Исследование некоторых проблем устойчивости и хаотического поведения в небесной механике

Оглавление
Введение 5
Д) Алгоритмы нормализации гамильтоновых систем и методы компьютерной алгебры 20
1.1 Разложение гамильтониана в ряд Тейлора . . . .......... 22
1.2 Линейная нормализация.................................. 26
1.3 Нелинейная нормализация................................ 29
1.4 Реализация алгоритмов на ЭВМ........................... 36
1.4.1 Программный комплекс на языке РЕДЬЮС............. 36
1.4.2 Примеры применения комплекса «Норма»............. 39
1.4.3 Программный комплекс на языке МЕЙПЛ.............. 41
1.4.4 Пример применения комплекса «НФ»................. 45
1.5 Выводы................................................. 46
2 Исследование вращательной динамики спутника методами компьютерной алгебры 49
2.1 Гиперболоидальная прецессия динамически-симметричного
спутника. Нормальные формы гамильтониана................ 49
2.1.1 Исходная гамильтонова система.................... 51
2.1.2 Нормализация системы............................. 53
2.1.3 Аналитическая сложность нормальных форм .... 58
2.1.4 Приложение к анализу устойчивости................ 61
2.2 Случаи цилиндрической и конической прецессий........... 66
2.3 Либрации несимметричного спутника относительно центра
масс на круговой орбите ................................ 69
2.3.1 Нормализация и интегрирование системы............ 71
1
2.3.2 Реализация аналитических вычислений............... 75
2.3.3 Сравнение аналитического решения с численным . . 76
2.3.4 Погрешность аналитического решения в зависимости от времени...................;...................... 79
2.4 Выводы................................................... 85
3; Метод численного вывода аналитических выражений 89
3.1 Теоретические основы метода численного вывода............ 91
3.2 Программная реализация метода численного вывода .... 97
3.3 Выводы................................................. 103
(4) Хаотическая динамика астероидов: скачки эксцентриситета 104
4.1 Качественный характер распределений интервалов между скачками эксцентриситета....................................108
4.2 Статистический анализ орбит со скачками эксцентриситета 110
4.3 Теоретическая интерпретация: эффект критического движения ......................................................119
4.4 Выводы...................................................123
( 5^ Эффекты перемежаемости и сепаратрисное отображение 124
5.1 Сепаратрисное отображение................................125
5.2 Условие перемежаемости...................................128
5.3 Приложение к задаче о динамике астероидов в резонансе средних движений 3/1 с Юпитером.............................135
5.4 Спектры чисел вращения хаотического движения.............143
5.4.1 Аппроксимация критического движения сепаратрис-ным отображением .......................................143
5.4.2 Моделирование спектров чисел вращения ............146
5.4.3 Пример оценки параметров аппроксимирующего СО 147
5.5 Выводы...................................................150
2
6 Времена возвратов и ляпуновские времена хаотического движения 153
6.1 Вычисление показателей Ляпунова...........................155
6.2 Сепаратрисное отображение и универсальная зависимость . 156
6.3 Численные примеры.........................................160
6.4 Критические явления в динамике астероидов.................167
6.5 Выводы....................................................172
7 Хаотическое движение в спин-орбитальных резонансах 174
7.1 Спии-орбитальная динамика и сепаратрисное отображение 174
7.2 Сепаратрисное алгоритмическое отображение.................176
7.3 Алгоритм регулярной проекции..............................178
7.4 Движение в окрестности сепаратрисы синхронного резонанса ...........................................................181
7.5 Об устойчивости относительно наклона оси вращения . . . 187
7.5.1 Система координат и уравнения движения.............188
7.5.2 Анализ распределений значений показателей Ляпунова ......................................................190
7.5.3 Анализ устойчивости на представительном сечении фазового пространства....................................194
7.6 Выводы....................................................199
8 Орбитальные резонансы и сепаратрисное алгоритмическое отображение 201
8 Л Сепаратрисное алгоритмическое отображение в бирезо-
нансном случае...........................................202
8.2 Алгоритм регулярной проекции в бирезопансном случае . . 205
8.3 Приложение к движению в орбитальном резонансе.............207
8.4 Выводы....................................................213
9 Синхронизация сепаратрисного отображения 214
9.1 Процедура синхронизации ..................................217
9.2 Синхронизация в случае симметричного возмущения .... 221
3
9.3 Пример асимметричного возмущения....................223
9.4 Изгибание хаотического слоя в высокочастотном пределе возмущения..............................................228
9.5 Выводы..............................................231
Заключение 232
Приложение. Интегралы Мельникова—Арнольда 238
Список литературы 243
4
Введение
Общая характеристика работы
%
В настоящей диссертации анализируются проблемы разработки алгоритмов и специализированных программных комплексов (в системах анали-^ тических вычислений), ориентированных на решение качественных задач небесной механики; рас смотрены проблемы исследования устойчи-вости движения методами компьютерной алгебры; исследуются задачи ^ хаотической динамики небесных тел и качественные вопросы движения £ небесных тел в орбитальных и спин-орбитальных резонансах.
