Нестационарные задачи течений в тонком пластическом слое

СОДЕРЖАНИЕ
ЕДЕНИЕ................................................. 4
ABA 1. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ПОСТАНОВКА КОНТАКТНЫХ / КРАЕВЫХ ЗАДАЧ МЕХАНИКИ С РАЗВИТЫМИ
ПЛАСТИЧЕСКИМИ ФОРМОИЗМЕНЕНИЯМИ.................... 23
§1.1.Некоторые сведения из теории напряжений и деформаций 24
- _ |, '__________________________
§ 1.2.У^авнёнйя пластического течения. Математическая.
постановка краевой задачи механики обработки материалов
давлением и теплом...............................j..................42
§1.3.М|тоды теоретического анализа смешанных задач пластического течения............................:...
................46
§1.4.Граничные равнения в контактных задачах пластического
течения.......................................................р/
ABA И. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ТЕЧЕНИЯ
В ТОНКОМ ПЛАСТИЧЕСКОМ СЛОЕ.......................................S6
§2 .Постановка краевой задачи течения в тонком слое
пластического материала ..:.......................................87
—-§2.2.Метод характеристик решения нестационарных задач течения
в тонком пластическом слое.................................V..............................fOO
§2.3.Мстод решения нестационарных задач затрудненного
растекания пластических слоев...............................у09
§2.4.Некоторые приложения теории течения в тонком
пластическом слое........................................... 'У $
ДВА 1И.ИССЛНДОВАНИЕ ПЛАСТИЧЕСКИХ ТЕЧЕНИЙ В ТОНКОМ
СЛОЕ ПРИ СЛОЖНЫХ ТЕРМОСИЛОВЫХ НАГРУЗКАХ ......................... 133
§3.1.К '• задач пластического
тонких слез- •••—^pt-'y ~срмос иловых нагрузках...
§3 2.т?чспластического мат\? >лгча в толком cj-.ee • • аи
комбинированных силовых ЬоЗДСЙСТВИЯХ.........•......
§З.З.Нелинсйная задача о распределении температуры в
пластическом слое............................... :........ /53
§ 3.4. Пластические течения в кусочно-однородном слое......... 165
ВА 1У.ПОСТАНОВКА И РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ТЕЧЕНИЯ В ТОНКОМ СЛОЕ ПЛАСТИЧЕСКОГО МАТЕРИАЛА С УЧЕТОМ АНИ-ЗСТРОПНОСТИ СВОЙСТВ КОНТАКТНОЙ ПОВЕРХНОСТИ 1?(
§4,1.Постановка задач течения в тонком пластическом слое с
... • - ---------------------
учетом анизотропности свойств контактной поверхности 172.
I
§4.;2.Мстод характеристик в решении задач растекания тонкого
| слоя по поверхностям с анизотропными свойствами.......... 177
§4 3.Задача о свободном растекании пластического слоя ....... 183
кВА У.МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ, СВЯЗАННЫЕ С УПРАВЛЕНИЕМ! СИЛАМИ КОНТАКТНОГО ТРЕНИЯ В ЗАДАЧАХ
МЕХАНИКИ ПЛАСТИЧЕСКОЙ ОБРАБОТКИ................................ 192
§5.1.Математическая постановка связанной задачи о контактном взаимсдействии твердых и пластически деформируемых тел
с активным влиянием объемов промежуточных смазок.......... /93
§5.2.0бобщение задачи Л.Прандтля об осадке полосы с учетом
поведение смазки......................................... 193
§5.3.0еесимметричные течения в тонком слое при ело» чых силовых воздействиях с учетом объема промежуточной
среды .................................................... 206
КЛЮЧЕНИЕ .......................................................... 2/0
ТЕРАТУРА ............................................................. >
штамповка и прессование
-4-
ВВЕДЕНИЕ Диссертация посвящена исследованию одного класса нестационарных •странственных задач растекания тонкою пластического слоя между двумя
ижающимися поверхностями твердых внешних тел, разработке новых подходов и
I I
одбв их решения. К таким задачам примыкает большинство технологических
г
цессов обработки материалов давлением:
I.--- — ... . - • — ■ •<
кортенных элементов конструкций, дрессировка,, тонколистовая прокатка и т.д.
