ОГЛАВЛЕНИЕ
Стр.
ВВЕДЕНИЕ 5
Глава I. ЛИНЕЙНЫЕ СИНГУЛЯРНОСТИ (ДЕФЕКТЫ) УПРУГОГО И МАШИНОГО ПОЛЕЙ. ИХ ОПИСАНИЕ И СВОЙСТВА. ГРАНИЧНЫЙ ФАКТОР В ПОВЕДЕНИИ ДЕФЕКТОВ (ОБЗОР ЛИТЕРАТУРЫ) 9
1. Дислокации и дисклинации - линейные дефекты упругого континуума 10
1.1. Геометрические характеристики дислокаций и дисклинации. Их упругие поля и энергии II
1.2. Проблема границ раздела в теории дислокаций
и дисклинации 15
2. Вихревая нить - носитель магнитного и упругого полей в сверхпроводниках П рода 19
2.1. Наблюдение вихревых нитей. Модельные представления вихрей 20
2.2. Магнитное поведение вихревой нити в сверхпроводящей матрице 22
2.3. Упругие свойства вихревой нити 24
2.4. Граничные задачи для вихревых систем 25
3. Методы решения граничных задач 27
3.1. Методы в теории дислокаций и дисклинаций 27
3.2. Методы в теории вихревых нитей 30
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ 32
Глава П. МЕТОД ВИРТУАЛЬНЫХ ДЕФЕКТОВ В ТЕОРИИ ГРАНИЧНЫХ ЗАДАЧ ДИСЛОКАЦИЙ, ДИСКЛИНАЦИЙ И ВИХРЕВЫХ НИТЕЙ 35
I. Аналогия между теорией дислокаций и теорией
- 3 -
вихревых нитей 35
2. Условия на границах раздела фаз для упругих
и магнитных дефектов 40
3. Метод виртуальных дефектов 44
3.1. "Поверхностные" дислокации для определения упругих полей дефектов в ограниченных средах 45
3.2. Разработка метода виртуальных вихрей 48
4. Заключение и выводы 50
Глава Ш. ДЕФЕКТЫ Б ПЛАСТИНЕ КОНЕЧНОЙ ТОЛЩИНЫ 51
1. Клиновые дисклинации и краевые дислокации
в упругой изотропной плите 51
1.1. Постановка задачи. Составление и решение уравнений 51
1.2. Упругие поля и энергия дисклинационного диполя 62
1.3. Изгиб пластины с дисклинационным диполем 79
1.4. Переход от дисклинационного диполя к краевой дислокации. Поведение краевых дислокаций в
плите 80
1.5. Электронномикроскопические изображения клиновых дисклинаций и краевых дислокаций в
пленках 88
2. Вихревая нить в сверхпроводящей пластине 101
3. Заключение и выводы 106
Глава 1У. ДЕФЕКТЫ В ПРИПОВЕРХНОСТНЫХ СЛОЯХ И
МНОГОФАЗНЫХ МАТЕРИАЛАХ 109
I. Вихревая нить в трехслойном сверхпроводнике
и сверхпроводнике с поверхностной пленкой 109
1.1. Составление уравнений и их решение 109
1.2. Анализ магнитных свойств вихря в сверхпровод-
- 4 -
нике с пленкой и их влияние на магнитные харак-
теристики образца 116
1.3. Вихрь в однородном пространстве, в бесконечной сверхпроводящей матрице и вблизи контакта двух сверхпроводников 130
2. Упругое взаимодействие вихря с одиночными структурными дефектами и с заданным распределением напряжений вблизи поверхности металла 132
2.1. Упругие свойства вихревой нити в полупространстве 133
2.2. Упругое взаимодействие вихря с линейными дефектами в полубесконечном сверхпроводнике 136
2.3. Взаимодействие вихря с приповерхностным распределением упругих напряжений 143
3. Заключение и выводи 148
ОЩИЕ БЫВОда И ПОЛОЖЕНИЯ, ВЫНОСИМЫЕ НА ЗАЩИТУ 152
ПРИЛОЖЕНИЕ I 154
ПРИЛОЖЕНИЕ 2 162
ЛИТЕРАТУРА 164
- 5 -
ВВЕДЕНИЕ
Линейные дефекты упругого и магнитного полей играют определяющие роли в пластических и магнитных эффектах твердых тел. Дислокации и дисклинации являются элементарными носителями трансляционной и ротационной пластической деформации, а вихревые нити переносят магнитный поток в сверхпроводниках второго рода. При этом дефекты упругой подсистемы влияют на сверхпроводимость, и обратно вихревые нити могут воздействовать на пластические свойства материалов при низких температурах. Поэтому изучение линейных сингулярностей упругого и магнитного полей является актуальной научной задачей и служит основой при выявлении прочностных и электро-магнитных свойств материалов, применяемых в народном хозяйстве.
