Виброреология тонких слоев двухфазных сжимаемых сред

2
О Г Л А В Л Е Н И Е
•. Перечень основных обозначений и сокращений..........................5
• ВВЕДЕНИЕ... ............. :........................................6
Глава I, СОСТОЯНИЕ ВОПРОСА, ПРЕДМЕТ И ЗАДАЧИ
ИССЛЕДОВАНИЯ. ................................. 11
1.1. Аналитический обзор литературы. Обоснование задач ••исследования........ ....................................... 11
1.2, Задачи исследования...................................... 19
Глава 2. ВИБРОРЕОЛОГИЯ ТОНКИХ СЛОЕВ ДВУХФАЗНЫХ
. СЖИМАЕМЫХ ЖИДКОСТЕЙ В ПРИБЛИЖЕНИИ КИНЕМАТИЧЕСКОГО ВОЗБУЖДЕНИЯ СЛОЯ... ................................................ 20
2.1. Асимптотический анализ течения двухфазной (газированной) жидкости в произвольном но форме зазоре с вибрирующей поверхностью 21
2.1.1. Система краевых условий.............................. 29
2.1.2. Интегральные виброреологические характеристики слоя 33
2.2. Асимптотические характеристики плоского кругового слоя с осесимметричной формой колебаний поверхностей...................36
2.2.1. Линеаризация задачи................................. 39
2.2.2. Реакция слоя в номинальном положении ограничивающих слой поверхностей................................................ 40
2.2.3. Реакция на осевое и угловое перемещение поверхностей ... 42 . 2.2.4. Интегральные характеристики слоя .....................44
2.2.5. Основные результаты ..................................47
2.3. Асимптотические виброреологические характеристики цилиндрического слоя двухфазной жидкости........................ 49
2.3.1. Краевая задача........................................49
2.3.2. Концентричное положение цилиндров.....................51
2.3.3. Эксцентричное положение цилиндров.................... 53
2.-3.4. Основные результаты расчетов........................ 60
.2.4. Численный анализ виброреологических характеристик слоя
3
при конечном значении частоты вибрации. Сравнительный анализ
. ан&читических и численных решений...........................61
• 2.4.1. Разработка и анализ численной модели...................63
■ 2.4.2. Анализ сходимости разностной схемы и итерационного
• . процесса. .............................................. 67
2.4.3. Реализация разностной схемы............................75
2.4.4. Статическая и динамическая реакция двухфазного слоя....77
Основные результаты главы 2...'.....;............... :..............82
Глава 3. ВИБРОРЕОЛОГИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ДВУХФАЗНОГО СЛОЯ СО СПЕЦИАЛЬНЫМИ СПОСОБАМИ ЕГО ВОЗБУЖДЕНИЯ 1)8
3.1. Увеличение давлений в тонких жидкостных зазорах с бегущей
волной и с колебаниями модулированными бегущей волной I 19
3.2. Виброреологические характеристики цилиндрического слоя с
. волнообразующим эффектом .................................. 124
..3.2:1. Соосное положение цилиндров. Увеличение давлений в зазоре
цилиндрического и плоского кругового слоя...............127
3.2.2. Эксцентричное положение цилиндров......................131
3.3. Виброреологические свойства при возвратно-поступательном движении профилированных цилиндров................................138
‘ 3.3.1. Алгоритм численного решения задачи....................!39
3.3.2. Некоторые особенности решения задачи в предположении раздельного присутствия зон жидкой и газовой фазы............. 146
3.3.3. Реализация численной схемы и некоторые результаты расчетов. 150
Основные результаты главы 3...........................................................................153
Глава 4.. ВИБРОРЕОЛОГИЯ ТОНКИХ СЛОЕВ ДВУХФАЗНЫХ СЖИМАЕМЫХ СРЕД В УСЛОВИЯХ УПРУГОГИДРОДИНАМИЧЕСКОГО ПРИБЛИЖЕНИЯ -... КВ АЗИСТАЦИОНАРНАЯ ЗАДАЧА..........................182
4.1. Основные допущения и предпосылки............................183
4.2. Построение переходных функций вибровозбудителей............. 187
4.2.1. Переходная функция круговой пластины...................19]
4.2:2. Функция Грина цилиндрической оболочки при сс поперечном
4
возбуждении;........................................... 195
4.2.3. Функция Грина пологой сферической оболочки при
- се поперечном возбуждении...............................200
4.2.4. Переходная функция в и бро возбудителя..................203
4.2.5. Особенности реализации и некоторые результаты
расчетов.................................................208
4.3. Математическая модель типовой вибронесущей опоры. Метод
решения УГД задачи и его численная реализация............... 209
4.3.1. Метод решения УГД задачи................................ 211
4.3.2. Выбор процедуры минимизации и алгоритм работы программы.,’. ................................................ 216
4.3.3. Некоторые результаты решения У Г Д задачи............... 217
Основные результаты главы 4...................................... 220
Глава 5. АНАЛИТИЧЕСКОЕ И ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ
ДИНАМИЧЕСКИХ СВОЙСТВ СИСТЕМЫ ВИБРОВОЗБУДИТЕЛЬ-СЛОЙ
НА МОДЕЛЯХ В ЭКВИВАЛЕНТНЫХ ПАРАМЕТРАХ...................... 237
• 5.1. Динамические.характеристики системы вибровозбудитель-слой
на упрощенной одномассовой модели........................... 237
52. Динамические характеристики системы в и бро возбудигель-слой
на двухмассовой модели для режима работы с постоянным зазором 246 5.3: Динамические характеристики системы вибровозбудитель-слой на
двухмассовой модели для режима работы с постоянной нагрузкой . 256
5.4. Некоторые результаты исследования динамических характеристик системы вибровозбудитель-слой. Методика выбора конструктивных и
эксплутационных параметров на вибронесушем слое.......... 262
5.5. Экспериментальная проверка результатов расчетов........ 270
Основные результаты главы 5.................................... 275
ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ ПО РАБОТЕ......................... 298
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ............!...;............................. 305
ПРИЛОЖЕНИЯ..............:................................... 320
ПЕРЕЧЕНЬ ОСНОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИИ И СОКРАЩЕНИИ
Е,Э - модуль Юнга и цилиндрическая жесткость, 11а, И м;
р,Ь - плотность материала и толщина пластины или оболочки, кг/м3,
соб - характерная круговая частота, рад/сек;
Хс - длина волны, м;
£о- окружающее давление, Па;
Ио - номинальная толщина слоя, м;
Обозначения безразмерных параметров:
а - параметр газосодержаиия;
Р, ¥г - давление и несущая способность в слое;
Я,О - амплитуда и частота автоколебаний;
С - переходная функция (функция Грина);
го - поперечное смещение пластины или оболочки;
Лео - частотный параметр;
Л - параметр сжимаемости;
И - толщина слоя;
4х,и,V - вспомогательные функции давления;
пространственные координаты; т - время;
X - радиус центрального отверстия.
Основные сокращения:
ИМ - инерционная масса;
ВНГО - вибронесулцая газовая опора; •
ВВ - вибровозбудитель;
УГД - упругогидродииамичсска.я (задача);
АФЧХ - амплитудно-фазочастотная характеристика;
Ц1ТГ - цилиндро-поршневая группа (двигателя).
6
ВВЕДЕНИЕ
Работоспособность, качество и производительность механизмов, машин и приборов во многом определяется качеством их опорных узлов и узлов трения. В этой связи актуальной является задача разработки- новых типов смазочного воздействия, использования новых смазочных материалов и трансформации на этой основе одного вида трения в другой, более благоприятный для функционирования узла трения конкретного устройства.
В настоящее время среди ‘'бесконтактных” подвесов различного типа устройств (в дальнейшем инерционных масс - ИМ) наибольшее распространение находят электромагнитные, электростатические и газовые подвесы, которые практически безызносны и обеспечивают повышенные точностные характеристики позиционирования ИМ. Первые два типа подвесов требуют создания сложных систем управления, сравнительно мала их несущая способность, поэтому применение электромагнитных и, особенно, электростатических подвесов в настоящее время оправдано лишь в специализированных устройствах.
