Содержание
ВВЕДЕНИЕ 4
1 Глава. Применение неклассических моделей теории оболочек к исследованию механических параметров многослойных нанотрубок. 15
1.1 Введение.............................................. 15
1.2 Постановка задачи..................................... 19
1.3 Соотношения теории оболочек...........................2(5
1.4 Численный метод........................................29
1.5 Результаты расчета.....................................33
2 Глава. Напряжсшю-деформированное состояние ортотропной эллипсоидальной оболочки, находящейся под действием внутреннего давления. 38
2.1 Введение...............................................38
2.2 Постановка задачи......................................41
2.3 Численный метод........................................45
2.4 Сферическая трансверсально-изотропная оболочка.........45
2.5 Сферическая ортотропная оболочка.......................48
2.6 Эллипсоидальная трансверсально-изотропная оболочка. . 52
2.7 Эллипсоидальная ортотропная оболочка...................55
2.8 Большие деформации ортотропной эллипсоидальной оболочки под действием внутреннего давления...................59
3 Глава. Напряженно-деформированное состояние ортотрогтных неоднородных сопряженных эллипсоидальных оболочек, находящихся под действием внутреннего давления. 65
3.1 Введение ..............................................65
3.2 Постановка задачи......................................66
2
3.3 Численный метод........................................71
3.4 Деформация кориеосклеральной оболочки глаза............71
3.5 Зависимость прогиба роговицы от механических параметров оболочек...........................................74
3.6 Сопряженные оболочки, сферическая и имеющая форму вытянутого эллипсоида..................................74
3.7 Сопряженные оболочки, сферическая и имеющая форму сплюснутого эллипсоида.................................76
3.8 Деформация оболочек, приводящая к миопии........77
3.9 Деформация оболочек, приводящая к гииермстропии. . . 78
3.10 Исследование сопряженных неоднородных сферических оболочек...............................................79
3.11 Выводы.................................................81
3
ВВЕДЕНИЕ
Уравнения теории упругости п криволинейной системе координат позволяют исследовать деформации произвольной упругой оболочки, но решение задач о напряженно-деформированном состоянии тонкостенных конструкций в рамках трехмерной теории упрут’ости сопряжено с большими трудностями. Однако такая особенность оболочек, как малая толщина по сравнению с остальными размерами, открывает перспективы заметного упрощения исходных зависимостей без ощутимой потери точности в окончательных результатах. Очевидно, имеется много возможных путей приведения задач теории упругости к двумерным задачам для тонкостенных объектов типа пластинок и оболочек. Основные, относящиеся к этому вопросу результаты, освещены в обзорах И. И. Воровича [211 с упором на задачи статики; состояние проблемы приведения уравнений теории упругости к двумерным уравнениям при решении динамических задач изложено в работах Л. Я. Айнолы |2, 5|
Весьма условно методы получения уравнений теории оболочек можно разделить на следующие основные группы: (1) асимптотические методы, (2) вариационные методы, (3) аналитические методы.
Первый из них предполагает использование чисто математических приемов - разложение всех компонент перемещений и деформаций и ряды по тем или иным функциям координаты малого параметра z (толщина оболочки), последующее удержание ограниченного числа членов и использование асимптотических методов решения. Метод асимптотического интегрирования, использующий малость относительной толщины оболочки, не только приводит к приближенным двумерным уравнениями, но и дает асимптотический порядок их погрешности. Для линейных конструкций этот метод успешно использовался во многих работах ([27, 29| и др.), подробно данный метод представлен в монографии A.J1. Гольденвейзера |27|. Для нелинейных задач применение метода асимито-
4
тического интегрирования наталкивается на существенные трудности. В работе П.Е. Товстика [93] при некоторых предположениях дается вывод двумерных нелинейных уравнений теории оболочек асимптотическим методом. Материал оболочки предполагается нелинейно-упругим и изотропным. Метод представления решения трехмерных уравнений упругости в виде степенного ряда но нормальной к срединной поверхности координате изложен в монографии [19].
