравнения Ландау - Лифшица
можно назвать нелинейными уравнениями Шрёдингера на фазовом пространстве с неплоской метрикой (метрикой сферы).
Далее показывается, что если линейную систему дифференциальных уравнений, которые переопределяют уравнения Эйлера классических механик
(2.40)
(2.41)
u't = -utx + [l + (ul)2 + (u2)2}-'x
{2w2(u2)2 + Ay}v}xu\ - 2н2(?4)2 + 2и2((м1)2 -1- (и2)2]}, и2 = и1хх - [1 + (и1)2 + (и2)2]-1 х {—2wl(«i)2 - 4u2uxul + 2'и1 (и*)2 - 2ul[{u1)2 4- (и2)2]}
(2.42)
18
совместить с лилейной системой дифференциальных уравнений по этим же переменным
= Нх = У2Е,
то бесконечномерные динамические системы вытекают из условии
* **1 = Ф(Х, =Х( = На.
Во втором пункте на основе тех же методов определяются нелинейные эволюционные уравнения на фазовом пространстве механики Эйлера II, которая реализует системы взаимодействующих бозонов, в третьем - на фазовом пространстве механики Пуассона, реализующей системы бозои-бозонного взаимодействия, и в четвёртом -для систем оптического и магнитного резонанса. Доказываются аналогичные теоремы и следствия из них.
В пятом пункте шестой главы полученный метод генерации бесконечномерных Ф гамильтоновых систем распространяется и на те ситуации, когда фазовая поверхность
является двухмерной поверхностью: тором, катеноидом, геликоидом и параболоидом вращения.
В шестом и седьмом пунктах шестой главы на базе дифференциально - геометрических свойств фазовых пространств доказывается интегрируемость эволюционных систем, определённых на фазовых пространствах механик Эйлера І, II. Интегрируемость эволюционных систем обусловливается наличием бесконечного набора сохраняющихся величин, выполнением бесконечного числа локальных законов сохранения, а также возможностью записать нелинейные уравнения как условие интегрируемости пары дифференциальных линейных систем, или же возможностью бигамильтонова представления эволюционных систем.
Для доказательства интегрируемости рассматриваются уравнения движения реперов Дарбу на фазовой поверхности по двум переменным 5 и к
ІІЄ1 и)\ и] (ІС2 Шо СіЛ (ІСз ш\ , О»?
^ = + *7 = 55е‘+ 55ез’ -57 = ^ + (2'43)
с/еі си? а;? (1е2 и\ ал> ^е3 оЛ
!І = Іе> + ТҐ>' -¥ = ІЄ1 + ЖЄЗ’ -57 = ІЄ1 + ІЄ2' (2'44)
где Єі - орты репера, ы'к - формы связности. ф На основании техники вычислений, разработанной в работе Дж.Л.[159], показыва-
ется, что данную систему можно переопределить через совместную систему линейных дифференциальных уравнений
^1,3 = -1^1 - иу2> и2,з = + и*VI.
19
г?1>е = Лг?! + Ви2, г»2,е = Сь\. - Лг>2; (2.45)
где величины и, и*, Л, #, С выражаются через формы связности и'к. Далее доказывается, что гамильтонов функционал Н, генерирующий наши эволюционные системы, включается в бесконечное число сохраняющихся величин, характеризующих линейную систему (1.21).
Доказывается, что нелинейная эволюционная система, определённая на фазовых поверхностях механик Эйлера /, II, вполне интегрируема, так как обладает бесконечным набором законов сохранения, бесконечным набором сохраняющихся величин и может быть ассоциирована с системой линейных дифференциальных уравнений (1.21).
В следующих двух пунктах показывается, что все эволюционные системы, соответствующие различным параметризациям фазовых пространств механик Эйлера 1,11, механик Лагранжа и Пуассона, имеют бигамильтоново представление. Вторая форма гамильтоновой системы задастся гамильтоновым оператором и гамильтоновым функционалом следующего вида:
и; = £,^. I* = 9** - д'*Г?Х, я2 = Iи*.