Более широкое применение находят газовые подвесы и, в частности, вибронесущие газовые подвесы, принцип действия которых основан на создании повышенного давления газа в зазорах с вибрирующей поверхностью и объясняется спецификой виброреологии сжимаемой газовой среды в тонком слое. Аналогичными свойствами обладают и двухфазные сжимаемые среды, представляющие собой смесь газа и жидкости, природа которых может быть очень разнообразной - от кавитации жидкости в ультразвуковом поле давлений до чисто механического смешивания жидкой и газовой фаз в процессе работы устройства. Виброреология таких двухфазных сред к настоящему времени не изучена, если не считать некоторые модели гидродинамической смазки подшипников скольжения, учитывающих влияние кавитации жидкости в области пониженных давлений. Такие модели можно в определенном смысле считать виброреологическими, т.к. проекция движения подвижного элемента подшипника в направлении поперек слоя носит характер вибрации.
7
Область использовании сжимаемых газовых сред ограничена к настоящему времени подвесами чувствительных элементов приборов первичной инерциальной информации (датчики угловой скорости, акселерометры, гироинтеграторы и др.), однако собственно виброреологический эффект присутствует в работе массы устройств -дейдвудные подшипники гребных винтов, трибосопряжен и я цилиндр -поршень и другие различного типа и назначения гидродинамические подшипники скольжения или специализированные технологические установки, содержащие тонкие кавитирующие слои жидкости.
Исследования в диссертационной работе направлены на изучение виброреологических свойств тонких слоев двухфазных сжимаемых сред, а объектами исследования являются тонкий слой двухфазной жидкости и система, осуществляющая возбуждение слоя, - вибровозбудитель (ВВ).
Представляемая работа выполнялась на кафедре "Гироскопические приборы и устройства" ЧГТУ и в лаборатории "Триботехнология" ЧГТУ и ИПМ УрО РАН. Работа выполнялась на первом этапе по постановлению ГК НТ СМ СССР N 465 от 01.12.80 и по координационным планам АП СССР от 24.10.81 по проблеме 1.11.3.1.4 "Трение и износостойкость твердых тел", а затем по теме 1.3.2.7. "Разработка новых методов деформирования материалов и исследование физико-механических и структурных свойств металлов и сплавов".
Цель работы - исследовать виброреологические характеристики тонкого слоя двухфазных сжимаемых сред и создать теорию расчета характеристик слоя, обеспечивающую обоснованный выбор конструктивных параметров и характеристик вибровозбудителя и источника энергопитания.
Научная новизна диссертации состоит в том, что
1. Предложена феноменологическая модель состояния двухфазной среды в тонком слое и на основе усеченных уравнений Навье-Стокса получено уравнение для распределения давлений, содержащее в качестве параметра газосодержание в жидкости, которое описывает непрерывным образом реакцию среды в тонком слое от чистой жидкости до чистого газа.
8
2. Впервые получена асимптотическая модель для распределения давления в двухфазном (газированном) слое произвольной конфигурации, на основе которой получены виброреологические характеристики слоев типовых конфигураций - плоские и цилиндрические слои с нормальными зазору колебаниями поверхностей. В частности получены выражения для распределения давления, несущей способности, жесткости и расхода при равномерной вибрации и осесимметричных формах колебаний ограничивающих слой поверхностей. Показано, что с уменьшением газосодержакия в слое величина давлений и интегральные виброреологические характеристики теоретически неограниченно возрастают.
3. Впервые для вибронесущих двухфазных слоев различной конфигурации разработаны и обоснованы численные схемы и алгоритмы решения задач для распределения давлений, что позволило провести оценку корректности проведенного асимптотического анализа. Проведен также численный расчет характеристик двухфазного слоя с нормальными зазору колебаниями поверхностей при конечном значении частоты колебаний (средние и малые значения параметра сдавливания) и произвольном значении параметра газосодержания.
4. Впервые получены математические модели и виброреологические характеристики двухфазного слоя при различных способах его возбуждения и в комбинациях между ними: нормальные зазору колебания, встречно направленные колебания типа бегущей волны и колебания, модулированные бегущей волной, поступательные движения профилированных цилиндров (приоритет использования подтвержден авторскими свидетельствами и патентами на изобретения). Выявлены уникальные свойства таких слоев, обеспечивающие увеличение интегральных характеристик в десятки раз по сравнению с характеристиками при возбуждении слоя нормальными зазору колебаниями и сравнимые с характеристиками слоев, работающих на гидростатических принципах.
5. Впервые разработаны математические модели, метод и алгоритм решения задач виброреологии двухфазного слоя в условиях упругогидродинамического приближения задачи. В частности разработаны математические модели типовых схем вибровозбудителей (на основе круглых пластин, пологих сферических и цилиндрических оболочек) и модели системы
9
вибровозбудитель-слой в виде обобщенных интегральных уравнений чина Фредгольма второго рода. Проведен расчет собственных частот, форм колебаний.и интегральных характеристик слоя при работе на фиксированной частоте (частота собственных колебаний ВВ) и при отслеживании резонансной частоты ВВ.
6. Предложены двухмассовые схемы замещения системы вибровозбудитель-слой и получены основные динамические характеристики, нашедшие экспериментальное подтверждение.
7. Предложен критерий работоспособности системы вибровозбудитель-слой, построены области надежной работы системы в пространстве выявленных основных влияющих параметров и разработана на этой основе инженерная методика расчета системы и конкретных устройств.
Практическую ценность представляют теоретические основы, алгоритмы и. вычислительные программы, а также результаты расчетов для слоев различной конфигурации и способов возбуждения, которые позволяют создать единую картину виброреологичсских эффектов и их взаимодейст вий в слое. Практическую ценность имеет также инженерная методика расчета конструктивных и эксплуатационных параметров и характеристик типовой системы вибровозбудитель-слой.
, Апробация работы. Основное содержание работы докладывалось на Всесоюзном координационном совещании по исследованию и применению опор с газовой смазкой (Винница, 1983г.), на Всесоюзных конференциях ’Трение и износ машинах” и ’’Трение и смазка в машинах” (Челябинск, 1979 и 1983г.г.),‘ на семинаре "Машины и приборы с газовой смазкой” (ВДНХ СССР, 1986г.), на Международной научной конференции "Трение, износ и смазочные материалы” (Ташкент, 1985г.), на Всесоюзных школах-семинарах "Новые методы решения задач динамики опор скольжения” (г. Миасс, 1984 и 1987
г.г.), на ежегодных научно-технических конференциях Челябинского государственного технического университета (1979...1992г.г.) и Института прикладной механики УрО РАН (1994, 1995 г.г.).
10
Реализация результатов работы. Результаты работы были частично использованы в научно-исследовательских и опытно-конструкторских работах предприятий п/я В-8708, А-7160, Челябинского лакокрасочного завода, Научно-исследовательского института измерительной техники (г. Челябинск) в составе приборов и устройств, имеющих в своем составе вибронесущие газовые опоры или кавитирующие слои жидкости.
Публикации. Основное содержание работы отражено в 14 статьях, 3 тезисах докладов, 2 отчетах и 14 авторских свидетельствах и патентах на изобретения, список которых приведен в диссертационной работе, а также в 8 отчетах, связанных с выполнением спецтем.
Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, пяти глав, заключения, списка использованной литературы (178 наименований) и приложений. Диссертация содержит страниц, из них 79 иллюстраций, 7 таблиц, 3 приложения.
В первой главе производится оценка состояния вопроса и сформулированы цели и задачи исследования.
Во второй главе диссертации рассмотрена виброреология тонкого двухфазного слоя жидкости в приближении кинематического возбуждения. Произведен асимптотический анализ виброреологических характеристик в предположении "бесконечно большой" частоты вибрации и созданы численные нестационарные модели, позволяющие рассчитать характеристики при "конечном" значении частоты вибрации. Форма и амплитуда колебаний полагается наперед заданной функцией в виде стоячей волны колебаний.