Исторически оправдана высокая оценка роли вариационных методов для вывода краевых условий к системе дифференциальных уравнений, моделирующих тонкое упругое тело (-ложной конфигурации и строения. Одной из основных в области применения вариационных методов в линейной теории пластинок и оболочек можно считать монографию Л. С. Лейбеизона [63]. Данное в ней изложение методов Лагранжа, Кастильяио и Трефтца для случая пластинки открыло также возможности обобщения этих результатов и на линейную теорию оболочек. Подлинное значение вариационных методов выявилось при дальнейшем развитии теории оболочек, в связи с постановкой новых задач нелинейной теории, созданием теории анизотропных и слоистых оболочек, попытками усовершенствовать линейную теорию оболочек. Ясно, что различным формулировкам соответствуют разные вариационные формулы. Получение таких формул нередко представляет достаточный интерес. Например, большое внимание было уделено обобщению вариационного принципа Кастильяно на нелинейную теорию равновесия пластинок и оболочек [4, 22]. Первые вариационные формулировки нелинейной теории оболочек были построены по интуиции. Среди них можно назвать вариационные уравнения смешанного типа обобщенной теории Кармана |4], а также уравнения общей нелинейной теории [23]. Немного позже |1| на примере уравнений типа Кармана было показано, что при помощи метода неопределенных множителей Лагранжа можно из вариационной формулы возможных перемещений вывести замкнутую (с возвращением в исходную) систему вариационных формул; в случае уравнений Кармана, число различных формул оказалось равным 181. В общей нелинейной теории это число может
5
оказаться еще больше. К. 3. Галнмов, разрабатывая в своих трудах вариационные формулы общей теории (точной в рамках гипотез Кирхгоффа), не обращал внимания на промежуточные результаты - вариационные формулы, а стремился к узловым точкам замкнутой цепи этих формул. Основные результаты этой работы приведены в монографии [72). Весьма полный набор известных в теории изотропных оболочек вариационных формул обобщен И. К. Галимовым [24] на нелинейную теорию трехслойных оболочек.
Третий подход, нашедший широкое применение в теории изгиба балок, пластин, оболочек, основан на чисто физическом анализе задачи. Принимаются кинематические и силовые гипотезы. При построении их широко привлекаются известные точные решения задач теории упругости, экспериментальные данные, хорошо зарекомендовавшие себя гипотезы, принятые в теории более простых сооружений..Построенные методом гипотез теории называют иногда [5, 39| полуобратным методом теории упругости. Они являются наглядными и часто позволяют получить простые разрешающие соотношения. Однако такой подход не обладает возможностью построения процесса для уточнения получаемых результатов, и иногда возникают’ трудности при оценке погрешности принятых аппроксимаций. Классическая теория тонких оболочек основывается на известных гипотезах Кирхгоффа-Лява, которые формулируются следующим образом: Предполагается, что прямолинейные волокна оболочки, перпендикулярные к се срединной поверхности до деформации, остаются после деформации также прямолинейными и перпендикулярными к изогнутой срединной поверхности. Длина волокон, перпендикулярных к срединной поверхности, остается неизменной в процессе деформации и нормальные напряжения на площадках, параллельных срединной поверхности, пренебрежимо малы по сравнению с прочими напряжениями. Как показано в [67] эти гипотезы приводят в исходных уравнениях к погрешности порядка h/R по сравнению с единицей. Такая погрешность вполне приемлема при расчете многих конструкций, встречающихся в различных областях техники, особенно металлических конструкций. Клас-
6
г
сическая теория пластин и оболочек, разработанная сначала для изотропных однородных структур, получила широкое применение и в механике анизотропных конструкций [5, 6, 7, 64, 65]. При такой постановке задачи отличие теории анизотропных пластин и оболочек от теории изотропных заключается только в соотношениях упругости. При этом для расчета пластин и оболочек применяются и аналитические методы, разработанные для однородных изотропных тонкостенных конструкций. Вопрос о погрешности этого повода обсуждался в [11, 18|. Для ряда ортотронных обьектов (прямоугольных и круглых пластин, цилиндрических и сферических оболочек), когда главные направления упругости материала совпадают с координатными, при определенных механических параметрах такой ио;1,ход дает хорошие результаты [5, б, 18, 64). Однако существует достаточное количество оболочек, в первую очередь изготовленных из неметаллических материалов, где точность классической теории становится недостаточной. У таких оболочек велико отношение толщины к радиусу. Кроме того, многие синтетические материалы обладают повышенной податливостью на межслоевой сдвиг и потому даже сравнительно небольшие но величине касательные напряжения, вызывающие сдвиг параллельных слоев, заметно влияют на обшую деформацию оболочки. Теория изгиба таких оболочек требует введения более строгих гипотез, чем гипотезы Кирхгоффа-Лява. В связи с этим появилось много уточненных теорий, построенных, как и классическая, методом гипотез о характере распределения перемещений, деформаций или напряжений по толщине оболочки, однако свободных от основной гипотезы классической теории - гипотезы недеформируемых нормалей. Все уточненные теории тем или иным способом учитывают деформацию сдвига. Широкое распространение в теории однослойных оболочек получила теория, основанная на гипотезе С.П.Тимошенко - гипотезе прямолинейного элемента [69, 77|. В монографии [С9| последовательно изложены основы теории оболочек на базе этой гипотезы. Принято, что модуль сдвига для плоскостей нормальных к срединной поверхности независим от модуля Юнга в срединной поверхности, и таким образом
7
- Київ+380960830922