Развитие теории дислокаций и дисклинаций с одной стороны и вихрей с другой стороны имеет много общего. Оба класса линейных сингулярностей были сначала предсказаны теоретически: дислокации - в начале века итальянским механиком Воль-терра, а затем - в 1934 году одновременно рядом ученых при построении моделей пластической деформации; вихревые нити (флюксоиды) впервые были описаны в работах советского физика Л.А.Абрикосова в 1957 году. Затем как трансляционные дислокации, так и флюксоиды были обнаружены в прямом эксперименте, и вплоть до настоящего времени их изучение является предметом экспериментального исследования и многих теоретических разработок.
Важнейшее значение для линейных сингулярностей, обладающих упругими и магнитными полями, имеет их взаимодействие между собой и с другими дефектами. Этим определяются в частности эффект упрочнения при пластической деформации, крити-
- 6 -
ческие токи и магнитные потери в сверхпроводниках. Взаимодействия дефектов полностью зависят от распределения полей дефектов, которое однозначно задается видом граничных условий в гетерофазных и ограниченных средах. Кроме того, взаимодействие дефектов с поверхностями раздела само по себе существенно для упомянутых выше эффектов. Поэтому возникает насущная проблема анализа граничного фактора в поведении дефектов, развития современных методов расчета упругих и магнитных характеристик сингулярностей с учетом граничных условий.
В данной работе рассматривается упругое поведение клиновых дисклинаций и краевых дислокаций в изотропной пластине конечной толщины и упругое и магнитное поведение вихревых нитей вблизи плоских поверхностей раздела. Исследование двух классов сингулярностей совместно обуславливается глубокой аналогией в физике связанных с ниш процессов и в математическом аппарате при решении возникающих краевых задач.
В главе I дается обзор литературных данных о свойствах линейных сингулярностей упругого и магнитных молей. Описываются основные характеристики этих дефектов, приведены данные о распределении полей вблизи прямолинейных дефектов, отмечены особенности этих полей. Приведены факты непосредственного наблюдения вихревых нитей, дислокаций и дисклинаций. Рассмотрены методы решения краевых задач теории упругости и магнитостатики. При этом оказалось, что в ряде важных физических ситуаций, например, для дефектов в пластинах, вихревых нитей в многослойных сверхпроводниках решения до постановки настоящей работы отсутствовали. Учет этого обстоятельства, а также анализ данных литературы позволили сформулировать цель работы: разработка новых методов расчета и теоре-
- 7 -
тический анализ упругих и магнитных полей дефектов в телах с плоскими поверхностями раздела и их применение в электронно-микроскопических исследованиях дефектных структур и изучении электро-магнитных характеристик сверхпроводящих материалов.
Для достижения этой цели в главе П разрабатываются новые методы расчета упругих и магнитных характеристик дефектов в ограниченных телах. Получает новые модификации метод поверхностных дислокаций и развивается новый метод плоских распределений виртуальных вихревых нитей. Центральную роль при этом играет аналогия между носителями квантованной пластической деформации - дислокациями и дисклинациями и носителями квантованного магнитного потока - вихревыми нитями.Раз-работаниые в данной главе методы реализуются при решении конкретных задач в главах III и 1У.
