Проектирование и оптимизация крыловых профилей в дозвуковом потоке

2
ОГЛАВЛЕНИЕ
стр.
ВВЕДЕНИЕ
ГЛАВА 1. Метод решения задачи обтекания крылового профиля..............21
§1. Введение......................................................21
§2. Метод граничных элементов для решения стационарных задач
газовой динамики..............................................23
§3. Адаптивные расчетные сетки. Введение.........................38 •
§4. Вариационный принцип построения расчетных сеток.............. 42
§5. Декартова адаптивная сетка...................................43
§6. Криволинейная адаптивная сетка...............................48
§7. Иные вариационные принципы...................................49
§8. Способы учета вязкости.......................................53
§9. Тестовые расчеты.............................................56
Рисунки к ГЛАВЕ I..........................'..................58
ГЛАВА П. Способы представления варьируемых границ для задач
аэродинамического проектирования..............................78
§1. Введение.....................................................85
§2. Параметрические полиномы четвертого порядка..................86
§3. Параметрические полиномы произвольного порядка...............97
§4. Интерполяционные свойства параметрических полиномов..........99
§5. 11римеры представления геометрии границы.....................114
Рисунки к ГЛАВЕН..............................................116
ГЛАВА III. Методы и стратегия решения задач оптимизации и
проектирования дозвуковых профилей..........................130
§ 1. Общая постановка задачи оптимизации.................................130.
§2. Алгоритмы оптимизации.......................................133.
§3. Примеры посгроения оптимальных профилей при различных
геометрических ограничениях...................................136
з
Рисунки к ГЛАВЕ III..........................................144
ГЛАВА IV. Оптимизация экспериментальных профилей..................151
§1 Оптимизация профиля ЫАСА 642-215........................ 151
§2. Оптимизация профиля П- 2.9/31 - 17.......................155
§3. Оптимизация профиля П - 2.3/75 - 17......................157
Рисунки к ГЛАВЕ IV...........................................160
ГЛАВА V. Многоточечная оптимизация крыловых профилей..............179
§1. Трехточечная ортимизация дозвукового профиля.............179 •
§2. Проектирование профиля типа “летающее крыло”.............182
Рисунки к ГЛАВЕ V.......................................... 185
ЗАКЛЮЧЕНИЕ...................................................... 192
ЛИТЕРАТУРА........................................................194
ПРИЛОЖЕНИЕ........................................................211
4
ВВЕДЕНИЕ
С развитием авиационной техники значительное внимание уделяется совершенствованию летательных аппаратов. Одним из путей, предпринимаемых в этом направлении, является проектирование крыльевых профилей, обладающих требуемыми свойствами при заданных ограничениях. Это связано с тем, что обтекание центральных сечений крыльев дозвуковых самолетов, имеющих большое удлинение, близко к плоскому обтеканию аэродинамических профилей и, следовательно, является оправданным исследование и проектирование профилей с высокими аэродинамическими характеристиками в при этом предположении. Фундаментальные исследования в этой области, проведенные в ЦАРИ, сыграли важную роль в совершенствовании магистральной авиации. Там были спроектированы профили всех поколений -от классических до сверхкритических. В основе методологии проектирования лежит обширный экспериментальный материал, обобщение которого позволило сформулировать зависимости аэродинамических характеристик профилей от их геометрических характеристик. Основываясь на таких закономерностях как: поляры профилей различной максимальной относительной толщины стах и различной степени шероховатости, изменение коэффициента минимального сопротивления по максимальной относительной толщине, несущих и моментных характеристиках различных профилей в широком диапазоне углов атаки, изменение производной коэффициента подъемной силы по углу в зависимости от стах, характеру изменения коэффициента максимальной подъемной силы по егпах для разных чисел Рейнольдса, влиянию кривизны верхнего контура на уровень возмущений и зависимости от них интенсивности скачка уплотнения и т. д., были сформулированы и реализованы на практике принципы проектирования обычных и сверхкритических профилей. Они заключаются в следующем [31]: построение происходит на базе одною или нескольких однотипных профилей, изменяются координаты верхнего и нижнего контура пропорционально стах, изменяется симметричная часть профиля