It A
(у Актуальность темы
^ ^ Актуальность темы диссертационной работы обусловлена, с одной сторо-5 ^ ны, колоссальным развитием компьютерных, в частности компьютерному алгебраических, средств и методов научного исследования в последние
д <3 ----------------- ---------- -----
^ четыре десятилетия, а с другой стороны, современной революцией в ди-
^ ^ намике (произошедшей опять же благодаря ускоренному развитию ЭВМ ^ ^ и методов численного эксперимента), где на первый план вышли исследования хаотического движения. Теоретические исследования в последней области идут в тесной связи с развитием методов численного эксперимента на ЭВМ.
Языки аналитического и численного программирования взаимно дополняют друг друга. Задачи, связанные с аналитическими выкладками, удобно решать с помощью первых, численные задачи - с помощью вторых. Универсальные системы аналитических вычислений (САВ) появились сравнительно недавно, тогда как история языков численного программирования начинается с момента создания первых ЭВМ. До появле-
5
ния CAB возможности применения ЭВМ в аналитических исследованиях были ограниченными. В настоящее время весьма актуальными для небесно-механических исследований являются разработки алгоритмического и программного обеспечения для специализированных систем компьютерной алгебры, экономичного по использованию памяти ЭВМ и обеспечивающего необходимое быстродействие для решения аналитических задач современной небесной механики.
В задаче о нормализации гамильтоновых систем обыкновенных дифференциальных уравнений, имеющей большое значение для исследования устойчивости движения в задачах небесной механики, необходимость обращения к САВ или, иначе говоря, необходимость применения методов компьютерной алгебры не вызывает сомнений, так как нормализация гамильтоновых систем ОДУ является весьма трудоемкой аналитической операцией. Проведение ее «с помощью карандаша и бумаги» требует немало времени. Чем больше число степеней свободы системы, чем выше порядок нормализации, тем настоятельнее необходимость применения САВ. Одной из наиболее существенных проблем (если не самой существенной) здесь является проблема экономии памяти ЭВМ.
В рамках настоящего исследования созданы специализированные программные компьютерно-алгебраические комплексы, которые по экономии памяти ЭВМ и быстродействию значительно превосходят имеющиеся зарубежные аналоги. Эффективность разработанных алгоритмов и программных средств продемонстрирована на конкретных задачах небесной механики. В частности, рассмотрена задача о движении в окрестности регулярных прецессий динамически-симметричного спутника на круговой орбите. Для случая гиперболоидальной прецессии составлен каталог нормальных форм гамильтониана, получены новые результаты относительно устойчивости движения. В рамках другого приложения разработанных программных комплексов построено аналитическое решение задачи о движении несимметричного спутника около центра масс в окрестности относительного равновесия на круговой орбите. Проведено исследование отклонения полученного аналитического решения от истинного
на больших промежутках времени.
Одним из наиболее актуальных направлений исследований в современной небесной механике является изучение фундаментальных статистических закономерностей хаотического движения небесных тел, в частности, их критического движения (движения вблизи границы хаоса в фазовом пространстве). В перспективе, подобные исследования позволят решать задачу прогнозирования хаотической долговременной динамики небесных тел.