В главе Ш детально исследуются упругие поля и энергии клиновых дисклинаций в пластине конечной толщины. Осуществляется переход от полученных результатов к известным соотношениям для краевых дислокаций в пластине. Определен изгиб пластины дисклинациями и их собственная энергия, которая в этом случае оказывается сравнительно небольшой, что тлеет решающее значение для зарождения дисклинаций в тонких пленках. Рассчитаны электронно-микроскопические изображения дислокаций и дисклинаций с учетом граничного фактора.
В 1У главе изучаются свойства вихревых нитей применительно к поверхностным слоям и многофазным материалам. Эти задачи решаются как модельные для сверхпроводника с приповерхностной пленкой, возникающей в ходе внешнего воздействия, и для сверхпроводника, имеющего структуру типа "сэндвич". Рассмотрено упругое взаимодействие дефектов структуры с вихревыми нитями вблизи свободной поверхности сверхпроводника,от-
- 8 -
ветственное за возникновение особых шшинговых свойств приповерхностного слоя материала.
Содержание диссертации отражено в работах [1а - 7а].
- 9 -
ГЛАВА I. ЛИНЕЙНЫЕ СИНГУЛЯРНОСТИ (ДЕФЕКТЫ) УПРУГОГО И ГЛАШИНОГО ПОЛЕЙ. ИХ ОПИСАНИЕ И СВОЙСТВА. ГРАНИЧНЫЙ ФАКТОР В ПОВЕДЕНИИ ДЕФЕКТОВ (ОБЗОР ЛИТЕРАТУРЫ)
Выбор линейных сингулярностей магнитных полей (вихревых нитей) и линейных дефектов упругого континуума (дисклинаций и дислокаций) в качестве объединенного объекта исследования не случаен и, как будет показано в главе П данной работы, имеет глубокую физическую основу. Соответствие между теорией упругости и электромагнитной теорией Максвелла хорошо известно [ I ] . Внешне оно проявляется в подобии основных уравнений, в одинаковости методических приемов их решения. Более глубокие аналогии существуют между магнитостатикой и континуальной теорией дефектов [ 2,3 ] . Как показано в [з] , многим соотношениям электромагнитной теории отвечают аналогичные выражения в теории дислокаций. Это подобие является полезным как при расчете упругих характеристик дислокаций, так и при анализе физической стороны явлений. Например, закон сохранения вектора Бюргерса вдоль линий дислокаций может быть обоснован с использованием правила Кирхгофа для разветвляющихся токов [з,4] . В данной работе рассматриваются аналогии иного плана: между вихревыми нитями в сверхпроводниках и линейными дефектами в упругом теле, при этом особый упор делается на выполнение граничных условий. Ранее такая идея не выдвигалась, поэтому в обзоре свойства этих двух классов дефектов описываются отдельно, а обобщения даются только гои обзоре методов граничных задач.
- 10 -
I. Дислокации и дисклинации - линейные дефекты упругого континуума
За 50 лет развития теории дислокаций (не учитывая работ Вольтерра [б] и других механиков, рассматривавших дислокацию как явление более математическое, чем реальное), проведены многочисленные исследования свойств этих линейных дефектов и их роли в процессах, протекающих в твердых телах. Особую важность дислокации приобрели в физике прочности и пластичности [б—9] : объяснение многих механизмов деформации и разрушения материалов опирается на развитый дислокационный подход. Поэтому применительно к дислокациям решен широкий круг математических и модельных задач. Однако исследования последних лет показали, что не все явления в твердых телах поддаются дислокационному описанию. При больших уровнях деформации материалов наблюдается явление фрагментации [ю] , которому сопутствует наличие оборванных границ блоков, фрагментов и зерен, что косвенно доказывает существование в металлах дефектов поворотного типа, приводящих к раз-ориентации материала соседних областей - дисклинаций. В сфере модельных описаний деформационных свойств металлов на стадии коллективных эффектов в дислокационных ансамблях полезным оказалось оперировать дисклинациями [п-1з] . Теория дисклинаций бурно развивается. Прямые наблюдения дисклинаций различного типа сделаны в жидких кристаллах [14 ] , в доменной структуре ферромагнетиков [15] , в решетках вихревых нитей сверхпроводников П рода [16 ]. В кристаллических твердых телах однозначных прямых доказательств существования дис-клинационных дефектов пока не получено. Одной из причин этого является отсутствие формул для упругих полей дисклинаций
- II -
в тонких пленках, как основы для идентификации электронно-микроскопических снимков кристаллов с дефектами. Устранение этого пробела по отношению к клиновым дисклинациям является одной из целей данной работы.