5
пропорционально cmax при сохранении средней линии базы, изменяется величина максимальной вогнутости с сохранением формы средней линии при фиксированных относительной толщине и формы средней части. Для проектирования сверхкритического профиля понижается кривизна верхней поверхности, увеличивается кривизна нижней для сохранения стах и “подрезается” хвостовая часть для компенсации потерь в подъемной силе. Спроектированные таким образом профили реализуют требования к ним предъявляемые, но не являются оптимальными, так как этот принцип не заложен в самом способе проектирования. Оптимальными характеристиками профиль должен обладать на крейсерском режиме полета, моделирование которого, в отличие режимов взлета - посадки, не просто возможно на современном этапе развития численных методов и вычислительной техники, по возможно на уровне включения расчетов характеристик профилей в процесс решения оптимизационных задач. Математические методы решения задач оптимизации неизбежно должны прийти на смену не формализованным принципам проектирования, что может позволить получить новые решения в классах как уже хорошо исследованных профилей, так и при разработке перспективной техники, например, летательных аппаратов тина “летающее крыло”. Кроме того, опыт постановки и решения оптимизационных задач естественно не ограничен в своей содержательной части проектированием именно крыловых профилей. Развивается моделирование и иных и более сложных объектов, которые так же со временем могут быть включены в оптимизационные постановки.
В работе рассматриваются задачи построения оптимальных профилей, при обтекании которых реализуется экстремальное значение некоторой аэродинамической характеристики, например, подъемной силы, аэродинамического качества, момента тангажа, критического числа Маха и т. д. Корректность постановки задачи, определяющая существование содержательного решения и успех в практическом проектировании крыловых профилей зависит от учета ограничений. Ограничения могут иметь различную природу: аэродинамические - на подъемную силу и момент профиля, газодинамические - на давление, градиент давления, скорость на
6
фиксированных участках и отдельных точках контура профиля, геометрические - на площадь, толщину, кривизну профиля, а также на гладкость, например, функций, задающих контур.
Уровень еложности рассматриваемого класса задач связан в первую очередь с тем, что параметры течения определяются путем решения краевых задач для систем квазилинейных уравнений в частных производных. Требования к геометрии дозвуковых профилей, как правило, не позволяют использовать упрощенные постановки задач, получившие широкое распространение при решении оптимизационных задач сверхзвуковой аэродинамики в рамках линейной теории, течений Ньютона, Ньютона - Буземана [104]. Поэтому, в качестве моделей течения необходимо использовать либо уравнения Эйлера (в том числе полное уравнения потенциала), либо уравнения 11авье - Стокса. Для учета вязких эффектов при использовании уравнений Эйлера необходимо привлекать в том или ином виде решения уравнений пограничною слоя.
Построение оптимального решения (рассматриваются плоские течения) требует комплексного применения численных и аналитических методов механики и вычислительной математики. Эти методы можно разделить на вариационные, обратные и прямые методы.
Сформулированная выше совокупность требований ограничивает применение классических вариационных методов построения оптимальных решений. Даже при использовании модели иевязкого газа возникают серьезные трудности с учетом циркуляции, реализацией ограничений, носящих локальный характер и т. д. Фактически здесь можно отметить только работу [40], в которой построен класс оптимальных по критическому числу Маха симметричных профилей, имеющих фиксированные носовой и кормовой участки. Метод основан на решении задачи потенциального обтекания профиля и вариационном принципе, обобщающем вариационный принцип Рябушинского 141,42] для случая бесциркуляционного обтекания тел.