В небесной механике изучение эффектов критического движения некоторое время шло без осознания их истинной природы. Сопер и др. [124], Лекар и др. [90], Мьюрисон и др. [102] на основе большого количества численных экспериментов по динамике объектов Солнечной системы пришли к выводу, что времена «резких изменений» в хаотическом орбитальном поведении можно статистически предсказывать с помощью вычисления максимальных характеристических показателей Ляпунова (МХПЛ). Они установили, что между временем резкого орбитального изменения и ляпуновским временем (величина, обратная МХПЛ) существует простая степенная статистическая зависимость с универсальным показателем степени ~ 2. Аналогичная зависимость была найдена Девисоном и Дунканом [91] при моделировании динамики внешней Солнечной системы, а именно астероидного пояса Койпера. Ферраз-Мелло [68] выявил подобную же зависимость в хаотическом поведении астероидов в резонансе средних движений 2/1 с Юпитером. Морбиделли и Фрешле [101] рассмотрели возможность теоретического объяснения универсального характера наблюдаемых зависимостей в рамках обычного диффузионного подхода, но не пришли к положительному результату. В настоящей диссертации показано, что в действительности универсальный характер зависимости проявляется благодаря двум основным причинам: (1) на больших интервалах времени между резкими орбитальными изменениями движение является критическим (траектория «прилипает» к границе хаоса), (2) показатели Ляпунова в реальных численных экспериментах вычисляются на конечных промежутках времени, не превышающих времен
резких орбитальных изменений. Проведенный анализ в рамках резонансной теории критических явлений Б. В. Чирикова [60] дал теоретическую оценку универсального степенного показателя для данной зависимости, равную двум, что близко соответствует наблюдаемым величинам.
Режим «прилипания» хаотической траектории к границе хаоса наглядно проявляется также в распределениях длин возвратов Пуанкаре на больших динамических временах. В небесной механике этот эффект впервые наблюдался И. И. Шевченко и Г. Щоллом [117]. Исследовались статистические распределения длин интервалов между скачками эксцентриситета для хаотических орбит, находящихся в резонансе средних движений 3/1 с Юпитером, в плоской эллиптической ограниченной задаче трех тел «Солнце - Юпитер - астероид». Было установлено, что распределения длительных возвратов подчиняются степенному закон}'. Степенной характер распределений с определенным значением показателя является эффектом критического движения.
Ключевое значение для исследований хаотической динамики небесных тел имеет развитие теории сепаратрисных отображений (отображений, описывающих движение в окрестности сепаратрисы, [46, 58, 92]).
В диссертационной работе выведены так называемые сепаратрисные алгоритмические отображения (CAO), описывающие движение в окрестности сепаратрисы нелинейного резонанса при асимметричном возмущении, что позволяет применить сепаратрисные отображения для анализа реальных небесно-механических систем.
В частности, CAO непосредственно применимо к задаче о плоской вращательной динамике несимметричного спутника на эллиптической орбите. Движение в окрестности сепаратрисы синхронного спин-орбитального резонанса приводимо к CAO. Эта окрестность на самом деле не мала. Обычно она достаточно велика, чтобы охватить наиболее важные резонансы помимо синхронного. В диссертационной работе CAO применяется также для описания движения в окрестности сепаратрисы орбитального резонанса 3/1 в движении естественных спутников планет.
1
Применение CAO дает преимущество в сотни раз в скорости вычи-\
8
слений. Теория CAO позволяет аналитически прсдвычислять положения резонансов и границ хаоса на сечениях фазового пространства; предсказывать появление маргинальных резонансов (то есть сильно перемежающегося хаотического поведения, см. работу [111]). Иными словами, теория CAO дает аналитическое описание структуры фазового пространства в окрестности сепаратрисы нелинейного резонанса.
Таким образом, в диссертации представлены одни из наиболее актуальных направлений исследований в современной небесной механике.
Цели работы
В настоящей диссертации:
1. Ставятся и решаются задачи разработки универсальных алгоритмов и специализированных программных комплексов, предназначенных для нормализации автономных гамильтоновых систем обыкновенных дифференциальных уравнений на ЭВМ в аналитическом виде и позволяющих решать задачи высокого (то есть реального для задач небесной механики) уровня аналитической сложности. Это подразумевает разработку алгоритмов и методов с максимальной экономией памяти ЭВМ. Частные цели при этом состоят в исследовании устойчивости движения в окрестности регулярных прецессий симметричного спутника и построении приближенных аналитических решений уравнений движения несимметричного спутника на круговой орбите.
2. Ставятся и решаются задачи хаотической динамики небесных тел и качественные задачи движения небесных тел в орбитальных и спин-орбитальных резонансах. Первая из основных целей при этом состоит в исследовании фундаментальных статистических закономерностей движения в хаотической компоненте фазового пространства гамильтоновых систем, главным образом в приложении к задачам небесной механики. Вторая основная цель состоит в развитии теории сспаратрисных отображений, что имеет большое поле приложений в небесной механике. В связи с этими двумя целями рассматриваются: задача о динамике астероидов в резонансе средних движении 3/1 с Юпитером, задача об орбитальном ре-
9
зонансе 3/1 в движении спутников планет, задача о вращательном движении несферических естественных спутников планет в спин-орбитальных резонансах. Метод исследования включает как теоретический анализ, так и проведение численных экспериментов на ЭВМ.