Здесь - оператор гидродинамического типа [78], д- метрический тензор фазового пространства, ы\ - форма связности, согласованная с д,к, Г*, - коэффициенты связности; (I - оператор дифференцирования по х. Например, в случае параметризаций фазовой поверхности сферическими и цилиндрическими координатами будем иметь соответственно для #2 и Ь следующие выражения:
■/
Я2= / соэ 0(рх<1х,
н//*п= ~с1е^: ). (2.«)
-^^СОБеС2##! I
и**«-(X • Н+( ТУ,1 ■ (2-47>
и К2-ш2 / \ (Я*-»'1)2
В десятом пункте пункте шестой главы дастся лаграижево представление системы нелинейных уравнений. Записывается в явном виде функционал действия 5, условие стационарности которого приводит к рассматриваемым нами гамильтоновым уравнениям. 2
Я = + (2.48)
20
В последнем пункте шестой главы предложен механизм для трехмерного обобщения всех полученных уравнений. Переход от одномерных (по пространственным координатам) эволюционных уравнений к трехмерным можно осуществить следующим образом. Заменим производные по одной пространственной координате от произвольной функции на градиент от этой функции, то есть: /х -> V/. Затем гамильтониан Н — /9tkUxux^x заменяем на функционал следующего вида: II = J Vuk)dxdydz, где
скалярное произведение (Vul, Vufc) записывается как произведение в пространстве Я3.
Далее показывается, что все трехмерные эволюционные системы, соответствующие различным параметризациям фазовых пространств механик Эйлера, Лагранжа и Пуассона, имеют бнгамильтоново представление и вполне интегрируемы. Так, например, для сферических и цилиндрических координат функционал II и трехмерные эволюционные уравнения имеют соответственно вид:
я = Jl(40,ve) 4- sin2(Vy>, 4(p)]dxdydz;
Д0
0t = - sin Д - 2cos0(V0, Vy>), (ft — - cos0(V<^, Vy?).
Sin a
—i/[
Я2(У ш, Vtr) /n2 2
Я2 - w2
+ (Я2-w2)(Vy>,Vy>)
dxdydz;
Я2 А '“■’Я2 \ \
* =
ги1 = -2(Угу, Уу?) + (Я2 - ш2)Уу?.
Далее показывается, что трехмерные эволюционные уравнения имеют бнгамильтоново представление и, следовательно, вполне интегрируемы. Для доказательства бигамиль-тоновости определяется вторая гамильтонова форма в следующем виде:
(2.49)
Здесь в качестве векторного оператора L1* выбирается вектор-оператор гидродинамического типа
L,k = — дгзГ*аЧи?. (2.50)
В качестве второго гамильтонова функционала выбирается вектор - функционал, который является обобщением одномерного выражения
Р = J axutxdx\ + J atulydy) + J atu'2dzk. (2.51)
Здесь atdul(x, y.z) = и*. Например, в случае сферической системы координат для Р будем иметь:
Р = Jcos0(<pxdxi -Ь <pydij2 + <pzdzk)} (2.52)
21
а выражение для одной из компонент оператора Ь‘* запишется так:
1№*И = ( 1 ° 1Л + ( ° ~СЧ°*Х ) ■
\ 0 собсс20 ) \ -^0созес200х )
В седьмой главе осуществляется применение эволюционных уравнений, полученных в шестой главе, для описания нелинейных когерентных процессов в системах взаимодействующих фермионов и бозонов.
В первом пункте нелинейные эволюционные уравнения применяются для описания процесса взаимодействия электромагнитного пазя с двухуровневой средой, взаимодействия поля с ферромагнетиком, взаимодействия звуковых волн со спиновой системой, взаимодействия электромагнитного ноля с полупроводником, взаимодействия оптических фононов или поляризаций решетки с фотонами. Гамильтониан такой модели записывается:
Я = р2 4- (]2) + \ ftujw + Н(ри + qv), (2.53)
где р, <7,; и, V, щ - коварнантные символы операторов рождения (уничтожения) фотонов моды поля и угловых моментов соответственно. Уравнения Гейзенберга приводят к следующей системе уравнений:
(1р _ (1(1 _ с1ш
- = -^-25Щ _=*,*+2««, — = 0;
^ = -и>у + шд, ~ = ит- ъир, (-^~ = рь- - ид. (2-54)
си ас си
Переопределяя величины р, д, г; и, V, и> :
Р = м = ^(*1X2 + Х’хХг),
2 2 Я = 2^1^ “ ^1^)» у = 2^1X2 “ Х1Хг)|
* = | (№12 - №|2); го = |(|х2р - |Х1|2), (2.55)
приходим к уравнениям для 0,, х» '•
■фс = ихф, Хс = и2Х
а-( »-( "’л, Т '• «!ю|
\ “«72+ «Л ) \ «д а «Л
а;
^ 0 = {0ь02}Т, Х={ХьХ2}Г, л = |-
0х = ^0, Хх = ^х, а- = в/и. (2.57)
„ / «Я2 2гда \ ¥Г / «Я* гЯ_ .
