2
СОДЕРЖАНИЕ
Введение Глава 1 Морфологические меры и анализ 3 11
1.1 распределенной хаотической динамики. Математическая морфология: 12
1.2 функционалы Минковского Г омотопические инварианты и 15
Глава 2 топологическая сложность карт. Реконструкция динамики глобального 19
2.1 магнитного поля Солнца из топологии сечений синоптических карт. Эйлерова характеристика и солнечный 19
2.2 цикл. Спектральный и вейвлет-анализ 21
Глава 3 временного ряда х-Эмбедология 24
3.1 Оценки размерности для 26
3.2 реконструкции динамики глобального магнитного поля. Оценка взаимной связи двух 29
Глава 4 аттракторов. Нейронные сети и прогноз 32
4.1 Линейный прогноз 32
4.2 Локальный многомерный прогноз 32
4.3 Нейронные сети 33
4.4 Нейропрогноз 35
4.5 Нейропрогноз Солнечных циклов 38
Заключение. Список использованных источников Приложение 40 42 47
3
ВВЕДЕНИЕ
Подходите к вашим задачам с правильного конца и начинайте с ответов. Тогда в один прекрасный день вы, возможно, найдете правильный вопрос.
Р. ванГулик.
Традиции линейного моделирования во многом обусловлены догмами классической аналитики, как единственного универсального способа описания наблюдаемых явлений. Основная из догм заключается в утверждении, что все, что может произойти, может быть и “сказано”, т.е. выражено на языке математических символов, законная комбинация которых отображает действительное или возможное состояние процесса. Одним из существенных сторон такого универсального контекста является разделимость явления или переменных, в которых оно описывается и их независимость. Поэтому, основная стратегия в правильном аналитическом "изображении" процесса заключается в поиске такого способа описания (или такой системы отсчета) в которой допускается независимое изменение элементов символической схемы. Это путь на котором часто приходится принимать за истину то, что является только преимуществом, за которые надо платить, отбрасывая, например, "малые" члены в уравнениях или исключая “несущественные” связи. Итогом упомянутых процедур обычно является ответ в форме “приближения линейных мод”. Он стал настолько привычным, что наша вера в представимость сложного, как суперпозиции простых линейных фактов, стала почти канонической. Исследования нелинейных случаев, при рассмотрении систем, имеющих много степеней свободы, сводились обычно либо к уравнениями гиперболического типа, или редуцировались к линейной схеме с малыми возмущениями, в рамках упомянутого приближения.
Основной недостаток аналитического контекста - его избыточность в смысле определений: он не содержит собственных средств, с помощью которых мы могли бы провести различие между действительным и возможным. Чтобы сделать этот подход в полной мере пригодным для практики, следует конечно обратиться к эксперименту. Однако, здесь возникают большие трудности при сравнении решений уравнений с наблюдениями, во первых, потому что переменные, которые входят в уравнения содержат обычно ненаблюдаемые величины, и во вторых, потому что аналитическое
4
решение часто требует таких упрощений исходных уравнений, после которых они уже непригодны для реальных ситуаций.
Желание не только символически представить наши умозрительные "ожидания" но и объяснить, то что наблюдается, приводит к обратной задаче - восстановление модели непосредственно из наблюдений. Однако в рамках описанного контекста, для ее решения существовало совсем немного технических средств. В лучшем случае они сводились к полуэмпирическому формализму поординатных методов анализа временных рядов. Такие методы не отвечали на главный вопрос: какова природа источника сигнала, поскольку такая модель (периодическая или стохастическая) закладывалась в сам метод. Моделирование в этой ситуации сводится обычно к нахождению свободных параметров какой-либо регрессионной модели. При этом приходится предполагать выполнение некоторых условий (эргодичности, стационарности и конечномерности), которые в большинстве случаев нельзя ни гарантировать ни проверить, ост аваясь в рамках самого линейного аппарата/16,17/.