Содержание работы
Во введении обоснована актуальность работы, охарактеризованы ее новизна, научное и практическое значение, сформулированы цели исследования. Кратко описаны структура и содержание диссертации.
В первой главе рассматриваются алгоритмы, необходимые для нормализации автономных гамильтоновых систем обыкновенных дифференциальных уравнений в окрестности точки равновесия системы. Это алгоритмы разложения гамильтониана в ряд Тейлора, линейной нормализации и нелинейной нормализации. Предложены алгоритмы наиболее экономные с точки зрения использования памяти при работе в системах компьютерной алгебры. Предполагается, что определяющее уравнение линеаризованной системы имеет только простые чисто мнимые корни. Для проведения нелинейной нормализации применяется метод Депри-Хори, основанный на преобразованиях Ли. Разработки алгоритмов проведены в сотрудничестве с А. Г. Сокольским. Предложенные алгоритмы реализованы в программах специализированного комплекса «Норма», написанного на языке системы аналитических вычислений (САВ) РЕДЫОС.
В этой же главе описан пакет программного обеспечения «НФ» («Нормальная Форма»), также предназначенный для нормализации автономных гамильтоновых систем. Пакет разработан в сотрудничестве с
Н. А. Сушко. Нормализация разложения гамильтониана в окрестности точки равновесия системы в степенной ряд относительно канонических переменных проводится с помощью метода, основанного на преобразованиях Ли. Пакет «НФ» написан на языке системы компьютерной алгебры МЕИПЛ. В отличие от пакета «Норма», нормализация в «НФ» основана на прямых нерекуррентных формулах. Поэтому порядок нормализации ограничен, зато велик выигрыш в экономии памяти ЭВМ из-за устра-
10
нения потребности в вычислении вспомогательных аналитических выражений. Возможности пакета демонстрируются на примере, касающемся исследования устойчивости треугольных точек либрации в плоской круговой ограниченной задаче трех тел.
Во второй главе специализированный программный комплекс «Норма» используется для исследования малых периодических движений в окрестности регулярных прецессий динамически-симметричного спутника на круговой орбите. Исследование проведено в сотрудничестве с А. Г. Сокольским (кому принадлежит участие в постановке проблемы) и Д. А. Сушко (участие в исследовании некоторых резонансных случаев цилиндрической и конической прецессий). Наиболее подробно рассматривается случаи гииерболоидальной прецессии. Получены аналитические выражения для нормальных форм и производящих функций в зависимости от частот системы. Отдельно анализируются возможные резонансы. Достигнут шестой порядок нормализации. Хотя промежуточные аналитические выражения занимают мегабайты оперативной памяти компьютера, итоговые выражения помещаются на одной печатной странице (в резонасных случаях). Полученные аналитические выражения применяются к анализу устойчивости малых периодических движений в окрестности гиперболоидальной прецессии.
Возможности компактных аналитических представлений нормальных форм гамильтонианов, описывающих движение в окрестности регулярных прецессий динамически-симметричного спутника на круговой орбите, обсуждены для всех трех возможных типов прецессии (гиперболои-дальная, цилиндрическая и коническая). С помощью применения специализированного комплекса «Норма» показано, что различие в сложности аналитических представлений коэффициентов нормализованных гамильтонианов для трех типов прецессии является неустранимым в том смысле, что не может быть преодолено посредством введения какой-либо специальной параметризации.
Далее во второй главе исследуются либрации несимметричного спутника относительно его центра масс в окрестности относительного рав-
новесия на круговой орбите. Данное исследование проведено в сотрудничестве с Д. А. Сушко. Специализированный программный комплекс «Норма» применяется для построения нормальной формы гамильтониана и нормализующего преобразования канонических переменных, что дает аналитическое решение задачи в окрестности положения равновесия. Проведена нормализация до 4-го порядка разложения гамильтониана по координатам и импульсам. Для экономии оперативной памяти на разных этапах нормализации используется процедура псрсинициализа-ции коэффициентов производящей функции и вспомогательных полиномов. Исследуется зависимость погрешности аналитического решения от времени па больших временных интервалах. Показано, что наблюдаемая погрешность на больших временах обусловлена главным образом различием между реальными значениями частот системы и их аппроксимацией в нормализованной системе. Поэтому погрешность растет со временем в среднем линейно в результате увеличения временного сдвига аналитического решения относительно точного.