И = Я* I, У2 = а( . (2.58)
I 2«5*а+ -гЯг / V «Я+ гЯг
22
ч*
Условие совместности систем (1.5), и (1.6) записывается:
Д,х-К,<+[Д,К] = 0. (2.59)
Набор бесконечномерных систем, возникающих как условие совместимости двух линейных систем дифференциальных уравнений (1.7), полученных на базе уравнений Эйлера для механики Лагранжа, включает в себя все стандартные уравнения нелинейной оптики, описывающие явления самоиндуцированной прозрачности, сверхизлучение, бозонную лавину и т.п., в том числе и уравнение синус - Гордон для площади электромагнитного импульса
0хе = $8ш0, (2.60)
и уравнения Максвелла - Блоха
(1+1)?0(I+ш) 9'а+ = аЯ+- (2-61)
(Здесь а+(о) - фотонные операторы, Я+1_ - операторы углового момента). Доказывается также, что координата 0, параметризующая фазовую поверхность механики Лагранжа, является мерой площади иод огибающей электромагнитного импульса.
Кроме уже известных уравнений нелинейной оптики приводится список эволюционных уравнений и для остальных фазовых переменных в, у?,гв, Р,гь\ ф . Например, для (р, 13 записывается следующая система:
<рх = Ьк00и - - зес/г2/?)/?* + (р\ - 2$есЛ2/?, рх = 2\pt0t ~ сЬНрРи- (2.62)
В рамках квантовой механики Лагранжа I отдельно рассматривается (второй пункт седьмой главы) магнетик Гейзенберга. Для этой модели, имеющей широкое применение в изучении квантовых явлений, в качестве гамильтонова функционала выбирается выражение
нт = \ / + 6Л*А)<Ь- (2-63)
Здесь 5* - ковариантные сим ваты магнитных моментов; £> - диагональная матрица: Д, = 7“1, Д = 0, /, - обменные интегралы. Механической моделью, которая описывается гамильтонианом подобного вида, выступает непрерывно распределенная цепочка связанных волчков.
Эволюционная система, соответствующая функционалу (2.63), в векторном виде записывается
^ = [в. 8«] + [8, Щ; О- = (2.64)
23
v*
Механическая модель позволяет рассматривать распространение нелинейных волн уравнений (2.13) как распространение возмущений по непрерывной цепочке связанных волчков.
Гамильтонов функционал (2.63) учитывает неоднородность намагниченности тела, если к тому же учесть и нестациоиарность свойств среды, то приходим к функционалу
Я = \ /(DtkS*sk + S'kS*sx ~ $iks\s*)dxdt, (2.65)
который приводит к эволюционной системе
St = [S,(S«-S„)] + [S.O]. (2.66)
Для изотропного магнетика, когда эволюционная система принимст вид
Se = [S, Src), (2.67)
нелинейные уравнения, возникающие в случае пяти параметризаций фазового пространства, запишутся:
Q
0t = <рхх sin 0 - 2tpxOx cos 0, ift = - ipl cos 0, (2.68)
uj = -ulx + 2(1 + /Э2)“1 [u2(u2)2 + 2ululxu2x - в2,
= wix - 2(! + P2)"1 [ul(«i)2 + 2ti2uiu* - u'(ul)>]. (2.69)
Ft2 2 R2W 2
+ «ft.