-I. _ .
сложные физические процессы с разнообразием определяющих параметров, гс^ающис при комбинированных температурных и силовых воздействиях. :ную роль в них чаше играет деформационное и скоростное упрочнение ;р тала. Существенным оказывается учет неоднородностей свойств материла слоя, )м числе как начально заданных неоднородностей (течения в многослойном :те), так и неоднородностей, вызванных теплообменом с внешними телами ячис процессы), тепловыделениями за счет диссипации механической энергии и грева в результате работы сит контактного трения скольжения. Для процессов тичсского течения в тонком слое характерны высокие давления, на порядок ышающие величины сдвиговых напряжений. А значит, неоправданным может аться иеучет упругих деформаций самих воздействутощих тел, что сказывается очности изготовления конечной детали. Важно уметь предсказать и выбирать шы эффективного применения промежуточных смазок в процессах растекания их пласт:-,;:::; поев, что также отражается кг. расчетов
опле-лие я > вбвизи поверхности контакт:., и зо':-мощные оазрушения,
ОМИ//- ЪЧ .г <- VI;'ТГ также отметить, V. 3 -у;кой
белки доатерил/юв даадениещ активно внеоолться штампы и ипст^лпенты, >щие «.он.-.. с анизотропными с ос'/пе:.:.уъ ел л
■ •Су,-''Ч»учЦ: • АД!'#».. >?»'■'
■ %*д£* • -.л У* ■ , |( •, •■;**• " • * •<’-ч'«''ЯУ,,Х
рения (поверхности с рельефными очертаниями), Б связи с чем появилась
у. __________________________________________________________ _ _____..__________-
[еобходимость в создании ^Математических теорий, которые в состоянии юдслировать и такие явле^ия:^д^у1Х)й стороны, математическое моделищ^ше фоцессов с развитыми пластическими формоизменениями, и в частности, течений в
онких слоях, усложняется тем,\что в них, как правило, неизвестными оказь
I. .'л' >
ваются
:ак фаницы областей течения, так неопределены и сами фаничные условиями хотя са ссгодняппшй день ?’ уже ^появились геометрически нелинейные [теории
• • ______ '• - • • ~ 7*,^Г________’_ ........ _ - . •• . * *'**
шастичности, в том тяислеаД! вариант теории упрушгшастич^ю1хж; процессов
УА.Ильюшина на случай конечных деформаций (П.В.Трусов, О.Л.Толоконников, У Л.Бровко, Е.Н.Ьее и др.), однако в силу их чрезвычайно математической ложности они не нашли еще широкого практического применения. Наиболее »аспространенной и обоснованной для описания процессов пластического течения іеталлов в широком диапазоне изменения температур и скорости деформации по
1раву считается теория пластичности для траектории малой кривизны.
Выше мы отмстили лишь некоторые характерные особенности, присущие
фоцессам пластического течения в тонком слое. Это оказывается вполне достаточным подтверждением в актуальности исследований, проводимых в
ггмеченной области механики.
Истоки данной тематики исследований уходят к классической задаче 1.Прандтля о сжатии полосы из идеальноиластического материала между двумя нероховатыми поверхностями твердых тел. Прандтль нашел ноле напряжений, а г1адаи построил кинематическую картищу этого течения, подчиняющегося условию шастичности Мизеса. В частности, это решение подтверждает факт о
троскэл^ыЗаИий материала ла;ссь‘. топи контактов поверхности.
"... , . '.; ! .л. ./ Результаты проведенных Е.П.Унксовым /\$2/ экспериментов на осадке полос
^условиях полного контакта, показалн^етр|^доль | свободного края располагается зона скоЗйжения, где
• /Г) •'/ '•••V ■
ощ Кулона (Т=^-1 ). Далее она перехс^гг " вг; зону 1я|р возрастает вглубь слоя, а сила трения Шэи г этом
шнимального
проводились
із свинца, осущі
юверхности контакта
..... , . . ... . .., ила трения подшил
орможения, ще сила
•• - „
[ринимает постоянное,*
ое значение (2>Т5). И наконец,%щжсЯ5к 'Тлинии етвления течения тфим^якает1 зона застоя, щс напряжение трения | убывает до
ШР~~/ * • ”7/" " -У ; : - ~ /
ныпением отношения ту ц (угонылениё полос) размеры
•уХ.»»«../'
шия соответственно уменьшаются, [сследования по определению напряжении трения на контакте .