В третьей главе рассмотрены виброреологические характеристики двухфазных слоев жидкости при специальных способах задания вибрации - это различного типа бегущие волны перемещений на ограничивающих слой поверхностях и относительные движения ограничивающих слой профилированных поверхностей. Представлены как аналитические, так и численные решения в приближении кинематического возбуждения слоя.
В четвертой главе на основе теории колебаний пластин и оболочек с использованием элементов теории распределенных систем получены
математические модели "типовых" схем вибровозбудителей и исследованы виброреологические характеристики двухфазного слоя в условиях упругогидродинамического приближения - получены 'эквивалентные функции Грина ви бро возбудителей и разработан метод решения
упругогидродинамической задачи.
В пятой главе изучены динамические свойства системы вибровозбудитель-слой, разработана инженерная методика расчета, проведена экспериментальная проверка полученных характеристик.
Автор защищает:
1. Математическую модель для распределения давлений в двухфазном (газированном) слое малой толщины и полученную на ее основе асимптотическую (линеаризованную) модель для распределения давлений;
2. Результаты расчетов на основе численных и аналитических моделей и анализ виброреологических характеристик двухфазных слоев типовых конфигураций (плоские и цилиндрические слои ) при различных способах кинематического возбуждения - равномерные и изгибные формы нормальных зазору колебаний и колебаний с составляющей типа бегущей волны;
' 3. Математические модели в условиях упругогидродинамического приближения задачи и алгоритм расчета характеристик системы ви бро возбу дител ь-слой;
4. Исследования особенностей поведения характеристик двухфазного слоя с учетом резонансных свойств вибровозбудителя;
5. Схемы замещения типовой системы вибровозбудитель-слой и анализ динамических характеристик системы;
6. Инженерная методика расчета конструктивных и эксплуатационных параметров вибровозбудителей слоя.
12
Глава 1. СОСТОЯНИЕ ВОПРОСА. ПРЕДМЕТ И ЗАДАЧИ
•ИССЛЕДОВАНИЯ
В настоящее время в технике используются множество подшипников скольжения с жидкостной смазкой, в процессе работы которых возникают кавитация, вспенивание, которые существенно снижают эксплутационныс возможности таких подшипников за счет ухудшения свойств смазочного слоя. Однако существует класс устройств, в которых наличие в жидкости газовой фазы приводит к появлению несущей способности и жесткости, не уступающих по значению собственно гидродинамическим, - это опоры и подшипники с вибрирующими опорными поверхностями.
В том случае, когда газовая фаза полностью составляет смазочный слой, имеет место газовая смазка и подшипники с вибрирующими поверхностями носят название вибронесущих. Они не требуют систем хранения и транспортировки газа; долговечны, т.к. исключают сухое трение опорных поверхностей при малых и нулевых скоростях движения; обладают свойством стабилизации левитирующих ИМ. Типичный пример использования вибронесущих газовых опор (ВИГО) создание подвесов чувствительных элементов приборов первичной инерциалыюй информации.
1.1 Аналитический обзор литературы. Обоснование задач исследования
Как уже говорилось, предметом исследования в диссертационной работе являются виброреологические свойства двухфазного слоя жидкости при различной конфигурации зазора и способах вибрационного сдавливания слоя.
Под виброреологией [21] в данной работе понимается часть реологии (реология - раздел механики), в которой рассматривается изменение реологических свойств тел и сред по отношению к медленным силам и движениям иод действием вибрации. В свою очередь виброреология подразделяется на • макровиброреологию, когда в качестве объекта исследования выступают интегральные виброреологические характеристики многофазного слоя, и микровиброреологию, когда изучается поведение (характеристики) под действием вибрации отдельных фаз многофазной системы. Основными макрореологическими характеристиками являются-
несущая способность (интегральная сила) и жесткость слоя, моменты трения, расход среды в слое и некоторые другие.
Исторически так сложилось, что первые исследования по макрорсологии сжимаемых слоев . были проведены для газовых сред и касались они разработки вибронесущих газовых подшипников и подвесов. Впервые теоретическое и экспериментальное исследование поведения слоя смазки между двумя параллельными дисками, один из которых вибрирует, провел Садбю [133], который обнаружил хорошее согласование измеренных и расчетных значений средней несущей способности газового слоя при малых (по сравнению с зазором) амплитудах вибраций. Малоноски и Пэн в обсуждении к работе[133], используя условия Элрода и Бургдофера, вывели закон сохранения массы газа в зазоре, который позволил определить среднюю несущую способность смазочного слоя. Справедливости ради следует .отметить, что в- достаточно общем случае интегральное выражение постоянства массы смазки в 1953г. было выведено С.А. Шейнбергом, а в 1956 году уточнено С.И, Сергеевым [162].
В 1957 г. Пэн, исходя из закона сохранения массы, разработал метод решения уравнения для распределения давлений, справедливый для больших чисел сдавливания (больших частот колебаний), который применим для произвольных по форме подшипников [176]. Впоследствии на основании этой работы появились исследования, касающиеся подшипников со сдавливаемой газовой пленкой [125, 127, 128].
В работе [126] Ченгом, Пэном и Элродом проведен теоретический анализ динамической реакции упорной пластины с двойной сдавливаемой пленкой смазки. Получено, что если частота колебаний велика, то реакция сдвинута по фазе на 180° относительно сдавливающего движения. Это усиливает сдавливание и, таким образом, приводит к увеличению несущей способности и жесткости. Более глубокий асимптотический анализ газового подшипника со сдавливаемой пленкой в предположении изотермического течения смазки проведен Пэном [128]. Полученные результаты показывают необходимость учета краевых эффектов при "умеренных числах сдавливания". В работе [174] методом малого параметра и численным методом решения с применением конечных разностей определены допустимые нагрузки в цилиндрической вибронесущей газовой опоре (ВИГО). Показано, что учет влияния краевых зон для подшипников конечной длины повышает в 2...2,5
14
раза расчетную несущую способность по сравнению с ВИГО бесконечной длины.
Часть работ посвящена анализу точности устройств на ВИГО [26,39,20].. Например, в статье [126] Пэн рассматривает подшипник со сдавливаемой пленкой смазки, используемый в качестве подвесов высокоточных гироскопов. Показано, что уводящий (турбинный) момент порождается взаимодействием погрешности форм шипа и подшипника и неравномерностью распределения амплитуд вибровозбудителя.
Общим для большинства работ, посвященных исследованию динамики газовых опор, является использование уравнений Рейнольдса. Нелинейность этих уравнений в случае газовой смазки и сложная геометрия опор создают значительные трудности при нахождении аналитического решения, поэтому уравнения Рейнольдса линеаризуются и затем решаются численно или приближенно [40,44,45,139,141]. Более точная математическая модель -уравнения Прандтля нестационарной газовой смазки - использовалась в работах А.Г. Бургвица, Г.А. Завьялова [25,51] и А.И. Снопова [83]. Разработанные методы решения использованы в приложении к исследованию наиболее сложных конструкций опор ротора упруго-демпферных опор - в работах А С. Кельзона и В.И. Яковлева[59].
В настоящее время наиболее часто для исследования динамики ротора, в окрестности его положения равновесия в газовых опорах используют два • метода - ‘ "метод Пэна”’ [176] и метод передаточных функций, предложенный Дроздовичем [44,45] и развитый С.Г. Дадаевым [19,40]. В частности, В.А. Биушкиным и С.Г. Дадаевым [17,18] были исследованы различные схемы цилиндрических и сферических одно- и двухопорных роторов в вибронесуших газовых опорах. Показано, что квазиравновесное положение невращающегося ротора в ВНГО всегда устойчиво, а вибрация поверхностей стабилизирует равновесное положение вращающегося ротора тем больше, чем больше жесткость смазочного слоя без учета вращения ротора (см. также [48,49,68,69]).