гь’г = юи>х<рх - (Рхх(Л - ю )> (2.70)
ф( = гЯфхх -І- мфі, юі - гЯюхх + 2гихфх - (Я2 - ы2)фхх, (2-71)
4>і = ~Рхх + (/?2 - <р1)№} Рі = <рхх - 2■РхРхЬЪв, (2.72)
Шесть способов параметризации фазового пространства привлекаются и в исследовании свойств анизотропного магнетика Гейзенберга. Шесть систем эволюционных уравнений, подобных (2.67)-(2.72), содержат уравнение Ландау - Лифшица, описывающего эту модель
Ні = [ІІ,В«] + [Иіт]. (2.73)
Показывается также, что в макроскопическом пределе (Я -* оо) уравнения для изо-тропного магнетика Гейзенберга редуцируются к нелинейному уравнению Шрёдинге-ра.
В третьем пункте седьмой главы показывается, что модель Дикке (то есть уравнения нелинейной оптики) и модель Гейзенберга (то есть, уравнения Гейзенберга, Ландау-Лифшица) калибровочно эквивалентны.
Сверхпроводящий тунельный контакт (четвертый пункт седьмой главы), реализующий системы фзаимодейсивующих фермионов, описывается набором эволюционных уравнений для переменных (£,£’)> (1в,у>),....(а+, а), которые включают в себя,
например, нестационарные уравнения Гинзбурга - Ландау
Явление сверхтекучести (пятый пункт седьмой главы) реализуется в системах взаимодействующих бозонов. Набор уравнений, который определён на фазовом пространстве механики Эйлера II, включает в себя известные уравнения: нелинейное уравнение Шрёдингера (ф - параметр порядка в теории сверхтекучести)
уравнение, задающее соотношение между плотностью числа частиц и токов
гидродинамическое уравнение, определяющее связь между плотностью импульса и плотностью потока импульса
(ф1 — ф> ф2 = фя)} формирующий данные эволюционные уравнения, в теории сверхтекучести играет роль свободной энергии системы.
Величины, которые параметризуют фазовые пространства 0,<р\
(р,р\ о+,а; Л+,А; ф,ф\ в квантовой области в тех или иных физических процессах имеют определенный физический смысл. Например, в нелинейной оптике параметр О определяет площадь под оптическим импульсом, величина IV определяет разность населенностей уровней частиц, <р - коллективная фаза, канонически сопряженная с ю ; Р играет роль обратной температуры; величины ф}ф* играют роль параметров порядка; а+,а и А+, Л являются операторами рождения (уничтожения) частиц бозе-конденсата.
(2.74)
Ф = Фіх - 2сф+(Ь + \ф\2) гфь = ~^хх + 2 сф{Ь + \ф\2)-}
(2.75)
= г(ф*фх - ФФ%\
(2.76)
{ф‘фх - ффі), = г(-2\ф\А - А\фх\2 + \Ф\2ХХ)Х.
(2.77)
Причем гамильтонов функционал
25
Обобщение нелинейных эволюционных уравнений к трехмерной (пространственной) форме позволяет все эволюционные уравнения записать как уравнения непрерывности (шестой пункт). Например, в случае явления сверхтекучести будем иметь для фазовых переменных ш, (р следующее уравнение
Здесь и) - плотность числа частиц конденсата, (Я2 — ю2) - плотность квадрата числа взаимодействующих частиц конденсата, У у? = V, - скорость сверхтекучей компоненты, } = (Я2 - м2)Уу?.
В седьмом пункте седьмой главы показывается, что все эффекты распространения когерентных возмущений в системах взаимодействующих фермионов и бозонов, то есть в системах оптического и магнитного резонанса, в сверхтекучих и сверхпроводящих средах, в системах сшш-фоноиного взаимодействия и в полупроводниках, взаимодействующих с электромагнитным полем, описать с помощью одной (общей для всех) системы гидродинамических уравнений. Например для фазовых переменных ш, ср получаем гидродинамическую систему следующего вида:
В восьмой главе диссертации приводится явный вид стационарных решений всех эволюционных уравнений, полученных на фазовых пространствах тех классических и квантовых механик, которые были нами определены. Стационарными решениями мы называем решения, которые явно не зависят от времени. Солитонные же решения мы относим к решениям со стационарным профилем.
В первом пункте находятся стационарные решения нелинейных эволюционных уравнений, соответствующих системам взаимодействующих фермионов. Стационарные решения находятся как параметрическое задание геодезических линий фазового пространства со сферической метрикой.
Для сферических координат будем иметь (0, <р):
Щ - сіпу = О.
(2.78)
- сііуі = 0, ^ = ^У |^(Я2с1іу8 + Б2 + /г) ,
(2.79)
где к - плотность энергии,
5Р = !п(Я2 - и;2), 5 = 1пш, Э = VS.
26
Здесь а - интеграл теоремы Клеро, в - натуральный параметр кривой (длина ее дуги), с - постоянная интегрирования. Для цилиндрических координат:
ги — \/К2 - а2вт у = arctg ^ (2.81)
Для переменных <р, решения записываются в следующем виде:
<р = arctg Qtga*-^ , ß = Arth ( R R - sin -0 . (2.82)
Для переменных стереографической проекции получаем
rkx rhi .
Ul = Гл— ,7 " ^ “2 = A- ' ГЗ “ Ь'
\/l+k2 у/Т+Щ
J_ _ 6(52 - a2) - 2aas 1 ^2 a(s2 — o2) + 2q6s '
Здесь a, 6, r - константы, a - интеграл теоремы Клеро.
Во втором пункте восьмой главы находятся стационарные решения нелинейных эволюционных уравнений, соответствующих системам взаимодействующих бозонов. Стационарные решения ищутся как параметрическое задание геодезических линий фазового пространства с метрикой псевдосферы. Решения уравнений в этом случае записываются: для нсевдосферичсских координат
для цилиндрических координат
w = у/К2 - a2 cli (р = arctg î (2-85)
для переменных у?, решения принимают вид
/1 а&5\ vTF+o2 . 5 1 .
V? = -arctg f ^ = “Arcth ( д sm я j ; ^ ^
и для переменных стереографической проекции
rki rk2 .
и 1 = —:■■■■■■■■ — a, Uo = —= — 0,
УШf y/ï+Tf
i _ 6(52 - a2) - 2aag . .
1 "" *2 ” û(52 - a2) + 2a65* 1 j
В третьем пункте восьмой главы исследуются геометрические свойства кривых
(кривизна и кручение), реализующих солитонные решения нелинейных уравнений в
том случае, когда фазовой поверхностью физической cnci-емы является сфера (фер-
мпонные системы). Записаны выражения для солитонных решений при различных
27
параметризациях поверхности. Если стационарные решения (геодезические линии) изображаются на фазовой поверхности большими окружностями, то солитонные линии в параметрах репера Фрсие будут иметь следующие характеристики. Уравнение движения репера Фрснс, отнесенного к солнтонной линии, имеет вид:
ts = kü' S = ~kf+X(l S= _Xi7' (288)
где т, Ї/, ß - единичные векторы: касательный вектор, главная нормаль, бинормаль соответственно; к - кривизна кривой, х - её кручение. Вычисления показывают, что кривизна и кручение принимают следующую функциональную зависимость от натурального параметра:
*М = X(s) = -Щіу (2-89)
где
. . v / 1 u2 cos2 - \ cos s/2
gS 2 \ cos2 s/2 u2 sin2 I + v2/ и
To есть, можно сказать, что кривизна кд зависит от скорости движения v солитона.
Переменные иъи2 (координаты стереографической проекции сферы на плоскость) наиболее удобны для изображения решений эволюционных уравнений на плоскости.
Стационарные решения и этих координатах изображаются в виде замкнутых линий
(окружностей). Солитонные же линии определяются следующими выражениями для иии2:
1 ( х . ии$\
иj = — I и cos 4>sh— + v sm ch—- ) ,
и \ 2 2 )
u2 = —і (usm^sh^ - ucosch^ | ; (2.90)
и \ 2 2 /
где £ = (x - vt - Xq), ф = f 1.
Вычисления показывают, что кривизна солнтонной линии на плоскости определяется следующим выражением:
fc=SS^cosechT• (2-91)
а сама кривая имеет спиралевидную форму.
В заключении кратко сформулированы основные результаты диссертации.
<•