Приведем краткие сведения о геометрическом и статическом описании дислокаций и дисклинаций и граничных проблемах их теории.
1.1. Геометрические характеристики дислокаций и дисклинаций. Их упругие поля и энергии
Дислокации и дисклинации образуют единую группу дислокаций Вольтерра [б] , являющуюся частным случаем более широкого класса дефектов - дислокаций Сомилианы [I?] . Следуя классической методике введения дислокаций Вольтерра, представим круглый цилиндр с ненулевым внутренним радиусом и мысленно произведем разрез цилиндра по произвольной плоскости, создаваемой его осью и образующей. Получение дислокаций (современное название дислокаций Вольтерра 1,2,3 рода) и дисклинаций (дислокаций Вольтерра 4,5,6 рода) связано с операциями трансляции и разворота берегов разреза выделенной плоскости, выбрасыванием материала там, где края разреза налегают друг на друга, или заполнением появившихся пустот, и последующей склейкой берегов разреза [=] . Если материал обладает упругостью, то после снятия внешних нагрузок происходит частичная релаксация, в результате в материале остаются напряжения, не создаваемые ни объемными, ни поверхностными силами. Смещение берегов разреза на постоянный вектор Ь , называемый вектором Бюргерса, перпендикулярный или параллельный оси цилиндра, приводит к образованию краевых и винтовых дислокаций.Развороты плоскостей разреза на постоянный угол Ы вокруг про-
извольно взятой оси создают клиновую дисклинацию и дисклинации кручения.
Из вышеизложенного следует, что дислокации характеризуются направлением линии дефекта и вектором невязки берегов разреза - вектором Бюргерса I [4] . Геометрическими характеристиками дисклинаций являются орт линии дефекта , вектор поворота Ь5 и вектор смещения оси поворота относительно линии дефекта [18 ] . Выбор положительных напра-
влений векторов Ь , 6 и Ь5 произволен. Для дислокаций взаимная ориентация I и 1> однозначно определяется правилом построения контура Бюргерса [4] . Математически вектор Бюргерса дислокации в упругом теле выражается с помощью интегрирования дисторсии по контуру Бюргерса С [4]
<р^/3г с!г , (I)
(Г -
£ - радиус-вектор.
Очевидно, что знак дисклинации, определяемый соотношением Ь и , можно задать, исходя из аналогичного (I) правила интегрирования [18]:
Х£ = с!г, (2)
С —
- вектор поворота. Несмотря на видимую аналогию дислока-ций и дисклинаций, имеется существенное различие мезду ними, связанное с физической неразличимостью полоттельных и отрицательных дислокаций и, напротив, с различностью разнознаковых клиновых дисклинаций [18]. Принято считать клиновые дисклинации положительными, если они образованы извлечением клина из цилиндра, отрицательными - в противном случае.Подчеркнем, что выражения (1,2) имеют место для дефектов в уп-
- 13 -
ругом континууме, в пластичной среде создается ситуация, когда о и ^ не могут быть определены по Ф.(1,2), поскольку нет упругих полей. Еще одной геометрической особенностью дис-клинаций является то, что ее ось поворота должна быть строго фиксирована, тогда так для дислокации пространственное положение & не имеет значения. В общем случае ^ и не будут располагаться вместе (для криволинейных дисклинаций это невозможно). Перемещение оси поворота на Ко соответствует добавлению к дисклинации дислокации с вектором Бюргерса Ъ = ъ5 * 1*4 . В связи с этим удобно рассматривать дискли-
нацшо общего типа как сумму дисклинации, у которой линия и ось поворота совмещены, и дислокации.