Третья глава посвящена методу численного вывода аналитических выражений, предложенного автором совместно с Н. Н. Васильевым. Суть этого метода состоит в выводе аналитических выражений (зависимостей от символических параметров) посредством их восстановления на множестве фиксированных точных численных значений параметров. Главный инструмент метода численного вывода состоит в Паде-иытерполяции. Рассматривается проблема искажения структуры восстановленных выражений и проблема верификации результатов. Предложен статистический подход к решению этих задач. Рассчитаны вероятности искажения структуры первичных выражений.
Предложенные алгоритмы численного вывода аналитических выражений реализованы в специализированном программном пакете. Этот пакет реализован как надстройка для специализированного комплекса «Норма». Ои позволяет решать задачи нормализации высокого уровня сложности. В качестве примера найдена одна из резонансных нормальных форм гамильтониана, описывающего движение в окрестности гипер-
12
болоидальной прецессии динамически-симметричного спутника на круговой орбите. Метод численного вывода дает значительную экономию памяти ЭВМ (приблизительно 30-кратную в рассмотренном примере). Этот метод естественным образом параллелизуем. Таким образом, экономия памяти преобразуема в выигрыш в скорости вычислений.
В последующих главах рассматриваются вопросы хаотической динамики небесных тел. В четвертой главе исследуется статистическое поведение перемежающихся (демонстрирующих спорадические скачки эксцентриситета) траекторий астероидов в резонансе средних движений 3/1 с Юпитером. Результаты, представленные в данной главе, получены в сотрудничестве с Г.Шоллом. В качестве модельного приближения используется плоская эллиптическая ограниченная задача трех тел. Получены и теоретически интерпретируются функции распределения интервалов времени И между скачками эксцентриситета. Для относительно малых значений О найдено, что распределение имеет пуассоновский характер (убывает по экспоненте), тогда как хвост распределения описывается степенным законом Показатель а для интегральных распределений находится в диапазоне от —2 до —1. Переход от экспоненциального закона к степенному происходит при значениях В = 10°—106 юпитерианских лет. Алгебраический спад в хвосте распределения объясняется эффектом «прилипания» орбиты к границе хаоса, когда интервалы времени между скачками велики.
В пятой главе условие, при котором становятся возможными спорадические скачки (перемежающееся поведение) относительной энергии движения, получено для случая движения в хаотическом слое около сепаратрисы нелинейного резонанса. Оно совпадает с условием существования маргинального резонанса, то есть резопаыса, расположенного у границы слоя. Для описания движения вблизи сепаратрисы используется се-паратрисное отображение (СО) в форме Б. В. Чирикова [46, 58]. Чтобы обеспечить возможность непосредственного сравнения фазовых портретов СО с результатами численного интегрирования, СО синхронизировано к поверхности сечения, наиболее удаленной от седловой точки.
Условие перемежаемости применяется для выяснения природы явления скачков эксцентриситета хаотических траекторий астероидов в соизмеримости средних движении 3/1 с Юпитером. Исходя из этого условия, предсказан и затем идентифицирован в численных экспериментах новый перемежающийся режим резонансного движения астероидов.
В этой же главе предложен метод анализа хаотических траекторий путем построения их спектров тшсел вращения. Спектры чисел вращения визуализируют резонансную структуру хаотического движения. Постро-
ены спектры чисел вращения для перемежающихся (демонстрирующих спорадические скачки эксцентриситета) астероидных орбит в соизмеримости средних движений 3/1 с Юпитером. Вычисление орбит выполнено в рамках плоской эллиптической ограниченной задачи трех тел «Солнце - Юпитер - астероид». Главная особенность вычисленных спектров -пик, проявляющийся из-за «прилипания» траектории к границе хаотического слоя. Показано, что наблюдаемые спектры естественным образом аппроксимируется спектром СО с фиксированными значениями параметров. Моделирование наблюдаемого спектра дает возможность определить значения обоих параметров СО. Предложен также метод числепной оценки параметров СО, основанный на оценке критического числа вращения и критического эллиптического модуля для движения вблизи сепаратрисы. Рассмотрен пример приложения этих двух методов к анализу перемежающейся астероидной траектории. Показано, что они находятся в хорошем согласии.