. В последнее время задачи практической реализации и внедрения ВНГО приводят • к необходимости все большее внимание уделять системе, осуществляющей сдавливание сжимаемого слоя смазки - в и бро возбудителю. Это объясняется тем, что практики столкнулись с рядом специфических свойств и особенностей работы таких опор, которые не объясняются с позиций гидродинамики, например зависимость диапазона воспринимаемых нагрузок
от. конкретной реализации ВВ опоры, потеря работоспособности при изменении нагрузки и характеристик энергопитания. Причиной таких особенностей являются специфические свойства вибровозбудителя колебаний - высокая избирательность к воздействию определенных групп частот, неравномерность формы колебаний активной несущей поверхности, нелинейность пьезоэффекта, конструкционный гистерезис и, самое главное, -влияние нелинейной реакции смазывающего слоя.
К моменту начала настоящего исследования практически не было работ, посвященных решению задач расчета характеристик слоя с учетом свойств ВВ. Первым шагом на пути решения таких задач следует считать, по-видимому, отказ от .традиционного представления о форме сдавливающего движения как равномерной. Экспериментально определяется закон распределения амплитуд колебаний на опорной поверхности, на основании которого производится расчет распределения давлений и вычисляются интегральные характеристики. В работах Е.А. Мартыновой [76], П.Е. Молотова, Л.А. Поляковой [121] показано, что жесткость и несущая способность слоя с изгибной формой колебаний на опорной поверхности в 1,5...2,5 раза меньше, чем у опор с идеальной формой колебаний; выявлено существенное влияние формы колебаний опорной поверхности на точность позиционирования тел.
Широкий круг вопросов, • касающихся теоретического и экспериментального исследования ВНГО, рассмотрены в трудах сотрудников лаборатории "Вибротехника" Каунасского политехнического института. В частности, известна монография Р.-М. В. Канапепоса [56], частично посвященная разработке ВИГО , в которой приводя ся схемы вибронесущих газовых опор, результаты экспериментальных исследований, предлагаются схемы источников питания с авто подстрой кой частоты.
Однако вышеуказанные работы лишь способствуют решению задач расчета характеристик слоя с учетом свойств вибровозбудителя, но никак не решают ее. Такая задача является предметом упругогидродинамической (УГД) теории смазки и носит название упругогидродинамической. В рамках УГД задачи проводится совместное решение уравнений гидродинамики смазочного слоя и теории упругости. Классические методы решения задач УГД теории смазки основываются на прямой итерации системы уравнений. Однако все они дают решение лишь в ограниченном диапазоне малых нагрузок [178]. Чтобы преодолеть недостатки такого рода, пришлось развить более сложные методы, позволившие получить решение ряда задач при высоких нагрузках
16
[160]. Во всех этих методах уравнения гидродинамики и теории упругости решались отдельно, т.е. задавалось начальное распределение давления, с помощью- которого из уравнений теории упругости определялся соответствующий профиль пленки, а затем распределение давления уточнялось из решения уравнения Рейнольдса.
В более сложных случаях используется вариационный подход в постановке УГД.задачи смазки [70]. В работе [156] впервые уравнения гидродинамики и теории упругости приведены к одному нелинейному интегральному уравнению, содержащему толщину пленки в качестве неизвестной функции, что позволило осуществить численное решение в широком диапазоне нагружения.
Надо сказать, что значение интегральных уравнений для подобного типа задач большинством авторов оценивалось с точки зрения "охарактеризовать явление р целом, увидеть его физическую сторону , использовать для доказательства теорем существования” [154]. Иное положение сложилось в настоящее время в связи с развитием структурного метода исследования систем с распределенными параметрами [26,27], разработанного А. Г. Бутковским, совершенствованием вычислительной техники и численных методов. Например, в работе [75] указывается , что при решении задачи Коши использование интегральных уравнений позволило в 20...30 раз уменьшить машинное время. Отметим, что применительно к пьезоэлектрическим преобразователям интегральные уравнения использовал Е. Джекобсон [4 72], а затем Р. Холланд и С, Лэнд [171].
Особенностью УГД задач для зазоров с вибрирующей поверхностью является то, что, во-первых, уравнения гидродинамики и теории упругости являются нестационарными, и, во-вторых, решение задачи должно определять резонансный режим работы рассматриваемого устройства. Поэтому возникает необходимость решения следующих двух основных задач: определение собственных частот и форм колебаний ВВ и расчет распределения амплитуд на активной поверхности ВІЗ и давлений в слое для соответствующей рабочей резонансной частоты.
Вибровозбудители реализуются обычно на упругодеформируемых элементах, представляющих собой пластины, цилиндры, длинные или короткие стержни, поэтому уравнения теории упругости представляют собой уравнения классической линейной теории оболочек. Наиболее употребимме методы решения таких уравнений - это асимптотический, метод разложения по
17
собственным функциям, метод функции Грина и численные, например граничных или конечных элементов. Для решения УГД задачи в случае тяжелых нагружений ВНГО лучше всего, как следует из вышеизложенного материала, свести уравнения гидродинамики и теории упругости к одному-уравнению. Это проще всего сделать, воспользовавшись методом функции Грина, обобщением которого в некотором смысле является структурная теория распределенных систем [26].
На начальном этапе решения У ГД задачи можно использовать хорошо зарекомендовавшую себя на практике асимптотическую теорию. Однако эта теория не позволяет рассчитать составляющую давлений, определяющую динамическую реакцию слоя ■ в виде силы вязкого трения на перемещениях'вибровозбудителя - квадратурная составляющая давлений. Учитывая, что добротность вибровозбудителя может быть очень велика, квадратурная составляющая давлений определяет динамические и статические характеристики слоя при работе ВО в резонансном режиме. Следовательно, в отличие • от асимптотического подхода, возникает задача расчета характеристик слоя при конечном значении частоты колебаний. Важно в этой связи отметить работы, посвященные расчету характеристик слоя при конечном значении частоты колебаний. Для равномерного сдавливания слоя известны работы Г.Г. Агишева [13], Н.Д. Закржевского и В.М. Люсина [53]. Постановка и решение задачи для неравномерных форм колебаний ограничивающей слой активной поверхности проведена автором в работах [90,94].
Начичие в жидкости газовой фазы (газированная жидкость) наделяет жидкость свойством сжимаемости, что предопределяет появление виброреологических эффектов, сходных по сути с виброреологическими эффектами в газовой среде. По-видимому, одним из первых упоминаний об этом является описание эксперимента в работе С.И. Сергеева [138], где показан эффект левитации тела в жидкости при действии вибрации в сопряжении этого тела с поверхностью вибратора.
Можно также интерпретировать некоторые задачи гидродинамической смазки подшипников скольжения как виброреологические, т.к вследствие дебаланса ротора или профилирования опорных поверхностей может появиться составляющая перемещений в направлении поперек слоя, имеющая характер вибрации. Ярким примером может быть гидродинамическая смазка юбки поршня двигателя внутреннего сгорания, где в результате
18
профилирования юбки и возвратно-поступательного движения поршня в фиксированной точке наблюдается периодическое изменение зазора, при этом в результате прорыва поршневых газов и кавитации смазки в конфузорной области зазора содержится газовая фаза в виде эмульсии [98,99,134].
Следует отметить, что описание процесса кавитации жидкости является чрезвычайно сложной задачей. При полностью строгом рассмотрении процесса кавитации тонкого слоя жидкости следует уделить внимание термодинамическому и химическому поведению жидкой пленки. Детали структуры течения внутри кавитирующей пленки также достаточно сложны. Например, явления на поверхности раздела жидкость - твердое тело - газ, кривизна поверхности и инерция жидкости могут одновременно взаимодействовать с напряжением вязкого трения, преобладающим в удаленных от границы разрыва областях. При толщине пленки менее 1 мкм может оказать существенное влияние на уровень кавитационного давления по потоку от границы разрыва поверхностное натяжение жидкости. Кикучи [152] в опытах по ультразвуковой кавитации упоминает, что порог кавитации существенно зависел от того, как протерта "пальцами поверхность вибратора".