Г” ’“ ( 1 ’• 1"?
^.Д.Томленовым /\21^1ЛЯ .Тарковским /124/ и др. учеными /119, 102^34/.
На основе анализа решения Прандтля-Надаи А.А.Ильюшин выдвинул гипотезы
:инематичсского характера, а также относительно сил трения на контакте, с юмощыо которых построил эффективную теорию течения в тонком пластическом
• • • • * ;■* • ~л Ф*Ч* -У : • /
лое /20/. Указанные течения характеризуются высокими контактными давлениями \ на порядок превышающие сдвиговые напряжения.
О
бх^/ср^ -О при ,
ак что определяющими механическими параметрами в таких процессах являются функции давления $г •, а также скоростей течения и ,и вдоль слоя. В стой же
>аботе /20/ приводится .полная система нелинейных., уравнений в. частных фоизводиых первого порядка
3 <1. ‘ IV- V. І г IV- У;
г
(1)
п
\
«о
< &ц). _і і
/V , ■ и. — - о 'У
ля определения .;пр^^.Йрростсй 7 ЯГ(о() ^/*1) . Ч » давления
в области
на заданной основной поверхности/ с первой ифференциальной .формой с!$2 - ^ - / в главщк осях0(;.
»десь стный закон изменения толщины слоя,№^}4^ 1=/,2 -
аданные скорб^^ ч^^^^ннртх движений внепгаих тел, - коэффициенты
рения, а щштг - напряжения трения на крнтакте, которые читаются извес^^^и^ю опыта функциями указанных аргументов.! -
В работе^Щ^хьюшина /21/ решена задача о растекаиш^^^ою. .кольцевого шастичсского слоя постоянной толщины. В работах А. А. Ильюшина /22/, И.А.Кийко 34/ исследована нестационарная плоская задача течения в полосе с ^однородностью свойств по толщине, вызванной интенсивным теплообменом с ;нешними телами. Для определения зон затвердевания, примыкающих к поверхности сонтакта, привлекается принцип минимума мощности внешних сил. С учетом юслсднего обстоятельства им предложен один вариант теэрии пластических ечений в тонком слое. В работе А.И.Кузнецова /87/ приводится решение задачи об >садке пластической полосы с заданной неоднородностью свойств, однако не дается яо обоснование, не проводится качественный его анализ. Для решения задач
- -I . »• . * ; . .
течения пластического с^оя на плоскости А.А.Ильюшин предложил ме..щу аналогий ; песчаной насыпью /21/. В случае А = 1г(Ь) ,- когда линии- тока являются трямыми, он нашел выражение для скоростей течения в точках контура свободного тастекающсйся области
4 ,. \ р
1ЯУ'- я ~
1У = С!л (К - ~7Г 5 ' (3)
тде Р - радиус кривизны в точке контура, Го величина, характеризующая т очку
-іатриваемой линии тока. НаУщ
щШВ^лїі :л щЖ
[ре уравнение, позволяющее восе
іебра поверхности давлеї
1 V? • v • ■>?<•». • •
>У\:Г=-- •• :•
І.Н.Безухов /7/ подучил , oinyp ÿ-fe.«) свобо
пластического слоя
- ' 5 • -5 ;" • "
ю известной начальной обл;
у» у£3£і'>--і) ЛО* > Л /.у.-• ••
г." ' ! •'“ '
ч 1 ' '-:^'у-^у^-^К0ЯИЯмННИВРЯНВ^ТТС>'- . •• • ■ /• • ••*
Дифференциальное .^^ШшенЩ для восстановления коїггура )астекающегося слоя на плоскости в более общем виде ||= || (^С; Ч ,0
получе І0
трйчем доказана теорешрА АЧШржшпа о существовании зоныч^заст >я в
і исследовано в работе Ш;А?Кййко /36/. В* работе /21/ поставлена' стационарная
:адача о прокатке листов при,малой степени обжатия, изучен вопрос существования
• - /: *• < г'у ЙУ :’У-: ?• V -!