Ситуация коренным образом изменилась за последние двадцать лет, в связи с новыми представлениями о природе нелинейности. Оказалось, что даже в системах детерминированных уравнений с небольшим числом степеней свободы может возникать сложное стохастическое поведение /1,2/. Для этого существенна качественная природа уравнений, а не их размерность или аналитическая форма. Если уравнения таковы, что решения сильно зависят от начальных условий, малые погрешности начальных данных экспоненциально растут в фазовом потоке, и начиная с некоторого момента времени, будущее состояние системы становится ограниченно предсказуемым. Так возникла новая парадигма Динамического (синонимы: диссипативного,
детерминированного) Хаоса. Траектории диссипативной системы заполняют низкоразмерное инвариантное притягивающее подмножество (аттрактор) в фазовом пространстве, который с точки зрения внешнего наблюдателя ведет себя как информационный процессор, обрабатывающий информацию о начальных данных. Траектории на аттракторе разбегаются в одних (неустойчивых) направлениях и сжимаются в других. Вследствие диссипации, сжатие преобладает и в устойчивых направлениях аттрактор копирует сам себя: сечение фазового потока приобретает самоподобную (странную) структуру канторова множества с дробной размерностью. Информация порождается не только
5
каскадом бифуркаций, приводящих к нарушению симметрии, но и последовательными итерациями, приводящими к все более тонкому разрешению геометрической структуры. Такая “аппаратурная реализация” может исполнять очень сложный функциональный репертуар, меняя поведение от относительно простого, квазипериодического (ламинарного) до турбулентного (стохастического). Первой структурой описанного типа был аттрактор Лоренца предложенный в качестве наглядной модели турбулентности для системы, полученной из уравнений Навье-Стокса с помощью галеркинской процедуры. Строгое понятие аттрактора (только для диффеоморфизмов удовлетворяющих аксиоме А) было предложено Смейлом; моделью аттрактора, в общем случае, являются (дифференцируемые) многообразия и их расслоения /1-6/. Изучение таких экзотических структур требует современных методов геометрии и топологии /2,3/.
С физической точки зрения, все что наблюдаемо, т.е. проявляется с ненулевой вероятностью, тем или иным образом ассоциируется с чем-то типичным (или притягивающим). Новые идеи были безболезненно восприняты экспериментаторами, а понятие структурной устойчивости воспитало у теоретиков здоровое неуважение к формам аналитической модели - важны лишь непрерывность отображения и тип нелинейности, который определяет сценарий перехода к хаосу. Оказалось, что “toy models” более полезная вещь для практики, нежели педантичное стремление сохранить все малые члены в в аналитической схеме.
Огромный интерес к странным аттракторам вызван по меньшей мере двумя обстоятельствми. Во первых, большинство типичных природных систем являются диссипативными и описываются нелинейными уравнениями. Поскольку сценарий перехода к хаосу определяется, главным образом, типом нелинейности, а их не так много, асимптотические режимы нелинейных систем в определенном смысле можно классифицировать. Во вторых, и это очень важно для приложений самоподобная (фрактальная) структура аттрактора позволяет восстановить его образ (с точностью до диффеоморфизмов и предположений о типичности (или превалентности), по проекции на произвольное направление/4-11/. Формально, такая реконструкция представляет собой дифференцируемое вложение в обычное евклидово пространство соответствующей размерности /7-11/.
Метод реконструкции аттрактора из скалярных временных рядов был предложен практически одновременно группой Паккарда
6
/7/ и Такенсом /4,10/. Физический подход Паккарда резюмирован в фразе "эвристическая идея скрытая в методе реконструкции состоит в том, что для спецификации состояния трехмерной системы в произвольный момент времени достаточно измерить зри произвольных независимых величины, причем термин "независимых" имеет не формальное, а операционное определение"/?/. Такенс /4,10/ формализовал эвристику, основываясь на обобщении теоремы Уитни о вложении дифференцируемых многообразий в евклидово пространство /8,11/. В основе формализма лежат две догмы: догма об универсальности непрерывного отображения, простейшим примером которого является сдвиг и догма о трансверсальности,
позволяющая, корректным образом, избежать самопересечения
полученного образа в Нп. В результате оказалось, что гладкой моделью любой детерминированно порожденной наблюдаемой является простое отображение сдвига вдоль скалярного ряда, реализующего его вложение в евклидово пространство.
Необходимая для этого процедура, которую теперь называют каноническим алгоритмом Такенса/5/, конструктивна в том смысле, что позволяет оценить размерность (или емкость) образа и некоторые другие важные динамические характеристики
диффеоморфной копии аттрактора/1,6,12,13/. Экспериментатор получил наконец уникальную возможность начать с ответа: реконструировать универсальную модель системы непосредственно из наблюдаемых проекций динамики (временных рядов) /1,5,7-15/.
Более сложной и менее изученной, до сих пор остается распределенная динамическая система. Хаотические сценарии ее динамики принято называть пространственно-временным хаосом /1/, который реализуется нелинейными процессами, протекающими в неоднородных и неизотропных средах. Взаимодействие распределенного процесса и среды, в которой он протекает, порождает, пространственно-временные поля или дискретные потоки событий (сцены). В большинстве интересных случаев такие сцены имеют афинно-подобную (мультифрактальную) структуру/22/ и нетривиальную топологию, которые продуцируют в эксперименте хаотические многомерные данные /5/.
Возможности прямого применения алгоритма Такенса /8,9,10,/ к таким наблюдаемым существенно ограничены вычислительными трудностями, поскольку для построения вложений приходится работать в матричных пространствах. Кроме того, динамические режимы сцен часто представлены в наблюдениях, в
- Київ+380960830922