Методы решающие обратную задачу имеют давнюю историю и продолжают бурно развиваться ссйчас[49,62-64,77,92,105,107-109,111 ]. В [64,69] дан исчерпывающий обзор достижений в этой области, в том числе работ самих
7
авторов внесших определяющий вклад в развитие этого направления в последние два десятилетия. Приведены методы и результаты решения обратных краевых задач аэрогидродинамики (ОКЗА) для плоских течений, суть которых заключается в определении формы крылового профиля (изолированного, многокомпонентного или являющегося элементом решетки) по заданному на ег о контуре распределению скорости или давления жидкости или газа. Использованы математические модели течения идеальной жидкости, пограничного слоя и газа Чаплыгина. Наряду с решениями основных задач (ОКЗА) исследованы вариационные обратные краевые задачи для дозвукового течения газа, в частности задачи максимизации подъемной силы или аэродинамического качества, минимизации профильного сопротивления изолированного профиля с использованием моделей газа Чаплыгина и пограничного слоя, исследована задача о максимизации критического числа Маха для несущих крыловых профилей. Основное ограничение этих методов заключается в требовании априорного знания распределения скорости или давления, которое позволяет хорошо сформулировать задачу и приводит к удовлетворительному решению. Аналитические работы же по исследованию качественной структуры течения, подобные [75,142] редки, и исследователям в значительной мере приходится опираться на интуицию и опыт. Кроме того, определенную проблему представляет необходимость включение в алгоритм решения обратной задачи дополнительных ограничений, как на геометрию профиля, так и на его аэродинамические характеристики.
Альтернативой обратному проектированию является применение численных методов оптимизации, базирующихся на вычислительных методах динамики жидкости и газа. Эти методы не требуют априорной информации о решении и носят более общий характер, что позволяет ставить и решать хорошо сформулированные задачи. Дополнительным преимуществом использования прямых методов оптимизации является то, что они могут легко вводится в многопараметрические оптимизационные представления с потенциальными возможностями учета разнородных факторов] 19,20,136].
Основным же препятствием применения оптимизационных процедур является их высокая стоимость, связанная с вычислением и анализом поведения производных (или градиентов) от целевой функции по переменным проектирования. Это обстоятельство напрямую связано с выбором как моделей течения газа, так численного метода решения соответствующих уравнений.
Естественно, что с точки зрения получения наиболее адекватного решения задач обтекания профиля, предпочтительней использовать уравнения Навье -Стокса. С развитием вычислительной техники исследования в этом направлении значительно возросли. Однако необходимо сразу отметить, что в первую очередь увеличилось число работ, связанных с расчетами обтекания крыловых профилей в рамках модели Навье - Стокса для фиксированных режимов обтекания. В эт их работах изучаются различные аспекты такого моделирования: исследование проблем связанных с ламинарно - турбулентным переходом, использованием различных моделей турбулентности, исследование течения в области задней кромки профиля (для острой, тупой, закругленной кромок, присоединенного и оторвавшегося турбулентного пограничного слоя) 1170], моделирование обтекания при больших числах Рейнольдса [179], исследование влияния расчетных сеток на величину подъемной силы и сопротивления для до - и трансзвукового режимов обтекания и т. д. Это связано со значительными (даже для современного уровня вычислительной техники) затратами ресурсов ЭВМ для проведения подобных расчетов. Например, в работе [191] для достижения погрешности порядка одного процента при вычислении подъемной силы и сопротивления при решении уравнений Навье - Стокса в приближении тонкого слоя потребо вал ось порядка 95000 . узлов. Поэтому, параллельно не прекращаются исследования по так называемому зональному подходу, при котором в различных областях течения используются разные модели, причем комбинируются как модели Эйлера, и Навье - Стокса [167,186], так и модели Эйлера и пограничного слоя [84,137,153,155,156,178]. Цель этих исследований -уменьшение времени расчета при сохранении приемлемого соответствия с результатами решения уравнений вязкого течения и, конечно, с экспериментом, что но всегда одно и тоже. Так в [167] объединение программ расчета па основе
9
панельного метода для потенциальной области течения и решения уравнений Навье - Стокса для тонкого слоя уменьшило время работы центрального процессора в 4 раза. Ведутся работы и по сравнительному анализу использования различных типов взаимодействия и моделей. Так в [192] для одинаковых алгоритма, сетки и модели турбулентности на основе схемы вязко невязкого взаимодействия выполнено расчетное исследование обтекания профилей на дозвуковых скоростях. Решались: обычные уравнения
пограничного слоя, уравнения пограничного слоя второго порядка и уравнения Навьс - Стокса и проводилось сравнение с экспериментом. Показано, что члены высокого порядка в уравнениях вязких течений не влияют на значение подъемной силы и продольного момента, но сказываются на величине сопротивления. В работе [139] получено удовлетворительное соответствие результатов расчета околозвукового обтекания профилей ЫАСА 0012 и ИАН 2822 на основе совместного решения уравнений Эйлера и интегральных уравнений пограничного слоя с результатами решения уравнений Навье Стокса. Весьма полный обзор современного состояния дел в разработке методов расчета обтекания профилей, основанный на вязко - невязком взаимодействии дан в [183]. Естественно при этом продолжается разработка и совершенствование методов решения и уравнений Эйлсра[16-18,121,175] и уравнений потенциального течения [2-15,21,23,100,131,143,177] и иных схем невязкого обтекания[128,154], а также методов генерации расчетных сеток для задач аэродинамики [47,162,165].