Перечисление вышеуказанных факторов показывает сложность исходной задачи. Здесь же ставится более скромная задача - проанализировать процесс с чисто механической точки зрения. Остановимся, вкратце, на особенностях задач по механике разрыва тонкой смазочной пленки.
При решении в стационарном случае, вместо выполнения строгих условий, задачу. разрыва решают приближенно, привлекая гипотезу Гюмбеля или условия Свифта - Штибера, согласно которым на границе разрыва должно выполняться расширенное граничное условие ^/г=0 и с^/£п.т-0 [166], где Оплавление на границе раздела фаз. Позднее для решения задач разрыва стал широко использоваться принцип дополнительности и процедура решения по алгоритму Мерти, которые позволяют в определенной мере отразить динамику разрыва пленки [166].. Менее известен метод расчета неустановившейся кавитации, который предложил Элрод [1.66], и теория динамического развития тонких жидких пленок Пэна [129], которая основана на балансе расходов по ту и другую сторону от границы разрыва.
Однако все вышеупомянутые алгоритмы или чрезвычайно сложны в реализации или слишком приближенно отражают реальную ситуацию. Автор данной работы убежден в том, что в отношении кавитации, даже при идеальном алгоритмическом и расчетном базисе, результат расчета в
19
количественном отношении будет далек от идеального и можно надеяться лишь на качественное совпадение расчетных и экспериментальных данных. Поэтому в основу решения задач виброреологии двухфазного сжимаемого слоя должна .быть положена некоторая феноменологическая модель, описывающая состояние двухфазной среды достаточно универсально. Идентификация параметров такой феноменологической модели является отдельной задачей, решение которой при современном уровне развития систем сбора и обработки информации не представляет существенной трудности.
1.2 Задачи исследования
Проведенный анализ существующих работ в рассматриваемой области позволяет сформулировать следующие задачи исследования:
• описать состояние двухфазной среды универсальными феноменологическими зависимостями, независимо от природы двухфазного состояния;■
. • разработать асимптотическую модель двухфазного слоя сжимаемой жидкости, на базе которой получить виброреологические характеристики слоя произвольной конфигурации в предположении кинематического возбуждения на бесконечно большой частоте;
• разработать и обосновать численные схемы и алгоритмы решения задач для распределения давлений в зазорах различной конфигурации при различных .способах возбуждения слоя и конечном значении частоты вибрации;
• разработать математические модели, метод и алгоритм решения задач виброреологии двухфазного слоя жидкости в условиях упругогидродинамического приближения;
♦' предложить упрощенные схемы замещения и модели с сосредоточенными параметрами системы вибровозбудитель-слой и изучить основные • динамические характеристики, которые подтвердить экспериментально.
20
Глава 2. ВИБРОРЕОЛОГИЯ ТОНКИХ СЛОЕВ ДВУХФАЗНЫХ ЖИДКОСТЕЙ В ПРИБЛИЖЕНИИ КИНЕМАТИЧЕСКОГО ВОЗБУЖДЕНИЯ СЛОЯ
Прежде чем перейти к рассмотрению виброреологических характеристик топкого двухфазного слоя напомним некоторые определения. Хорошо известно, что под реологией понимают область механики, в которой изучается деформация и текучесть вещества. Классическими моделями реологии • являются упругое тело Гука, вязкая жидкость Ньютона, пластическое тело Сен-Венана. Частными случаями двух последних моделей являются линейное, линейно-упругое сопротивление и сухое трение при движении твердых тел в вязкой среде - случаи, которые и рассматриваются в данной работе. Основное значение в реологии имеют т.н. реологические уравнения, устанавливающие связь между силовыми и кинематическими параметрами, характеризующими состояние простейших механических систем. Для описания сложных механических систем используются обычно комбинации основных реологических уравнений. Постоянные, входящие в основные реологические уравнения (модуль упругости, коэффициент вязкости и др.), называют реологическими постоянными. На практике используются и другие . виброреологические постоянные, которые, в зависимости от формы представления и способа обезразмеривания исходной системы уравнений, имеют вид некоторых безразмерных чисел (комплексов) - это, например, число Рейнольдса, параметры сжимаемости в гидродинамической смазке, которые имеют не менее фундаментальное значение и являются, но сути, производными от основных реологических постоянных.
Под реологическими характеристиками в данной работе понимается некоторый результат исследования сложной механической системы, представленный в безразмерном виде и имеющий в рамках теории подобия универсальное значение - это угловая и осевая безразмерные жесткости,
■ несущая способность, различные безразмерные силы и моменты трения в зависимости от таких кинематических параметров, как частота, форма и амплитуда колебаний. Различают макровиброреологию, имеющую дело с однородными или квазиоднородными материалами, лишенными структуры, и микр.ореологию., которая рассматривает реологическое поведение многофазных систем в зависимости от реологических свойств их компонент. Учитывая, что
21
газосодержание в жидкости имеет самую различную природу от кавитационного разрыва до механического смешивания фаз, в работе принято описывать параметры двухфазной среды феноменологическими зависимостями следующего вида:
- плотность среды
р.= р! + са(ро - рх), (2.1)
•. где р() ир,- плотности газа и жидкости;
- вязкость среды
д = р.1 + аа(ио - рЛ (2.2)
где иа и //,-вязкости газа и жидкости;
- зависимость между плотностью и давлением Р
аз
р = кР, (2.3)
ой, аг и аз - параметры газосодержания, близкие друг другу (*а) и определяемые в каждом конкретном случае по данным эксперимента. Представленные зависимости описывают непрерывным образом состояние среды от чистой жидкости (а ~0) до чистого газа (а = 1).
2.1. Асимптотический анализ течения двухфазной (газированной) жидкости в произвольном по форме зазоре с вибрирующей
поверхностью
Рассмотрим случай течения жидкой газированной среды в зазоре с неподвижной 1 (рис. 2.1) и подвижной 2 поверхностью. Предполагается, что зазор достаточно тонкий, чтобы в рассмотрении можно было ограничиться малыми числами Рейнольдса и плоским течением жидкой среды. Принимаем также допущения, обычные для теории гидродинамической смазки подшипников скольжения [65] и, в частности, пренебрегаем массовыми и
инерционными силами, эффектом взаимодействия между вязкостью и
сжимаемостью. Тогда уравнения движения имеют вид уравнений Навье-Стокса в следующей усеченной форме:
1 ар 1 ар д*уп ар
щас дх2 Ипдц ' дх2 дг
• Уравнение неразрывности в обобщенных криволинейных координатах для элементарного объема жидкости имеет следующий вид [147):
22
др д{рЩПц) с?(рН^Нп) ЖрЩН„)
Н*НЛ — + : 4- ь = 0, (2.5)
• ■. дх оц сл.
Проинтегрируем уравнения движения по учитывая, что давление не
зависит от этой координаты ввиду малости толщины слоя:
1: ЭР 2 1 дР 2
V; - -------- ъ + СлЪ + Са, V,, =---------— ъ + Сз7. + С 4 (2.6)
2 и 2р Нл
Введем в рассмотрение неподвижную поверхность А (рис.2.1) и свяжем с ней неподвижную систему координат, в которой и будем изучать движение среды. Граничные условия для уравнений (2.4) и (2.5) запишем в виде:
Угу= Щ ; Уп = \УП ; V* = \Чг при г = 1и ;
(2.7)
У6= -Щ ; Уп = ил ? Ух - Ш при г - Ь ;
•' Используя.граничные условия (2.7), найдем произвольные постоянные
1 1 С'Р 2 2
Сі= - [и*- \Ус= - ------------ — (ІІ2— 1п)1;
її 2рЩ ^ (2.8)
• 1 1 0Р
02= - [\У*І12- и?1п -ь-----------------Ь ІІ1І12];
Ь 2рНс 0Е,
І і ОР 2 2
Сз- - [и,г ^гп - ---------- — (Из— 1п));
Ь 2рНл дц
". ' (2.9)
■ і і ар
... .С 4 = [\У,1ІІ2- иПІІ1 +------------її ІІІІ»],
И 2рНл дг\
где Ь - толщина слоя в зазоре, її і- зазор между подвижной поверхностью и
неподвижной поверхностью А, І12 - зазор между неподвижной поверхностью и
поверхностью А (рис.2.1).