Шестая глава посвящена анализу условий появления статистической зависимости между Тг, временем возврата (характерным временем хаотического переноса), и 7/,, локальным временем Ляпунова (величиной, обратной численно измеренному максимальному характеристическому показателю Ляпунова, МХПЛ). Эти условия рассматриваются для движения внутри хаотического слоя около сепаратрисы нелинейного резонанса. Показано, что в случае, если значения МХПЛ измеряются на интервалах времени не больше Тг, зависимость близка к квадратичной. Тем самым объяснены результаты, полученные Сопером и др. [124], Лекаром
14
и др. (90], Девисоном и Дунканом [91], Мьюрисоном и др. [102], Ферраз-Мелло [68] в численных исследованиях хаотической динамики малых тел Солнечной системы.
Далее в шестой главе оба рассмотренных эффекта в долговременной хаотической динамике астероидов (а именно, степенной закон убывания в хвостах распределений длин интервалов между скачками эксцентриситета и степенная зависимость между временами возврата и локальными временами Ляпунова) обсуждаются в едином контексте, как критические явления. Зависимости в обоих случаях имеют наблюдаемый вид из-за наличия эффектов аномального динамического переноса в присутствии границы хаоса в разделенном фазовом пространстве, а также из-за наличия эффектов селекции (во втором случае).
D седьмой главе рассматривается плоское вращательное движение несимметричного спутника на эллиптической орбите. Построено двумерное отображение, описывающее движение около сепаратрисы синхронного спин-орбитального резонанса. Это отображение представляет собой обобщение СО Б. В. Чирикова, в том смысле, что учитывается возможная асимметрия возмущения. Выведенное сепаратрисное отображение является алгоритмическим: оно содержит инструкции условного перехода. Выведен также алгоритм регулярной проекции, позволяющий исследовать движение системы на сечениях фазового пространства в случае определения сечений, традиционно используемого в численных экспериментах в прикладных задачах. Фазовые портреты сепаратрисного алгоритмического отображения (CAO) после применения алгоритма регулярной проекции (АРП) в точности воспроизводят известные примеры поверхностей сечения (первоначально вычисленных Уиздомом и др. [138],
Уиздомом [136]) фазового пространства резонансного движения несимметричных естественных спутников. Кроме того, CAO дает непосредственное аналитическое описание фазового пространства: анализ свойств отображения позволяет предвычислять, посредством компактных аналити- ^ ческих соотношений, положение резонансов и границ хаоса, появление маргинальных резонансов, и даже описывать бифуркации центра син-
15
хронного резонанса, хотя последний и удален от сепаратрис.
Далее в седьмой главе изучается устойчивость относительно наклона оси вращения различных режимов вращательного движения несимметричного спутника на эллиптической орбите. Данное исследование проведено в сотрудничестве с А. В. Мельниковым. Предполагается, что ось вращательного движения, устойчивость которого исследуется, совпадает с осью его наибольшего момента инерции и ортогональна орбитальной плоскости. В приложении к поставленной задаче предложен и реализован метод статистического анализа значений максимальных характеристических показателей Ляпунова (МХПЛ). Путем вычисления и анализа распределений значений МХПЛ на представительном множестве начальных данных выявлены основные спин-орбитальные состоящая, в которых некоторые спутники (Гиперион, Фобос, Деймос и Амальтея) могут находиться в ходе своей динамической эволюции при близких к современным значениях эксцентриситета.
В восьмой главе рассматривается хаотическое движение в окрестности сепаратрис орбитальных резонансов в естественных спутниковых системах. Построено сепаратрисное алгоритмическое отображение (CAO) нового типа, описывающее движение в окрестности сепаратрисы модель-нот орбитального резонанса 3/1. Это отображение является бирезонанс-ным, то есть фазовое пространство отображения содержит две первичных резонансных ячейки. Отображение применяется к изучению орбитальной динамики в системе двух спутников Урана, Миранды и Умбри-эля. Фазовые портреты отображения в точности воспроизводят поверхности сечепия фазового пространства орбитальных резонансов, которые эта система могла проходить в течение ее эволюции.
В девятой главе рассматривается процедура синхронизации CAO (унирезонансный случай) к единой поверхности сечения исходной гамильтоновой системы. Эта процедура справедлива и для частного случая симметричного возмущения, то есть для обычного СО. Принятый выбор поверхности сечения дает полное описание фазового пространства движения в окрестности сепаратрисы. Найдено, что в случае высокоча-
стотного возмущения; Л —♦ -foo (где Л есть отношение частоты возмущения к частоте малых фазовых колебаний на резонансе) хаотический слой подвержен сильному изгибанию в том смысле, что при движении в окрестности сепаратрисы амплитуда отклонений по энергии относительно невозмущенного сепаратрисного значения много больше, чем ширина слоя. Однако синхронизированное CAO обеспечивает правильное представление фазового портрета слоя как при низких, так и при высоких значениях параметра Л, если амплитуда возмущения достаточно мала. Это продемонстрировано посредством сравнения фазовых портретов, полученных с помощью синхронизированного CAO, с прямым численным интегрированием исходной гамильтоновой системы.
В заключении приведена сводка основных результатов диссертационной работы.
Приложение содержит краткий справочник по функциям типа интегралов Мельникова-Арнольда. Большинство формул, представленных в этом справочнике, выведено автором.
Содержание глав основано на следующих публикациях: глава 1 - [31, 32, 33, 37, 40, 119], глава 2 - [34, 35, 36, 29, 38, 39, 120, 121], глава 3 -[122, 110], глава 4 - [117, 118], глава 5 - [111, 109], глава 6 - [112, 115], глава 7 - [113, 114, 23, 24], глава 8 - [116], глава 9 (частично) - [111].
Научное и практическое значение
Результаты, представленные в диссертации, имеют практическое значение для разработок в области специализированных систем компьютерной алгебры; исследований устойчивости движения методами компьютерной алгебры; для исследований статистических свойств хаотического движения гамильтоновых динамических систем, в особенности свойств движения у границы хаоса в хаотическом слое около сепаратрисы нелинейного резонанса. Разработанные автором сепаратрисные алгоритмические отображения имеют большое поле приложений не только в задачах небесной механики, но также и во многих прикладных задачах физики - везде,
где рассматривается хаотическое движение в окрестности сепаратрисы
\ | \)
17
нелинейного резонанса.
Благодарности
Часть исследований, нашедших отражение в диссертации, проведена автором в сотрудничестве с H. Н. Васильевым, А. В. Мельниковым, А. Г. Сокольским, Д. А. Сушко, Н. А. Сушко, Г. Шоллом. Всем им автор выражает глубокую благодарность за плодотворное сотрудничество.
Автор искренне благодарен В. А. Антонову, H. Н. Васильеву, Т. В. Ивановой, С. Р. Каримову, А. В. Мельникову, А. Г. Сокольскому Д. А. Сушко, H.A. Сушко и Г. Шоллу за многочис ленные научные обсуждения, С. Ферраз-Мелло за обсуждение ряда своих статей по электронной почте и в личном общении. Автор глубоко признателен В. К. Абалакину за внимание к работе.
Большая часть исследований, результаты которых представлены в диссертации, проводилась под глубоким влиянием идей Б. В. Чирикова. Автор выражает исключительную признательность Б. В. Чирикову за обсуждения и советы.
Автор с благодарностью отмечает, что его исследования, результаты которых представлены в настоящей диссертации, были частично поддержаны в рамках ряда грантов. Автор получил поддержку: по индивидуальному гранту Американского астрономического общества N 717000, 1993 г.;
в качестве руководителя коллективных проектов:
по гранту Российского фонда фундаментальных исследований «Алгоритмизация методов небесной механики в системах компьютерной алгебры» 97-01-01.176-а, 1997- 98 гг.,
по гранту Государственной научно-технической программы «Астрономия» «Специализированные программные комплексы и системы для аналитических вычислений в небесной механике» 1.7.1.2, 1997-99 гг.; в качестве исполнителя в коллективных проектах:
по гранту CNRS/PAH (Франция-Россия) «Моделирование хаотических орбит малых тел Солнечной системы на ЭВМ» 3.10 SDU, 1994-97 гг.,
18
по гранту РФФИ «Исследование условий перехода к хаосу в системах небесной механики и звездной динамики» 95-02-05301-а, 1995 96 гг., по гранту РФФИ «Каталогизация интегрируемых гамильтоновых систем классической небесной механики» 96-01-00572-а, 1996 -97 гг., по гранту РФФИ «Наблюдения и теоретический анализ вращательной динамики естественных спутников планет» 99-02- 16814-а, 1999-2000 гг., по гранту ГНТП «Астрономия» «Резонансы в поступательно-вращательном движении небесных тел» 1.7.4.4, 1997-99 гг.