Поэтому среди работ, посвященных проектированию и оптимизации крыловых профилей до сих пор преобладают работа, в которых в качестве моделей используются либо только модель Эйлера, либо модель вязко невязкого взаимодействия, а работ с моделью Навье - Стокса существенно меньше. Скажем, если за последнее десятилетие в рамках первого подхода можно упомянуть работы [90,124-127,129,132,136,140,144,145,156,158,168], [176,180,190], то список значимых работ по второму направлению значительно скромнее- [ 122,137,138,159,187].
Дадим краткий выборочный обзор тех и других работ.
10
В 1158J описана процедура проектирования геометрии профиля с заданным распределением давления. Она включает’ в себя решение уравнений Эйлера по методу конечных объемов и алгоритм оптимизации по методу наименьших квадратов. В (129] минимизируется сопротивление при проектном значении подъемной силы для заданного числа Маха полета. Работа (190] посвящена проектированию профилей крыла при трансзвуковых скоростях полета по заданному распределению давления. Уравнение полного потенциала решается конечно - разностным методом. В ( 168] расчет уравнений Эйлера ведется по многосеточному алгоритму на ЭВМ CRAY - 2. Приводятся примеры проскгирования и оптимизации профиля NACA 0012. В 1144] при оптимизации профиля NACA 0012 в трансзвуковом режиме при фиксированном угле атаки решаются нестационарные уравнения Эйлера. В работе [ 1451 проводится двухточечная оптимизация на основе решения уравнений Эйлера и делается вывод о возможности получения на этом пути улучшенных характеристик и на нерасчетных режимах. В [124,125] приводятся примеры модификации профиля NACA 0008 в профиль NACA 0012 и проектирования профиля NACA 2412 под заданное распределение давления для фиксированных углов атаки также на основе решения уравнений Эйлера. В работе [126] проектирование оптимальных аэродинамических форм включает и адаптацию сетки при решении уравнения полного потенциала. Даны примеры проектирования профиля Когп и NACA 0012 при нулевом угле атаки. Оригинальная процедура решения оптимизационной задачи предложена в [180], заключающаяся в объединении градиентного метода с многоцелевым генетическим алгоритмом, что значительно снижает время решения задачи. И, наконец, в работе [136] реализован алгоритм решения многоточечной (при расчетах была выбрана трехточечная) задачи оптимизации профиля при заданных ограничениях на подъемную силу при фиксированных углах атаки.
В [122] разработан полуобратный метод аэродинамического проектирования с использованием двумерных уравнений Павье - Стокса для околозвуковых и дозвуковых режимов обтекания и даны примеры тестовых расчетов. В [159] решае тся обратная задача проектирования профиля под заданное распределение
1]
давление. В 1187] приведены процедура проектирования профиля, метод генерации сетки и численный метод решения уравнений Навье - Стокса в приближении тонкого слоя. Используется метод конечных объемов с многоступенчатым алгоритмом Рунге-Кутта для интегрирования по времени.
В [138] на основе уравнений Навье - Стокса для несжимаемой жидкости приведен пример проектирования профиля NACA 4412 для взлетно -посадочных режимов. Па каждом шаге решения оптимизационной задачи обеспечивается увеличение подъемной силы на данном угле атаки без увеличения сопротивления. И, наконец, в работе [137] исследуется влияние чувствительности расчета при оптимальном проектировании для различных моделей течения. Анализируется четыре варианта: уравнения Эйлера, уравнения Эйлера и пограничного слоя, уравнения Навье - Стокса на грубой и мелкой сетке. В качестве теста выбрано проскгирование профиля RAE 2822 при фиксированных угле атаки, числе Маха и числе Рейнольдса. В работе не делается однозначный вывод в пользу какого - либо варианта.
Приведенный обзор позволяет сделать следующие выводы.
Разнообразие постановок и уровень требований, предъявляемый как к самому оптимальному решению, так и к процедуре его получения не позволяет считать существующие методы вполне исчерпывающими.
Использование в качестве модели течения уравнений Навье - Стокса при решении оптимизационных задач требует с одной стороны использования суперкомпьютеров и алгоритмов распараллеливания вычислений, а с другой -остается открытым вопрос об адекватности используемых моделей турбулентности в условиях весьма произвольного варьирования переменных проектирования, так как их параметры, как правило, ориентированы на конкретные режимы течения. Кроме того, решения уравнений 11авьс - Стокса могут быть в лучшем случае квазистационарными, что но сути дела противоречит постановке оптимизационных задач.
Использование для решения задачи обтекания профиля модели вязко -невязкого взаимодействия с разделением области течения на потенциальное ядро и тонкий пограничный слой является по прежнему наиболее рациональным
12
как с точки зрения получения практически значимых результатов решения оптимизационных задач, так и е точки зрения вычислительной эффективности. К этому следует добавить, что учет требования безотрывности обтекания оптимального контура позволяет ограничиться вычислением интегральных характеристики пограничного слоя входящих в соответствующие критерии безотрывности и формулу сопротивления. Эго дает возможность избежать многократного решения уравнений пог раничного слоя в условиях возможного отрыва потока при вариациях контура. Кстати, проблема отрыва потока и связанные с ней вычислительные трудности (вплоть до авостных ситуаций в программе) существует и при решении уравнений Навье - Стокса.
Дополнительные требования предъявляются и к методам решения уравнений Эйлера или уравнения полного потенциала и связанным с этими методами расчетным сеткам [134,166]. И сразу необходимо отметить в этой связи возросший интерес к методам решения интегральных граничных уравнений, таким как метод граничных элементов [35,39,143,186], которые при соответств' ющей модификации могут быть применены и для решения уравнений движения сжимаемой жидкости (21,23,24,35,39,121,131].
Причины этого заключаются в следующем.
Наиболее широко используемые в настоящее время численные методы рассматривают дифференциальные уравнения непосредственно в той форме, в которой они были выведены при помощи одного из двух подходов: или при помощи аппроксимации дифференциальных операторов в уравнениях более простыми локализованными алгебраическими операторами, или при помощи . представления самой области элементами среды, не являющимися бесконечно малыми (т. е. конечными элементами), которые в совокупности аппроксимирую! реальную систему. Методы конечных разностей (первый подход) привлекательны тем, что их в принципе можно приложить к любой системе дифференциальных уравнений, но учет фаничных условий задачи очень часто является громоздкой и трудно программируемой операцией. Точность получения численного решения полностью зависит от степени измельчения сетки. Они имеют слишком жесткие ограничения на структуру расчетной сетки,
чтобы адаптировать ее к варьируемой геометрии контура, что осложняет реализацию граничных условий. В противном случае возникают проблемы связанные с устойчивостью и точностью вычислений. Кроме тою, при решении задач оптимизации приходится выбирать между многократным обращением, пусть и разреженных, матриц большой размерности для итерационных алгоритмов и неявных схем и ограничениями на скорость сходимости характерными для схем явных.
В настоящее время наиболее популярным, безусловно, является метод конечных элементов (МКЭ). Поведение каждого элемента приближенно воспроизводит поведение малой области течения, которую он представляет, но условие полной непрерывности между элементами налагается только в обобщенном смысле (обычно в узлах), а не на всем протяжении границ раздела. Диапазон применимости МКЭ, их эффективность и сравнительная легкость, с которой могут быть учтены реальные граничные условия, действительно делают их серьезными соперниками любою конкурирующего метода. Слабая сторона состоит в том, что он представляет собой схему дискретизации всей области, а это неизбежно ведет к очень большому количеству конечных элементов, особенно в задачах с удаленными границами и, во - вторых, часто приводит к нереальным разрывам значений физических величин между смежными элементами.
Альтернативным подходом к системе дифференциальных уравнений является попытка аналитически проинтегрировать их каким - ни будь способом или перед переходом к какой - либо схеме дискретизации, или перед введением какой - либо аппроксимации. Конечно, мы пытаемся проинтегрировать дифференциальные уравнения, чтобы найти решение, какой бы метод мы ни использовали, но сущность методов граничных интегральных уравнений состоит в преобразовании исходных уравнений в эквивалентную систему интегральных уравнений в качестве первого шага решения задачи. Отсюда следует, что любая применяемая в дальнейшем схема дискретизации, будет приводить к разбиениям только границ области. Поэтому, область становится одним большим сложным “элементом*' в смысле МКЭ и переменные, описывающие решение, будут
14
изменяться непрерывно в этой области и все аппроксимации геометрии будут иметь место только на границах.
Поскольку в предлагаемой работе для решения задачи обтекания используется метод граничных элементов (МГЭ), остановимся на некоторых вопросах с ним связанных. Подробно же история различия этих методов, начиная с работ Грина, Фредгольма, Михлина, Купрадзе по теории интегральных уравнений и до создания численных алгоритмов на их основе, которые стали интенсивно развиваться в 80-х годах и их приложениям к решению прикладных задач, представлена в монографиях [35,39]. Там же есть ссылки и на работы, посвященные применению МГЭ для решения задач аэрогидродинамики, относящиеся к течениям несжимаемой жидкости и линеаризованным трансзвуковым течениям газа. В отечественной литературе упоминания о разработке и применению МГЭ для расчета течений сжимаемого газа отсутствуют. А примеры использования этого метода при решении задач оптимизации отсутствуют и в литературе зарубежной.
Одним из вариантов метода граничных элементов (МГЭ) являю гея так называемые непрямые методы, в которых интегральные уравнения полностью выражаются через фундаментальное сингулярное решение исходных дифференциальных уравнений, распределенное с неизвестной плотностью по границам рассматриваемой области. Фундаментальное сингулярное решение может быть, например, функцией Грина для неограниченной области. Сами но себе функции плотности не имеют определенного физического смысла, но когда они найдены (численным решением интегральных уравнений), значения параметров решения во всей области могут быть получены из них простым интегрированием. Прямые же методы оперируют с неизвестными функциями, входящими в интегральное уравнение, имеющими физический смысл. Выбор метода, как правило, диктуется постановкой задачи.
Если в задаче для однородной области должны быть учтены распределенные объемные силы, или основные дифференциальные уравнения квазилинейны, то к граничным интегралам следует добавить объемный интеграл, включающий произвольное подразделение области. В этих случаях, однако, разбиение на
15
подобласти не приводит к увеличению порядка окончательной системы алгебраических уравнений, подлежащей решению, и преимущества МГЭ сохраняются. Платой за это преимущество является заполненность матрицы, порождаемой при помощи МГЭ системы в отличие от МКЭ. И вычисление каждого элемента матриц при решении МГЭ приводит к большим арифметическим вычислениям, чем в методе конечных элементов, что компенсирует некоторое количество машинного времени, сэкономленного при решении системы. Однако, из предпринятых различными авторам исследований следует, что по мере роста размера задачи расходы для схем МГЭ, связанные с ЭВМ, растут менее резко, чем для иных методов решения. Эта разница еще больше для тех классов задач, которые особенно благоприятны для МГЭ, например, для систем, границы которых частично находятся в бесконечности. Поскольку процедура решения МГЭ автоматически удовлетворяет допустимым граничным условиям на бесконечности, разбиение этих границ не требуется.
Важным преимуществом является и то обстоятельство, что после решения интегрального уравнения, могут быть вычислены значения переменных, описывающие решение, в любой точке области. Более того, решение полностью непрерывно всюду в области. Эти особенности присущи только МГЭ и выделяют его среди возможных альтернатив.
Само по себе граничное интегральное уравнение является формулировкой поставленной задачи, ведущей к точному ее решению, и погрешности вследствие дискретизации и численных аппроксимаций возникают на границе и в области (если есть ес разбиение) из - за численного интегрирования. По при использовании криволинейных элементов на границе и непрерывно меняющихся функций па ней эта процедура может быть весьма точной и погрешности, ей привносимые, достаточно малыми. И, конечно же, численное интегрирование всегда представляет собой более устойчивый и точный процесс, чем численное дифференцирование, и ни прямой, ни непрямой МГЭ не требуют никакого дифференцирования численных величин.
Г те один аспект, связанный с варьированием контура профиля и состоящий в выборе способа его аппроксимации и который практически не обсуждается в
16
публикациях, состоит в том, что математическое представление геометрии тела должно исключать “паразитные осцилляции” при варьировании определяющих параметров приводящие к некорректности оптимизационной задачи. Эта проблема далеко непроста, поскольку практически вес традиционные способы аналитического описания и представления в ЭВМ криволинейных границ имеют свои достоинства и недостатки. К последним можно отнести: тенденцию к осцилляциям у полиномиальных представлений, невысокую степень гладкости сопряжения для кусочно - полиномиальных представлений, необходимость задания производных в узлах для эрмитовой интерполяции. У сплайнов также могут возникать осцилляции на интервалах с большими градиентами и в точках разрыва кривизны, у параметрических сплайнов свободных от традиционных осцилляций возможно появление петель. Кривые Ферпоссона - Бернштейна-Безье не могут одновременно удовлетворять требованиям высокой гладкости сопряжения и хорошего приближения к заданным узлам.
И конечно, успех в решении собственно оптимизационной задачи зависит от эффективной программы минимизации функции многих переменных при наличии функциональных ограничений в виде равенств и неравенств [45,4о|. Так в работах [148,151] использовался метод возможных направлений, в [149] одна из модификаций метода градиента, в [84] - метод проекции градиента. В работе [80] дается сравнительный анализ различных классов методов решения задач нелинейного программирования и предлагается подход, который является неградиентным методом с адаптацией и с использованием элемента случайности. Он включает в себя методы сканирующего конуса, покоординатного спуска на серии случайных испытаний, модификацию магрично - векторного спуска [59] и спуска в заданном напрвлении с использованием метода склона [78,80].
Логическим завершением разработки методов решения задач проектирования и оптимизации должно быть создание специализированного комплекса или пакета прикладных программ, позволяющего выводить графическую и числовую информацию о процессе поиска решения оптимизационной задачи на любом этапе. Это дает возможность оценивать роль и влияние параметров
17
проектирования, ограничений, точности их выполнения, коэффициентов штрафа и иных параметров алгоритма на ход решения и вносить соответствующие коррективы. Только наличие такого пакета (комплекса) программ позволяет говорить о возможности решения практических задач, так как результаты представленные в публикациях носят в основном тестовый, методический характер, не являются систематическими и могут служить лишь ориентирами в проведении исследований.
Таким образом, актуальность исследований в данной области сохраняется, и данная работа посвящена разработке комплексного подхода к решению оптимизационных задач и задач проектирования в аэродинамике. С единых позиций на основе сформулированных требований, характерных для этого круга задач, разработаны методы решения уравнений течений газа, генерации вычислительной сетки, представления геометрии варьируемой границы и решены серии задач оптимизации и проектирования контуров крыльевых профилей.
Общая постановка задачи оптимизации.
Определить оптимальный вектор переменных проектирования р°'"" размерности /V, который минимизирует функцию стоимости Г:
Р°"т ■ р(р,и1(р\—,Ом(р))=>тт,
Р
при ограничениях
Цр)<о, ф,и^о, у=1,...,м.
Здесь / - вектор аэродинамических, газодинамических и геометрических ограничений.
I - оператор уравнений движения газа, а 0 - векгор решения задачи обтекания. М - число режимов участвующих в определении оптимального решения.
Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, рисунков, литературы и приложения.
18
Первые две главы открываются анализом существующих подходов и методов для решения сформулированных в них проблем.
ГЛАВА I посвящена изложению алгоритма численного решения краевых задач дозвуковой аэрогазодинамики для расчета обтекания крыльевых
профилей на основе метода граничных элементов решения нелинейного
интегрального уравнения, сформулированного для уравнения Пуассона на
каждой итерации, а также принципов и методов построения различных типов адаптивных вычислительных сеток. Описан способ учета влияния вязкости на режим обтекания и характеристики профиля. .Приведены примеры тестовых расчетов, сравнение сточными решениями и экспериментальными данными.
ГЛАВА II посвящена изложению новых методов представления свободных границ для задач аэродинамического проектирования: на основе
параметрических полиномов фиксированной степени и первого порядка гладкости, на основе локальных полиномов Эрмита произвольной степени и бесконечного порядка гладкости (II - аппроксимация). Доказаны теоремы
об отсутствии точек перегиба у предложенной аппроксимации на
интервалах интерполяции, определяемых только исходным разбиением и
степенью полинома, о монотонности данной аппроксимации, о предельных свойствах аппроксимации при стремлении ее степени к бесконечности. Разработан способ определения “фиктивных” опорных точек, позволяющий строить и. - аппроксимацию, проходящую в окрестности опорных точек с любой заданной степенью точности. Приведены примеры представления различных границ.
ГЛАВА III посвящена общей постановке задач оптимизации и проектирования дозвуковых крыльевых профилей, формулировке основных аэродинамических и геометрических ограничений, стратегии и методам поиска экстремума функционала. Получены решения задач проектирования дозвуковых профилей с максимальным аэродинамическим качеством при фиксированных либо относительной площади профиля, либо его относительной толщины для разных стратегий вычисления целевого функционала.
В ГЛАВЕ IV демонстрируются возможности разработанных методов, оформленных в виде пакета прикладных программ для РС, на решении конкретных задач оптимизации экспериментальных профилей НАСА 642 -215 и П-2,3/75-17. В результате получены контуры профилей, обладающие при той же, что и у прототипов максимальной относительной толщине, большими значениями аэродинамического качества. Проведен сравнительный анализ их поляр, а также несущих и моментных характеристик.
В ГЛАВЕ V решены: - задача многоточечной оптимизации крылового
профиля обладающего минимальным средневзвешенным профильным сопротивлением и удовлетворяющего одновременно заданным условиям на подъемную силу для нескольких фиксированных режимов обтекания;
задача многоточечного проектирования крыльевого профиля, удовлетворяющего одновременно заданным условиям на коэффициенты подъемной силы и сопротивления на крейсерском режиме полета и максимальный коэффициент подъемной силы.
Результаты работы сформулированы в ЗАКЛЮЧЕНИИ к диссертации.
В приложении на рисунках, представляющих собой копии с экрана монитора, приводя гея примеры различных этапов работы исследователя с пакетом программ оптимизации крылового профиля в процессе решения задачи. Содержание диссертации, в основном, опубликовано в работах [15-30,115-120]. Результаты работы по мере их получения докладывались на Всесоюзной конференции "Управление в механике" (ИПМ, Москва, 1982), на Пятой Всесоюзной школе "Теоретические основы конструирования численных алгоритмов для решения задач матфизики и теория приближений" (Казань, 1984), на XVI научно-технической конференции молодых специалистов ЦАГИ (Жуковский, 1986), на: Второй всесоюзной школе молодых ученых и специалистов "Проблемы оптимизации в машиностроении" (‘ Харьков, 1986), конференции молодых ученых МФТИ (Москва, 1987), на Всесоюзных школах "Методы аэрофизических исследований" (Новосибирск, 1982, 1986, Абакан, 1989), на Первой Всесоюзной школе - конференции "Математическое