Определение упругих полей дислокаций и дисклинаций в бесконечной упругой среде связано с представлением их как сингулярных линий, абстрагируясь от граничных условий в ядре дефекта. Тогда, следуя [19] , для тензора напряжений б() дислокаций и дисклинаций, распределенных с плотностями обкт и Окт соответственно, в изотропном континууме имеем:
&Рг._ . _±
бу(г)=<1Г 1К,кип(е1К&о(,]е(Г0)(1р + 6((|)(г') + з(-1-У) ‘
•{зСК.^К " 8у- К(К.нп)бк&тоСте.(Г() +(К,1] “К,По)0К«|]с1 (3)
где От - модуль сдвига, ^ - коэффициент Пуассона, К -модуль относительного радиус-вектора Й=Г- ('' , запятая
означает дифференцирование, и бук - единичные тен-
зоры 2-го и 3-го рангов, ( %ф - операция симметризации тензора. Суммирование производится по повторяющимся индексам. Для изолированных прямолинейных дефектов, которым в дальнейшем будут посвящены разделы работы, поля напряжений
- 14 -
в бесконечном упругом изотропном теле представляются в виде производных функции напряжений Эйри $ [20]:
(4а)
бга - ^ X/3 ^ ; (46)
СП .V» К 1 03 X .3* СО X ** • (4в)
б55 = 9(<5и1 +622) , (4г)
где линия дефекта лежит вдоль оси Х3 . Для краевых дислокаций с вектором Бюргерса она имеет вид: ус-к-
•(Ь1Х24-Ь2Хл), Л™ клиновых дисклинаций с Ы =
•Т>ыЛг [21], где 1Г2=Х^+Хг2 , $ * &/2П*-У)-
Заметим, что функция напряжений краевой дислокации находится простым дифференцированием по одной из координат (в зависимости от ориентации вектора Бюргерса дислокации) функции Эйри клиновой дисклинации. Это представление оказывается полезным при решении многих эквивалентных задач теории упругости для дисклинаций и дислокаций. В заключение рассмотрения упругих полей дефектов приведем единственное условие, которое накладывается на них в равновесном континууме в отсутствие объемных СИЛ [ю]
= 0 . (5)
Упругая энергия дефектов в рамках линейной теории упругости определяется интегрированием плотности энергии бубу/й ( - деформация) по объему тела. Для рассматриваемых ли-
нейных дефектов энергия соответствует половине работы напряжений по смещению берегов разреза на Ь или О) . Известно, ЧТО в цилиндре С внутренним радиусом 'Г'о и внешним ^ погонная энергия прямолинейной краевой дислокации определя-
- 15 -
ется формулой [4]:
"Е - Ъ/п . (ба)
для энергии клиновой диоклинации справедливо соотношение [18]: у^=Ъ(л5а^8 _ (6б)
Оценки показывают, что дисклинация с иГ= 1° в кристалле размером Ю“3 см имеет энергию, на 4 порядка превышающую энергию дислокации. Это обстоятельство накладывает серьезные ограничения на существование дисклинаций в объеме, в то время гак вблизи границ материала энергия Е может понижаться и становиться сравнимой с энергией дислокации [22].
1.2. Проблема границ раздела в теории дислокаций и дисклинаций
Исследование упругих свойств дефектов с учетом фактора внешних и внутренних границ в силу своей важности и актуальности является областью приложения сил многих ученых. В теории дислокаций насчитывается более 150 работ, посвященных различным граничным задачам. Большинство из них рассмотрено в обширных обзорах [21,23,24]. Круг краевых задач, решенных применительно к дисклинациям, гораздо уже, хотя именно для дисклинаций учет граничных условий имеет принципиальное значение, поскольку отдельная дисклинация обладает расходимостью упругих полей и всегда "чувствует" граничные условия, например, на любом (сколь угодно большом) расстоянии от свободной поверхности [22]. В результате упругие характеристики дисклинаций во многом определяются видом граничных условий. Поскольку в данной работе будет рассматриваться решение упругой задачи для дисклинаций и дислокаций в пластине конечной тол-
- Київ+380960830922