19
Глава 1
Алгоритмы нормализации гамильтоновых систем и методы компьютерной алгебры
Метод нормальных форм [3, 18, 20] представляет собой один из основных методов аналитической механики. Он применяется главным образом при исследовании устойчивости гамильтоновых систем. Одной из наиболее часто встречающихся при этом задач является исследование устойчивости положения равновесия системы.
В общей постановке цель процедуры нормализации гамильтоновой системы состоит в построении канонического преобразования, приводящего первые члены разложения гамильтониана по степеням координат и импульсов в окрестности положения равновесия к наиболее простому виду. При этом часто (например, при решении задач об устойчивости) интерес представляет не столько производящая функция или формулы преобразования переменных, сколько сама нормальная форма гамильтониана.
Процедура нормализации автономной гамильтоновой системы в окрестности положения равновесия состоит из трех последовательных этапов: (1) разложение функции Гамильтона в ряд по координатам и импульсам в окрестности положения равновесия, (2) линейная нормализация системы и (3) ее нелинейная нормализация.
Эти этапы качественно отличаются друг от друга способом решения соответствующих им задач и по трудоемкости связанных с нахождением решения аналитических выкладок. Наиболее простым является
первый этап, наиболее сложным - третий. Необходимость обращения к системам аналитических вычислений (САВ) или, иначе говоря, необходимость применения методов компьютерной алгебры, на этом последнем этапе не вызывает сомнений, так как нелинейная нормализация является весьма трудоемкой рекурсивной операцией. Проведение ее «с помощью карандаша и бумаги» требует немало времени. На первых двух этапах применение САВ также весьма эффективно. Чем больше число степеней свободы системы, чем выше порядок нормализации, тем настоятельнее необходимость применения САВ.
Методы компьютерной алгебры успешно используются при решении этого круга задач [125]. Разрабатываются новые современные программы нормализации [130, 73]. Одной из наиболее существенных проблем (если не самой существенной), с которой сталкиваются пользователи систем компьютерной алгебры, является проблема экономии оперативной памяти ЭВМ. В настоящей главе рассмотрены алгоритмы, наиболее экономные с этой точки зрения.
Необходимо сказать несколько слов об экономии времени счета. Фактор времени имеет колоссальное значение для численного программирования. При численных расчетах, чтобы получить, скажем, интегральную кривую дифференциального уравнения, надо рассчитать значения функции, дающей решение уравнения, может быть, для нескольких сотен значений аргументов. По сути дела, одна и та же численная процедура применяется сотни раз. САВ дает аналитическое решение, представляющее эту кривую в целом; соответствующая аналитическая процедура применяется только один раз. С другой стороны, из-за ограниченного объема оперативной памяти, решения посредством САВ можно вообще не получить. Эти соображения показывают, что для систем аналитических вычислений алгоритмы с экономией памяти (может быть, и в ущерб времени счета) имеют большее значение, чем для систем численного программирования. Численная нормализация, то есть нормализация гамильтонианов с коэффициентами в виде обычных десятичных чисел с конечным числом значащих цифр, также находит применение при реше-
21
/
нии ряда задач [75, 94]. В этой области существуют свои специфические проблемы, которые здесь не рассматриваются.
1.1 Разложение гамильтониана в ряд Тей-
Разложение функции многих переменных в окрестности заданной точки в ряд по степепям переменных описывается известной формулой Тейлора:
где а?1,... , хп - независимые переменные, ец,... , ап - их фиксированные значения, Лт+1(х1,... ,яп) - остаточный член. Предполагается, что все величины в формуле (1.1) вещественные, и функция / имеет все непрерывные частные производные порядка < т в окрестности точки с координатами 01,... , ап.
Ряд Тейлора не имеет, конечно, смысла вычислять непосредственно по формуле (1.1), так как кратные суммы в этой формуле содержат подобные члены. Разложение (1.1) может быть записано, согласно формуле (П.3.2) из [45], в следующем эквивалентном виде:
лора
(хч - О • • • (*.т - <0 +
"Ь 1 (^1? • • • э^п)}
(1.1)
${х\у. . . , Хп) /(^1> • • • > ^п)