Проинтегрируем уравнение неразрывности по переменной 7. в пределах от !п
до І12
ІІ2 112 Ий ІІ2
' др Г %>У<*Нп) гаСрУпНг) Г гХрУгНпНО
Ні На- сЬ+/ ---------------------------- <**+/—1^ (2-Ю)
ді д% 2 дц 2 дг
Ііі Ііі 1и 1н
23
Вычислим значения интегралов в уравнении (2.10), тогда, аналогично работе [147]. уравнение неразрывности можно представить в виде:
' 1 г ь • д? д ь ар а ь
— { —(pH,,----------------)+ — (рЩ--------------------------------) - — [рНп-чи^у/о]-
ЩНпа^ \2yilh с£ ОТ) 12рН„ ар 2
д. ь ар I а1\2 I аи2 а!ъ си*
--[рН4“<ип+\Уп)]}=-Ь+р(и2-и *-------------Пт,------)-р( \Vz-Wc.-----------------------XV,,— )
ал 2 • а! н*д1 нпап нп<?л
(2.11)
Учитывая далее следующие соотношения:
аи±. ' ■ 1 а1и 1 . аьх аьг 1 аьг .1 аь2
+ W^ Ь W^— , {]г~-гЦУ-г и^----------------(2.12)
аг н* д£>' . нп ал ат щ<% нпал
и уравнения состояния (2.3), уравнение (2.11) можем записать в виде
1 а сх ьз ар д а и3 ар а а ь
— {— (Р Иг,-----------------)+ —(Р Не------------------------------)- ~ГР Нч- (и^+ЛУО]
НпЩ ае • 12рЩ д$ дт) 12иН „ дц д£ 2
: * (2.13)
а
• а а ь а(р ь)
. - — [Р Щ- (иП4ЛУ,)]} =-----------------
С'П 2 сХ
Уравнение (2.13) является основным уравнением для расчета
распределения давлений Р, зная которое, легко можно определить все виброреологические характеристики слоя. На гранях выделенного элементарного объема жидкости (или между слоями жидкости) кроме нормальных напряжений, которые непосредственно определяются давлением Р. существуют касательные напряжения т^-. 13 произвольных ортогональных криволинейных координатах касательные напряжения на ограничивающих слой поверхностях определяются следующими уравнениями [116]:
1 сУг 1 1 дНг дЩ
Р [----------+-----------"-----(Vг------+ Ус--------------------)].
' • Ег дг Ефг дг
• • (2.14)
• 1 дЧг 1 дУц 1 дЕг
Т2Ч~ Р I +-------------------------------------------------- (У2-+ Уп-)],
Нп£п Ег дг ЕгНц дц дг
Учитывая, что для тонких зазоров Н»=I, выпишем выражения для касательных напряжений на подвижной (Ті) и неподвижной поверхности (Та) зазора:
■ і,2 • I д\'г дУ$ 1 дЩ
Т2£. [- --- +---------------- - ---------------------------- 1
Не ££ дг Не, дг /2=Ьі,1і2 (2.15)
1,2 ід у г дУц і анп
Ггп =±р [ — +------------ - - V,,---------------------------]
Нг|#Г| с*2 Нп ді /2-Ьі,Ь2
і’де знаки "+" или указывают, что тч- проекции касательных напряжений
на направление ортов криволинейной системы координат, причем вектор
перпендикулярен орту координаты і и параллелен единичному вектору
криволинейной координаты ф
Полагая известным распределение давлений Р в слое, вычислим в уравнении
(2.15) неизвестные слагаемые. В частности, из уравнений (2.6) находим, что
1 д? 1 аР
' дУі/дг = ----------- — 2 + Сі, дУх)/дг 2 +■ Сз. (2.16)
р Щ. ■ р Н*, с1 г)
Остаются также неизвестными значения производных
дУг!дЪ и дУгІдц. Для их нахождения воспользуемся равенствами
дУг • д д'Мг/дс. г-=Ьі
(-----= — [{Уг) ] - !
ді z-hj д£ і-[\і дХЗг/дс, г-\\2
(2.17)
дУг о а\у*/ап, 2=1и
(-----) “ — [(V*) ] = {
2—1^’ дц г=1\} дЯг/дц, 2=ІТ2 .
Учитывая соотношения (2.16) и (2.17) уравнения (2.15) можем записать в
следующем виде
1,2 ь,- ар ііі ащ їй щ і ещ і дУр
\гъ =±{----------(1- “) +р[Сі(1- — —) - С2--------------------------------* + - —1!,
Ну д$ 2Н^дг Ну дг С/. 11^
. і,2 ь,- ар 1ь анп ііі н„ і дяп і дУ-г }
; =±{-------(1- —---------)+р[Сз(1- ) - С,-------г-----]},
Н п j ап. 2Н і,рг Н»и дг Н«и- & Н (1 j дц
где .і=1,2: Уіг=У/г. Улг= Яг и величины Сі...С 4 оирделяются формулами (2.8) и (2.9).
Для дальнейшего анализа удобно ввести следующие безразмерные
величины:
■ а = ejR; р = ц/R; Н = h/б; Ни = hu/6; 6 - 6/R;~z = z/S;
Я=Р/Ро; Va =U^/Uo; Vp =Un/Uo: Wa =W4AJ0: Wp=W„AJ0: (2.19)
t =vt; He ~La; Hp =Ln; Wz =Wz/vhu; Uz ^Uz/vhnTipii /IV . где R - характерный размер опоры, 6 - характерный зазор между поверхностями, Ро - давление окружающей среды, Uo - характерная динейая скорость движения иоверхнстей друг относительно друга, v - частота вибра-ции одной из поверхностей вдоль оси z, lui - амплитуда вибрации одной из поверхностей вдоль оси z, h=lv2-hi - зазор между поверхностями,
• т- = vt - безразмерное время.
В безразмерном виде касательные напряжения можно записать следующим образом: ■
• ~1 ~ др 1-І і ~ Va-\V(l Wa dl<t I ~з I c?Wz
xza= 6 ----- (-— ) + — oA ( — — )+ - И116 Av ----;
6a 2Laі 6 H L«i c'z 12 Lai da
~ dp H 1~ Vp-Wp Wp ди I ~з 1 d\Vz
rzp= 6 —.(- — ) H 6A (------------------- — —) + — HuSAv----------------------------:
ар 2Lpі 6 H Lpi dz 12 Lpi cp
(2.20)
~2- ~ op H 1 - Va-Wa Va dla 1 -з 1 aUz
TzC£=-[6 ---- (- ) + -- 6A (--------------- )H--------------------Hii5Av - J;
da 2L«2 6 H L«2 d'z 12 La а da
.~2. ~ dp h і • ~ Vp-wp Vp aLp і —з і auz
Tz p=-[5-----(- — ) + — 5A ( ) +-H.nOA v — — ],
ар 2Lp2 6 и Lp2 dz 12 lp2 ар
6p UoR l2pvR2
•іде A --------------, Av=------------------- параметры сжимаемости.
' ’’Роб2 . Роб2
-з
В вырыжениях (2.20) 6 имеет порядок 10 . Для зазоров с вибрирую-
щей поверхностью Av~104, поэтому в выражениях (2.20) членами с 63 можно пренебречь. Учитывая также, что Lai=La2 и Lpi-Lp2, касательные напряжения можно считать равными:
26
~і ~ др Н 1 ~ УГ\У3 \У, дЪ)
хг^Цд. — - 6Л(------------------)),
д) 21} 6 Н Ь, бг
(2.21)
~2 ~ др Н 1 ~ Уі-Шз Уз сЯ_з
. Тгз=-[5-------------+ — 6Л(------— )].