/частка сцепления. В работе' 75/ решена эта задача при любой степени обжатия,
{ависимости от ширины прокатываемого листа.
Существенный вклад влразвитис теории течения в тонком пластическом слое
- ■ ■■* т- ■ гг ' • - • *
шее И.А.Кийко /28-39/. Им сформулирована задача течения в тонком пластическом
;лое в пространстве между двумя сближающимися поверхностями Гуйруш-
__________. __________ * ■ v • •
геформирусмых тел, предложен вариационный метод решения задач /28/. JB. работах, П.М.Огибалов и И.А.Кийко /102, 101/ рассчитаны с помощью метода песчаной аналогии контактные давления, общие усилия прессования ребристых пластин, а гакже проведена экспериментальная проверка теоретических результатов. Следует здесь отметить работы И.В.Костарева /51-53/, который на основе теории течения
lOkiKHX iijï ^СГИЧОСКИХ CAOCB pù3p<*oCiciJi ivîO^Oriîïl 1лр^ЦССсОВ iii »
ребристых поковок сложной формы. В работе гО.С.Арутюноьа /5/ для решения задач
ечсния пластических слоев использован метод преобразования Лежандра, с
юмощью которого исследованы плоские и осесимметричные задачи, построены
»пюры истинных контактпых давлений. * . .................................. ..
Задача Л.Прандтля о сжатии пластической полосы, усложненная учетом >азных дополнительных факторов,) продолжает привлекать внимание многих
^следователей. Можно выделить работы С.И.Сснашова /112/, С.С.Григоряна /13/,
^.Н.Мохель и Р.Л.Салганик /95/, и многих др. авторов /17, 40, 104, 114, 117, Д2б!
1.3.1,136/. -• -•-4- .
Как мы выше отметили, возрастает интерес к экспериментально-еоретическим работам по исследованию пластических течений, осуществляемых •
фименением контактных поверхностей, обладающих анизотропными свойствами )тносительно сил трения на контакте. А.И. Александровичем /1, 2/ предложен новый ;акон контактного трения для их описания. Однако, к сожалению, в этом вправлении пока еще отсутствктг глубокие теоретические и экспериментальные )азработки. Следует здесь выделить экспериментальные работы /64, 65/, связанные с
фименением модифицированных рельефноконтурных бойковых инструментов для эадиально обжимных машин.
Цель настоящей работы состоит в совершенствовании предложенной \.А.Ильюшиным теории течения в тонком пластическом слое с учетом требований, федьявляемых современной техникой, к теории и практике расчетов гехнологических процессов обработки материалов давлением, включающей новые гостановки задач пластического течения в тонком слое: разработку методов и у- тение на их основе конкретных прикладных задач.
э.пи к а В диссертации. исполь*у<?тс я <иагег.*а1нчссюш дпиараг
.соМСцЖЧССКИ ь'бЛИНеЙНОЙ теории уПр>ГОПЛао1ПЧСС^цХ процессов; применяются
-."•Л. г ;•
- 10-
летоды уравнений математической физики, в том числе метод характеристик в )ешении задач, описываемых системой нелинейных уравнений в частных троизводных первого порядка, метод малого параметра. Отдельные результаты шссертации основаны на применении классических принципов механики.
Научная новизна. Разработаны новые подходы и методы в решении
4-—; —:---------------------------—I
іестационарньїх задач пластического формоизменения, основанные на теории течения в тонком пластическом слое. Получены новые решения задач течения пластических слоев с учетом; как начальной неоднородности свойств по I толщине, гак и неоднородности свойств, вызванной диссипацией механической энергии и тепловыделением за счет работы сил контактного трения скольжения. С тривлечением дополнительной гипотезы относительно характера течения юстроено решение осесимметричной нестационарной задачи о растекании тонкого слоя при активном использовании на контакте объема промежуточной “смазочной” среды. Предложена новая постановка нестационарных задач течения тонких пластических адосв в пространстве между двумя сближающимися поверхностями с анизотропными свойствами относительно закона трения на контакте; получены точные решения ‘подобия” для конкрстныхзадач свободного растекания слоев.
Достоверность основных положений диссертации подтверждается сравнением с известными в литературе постановками задач и методами их теоретического исследования, а также удовлетворительным соответствием результатов с решениями тестовых и частных примеров. Практически все полученные автором в диссертации решения представлены в аналитическом виде, которые в частных случаях переходят а известные решения.
Практическая цени ость. Результаты диссертации представляют Интерес для теории и практики расчета технологических прицелов обработки матерь ало-
(явлением. Они могут эффективно использоваться на предприятиях
машиностроения, специализирующихся но технологии ковки и штамповки, а также I научных оргатшзациях, занимающихся математическим исследованием контактных фоблсм механики пластических тел. Разработанные в диссертации подходы и методы в решении нестационарных задач течения пластических слоев мог^т быть
ЯЙё
$ключены в спецкурсы | ^:для _ студентов механико-математического
и
машиностроительных факультетов.
Ниже кратко изложим основное содержание работы.
Во введении представлено современное состояние развития исследований по шастическим течениям в областях в форме сравнительно тонкого слоя между двумя ;ближающимися но заданному закону поверхностями твердых тел, подтверждается штуальность проводимых в работе исследований.
Первая глава содержит необходимые сведения из теории напряжений и ^формаций. Приводится один из вариантов обобщения теории упрутшистических троцсссов А.А.Илыошина на случай конечных деформаций. Рассмотрена задача о
;двиге для более общего случая неоднородных деформаций:
ЧД (ос,-Ь)= 1-
J
, Г5)
которая при переходит в задачу о чистом сдвиге. Для нее построены
тензоры конечных деформаций. Показано, что главные оси деформаций,
лерестраиваясь со временем, в пределе приближаются к фиксированным
материальным волокнам, то есть „роцесс деформирования стремится к
^СФСПОННСму. С^СЧСНО, ЧТО Ы Л^ОЦОССО^ ЛЛИС7 ИЧССКСП обрДбст*
ирс^1м>чмСП венно строятся па уравненьлл лсории идас7 лчности для траектории
VIалой кривизны. Приводится математическая постановка связанной контактной краевой задачи пластического течения. Кратко перечислены основные теоретические л экспериментальные методы решения смешанных задач 7пластической обработки v^aтepиaлoв. Это метод линий скольжения в решении плоских задач теории
' П: :
идеальной пластичности (Л.Прандтль, А.А.Илыошин, В.В. Сокол окский, Р.Хилл,
А.Д.Томленов и др.); инженерные методы, основанные на тех или ин}1Х упрощениях /равнений пластического течения (Е.П.Унксов, Р.Хилл и др.); энернетические v^cтoды, основанные на экспериментальных и вариационных принципах механики, в гом числе метод |верхнсй оценки, вариационные методы | (А.А.Марков, А.А.Илыошин, Л.М.Кочанов, Р.Хилл, И.Я.Тарновский, С.Г.Михлин, П.П.Мосолов, Прагер и др.); метода сопротивления материалов пластическому д< формированию (Г.А.Смирнов-Аляев); методы подобия и моделирования процессов пластической обработки материалов (А.А.Илыошин, Л.И.Седов, И.А.Кийко и др.).
В завершении главы излагается предложенный автором подход в решении нестационарных пространственных задач пластического формоизменения. Данный подход основан на уравнениях теории течения в тонком пластическом слое. Он предлагает апостериори известным вдоль заданного направления закон изменения
общего усилия, возбуждающею пластические течения. Рассмотрены конкретные примеры задач объемной штамповки.
Во второй главе формулируется предложенная А.А.Ильюшиным нестационарная краевая задача течения в тонком пластическом слое, описываемая уравнениями (1), (2) и граничным условием
процесса растекания сво;
ициальных уравнении
краевыми условиями в точках контура обл
Исходная задача (1), (2), (6) с использованием метода характеристик, в каждой
(і-
япсшпо системы обыкновенных-
<• .
——-
Гоща, для скорости течения в слое
: одновременным вычислением
Д,(5)=ехр
*№*№4 • • . , _______________________
характеристических линий двух интегралов
УЙ - щЬ|Й -їй) .
-СО)
де ^ - угол между касательной к линии тока и осью ^ ^
') А - постоянная, определяемая из условия ветвления течения 7 О в неизвестных, но определяемых в ходе решения (7) точек следа
>2б'ра ЙОСЭрУ.И5С1Я ДЙАЛеНИд, значения |> -а1" /обй УСЛОВИЯХ (о) ДЛЯ гичек
I * I/
:оитура выбираются одпс’яачно из выполнения условий
где использованы обозначения
"Ш
О (1М.Т О /А8Й' Кгу'&тл.' ’ 'Тув' ».
чиний 0( и^> на основной Поверхности;
. і1'.*?#«!-,-*УіУ1 ■
- касательные радиусы криви; іьі
- геодезическая кривизна
1 ' — ' .іГГГІ ■ *•
линии уровня
.-л— --..І------------------------------------------------
В заключении главы, основываясь л.а уравнениях теории течения в тонком
пластическом слое, автором представлены интересные практические приложения:
- а) решена осесимметричная задача о потери устойчивости тонкостенной
конструкции, иафужасмой возрастающими усилиями сжатия в защемленной приторцевой части;
- б) получено решение плоской задачи о пластическом растяжении тонкой полосы с
Смежным явлением теЧеН11Й в СЛчи'.ЫХ Лр «1Т0рЦ6Й«АX ЧДСТЯЯ, наЯцСпа лЗСрхКВД
<Т\ )
оценка Лрит. ДДм общего усилия сжатия торцов:
- 15 -
V - %), о»
причем показано, что оно меньше значения Р. общего усилия, потребного для
!
пластической осадки той же ча^ти полосы в режиме свободного растекания; | здесь ^2. - Длина! вс$н_ полосы, ес растягиваемой.. и сжатой Частей
соответственно, /і - ес тошцинаі ^ ~~т:—
12.. г
- в) полностью решена неста|щонарная осесимметричная задача штамйовки
; I
кругового диска с ребром затекания.
В третьей главе диссертации рассмотрены нестационарные задачи течения в пластическом слое при сложных термосиловых воздействиях, в том числе как связанные задачи, гак и с заданной неоднородностью свойств матс^чдла г гоя. Это сложные задачи с неизвестными границами областей течения, зонами затвердевания, протекающие посредством " теплообмена с внешними телами, теши ыделением в
результате диссипации механической энергии и разогрева вследствие работы сил контактного трения скольжения. Ставится плоская связанная задача об осадке пластической полосы с учетом указанных выше тепловых явлений, описываема:* уравнениями
~и > лл- 'Ли > П6)
2 .. , 2
1| соответствующими краевыми условиями. -Для {случая, когда толщина полосы \ = 'л (‘У?) есть слабозавиясящая от X фу жция, ее решение получено в виде
юдстановки Прандтля-Надаи
' (20)
б1х= - [ас! I *с+ гтеЩ-(са- + фг> З^^асЬи-с^
'Де
Г(х,у) = -гЛ1] ==%=£== 4}+
(22)
л/тЩ~(с^+Ц
- функции, слабозависящие от ОС. и /слоьий на контуре, а определяется из уравнения (19) после
определяемые из 1раничных
юлеганов-сь ^ и.ее решения (20), (21). & случае адиа£>аг><ореки протекающего
;(\ .Г\ I '
зроцсс|са для определения искомого поля температур^- получаем
уравнение в частных производных первого порядка
'■'’ГГ •
— • -/*. V ..
МШЩ,
Ъ'Х.
£
Р-
(23)
причем характеристики уравнения (23) определяются как естественные траектории
^ а’л ‘г™ \ л ^ ■ ч ' ’ • 'V ’
перемещения частиц слоя в процессе пластического течения:
1)с(^______
Тогда вдоль характеристик (24; температура изменяется согласно уравнению
(24)
(25)
В частном случае описания процесса осадки полосы уравнениями теории течения в
тонком пластическом слое
\ сі А
7) \ с| у\,
Ъх ^ сЦ С у
Хо»
2Т3
V
с? {- °'Ь
+ V
Ъг
I
и
Ь|
Характеристическая система для определения температуры
'*1 *гГ -
ИЛ*а(1+?-
' с V
решается в кв
&
У?*'-*
"'75* -?ТГ^7
'
• , •• ■
...
• і .
цщ» ЩЇ •••
X
О
(27)
(28)
’Кач
Эта же задача (16) - (19) в диссертации решается также и мете том малого параметра. В завершении главы решена нестационарная задача об осадке кусочно -однородной жестконластической трехслойной полосы '________________________________
Г«::., 1уМ
;
<€>Ь2,
(29)
При выполнении условия
Т51 -Р
т:
(30)
которое совпадает с мтлРг-^/ма мощности внешних гг^ /??/, тГС
достигается при
-V
)ешение задачи имеет вид:
(• •‘вэф
ЖІ.
■■ - л--
а-
(а£
Т*3 З
<оуу = -о,х-с?о
<ё = -ал-с?0+ (гУ^г®~(с1^+^)<
(32)
^1Х___
В случае, если
, ■„ ( \ _ Т- < Т^2
Т1 ?]т'"х
течение будет происходить только в центральном слое внешние слои пакета при )ТОМ остаются жесткими.
В четвертой главе рассматриваются нестационарные течения в тонком лластнческом слое между двумя сближающимися поверхностями, обладающими шизотропными свойствами относительно сил контактного .рения. Анизотропия
прения относится к широко распространенному свойству трущихся поверхностей. По существу, в данной главе мы отказываемся от общепринятого закона трения на
контактной поверхности, согласно которому
С -
У-Уг
V
'~Уг
(33)
и означающего, ;что вектор сил компактного трения направлен вдоль скорости
>тноситсльного скольжения частиц слоя относительно поверхности контакта, вместо (33)-принимаем, что
'л: .'.л,-. I-' у;
(34)
которомт тензор характеризует пару трущихся поверхностей. В частности, из
34) следует, что векторы ГХ и - вообще говоря, не коллинеарны. С
/четом представления (34) предложена новая постановка, задач течения в тонком зластичс|ком слое, являющаяся вариантом обобщения Соответствующей постановки 5 виде (1), (2), (6). Для нее обоснован метол характеристик. Выведено щфференциальное уравнение для определения кош-ура ^ свободно
растекающегося слоя между анизотропными плоскостями:
- ”
где ТГ (4^- Д (^:)^ ’ а тензоР анизотропии 5Р в проекциях на оси
выбран в виде
“У^ г ^ ( о о) (36)
Физический смысл принятого закона контактного трения в виде (36) состоит в том, что сила трения вдоль оси 0^ в 'j) раз меньше, чем вдоль оси ОХ. Получены классы решений “подобия” для нелинейного уравнения (35). В чаетлости, показано,
чю os>v мченная ft глале бь!(зч/^ой кри&си, с
рОСТОМ С'1 і)ЄМИ %.к -/Л/іинСу
с, є» M
> В(тЬ
,2* J ^ У\Л ЙТ^Т7
і- ос.е"1 авеж,^
j :'-—• — .. —• —- - ................У%*3‘,';ї’
Бо , і А°1. 1. (37)
G?i=
___з
ІРШ*
т <*і=~
РЩ.^' 'і к |р| /------г'Щ*: Z___,
отношением полуосей j _-у j Д I /у ^
±іШ /4 о
fe-
В пятой главе предложена постановка задач контактного взаимодействия еистемы типа “инструмент-смазка-обрабатываемое тело”. Исследована обобщенная задача Л.Прандтля об осадке пластической полосы массивными плоскими телами ари наличии смазочной пленки вдоль контактной поверхности, поведение которой
*_>—л—• •• •
эгшшвастся уравнениями ламинарного погранслбя.
, На основе уравнений теории течения в тонком пластическом слое при
принятии дополнительной гипотезы решена плоская задача об осадке пластической полосы В//\ между двумя сближающимися плоскостями упрутх тел S•7- при удержании объема промежуточной средывдоль контакта. Получено распределение контактных напряжений, проведено их сравнение с известными решениями той же задачи при отсутствии объема смазки на контакте. Показано, что
При ПрОЧИХ раВНЫХ УСЛОВИЯХ В Процессе ТеЧСНИЯ В ТОНКОМ СЛОе £у/| мощность внешних сил