2
*
Оглавление
Введение 3
Мезоскопические эффекты в физике наноструктур .... 4
Структура и объём диссертации......................... 7
1 Квазиодномерный. бозе-газ с притяжением во вращающемся кольце. Часть I. 12
’ 1.1 Введение................................. •.......... 12
1.1.1 Конденсация Бозе-Эйнштейна в разреженных
атомарных газах ............................. 12
1.1.2 Притяжение в случаях различной размерности ... 14
1.1.3 Формулировка проблемы ......................... 18
1.2 Анализ модели в пределе N —*■ оо...................... 22
1.2.1 Подход среднего поля........................... 22
1.2.2 Случай бесконечной оси......................... 24
1.2.3 Результат исследования: численное решение
уравнения Гросса-Питаевского в кольце........... 27
1.2.4 Результаты исследования: точная фазовая картина
эффекта......................................... 30
2 Алгоритм квантового Монте-Карло в . импульсном представлении 36
• 2.1 Общие сведения ...................................... 36
3
2.2 Диаграммный метод....................................... 39
* 2.3 Описание алгоритма...................................... 45
2.4 Тестирование........................................... 50
3 Квазиодиомерный бозе-газ с притяжением во вращающемся кольце. Часть II: Мезоскопика. 53
3.1 Модификация алгоритма..........................■........ 53
3.1.1 Особенности процессов...................•........ 55
3.1.2 Аналитика для выбора импульса.................... 63
3.2 Зависимость физических величин от числа частиц...... 66
3.3 Макроскопическое квантование момента вращения системы для малого числа частиц............................ 66
4 Запутанность квантовых состояний в спиновых системах 73
« 4.1 Введение.............................................. 73
4.1.1 Квантовые вычисления............................. 73
4.1.2 Запутанность (entanglement) ..................... 74
4.2 Модель ................................................. 76
4.3 Результаты исследования................................. 78
5 Повышение чувствительности ; спиновых
вычислительных элементов 85
5.1 Классические вычисления на спиновых системах в основном состоянии.......................................... 85
5.2 Схемы элементов и результаты исследования............... 87
5.2.1 Инвертор......................................... 87
5.2.2 Входной элемент.................................. 94
Заключение и основные результаты 97
t Литература
100
4
4
Введение
Мезоскопические эффекты в физике наноструктур
Физика наноструктур - раздел физики конденсированного состояния, имеющий дело с объектами нанометровых размеров. Наряду с эффектами размерного квантования, здесь не менее важными являются мезоскопические эффекты, связанные с небольшим количеством задействованных частиц [1]. На основе этих эффектов создаются новые нанотехнологические устройства с необычными свойствами. К примеру, в так называемом одноэлектронном транзисторе [2] используется явление куло-новской блокады, позволяющее “заметить” появление на базе всего лишь одного электрона.
Квантовые законы природы используются в новой быстро развивающейся области квантовых вычислений и квантовой криптографии. Место классического бита информации здесь занимает т.н. “кубит” (англ. qubit) квантовый бит). Это двухуровневая система, которая может находиться не только в состояниях |0) и 11), но также и в произвольной их суперпозиции а|0) + (3\1). Линейность квантовых уравнений эволюции позволяет выполнять вычисления одновременно над многими наборами исходных данных, что кардинально ускоряет многие операции.
Прогресс последних лет в исследованиях квантовых вычислений объ-
5
ясняется появлением практически применимых алгоритмов. Так, алго-4 ритм Гровера [3] существенно ускоряет поиск в неупорядоченной базе
данных, а алгоритм Шора факторизации больших составных чисел [4] делает возможной компрометацию некоторых криптографических схем (прежде всего RSA), считающихся неподцающимися для классических компьютеров.
Уже производятся коммерческие защищённые линии связи, надёжность которых обеспечивается методами квантовой криптографии. Так, линии связи фирм MagiQ Technologies и id Quantique способны передавать секретные криптографические ключи на расстояние до 70 км по стандартному оптическому волокну. В отличие от классических схем защиты информации, которые являются лишь практически невскрывае-мыми, то есть невскрываемыми современными суперкомпьютерами за щ разумное время, квантовая криптография опирается на законы кванто-
вой механики и потому может обеспечить абсолютную надёжность.
Вместе с тем квантовый компьютер как вычислительное устройство делает только первые шаги. Требуется добиться выполнения вычислений в течение существенного времени (хотя бы 105 операций), решить проблему накопления ошибок и потери когерентности. Такой же важной задачей является увеличение количества кубитов по крайней мере до 103. Наибольшее количество кубитов КК, достигнутое к настоящему времени в эксперименте, составляет 7 и было продемонстрировано в схеме жидкостного ЯМР компьютера [5]. Однако в этой схеме увеличение количества кубитов свыше 30 считается практически невозможным.
В основе одной из наиболее перспективных схем квантового компьютера лежат взаимодействующие спины электронов в твердотельных квантовых точках [б]. Отработанность полупроводниковых технологий позволяет создавать точки с практически любыми параметрами. По той же * причине здесь нет ограничений на увеличение количества кубитов.
6
В последние 2-3 года началось активное исследование перепутывания * квантовых состояний в спиновых системах, количество работ отражает
значительный интерес специалистов к этому явлению. Создание существенно запутанного состояния оказалось сложной задачей. Вместе с тем, данных по реалистичным системам явно недостаточно. В данной диссертации демонстрируется влияние анизотропии взаимодействия в спиновых системах на запутанность квантовых состояний.
Второй путь построения нанотехнологических вычислительных устройств предполагает реализацию на основе отдельных атомов или электронов классической булевой логики. Биту информации сопоставляется нахождение элемента в одном из двух выбранных состояний. В литературе предложены спиновые логические элементы, опирающиеся на взаимодействие магнитных моментов электронов в квантовых точках. 4 Однако, оценки магнитного поля, которое потребуется накладывать на
отдельные квантовые точки, дают величину порядка 10 Тл. В данной диссертации предложена схема организации магнитных элементов, позволяющая уменьшить требуемое магнитное поле до 1СГ2 Тл и тем самым дающая возможность практической реализации подобных вычислительных устройств.
Не меньший интерес с момента открытия в 1995 году и до настоящего времени вызывает бозе-конденсация атомарных газов щелочных металлов при сверхнизкой температуре порядка 10"8 кельвин. Возможность регулировать параметры конденсата, такие как внешний потенциал, плотность газа и взаимодействие между атомами позволяет экспериментально исследовать свойства различных моделей конденсированного состояния вещества. В течение этих 8 лет Нобелевский комитет уже дважды присудил премии по физике за работы, посвящённые бозе-кон-денсации, отражая важность этих исследований как для теории, так и ч для практических применений. Однако об особенностях таких систем
7
при сравнителько малом числе частиц известно мало. В данной диссертации представлены результаты исследования мезоскопической одномерной бозе-системы с притяжением, демонстрирующей необычное поведение даже в макроскопическом случае. Получено аналитическое описание данного эффекта.
Между тем, мезоскопические эффекты оказываются наиболее трудными для изучения. В то время как для исследования и описания макроскопических систем достаточно развиты и успешно применяются методы статистической механики, а для одиночных частиц ту же роль выполняют методы квантовой механики, промежуточный случай одинаково сложен для обоих подходов и чаще всего поддаётся исследованию лишь численными методами. Моделирование такой системы расчётом “из первых принципов” оказывается основным методом предсказания её экспериментальных свойств. Прогресс современных вычислительных комплексов позволяет исследовать квантовые модели из 100 и более частиц. Одним из наиболее перспективных и универсальных подходов является квантовый метод Монте-Карло. Однако существуют проблемы, принципиально ограничивающие его возможности даже при существенном увеличении вычислительных затрат. В данной диссертации представлен новый эффективный алгоритм, свободный от этой проблемы.
Цель работы:
1. Разработка новых эффективых численных алгоритмов для моделирования квантовых систем;
2. численное исследование мезоскопических бозонных и спиновых систем, выявление новых фазовых состояний, анализ особенностей поведения с уменьшением числа слагающих систему частиц;
3. расчёт реальных элементов вычислительных устройств.
8
Структура и объём диссертации
Диссертация состоит из Введения, пяти Глав и Заключения. Общий объём - 111 страниц, включая 34 иллюстрации и список литературы из 90 наименований.
Глава 1 посвящена исследованию квазиодномерного притягивающегося бозе-газа во вращающемся сосуде. Найдена область параметров, при которых система в макроскопическом пределе (IV —> оо) проявляет свойство невращающейся жидкости (эффект Хесса-Фербенка).
В Главе 2 описан метод численного моделирования данной системы в случае конечного числа частиц N ~ 10..100. Результаты моделирования и обсуждение мезоскопических эффектов представлены в Главе 3.
Глава 4 посвящена перепутыванию квантовых состояний твердотельных спиновых систем, рассматриваемых в настоящее время как один из вариантов для реализации квантовых вычислений. Представлены результаты по запутанности мезоскопических спиновых систем (от 4 до 16 узлов решётки) в общем случае анизотропии взаимодействия и произвольного внешнего магнитного поля. •
В Главе 5 представлен способ организации спиновых систем для классических вычислений в основном состоянии, позволяющий значительно повысить их чувствительность к внешнему магнитному ПОЛЮ.
В Заключении кратко перечислены результаты диссертации.
На защиту выносятся следующие основные положения:
1. Разработка и реализация эффективного траекторного алгоритма квантового Монте-Карло в импульсном представлении, расширяющего класс моделей, которые можно изучать кластерными методами, и ослабляющего проблему знака.
♦
9
2. Демонстрация поведения квазиодномерной системы притягивающихся бозонов в тороидальном вращающемся сосуде как невраща-ющейся жидкости (эффект Хесса-Фербенка); данное поведение сохраняется при сравнительно малом числе частиц порядка 10. Определена фазовая картина эффекта.
3. Анализ чувствительности классических вычислительных элементов на основе взаимодействующих магнитных моментов. Показано, что она кардинально увеличивается при использовании вырождения основного состояния.
Существенная зависимость парной запутанности квантовых состояний спиновой цепочки в магнитном поле от анизотропии взаимодействия, заключающаяся в увеличении энтропии запутанности и расширении диапазона рабочего магнитного поля при усилении анизотропии.
Основные результаты, полученные в диссертации:
1. Для квазиодномерного бозе-газа с притяжением во вращающемся тороидальном сосуде подтверждено существование эффекта макроскопического квантования вращательного момента (эффекта Хесса-Фербенка), при котором система не увлекается стенками сосуда. Аналитически найдена область существования эффекта.
2. Подтверждено существование эффекта Хесса-Фербен ка в квазиодномерной бозе-системе с притяжением при числе частиц порядка 10. Область параметров, разрешающих эффект, практически совпадает с макроскопическим описанием.
3. Предложен, разработан и реализован новый эффективный алгоритм квантового Монте-Карло, позволяющий исследовать новые
- Київ+380960830922