д} 2Ь,- 6 Н Ь,- г)?.
. где знак "+" относится к неподвижной поверхности и знак к подвижной
поверхности зазора. Выражения (2.21) полностью совпадают с выражениями
для касательных напряжений в работе [147].
Вернемся к уравнению (2.13). С учетом обозначений (2.19) это уравнение
можем переписать в виде
1 д Ьр а з ар бцои«,!* а
•:------- 1-ЯН ------- - Я НІр(Уа^Уа)] +
ЬсхЬр ■ да В а со, Роб2 ■ • • 2 (2.22) д . Ьа а 3 др биоИоК а 12роК с) а
+•-—[- Я н -------------------------я НЬ«(Ур+\Ур)]} (Я Н)
• др Ьр с?(3 Роб2 Роб2 ді Введем далее две характерных круговых частоты По и уо и в соответствии
с обшей- идеей асимптотического анализа два времени - "быстрое" г и
"медленное” Т по формулам
• • Т = ПоТ Т - Уо1 (Уо> По).
• тогда уравнение (2.22) можно преобразовать к виду:
2-а . 1 + а
1 д Ьр Н д(рИ) 1-а 1-а Ш а 1-а
{---------1- ( Н (ЯН) -) - ЛІ_р(Яі) И (V а + V/а )]
■ ЬаЬр да Ь«1+а да да
2-а 1-а
' сГ 1-а, Н д(рЯ) і-а і - а Ж а 1-а
+ — [- (-------------------н (ЯН) —) - ль а (ЯН) н (Ур4\Ур)ц =
др> Ьр 1+а 5р бр
о а і-« а а 1-а
д(р Н Н ) дір Н Н )
: • = Л + Л0>-, (2.23)
от дТ
где, как и ранее;
6р и0И •• 12иУоК.2 12иПоР2
-. д . д V =■ , Ла, --- - параметры сжимаемости
• Роб2 Роб2 Роб2
27
(Л) и сдавливания (А^-,Л0)). Введем в рассмотрение аналогично 1175,1 761 вспомогательную функцию давления
Т = (2.24)
и.запишем уравнение (2.23) с помощью этой функции в форме "I":
2-ос — 1+0
. • I д Ьр Н С 1-о. —1 + а дН -а 1~сх
-------------;----------- [- (--- И ¥ ) - ЛЬр'Р И (У«+\У«)]
1.(/Хр до. . Ьа Ка с'а да
2- а — 1 и
д Ьа Н &¥ 1-а -1 + адН -а 1-а
. 4. — [-•(-----------------. н ¥ —) - лит Н (Ур4ЛУр)]( -
■ £(з ц ка. ар ар
—а 1-а —а 1-а
д(Ч' Н ) д(Ч Н )
= АV , + Л0> - . (2.25)
<?т сТГ
В уравнении (2.25) все члены, зависящие от параметра Лу, перенесем в
правую часть:.
—и 1-а
ас? н ) 1
= — Ф(аДт,Т), (2.26)
дх А V
где ■ —о \-о
1 сТ Н
Ф(аДтД') = --------- {.] - Л о.»-------------------- , (2.27)
ЬаЬр ЭТ
{.} - выражение в левой части уравнения (2.25).
Пусть функция Ф ограничена во всей области определения переменных. гх,р,т,Т и пусть Лоз/АV—>0 , тогда при Лл—>сс из уравнения (2.26) можем получить асимптотическое уравнение, аналогичное по виду асимптотическому уравнению работы [147]:
а 1-о
а(1Р Н удх = О , (2.28)
—а 1-а
из которого следует, что выражение 0? Н ) при Лу->оо не зависит от времени т.
Введем в рассмотрение следующее обозначение
28
—a i-c*. a
¥ H = ¥ . (2.29)
Перепишем с помощью этого обозначения уравнение (2.25) и форме "2"
2 (X ” 1 ■ -2(1-1
а. 1+ a a
.1 д Lp Н d¥ 1 1a dll
— {— [~ (---------------------------------- У л --------- )-А Lp ¥ (V (/+W<*)]
LaLp <?a La Ha да 2a-i r)a
2a-i 2a-i •
tx 1+ a a
d La H &¥ 1 i+a дЯ
+ — [- (—---------------------- ------ * —) - ALc/F (Vp+Wp)]! =
cp Lp Ra ар 2a-1 ар
ex a
0¥ d ¥
= Av ---------- + Aw------, (2.30)
ат ат
Проинтегрируем это уравнение за период высокочастотных колебаний по времени х, учитывая, что при А\—>со функция ¥ не зависит от времени г
1*0
1 а LP Но атсо [ 1 а ано a
{---------[- (--------------------------------------- ¥оо-) - ALp¥~(V«o+W«o)] +
L(xLp да La H a да 2a-1 aa
(2.31)
l + a о
d■ La Ho 0¥«q 1 ia aHo (X dKY~
+.---- [— ( ■ Too ) - ALa ¥co(V p o+Wp o)] | =A,
■O)
ар 1.р 1+а. ар 2а-1 ар а!’
где Тсо = ¥ при Л V—>оо и
2К 2а-1
1 С *
Но= — Н <1г . (2.32)
2 х ./
о
2к 2п
У«о= - 1 У О с1т ........... \Ур„= —[ \Ур с!г . (2.33)
2я .) 2я.1
О О
Уравнение (2.31) - основное асимптотическое уравнение для отыскания распределения давлений в слое через вспомогательную функцию ¥<о.
2.1.1. Система краевых условий
■ * Так как функция ТА© должна удовлетворять уравнению (2.28) при краевых условиях
¥(а1,р.т,Т)=Н(а1,Рд,Т)-Н1,
• - ' ‘ (2.34)
Т(а2,р,т,ТН1(а2,р.тЛ>Н2, которые являются функциями т, го ясно, что решение, соответствующее
асимптотическому уравнению (2.28), не может удовлетворять условиям (2.34).
Поэтому в асимптотическом анализе обычно полагают, что функция ¥=©
является решением уравнения (2.31) при Л х—>оо в области
; • . 13 € [а -(он,аз), р, Т>0] , (2.35)
* *
причем эта функция удовлетворяет на границах ои, аг этой области неизвестным пока граничным условиям:
¥-(а*р,Т) = ЕХРэТ); 0 -1,2). (2.36)
— -л-
Рассматриваемая область П такая, что границы ее а} лежат достаточно близко от границ области изменения переменной а для уравнения (2.30) с граничными условиями (2.34), т.е. к границам ои. аг (см. рис. 2.3,а). Е) этой связи решение уравнения (2.30) ищем в виде:
Тфа.рЛ». с!I € [ае(аьа1), р. Т>0];
. ¥ .= { ¥с©(а,р.Т), О е [ае(а1,а2), р. Т>0];
*
¥з(а,р,Т,т),_ сЬ € [ае(ос2,а2), р, Т>0].
Очевидно, что О - (11+ Ь + сЬ, где О - область изменения переменных
а,р.Т для уравнения (2.30) с краевыми условиями (2.34).
Функция ¥г=¥1(а,р,Т,т) удовлетворяет уравнению (2.30) при А у-э-со в
области (11 с граничными условиями
а
¥д(а1,р.Т,т)= ГЦаьР.Тд) = Ш при а = ои.
' * (2.37)
¥х(а1,р,Т,т)= Едр.Т) при а = а3.
• • Функция ¥2ав¥2(а,Р,Т,т) удовлетворяет уравнению (2.30) при Л\—ко в области сЬ с граничными условиями
30
■ . V-
. 4;2(а2.р,Т,т)= Н2(а2,р,Т,т) = Ha при а = «>,
* (2.38)
4/2(а2,р,Т,т)= Е2(Р>Т) при а = 0.2.
Функция 4V удовлетворяет уравнению (2.30) при Av-ко в области D
граничными условиями (2.36).
Получим граничные условия Ei(p,T) и Еа(рЛ'). Проинтегрируем уравнения
(2.30) по переменной а и времени т в пределах периода высокочастотных
колебаний:
2а-1 2а-1
2к a î + a б.
' с ? Lp Ы 54V 1 i+сх 5Н
< 1~ (----------- - Т<о ) - ALp*Pсо(Vci+Wа )] +
J да L« Ка да 2а Л да
(X О 2а-1 2 (х ”1
а 1+ а • ô.
• a La Н 54V I ц-а 5Н а
+ — .[- (----------------------Tco — ) -AL«T=o(Vp4-Wp)lîdT>da =
5р Lp Ка ôfi 2а-1 dp
а
Г ' 54V
~ А0) I LaLp ------- da + А(р,Т), (2.39)
J дТ
а
где А(р.Т) - постоянная интегрирования. Учитывая, что
2a-i 2a-i 1* a 2<x-i
d « 1+ et â 54* 00 1 « a а
— (H ' 4V )= H ---------------- + 4V 5H /ctot , (2.40)
5a
получаем, что
2a-i 2a-i
2k â i5 2a-1
' Lp H H 54V i 5 1-a ô
[- (------■.+ )--------------------------------------- {'Poo H ) -ALpŸ«o(Va+Wa)]dT+
LaKa 2a-1 5a 2a-i 5a
O • 2a-i 2a-J
2 я ô 14 a â
Г r 5 La H 54V. i 1 ♦ <t5H
+ П ------------ H------ Te )- ALa 4V(Vp+Wp)] J drda -
J J 5p Lp Ka 5p 2a-1 5p
0 a* a
f 54V
=Aсо LaLp da + A(p.T). (2.41)
J 5T
a
Умножим уравнение (2.41) на величину Ь«/Ьр и, учитывая, что величина Ь«/Ьр не зависит от времени т, получаем:
2«-1 2а-1
2;т • 2а-1 2я $ ^ 1 + £*
1 5 1 + а а X Н Н 54'со
— ОРсо Н ,[(------------------- +-----)---------- -ЛЬрТ~(Уа+У/«)]с1т +
2а-1 5а ) 1+а 2а-1 5а
о ' ' о
. 2а-з 2а-1
2к ■. и. 1+ <*■ а
1а Г С 5 Ьа Н 5'Роо 1 1 *• а 5Н а
{•“[-(------------- — Тоо ) -А Ьа4МУк\Ув)1;с1гс1а -
ЬрУ У 5рЬр 1+а 5р 2а-1 5р
а
Ьа Г Л Ьа
- А со—( ЬаЬр да - — А(р,Т).
ьР У ст и
а
(2.42)
Вновь проинтегрируем уравнение (2.42) по переменной и обозначим
. 1(аДТ) = [<Зос{
2а-і 2а-і
2я й а і + сх
Н Н 5Усо а 1а
[( Ч ) ------------- -ЛЬр'Роо(Уа+ЧУа)]с!т А(Р,Т); +
1+а 2а-і 5а Ьр
а
2а-і
б:
• ■ 2а-і
2п а 1 + «
Ь а Г Г 5 Ь а. Ы б'Р оо 1 1 + а 5Н а
ба<— [• К- [- (---------------------------------- ) -ЛЬсЛ1+">(Ур+\Ур)|| (Ітсіа:
1_р 2 3 5р Ьр 1+а 5р 2а-і 5р
а
а
о
(' Ьа Г 54;оо 2
- л0)1|— 1.«Ьр------йа + В(р:Т).
і Ьр.) с5Т
а а
(2.43)
тогда уравнение (2.42) преобразуется к следующему виду: Л 1
2л:
У 2а-1
2а-I
О?- Н )с?г - Ла.р,Т).
(2.44)
о
Значение Д(а.р.Т) на границах «1 будет равно
.Т(а.1,р,Т) = 3(а,,р;Т) + 0{х} (2.45)
Принимая порядок Лаьр.Т) за единицу, получим при малом изменении
а около аь
*■ -Уг
Да1,р,Т) - 1(аьр,Т) ~ (А\) , (2.46)
32
тогда соотношение (2.45) представим:
* -'/2 J(ai,p,T) = J(ai.p,T) + О (A v } . (2.47)
. С другой стороны, из равенства (2.44) следует, что:
2 л 2а-1
. J(m*pT) = I Ф+(аьР.Т,т)На ( a'bp.T.T)dr =
J 2а-1
о • (2.48)
2 л 2<*-i 2 к -»</-1
!1 1+ а & * 1 ’ а .( 1 а 1
Ei(p.T) Н (ai.p.T.T)di =Ei (РJ) . Н {афТл)6х.
2а-1 J 2а-[
о . . о
Из выражений (2.44) и (2.47)...(2.48) следует:
2К 2(i-t
1 + 0 Г i a *
Ei(p.T)--------------Н (ai,p/i\T)dr =
J 2a-1
■ 2x'.. 2a-1 у (2.49)
= Ф* (ai,P,T,т)H(ai.p,T,i)di + 0{Av J,
• J 2a-1
O . 2(/.-l
l + a * a. w
Учитывая, что 'F ( ai,p,T,x) = Ы (ai,p,T,i) и пренебрегая членами
высшего порядка малости, соотношение (2.49) можем переписать в виде : 2л 2л 2а-1
Ei((3.T)= [ H(oti.p,T,t)dt / j H“(ai,(3,T,T)clT. (2.50)
о о
Не нарушая общности равенства (2.50) по сравнению с равенством
*
(2.49), можно положить ai= a 1, тогда
2л 2л 2(i-i
i + о С 3 Г «
Ei(P,T> J Hid! / J Hi dr (2.51)
о о
Аналогично находится функция Езф.г)
2л . 2л 2а-1
eI(P,T)= J H2dT / | (2.52)
О о
Рассуждая аналогично работе [175], для функции 'Pi можно получить приближенные уравнения, справедливые для области cU:
■“> 'У
2(х-1
а 2' 1*- а а
Н, д Ух дУх
-----------7----------?— = -------------
(2.53)
. (1 -*-а) Ъх д'^х дх
где
Уч .
Н(а?§1,р?т.Т)=Ы1(а.;р,Т)=Н1; Ьа(а1,Р)-Ьа1(Р)=Т.1; Ь=(А^•)(Ul-а). Граничные условия для уравнения (2.53) имеют следующий вид:
а - ‘ .
^1(е1->О?р,т>0=Н1ф5т.Т)=Н1; 1р1(§1->1Дт,Т) НЕхф/Г) (2.54)
Аналогично, вблизи границы сх.2 имеем уравнение:
2 а-1
а 2 1*-а с«
Нз д У 2 0У2
(2.55)
(Ка) Ъч 5^2 дт
где •
• : Уч
Н(аД2,р,г,Т)=:Г12(а.р,Т)“Н2; Г«(а2,р)=Га2(р)=1,2; ^2=(А v)(a2-cx).
Граничные условия для уравнения (2.55) имеют следующий вид:
а
^2(^0,рд,0=Н2(рл5Т)=Н2; У2(*2->1ДтТ) =Ез(р,Т) (2.56)
Уравнения-(2.53) и (2.55) являются уравнениями параболического типа. Их
решения .при удалении от границы си и ач быстро затухают по
экспоненциальному закону. Протяженность области в направлении
Уч
координаты р вблизи границ схх и ач имеет порядок 1/(аЛ у).
Внутри граничных областей сЬ и сЬ решением уравнения (2.30) при Л\—но будут функции Ух и Уч удовлетворяющие приближенным уравнениям (2.53) и (2.55) соответственно.
2.1.2. Интегральные виброреологические характеристики слоя Задача определения интегральных характеристик среды в тонком сжимаемом слое рассмотрена в работе [147], поэтому здесь мы остановимся лишь-на особенностях этих характеристик для двухфазных слоев жидкости. Введем в рассмотрение угол б(р^-.р) между каким-то заданным направлением и нормалью к поверхности опоры. Тогда проекция силы, возникающей от наличия.избыточных давлений в слое, на выбранное направление /. будет равна [ 163]: