Разрывные решения уравнений, описывающих нелинейные волны в средах без диссипации

2
Содержание
Введение 5
1 Волновые скачки в нелинейной лучевой теории солитонов 16
1.1 Исходная система....................................................... 16
1.2 Волновые скачки........................................................ 18
1.3 Трехсолитонная конфигурация как структура волнового скачка............. 20
1.4 Задача о распаде произвольного разрыва................................. 24
1.5 Некоторые выводы....................................................... 26
1.6 Заключение к главе 1................................................... 27
2 Скачки в автомодельных решениях для прямолинейных элементов рельефа дна 29
2.1 Автомодельные и стационарные решения................................... 30
2.2 Стационарные решения для бесконечного подводного хребта.................31
2.3 Автомодельные решения для полубесконечного подводного хребта............33
2.4 Автомодельные решения для бесконечных прямолинейных элементов рельефа 39
2.5 Автомодельные решения для полубескоиечной впадины ......................44
3 Трехволновой резонанс и волновые скачки в моделях, описываемых нели-неным уравнением Шредингера 51
3.1 Трехволновой резонанс.................................................. 53
3.2 Усредненные уравнения.................................................. 62
3 3 Физические параметры волн..................................... 67
3.4 Автомодельные решения ................................................. 69
3.5 Усредненные уравнения для волн на поверхности жидкости переменной глубины 71
4 Скачки в одномерных бездиссипативных моделях с усложненной дисперсией и нелинейностью 73
1.1 Классические диссипативные разрывы и основные отличия теории скачков
без диссипации.......................................................... 77
4.2 Основные понятия теории скачков в бездиссипативных моделях............. 79
4.3 Симметричные модели и их особенности................................... 83
4.4 Структуры скачков в симметричных моделях............................... 87
4.5 Усредненные уравнения и законы сохранения..............................102
4.6 Модели тина уравнения Кортевсга - де Вриза.............................106
4.6.1 Влияние нелинейности высокого порядка.............................108
4.6.2 Влияние дисперсии высокого порядка................................116
Ох Ох
З
4.6.3 Теоретический прогноз структуры скачков .............................123
4.6.4 Модель с усложненной нелинейностью и дисперсией......................127
4.7 Скачки для обобщенного уравнения Шредингера.................................127
4.7.1 Основные свойства обобщенного уравнения Шредингера...................129
4.7.2 Прогноз возможных типов решений, кинк для обобщенного уравнения
Шредингера ..........................................................131
4.7.3 Численный метод и контроль достоверности решений ....................134
4.7.4 Задача о взаимодействии со стенкой ..................................137
4.7.5 Излучение волн в свободное пространство..............................146
4.7.6 Анализ стационарных решений..........................................156
4.8 Скачки в холодной плазме....................................................162
4.8.1 Исходная модель......................................................163
4.8.2 КДВ-приближение......................................................165
4.8.3 Численный метод......................................................166
4.8.4 Результаты численного исследования...................................169
4.9 Скачки на поверхности жидкости с ледовым покрытием в задаче о сбросе воды
с плотины...................................................................174
4.9.1 Исследование скачков без учета диссипации............................175
4.9.2 Включение в постановку задачи дополнительных природных факторов. 182
4.10 Методы исследования скачков, основанные на непосредственном анализе решений систем уравнений бегущих волн, на примере скачка с излучением ... 188
4.10.1 Периодическое состояние перед скачком................................192
4.10.2 Усредненные уравнения................................................193
4.10.3 Центрированные простые волны.........................................195
4.10.4 Структура скачка....................................................196
4.10.5 Систематический подход к поиску структуры............................197
1.10.6 Многогорбые уединенные волны и структура скачка с излучением для
холодной плазмы......................................................204
5 Нелинейные резонансы в средах с дисперсией высокого порядка 209
5.1 Стационарные решения........................................................210
.2 Область двухпериодных решений..............................................212
.3 Солитоны огибающей резонансного решения....................................220
5.4 Структура резонансных ветвей и аппроксимирующие солитоны ...................222
5.5 Трехмерное резонансное дерево...............................................227
5.6 Заключение к главе 5........................................................230
4
б Нелинейные уравнения Шредингера высшего порядка и численное моде-
лирование скачков для них 232
6.1 Уравнение Шредингера с производноыми высшего порядка......................232
0.2 Гидродинамическая форма уравнения.........................................233
6.3 Дисперсионное соотношение для волн малых возмущений гидродинамической системы, эволюционность и устойчивость.........................................234
6.4 Уравнения волн с медленно меняющимися параметрами.........................237
6.5 Анализ граничных условий на скачках в классической постановке.............238
6.6 Численное моделирование набегания на стенку в обычной постановке..........242
7 Тестирование численного метода. Моделирование нестационарной эволюции уединенных волн. 255
7.1 Выбор численного метода...................................................256
7.2 Моделирование распада солитонов для обобщенного уравнения Кортевега-де
Вриза.....................................................................260
7.2.1 Тесты для проверки применимости методики для моделирования ОКДВ264
7.3 Численное моделирование для холодной квазинейтральной плазмы. Опыт использования неконсервативной схемы 266
7.3.1 Постановка задачи...................................................266
7.3.2 Численный метод и анализ результатов численного эксперимента . . . 268
7.4 Моделирование резонанса Фарадея для волн на воде. Опыт применения метода
в симметричной волновой модели с диссипативпыми свойствами................280
7.4.1 Постановка задачи...................................................280
7.4.2 Численный эксперимент ..............................................282
Заключение
292
Введение
13 настоящее время имеется разработанная теория разрывов в газовой динамике [103], [104], [96], [97], [76], магнитной гидродинамике [70], [4], [7], [5], [6], теории упругости [73], гидравлике [100], [102] и некоторых других моделях. Математические основы теории разрывов излагаются в [74], [92]. Физический подход к изложению теории разрывов используется в [76].
Интенсивные исследования ударных волн, фронтов горения и детонации в газовой динамике начались в 30-40 годах XX века в связи с потребностями разработки авиационной, ракетной техники, военными приложениями. Позднее разрывы стали изучаться и в других областях. Наиболее обширна теория разрывов в газовой динамике, тем не менее и здесь постоянно идут дальнейшие исследования для моделей со сложными физическими и химическими свойствами [77], [78], решаются неодномерные задачи со сложными конфигурациями фронтов ударных волн [62], [55]. Для этого уже давно и успешно применяются численные методы, превратившиеся в самостоятельную отрасль науки [95], [93], [47], [45]. Необходимость исследования решений с разрывами стимулировала развитие специально предназначенных для этого численных методов, таких как метод Годунова. [46], [47], основанный на решении задачи о распаде произвольного разрыва.
Следуя работе [73], отметим следующие общие проблемы, возникающие при исследовании разрывов: поиск граничных условий на разрыве, построение структуры разрыва, анализ условий эволюционности.
Рассматриваются две модели: упрощенная модель с разрывными решениями и более сложная модель с учетом диссипативных процессов. В более сложной модели разрывы представляют собой области с быстрым изменением параметров, называемые структурами разрывов. Для того, чтобы разрыв мог существовать, требуется наличие у полной модели стационарных решений, описывающих его структуру [73], [92], [85], [4].
Упрощенная модель обычно описывается гиперболической системой. При
б
этом должно выполняться условие
N = N. + 1
Здесь N - число граничных условий на разрыве, - число характеристик, уходящих от разрыва. Выполнение данного условия, называемого условием эволюционнос.ти [761 необходимо для того, ч тобы разрыв мог существовать. Данное условие является необходимым условием устойчивости разрыва. Применительно к газовой динамике это условие фактически было сформулировано Л.Д.Ландау в 1944 [76]. Термин ’’условие эволюционнос-ти” возник позднее ;3] и в настоящее время является общепринятым.
Все условия на разрывах можно разделить на основные условия, получаемые интегрированием исходных уравнений, записанных в виде законов сохранения и дополнительные, которые можно получить при анализе структуры разрыва [73]. В работах [67], [69], [73] показано для широкого класса моделей, что существование структуры разрыва одновременно означает и его эволюционность, т.е. все необходимые дополнительные условия можно получить в результате анализа его структуры.
Указанные выше положения теории разрывов являются базовыми для данной диссертации. Эти положения обобщаются для разрывов, структуры которых описываются уравнениями другого типа, без диссипации, но с наличием дисперсионных членов. Эти разрывы в диссертации обычно называются скачками. Первоначально обнаружилось, что такие скачки возникают в двумерных моделях, которые с математической точки зрения можно охарактеризовать как модели нелинейной геометрической оптики [9], [16]. Они представляют собой скачки между двумя волновыми состояниями. Поэтому эти скачки были названы волновыми скачками. Однако затем выяснилось, что методы исследования таких скачков в волновых и в обычных механических моделях однотипны. Однотипность подходов привела к разработке теории скачков в бездисипативных моделях вообще.
Особенностью скачков в одномерных моделях без диссипации является возможность наличия вблизи них расширяющихся со временем волновых
7
зон, для описания которых можно вывести усредненные уравнения. При этом число параметров в этих уравнениях оказывается большим, чем в исходных уравнениях. С физической точки зрения это можно интерпретировать как появление отраженных или излучаемых волн. Под скачками в данной работе понимаются любые переходы между однородными, периодическими или квазипериодическими состояниями.
Исследования волновых скачков в гидромеханике начались в 70 годах в связи с развитием метода усреднения Уизема [102] и появлением усредненных моделей эволюции волн [128], [129], [172], [173], .174], |44], [169], [165], [170], [167], [163], в которых и встречаются эти скачки. Скачки исследовались в работах [72], [87], 155], [161], [164], [160], [156], [157], [152]. Отправной точкой исследований, приведенных в данной диссертации следует считать работу А.Г.Куликовского и 13.А.Реутова [72], где рассматривались решения, описывающие распространение уединенных волн над подводным хребтом. Эти решения включали разрывы. Граничные условия на них вводились так же как для обычных разрывов из физически очевидных законов сохранения. Это закон сохранения энергии и условие нераразрывности фронта волны. Сходный подход к получению граничных условий на разрывах в нелинейной лучевой теории солитонов имеется в [87] и [153 .13 работе [ 153 фактически были получены структуры таких скачков (решения, описывающие трехволновой резонанс), однако они не были использованы для получения граничных условий. В работе [161] в общем виде были проанализированы волновые скачки (прыжки) для периодических волн и приведены граничные условия на них, исходя из того, что на этих скачках должны выполняться законы сохранения. В работе [142], в чем-то перекликающейся с работой [153] были также фактически исследованы структуры волновых скачков, но для стационарных периодических волн на воде, описываемых нелинейным уравнением Шредингера. В отличие от работы [153] решения были получены численно. Численные результаты о взаимодействии волны с тонким клином были сопоставлены с результата-
8
ми, полученными аналитически из предположения о том, что на скачках выполняются законы сохранения. Такой подход оказывается приемлемым только для скачков малой амплитуды. Особенностью же подхода, используемого в данной диссертации является включение в граничные условия на скачках дополнительных волн, в результате чего граничные условия на скачках не могут быть получены непосредственно интегрированием законов сохранения, требуется модификация метода. В случае уединенных волн в законах сохранения необходимо учесть появление отраженной волны. В случае нелинейного уравнения Шредингера вводится виртуальная отраженная волна и условия сращивания на скачке.
Более общей теорией является теория разрывов в бездиссипативных моделях, которая тоже начала развиваться в 70 годы. В этой области можно отметить работы по скачкам, описываемым уравнением Кортевега де Вриза [48], [56], [50], [65], нелинейным уравнением Шредингера [49], в плазме [82]. Преимущественно исследования таких работ ориентированы на приложения в физике плазмы, это так называемые бесстолкновительные или бездиссипативные ударные волны [48], [83], [64]. Фактически под структурами таких разрывов формально понимались нестационарные, расширяющиеся со временем волновые зоны [48] (нелокальный подход по терминологии данной диссертации). Для описания волновых зон применялись методы усреднения. Волновая зона рассматривалась как центрированная волна огибающей, искались инварианты Римана, позволяющие связать между собой параметры однородных состояний по разные стороны от волновой зоны. Следует отметить, что в физике плазмы помимо ударных волн в моделях гидродинамического типа исследуются и ударные волны в квантовой постановке [131], [171], [158], [150], [112].
В данной диссертации эти исследования продолжены. Так при исследовании нелинейного уравнения Шредингера метод усреднения совмещен с концепцией дополнительной волны. Это позволило получить простые и практически полезные соотношения на скачке. Но главным новым элсмен-
9
том, привносимым в данную область является то, что в дальнейшем метод усреднения обобщается на модели со сложными дисперсионными свойствами. 13 указанных выше работах метод усреднения применялся к достаточно простым полностью интегрируемым моделям, в которых уравнения бегущих воли оказываются динамическими системами второго порядка. В данной диссертации также развивается этот подход, но к моделям, приводящим к системам четвертого порядка и выше. Как показано в данной диссертации, при локальном подходе в таких моделях встречаются только простейшие скачки: солитонного типа и кинки. Под скачками солитонного типа здесь понимаются скачки между однородным состоянием и периодическим волновым состоянием, асимптотически стремящимся при /. —> оо к последовательности уединенных волн. Эти скачки располагаются на границах волновых зон. Под кішками для бездиссипативных моделей понимаются скачки между двумя однородными состояниями. По существу все указанные выше работы посвящены аналитическим исследованиям скачков солитонного типа. Скачки же между двумя однородными состояниями для моделей без диссипации рассматривались и в более ранних работах 60 годов, например [176], однако вне контекста общей теории разрывов, т.е. без анализа условий эволюционности и числа законов сохранения необходимого для получения условий на разрыве. Чисто аналитический поход к более сложным моделям затруднен, в связи с чем к началу 90 годов число работ в этой области резко снизилось. Усложнение дисперсионных свойств моделей и применение в данной диссертации комбинированных численно-аналитических методов позволило выявить новые типы скачков и вывести эту область исследования на качественно новый уровень.
В последние годы интенсивно развивается теория уединенных волн для уравнений с дисперсией высокого порядка [130], [111], [120], [124], [58], [159], [79], [138], [137], [178], [135], [119], [121', [106], 114]. Было обнаружено, что такие уединенные волны обладают рядом принципиально новых свойств по сравнению с уединенными волнами простейших полностью интегрируе-
10
мых моделей. Так обычная уединенная волна не всегда существует, но при этом существует обобщенная уединенная волна, т.е. комбинация из периодической и уединенной волны. Встречаются так называемые 1:1-солитоны, стационарные аналоги солитона огибающей нелинейного уравнения IIIре-дингера, и многогорбые уединенные волны более сложных типов. Эта область представляет большой интерес для теории скачков в бездиссипатив-ных моделях, поскольку один из скачков является скачком солитонного типа. Кроме того, имеется определенное соответствие между существованием обычных, обобщенных уединенных волн, 1:1-солитоыов и существованием скачка того или иного типа. В этом смысле исследование уединенных волн может рассматриваться как частный случай исследования структур скачков, т.е стационарных в некоторой системе координат решений, описывающих переходы между различными состояниями. Большинство из этих работ посвящено непосредственному получению решений для интегрируемых уравнений, доказательству существования обычных и обобщенных уединенных волн, т.е. решений достаточно простого типа, а также проверке устойчивости этих уединенных волн аналитически и в численном эксперименте. Следует выделить группу работ по исследованию многогорбых уединенных волн на основе численного анализа динамических систем [111], [178], [122], 121 ; для многогорбых уединенных волн затруднительно получение аналитических результатов, за исключением случая 1:1-солитона.
В данной диссертации осуществляется развитие этих направлений исследования уединенных волн в тех аспектах, в каких они представляют интерес для анализа структур скачков.
Разработан способ определения возможных типов стационарных решений (в том числе и уединенных волн), используемых в качестве структур скачков но числу пересечений на плоскости (и;, к) дисперсионной кривой и прямой и) = ик\ здесь и) и к - циклическая частота и волновое число линеаризованной системы, V - фазовая скорость для рассматриваемого стационарного в некоторой системе координат решения (скорость скачка). Разра-
11
ботан эффективный численный метод, позволяющий наблюдать эти решения в нестационарном численном эксперименте. Сформулированы правила, которым должен удовлетворять численный метод для того, чтобы качественный вид численного решения в точности соответствовал теории. Для этого необходимо, чтобы численная схема сохраняла свойства симметрии и консервативности исходной системы. Такой подход бьтл опробован для различных моделей: модифицированных уравнений Кортевега - де Вриза и Шредингера, холодной бес.столкновительной плазмы и плазмы с горячими электронами.
Разработан метод поиска структуры скачка с излучением, при котором структура ищется как последовательность решений типа уединенных волн со многими горбами. Кроме того, в развитие методов численного анализа многогорбых уединенных волн был разработан численный метод исследования стационарных решений динамических систем, позволяющий проанализировать все уединенные волны, а, не только убывающие на бесконечности, систематизировать все стационарные решения и найти новые типы решений - уединенные волны огибающей двух резонансно взаимодействующих волн. Систематически это осуществлено для обобщенного уравнения Кортевега де Вриза. Поскольку указанные уединенные волны имеют некоторые общие черты с решениями, описывающими упоминавшийся выше скачок типа трехволнового резонанса для случаев уединенных и периодических волн, то предполагается, что в дальнейшем полученные решения могут быть использованы при исследовании скачков более сложных типов, чем ге которым посвящена данная диссертации.
В данной диссертации приводятся также результаты численных расчетов но анализу нестационарного поведения уединенных волн в ряде моделей, для которых известны аналитические результаты: обобщенное уравнение Кортевега - де Вриза, резонанс Фарадея для волн на воде, холодная бес-столкновительная плазма. Помимо того, что эти расчеты позволяют предвидеть наличие различных типов скачков для данных моделей, они дают
12
возможность надежно протестировать используемый численный метод.
Диссертация имеет следующую структуру. Сначала идут главы 1, 2, 3, где рассматриваются достаточно простые и уже детально исследованные типы скачков. Далее идет центральная глава 4, где излагается общая теория и наиболее современные результаты. Далее глава о резонансных решениях 5, как бы дополнение, рассчитанное на перспективу. Заканчивается диссертация двумя вспомогательными главами 6 и 7, где рассматриваются некоторые дополнительные результаты для волновых скачков, описываемых обобщенным уравнением Шредингера, математические вопросы, разработка численных методов.
Наиболее простой из бездисспативных моделей является модель нелинейной эволюции солитонов, рассматриваемая в главе 1. Разрыв представляет собой излом фронта уединенной волны со скачком ее амплитуды. Для описания структуры скачка привлекается решение Майлса 153] о трехсо-литонной конфигурации, которое показывает, что помимо основного переднего фронта имеется еще и отраженная волна. Особенностью данной модели является то, что отраженная волна, возникающая при наличии разрыва на основном фронте, полностью определяется его параметрами и фактически не взаимодействует с основной волной. Граничные условия на скачках для данной модели можно получить из физических законов сохранения. Кроме того, вводится еще скачок типа пересечения волн. Излагается общая теория этих скачков и задача о распаде произвольного разрыва.
В главе 2 рассматриваются примеры решений для волн па воде с такими скачками: взаимодействие плоской волны с полубесконечным и бесконечным подводным хребтом, полу бесконечной и бесконечной подводной впадиной, численный расчет взаимодействия волны с полубесконечным подводным хребтом.
В главе 3 рассматриваются скачки для моделей, описываемых нелинейным уравнением Шредингера. В частности такой моделью является модель стационарных волн на воде, для нее исследуется задача об отражении от
13
вертикальной стенки. Особенностью данной модели является то, что отраженная волна взаимодействует с основной и уравнения для падающей и отраженной волны необходимо решать совместно. Граничные условия на скачках здесь нельзя вывести из физических законов сохранения. Они были выписаны по аналогии с предыдущей моделью, а затем их справедливость была доказана формальным способом. Используя свойства симметрии уравнений удается найти точные соотношения, описывающие взаимодействие волны со стенкой.
В главе 4 рассматривается общая теория скачков в моделях с дисперсией высокого порядка. Она проиллюстрирована на примерах аналогов уравнений Кортевега - де Вриза, нелинейного уравнения Шредингера с производной третьего порядка, а также уравнений холодной плазмы. Завершается глава исследованиями скачка с излучением на основе анализа решений уравнений бегущих волн.
В главе 5 приводится новая методика исследования стационарных решений уравнений с дисперсией высокого порядка. Для модифицированных уравнений Кортевега - де Вриза и Шредингера находятся резонансных решений сложного вида. В будущем эти решения могут быть использованы для описания волновых скачков.
Материалы, приведенные в главах б, 7, следует рассматривать как вспомогательные к предыдущим главам.
В главе 6 исследуется нелинейное уравнение Шредингера с производными высшего порядка и разрабатывается численный метод его решения. Решается задача о ” взаимодействии со стенкой” в обычной постановке. В главе 4 эта же задача рассматривается не как самостоятельная, а как средство инициализации начального разрыва.
В главе 7 анализируются применяемые численные методы и даются примеры расчетов задачи об эволюции начальных данных тина уединенной волны для ряда моделей с применением того же численного метода, что и в главе б. Эти расчеты можно рассматривать как тестовые. Описывается
14
расчет распада солитона для обобщенного уравнения Кортевега - де Вриза, который породил некоторые идеи, изложенные в главе 4. В данную главу включены также численные исследования распада и формирования уединенных волн в холодной плазме. Завершается глава расчетами уединенных для случая резонанса Фарадея волн на воде (модель с диссипацией и внешним притоком энергии). Хотя это и модель с диссипацией, она обладает теми же свойствами симметрии, что и предыдущие модели, и потому в ней тоже существуют уединенные волны. В этой модели обнаружены волновые скачки иного типа по сравнению с рассмотренными выше бездиссипатив-ными волновыми скачками.
В каждой главе имеется специализированное введение.
Основные результаты диссертации можно условно разделить на три в за имосв я занные г ру п и ы.
1. Теория волновых скачков в двумерных и одномерных моделях: скачки для волн, описываемых уравнениями нелинейной геометрической оптики солитонов и волн, описываемых нелинейным уравнением Шредингера и обобщенным уравнением Шредингера. В диссертации подразумевается, что областью приложения являются волны на воде, хотя известны и другие приложения, например в физике плазмы. Для модели геометрической оптики солитонов исследованы скачки типа резонансного взаимодействия трех волн (скачки с отраженной волной) и скачки типа пересечения волн. Исследованы автомодельные решения с такими скачками при наличии неоднородности. Для уравнения Шредингера посредством введения виртуальной отраженной волны, удается интерпретировать решение как трехволновой резонанс, аналогичный резонансу для уединенных волн. Уравнение Шредингера носит общий характер и имеет как двумерные, так и одномерные приложения для волн на воде. Исследованы также волновые скачки для обобщенного уравнения Шредингера со старшей производной третьего порядка.
2. Общая теория бездиссипативных скачков в одномерных моделях с
15
усложненной дисперсией и нелинейностью. Сформулированы условия, при которых может существовать скачок со структурой того или иного типа. Установлено, что при этом автоматически обеспечивается и эволюцион-ность скачка. В отличие от моделей с диссипацией число параметров по любую сторону от скачка может быть больше числа исходных уравнений из за появления излучаемых волн и соответственно на скачке может выполняться большее число законов сохранения. Второе отличие от моделей с диссипацией состоит в том, что дополнительные граничные условия могут быть получены как из анализа структуры скачка, так и из дополнительных законов сохранения, если таковые имеются. Разработан эффективный численный метод, позволяющий с высокой степенью достоверности проверить, существует ли скачок данного типа фактически или нет. Таким способом исследованы различные модификации уравнения Кортевега - де Вриза, обобщенное уравнение Шредингера (волновая модель), уравнения холодной плазмы. В частности исследуются скачки с излучением (аналоги скачков с отраженной волной из п.1) а также скачки солитонного типа уединенной волны (обобщение скачков для нелинейного уравнения Шредингера из п.1). Методы, основанные на непосредственном анализе уравнений бегущих волн полностью подтвердили полученные результаты.
3. Теория скачкообразных резонансов в моделях с дисперсией, обобщение трехволновых резонансов из п.1 и 2. Разработана численная методика, позволяющая систематически проанализировать двухволновыс стационарные решения динамических систем, получаемых из уравнений с дисперсией высокого порядка, например уравнения Кор тевега де Вриза с производной пятого порядка. Обнаружены два типа двухволновых решений: обычные двухпериодные решения и резонансные. Переходным решением между ними является решение типа уединенной волны огибающей двух периодного резонансного решения. Выявлена иерархия решений различного типа.
16
1 Волновые скачки в нелинейной лучевой теории солитонов
В данной главе рассматривается нелинейная система уравнений гиперболического типа, описывающая распространение уединенных волн. Вывод этой системы осуществлен в рабо тах ’128]-[129]. В более удобном виде эта система представлена в работе [72]. Уединенная волна характеризуется в этом приближении двумя переменными: плотностью энергии, приходящейся на единицу длины, отсчитываемой вдоль ее гребня, и направлением нормали к гребню волны. Эволюция волны, описываемая указанной системой, может приводить к появлению разрывов, на которых терпят скачок плотность энергии и направление гребня волны [72]. Ранее для описания таких скачков применялись граничные условия, получаемые интегрированием исходной системы. Это не обеспечивало сохранения массы и импульса на скачке и не позволяло учесть отраженную волну. Для установления условий на разрывах здесь привлекается решение, описывающее взаимодействие непараллельных солитонов 154 - 153 . Данные решения можно обнаружить также посредством анализа Г4-соли тонных решений уравнения Кадомцева-Петвиашвили, приведенных в работе [56]. В данной главе подразумеваются волны на воде, но в принципе результаты применимы для любых моделей, описываемых уравнением Кадомцева-Петвиашвили. С помощью получающихся условий решается задача о распаде произвольного разрыва в переменных, характеризующих солитон.
Глава составлена по результатам работ [8], [9], [10].
1.1 Исходная система
Рассмотрим распространение слабонелинейных слабодиспергирующих уединенных волн в слое жидкости медленно меняющейся глубины. Если радиус кривизны фронта достаточно велик но сравнению с длиной волны и но нормали к фронту на участке порядка длины волны глубина меняется мало,
17
то в сечении по нормали волна представляется солитоном и ее энергия переносится по лучевой трубке. Решение уравнения Кортевега - де Вриза в виде солитона описывается соотношениями (102]
7) = rçosech {
^(x-Vt)}, V = <Jgh( 1 + g) (1.1)
Здесь rj - возвышение свободной поверхности, t - время; h - невозмущенная глубина; V - скорость солитона; g - ускорение силы тяжести.
Полагая rjo/h малой величиной, найдем плотность энергии солитона, т.е. энергию, приходящуюся на единицу длины фронта
у(ЕЛ
Распространение волн описывается следующей системой 72]:
0 sin а д cos а л д . _ л д . _ . ч _ /л ^ПЁЛ)+дХЩЁЛ)=0’ 9у(Есова)-ш(Ев1Па) = 0 (1.2)
Здесь X, У горизонтальная система координат; а - угол между касательной к фронту и осыо X.
Первое соотношение выражает тот факт, что каждая точка фронта движется со скоростью V(Ej h) по нормали и к фронту, второе - закон сохранения энергии Edi вдоль лучевой трубки; dl - ширина трубки.
Если dV/dE > 0, что имеет место для решения (1.1), то система (1.2) гиперболического типа.
Введем безразмерную величину
0 = Ell3/(h(pg)113) = 2/у/З (VA)I/2
Система (1.2) может быть записана в следующей характеристической форме:
+ _ М ,Æ + if) = о, «Æ +1, w ak
дп 2 ds С дп 2 ds hds ' hds
(1.3)
да 0да 1,5. д/3 0Ô0 n?rdh , r„ dh Cdn ~ 2 + ~C{Cd^ ~2d~s) = °' °Chdl ~ 1:^hdl
где С = 1 4- 3/8/32, djdn - производная по нормали, d/ds - но касательной к фронту.
Перейдем к безразмерным переменным [102]; старые переменные обозначим штрихом
х' = 1х, у' = ly , t! =lct/\jyh о, г/ = а7/о, hl = ho h, е = a//io, £ = /io/7
Здесь /, а, /?□ - характерные длина, амплитуда и глубина, аеи S - малые параметры.
Система (1.3) при таком переходе не меняет своего вида. Угол между характеристиками равен /3(1 -f О(с)), а величина ß имеет порядок с1'2.
Из соотношения (1.1) ясно, что длина волны Л, т.е. длина участка по нормали к фронту, где у/щ > сь (обычно полагают с\ = 0,1), имеет порядок h!Iß или (5/б)1/2. В системе (1.3) отсутствует соотношение масштаба глубины и горизонтального масштаба, поскольку в нее входят только логарифмические производные глубины. Поэтому каждому решению системы
(1.3) соответствуют реальные волны с разным соотношением длины волны и уклона дна, а также кривизны фронта.
Устремляя h' к нулю, получаем короткие по сравнению с горизонтальным масштабом волны ((5 << б), для которых ошибка аппроксимации системой (1.3) не зависит от длины волны и имеет порядок €3/2. Ошибка здесь возникает в связи с тем, что солитон уравнения Кортевега - де Вриза не является точным решением уравнений движения жидкости. Дальнейшее рассмотрение разрывов проводится над плоским дном. Изменив масштаб, локально гладкое дно можно считать плоским.
1.2 Волновые скачки
В нелинейных гиперболических системах нередко возникают пересечения характеристик, вводятся разрывы. Выясним, чему они соответствуют в данном случае. Очевидно, решение здесь распадается на два взаимодействующих солигона.
19
Для удобства описания солитона введем локальный горизонтальный масштаб 1\ такой, что 5\ = 3/4с, в отличие от глобального масштаба 6 << е, который используется для описания движения фронта. Пусть X - радиус- вектор введенной таким образом горизонтальной системы координат; уединенная волна описывается соотношениями
т] = К2ьесЪ.20
в = КХ-шЬ + в0, и = КС{ 1 - 1/2 еК2), К = %/3/(2 е1/2),3
13 работах '154;, [153] с помощью асимптотического метода, применяемого к уравнениям движения идеальной несжимаемой жидкости, получены стационарные решения для двух взаимодействующих со л итонов, пересекающихся иод углом ф = а у - о-? > имеющие некоторую зону взаимодействия (т.е. участок, где решение имеет иесолитонный вид) и переходящие при удалении от зоны пересечения по определенным направлениям в солитон-ную форму. На рис. 1.1 схематично изображены варианты решения; стрелки указывают направление распространения солитонов. Солитоны пронумерованы, К2 > К\.
1. На интервале 0 < ф < (Зб)1^2(ДГ2 ~ К\) имеется четырехсолитониая конфигурация. Задние провзаимодействовавшие волны 3 и 4 отличаются от передних 1 и 2 только сдвигом по фазе и поэтому отстают от них. Этот эффект схематично изображен пунктиром между пересекающимися соли-тонами.
20
2. При ф = (Ъеу!2(К2-Кх) - резонансное взаимодействие трех солитонов
Кз = К2 — К], - и)<2 — и\ (1.4)
3. На интервале (Зе)1;/2(А"2 - К\) < ф < (Зе)1^2(К2 4- К\) нет регулярного станионартюго решения.
4. При ф = (3е)1,/2(А'2 + К\) - снова резонансное взаимодействие трех солитонов, получаемое из описанного ранее просто переменой индексов 3 и 2.
5. При ф > (3е)1^(К2+1<1) - снова четырехсолитонная конфигурация, но здесь задние волны обгоняют передние. При увеличении угла сдвиг по фазе стремится к нулю, решение переходит 15 суперпозицию двух солитонов.
В случае трехсолитонных конфигураций ширина зоны взаимодействия (т.е. ширина участка фронта волны, где решение имеет несолитонный вид) имеет порядок А/ф, в случае четырехсолитонных конфигураций -А(1 +- \А\)/ф, что связано с наличием сдвига по фазе Д. Если решение не близко к точке резонанса, он не слишком велик. По соображениям, указанным ранее, устремляем длину волны к нулю и получаем, что в масштабе, используемом в системе (1.3), решения в первом и пятом случаях являются просто пересечениями двух солитонов, а во втором и четвертом - столкновениями трех солитонов. Поскольку зоны взаимодействия между солитона-ми пренебрежимо малы, то такие конфигурации могут быть ’’вклеены” в систему (1.3), а решения рассматриваются как структуры образовавшихся разрывов.
1.3 Трехсолитонная конфигурация как структура волнового скачка
Рассмотрим трехсолитонную конфигурацию ф = (Зс)1 2(А'2 — которая аналогична разрывам. Покажем, что резонансные условия имеют смысл условий сохранения массы, энергии, импульса.
21
Разрывы в решениях системы (1.2) представляют собой изломы фронта, на которых терпит скачок плотность энергии. Система (1.2) имеет форму законов сохранения. Их можно проинтегрировать и получить предполагаемые условия на разрыве [72]
rsina,rT rcosa, Л .п 1 т г г т~1 * 1 /л /1
[~у-]и + [—у—\ = Q> [Ecosa]U — [j&sma] = 0 (1.5)
где U = dX/dY - наклон линии разрыва к оси У.
Первое соо тношение кинематическое - условие сплошности фронта. Второе - закон сохранения энергии в лучевой трубке, проходящей через разрыв.
Очевидным дефектом таких условий является несохранение массы и импульса в системе из двух волн с прямолинейным фронтом, которую локально представляет собой разрыв. Введением системы из трех волн открывается возможность удовлетворить еще один закон сохранения. Запишем условия сохранения импульса, массы, энергии и два кинематических условия в системе координат, связанной с разрывом (т.е. в такой, где U = 0). При этом будем полагать, что волна 2 слева от линии разрыва, а волны 1 и 3 - справа
Р) sill 0:2 = Pi sill Oil + Р3 Sill Г*з, Ш 2 sill С*2 = Ш\ sin tti + ГП3 Sin O3
V2 Vi V3 (1.6)
E-2 sin oc2 = E1 sin Q'i + E3 sin аз, ----=---------=-------
cos a'2 cos ai cos аз
Здесь P?77.j, E\ - плотности на единицу длины фронта, соответственно импульса, массы и энергии солитонов. Если эти величины зависят только от одного параметра, например, £*, то число уравнений в системе (1.6) совпадает с числом переменных Ei, а*. Однако для невысоких волн на. мелкой воде, распространяющихся в системе координат, связанной с разрывом, под углами порядка е1^2, выполнение сохранения импульса фактически обеспечивается сохранением массы. Действительно, воспользуемся соотношением мелкой воды
ди дт]
at. +
где и - усредненная по глубине скорость жидкости.
22
Погрешности при вычислении величин импульса, массы, энергии имеем порядка б, умноженного на соответствующую величину (большей точности для решения системы (1.3) и не требуется).
Пусть г/ = F(x — t), тогда и = f(x — t)
т = Г F(S)dS, Г F(№, Е — f°° F(£)4 (1.7)
J— ос J—0о J — эс
(формулы (1.7) безразмерны, h = 1).
Перенос через разрыв составляющей импульса по оси X равен Рх sin а = Р sin2 а = РО(е)'
Поэтому в данном приближении закон сохранения импульса в проекции на ось X можно не рассматривать.
Проекция составляющей импульса на ось У равна
Ру = Р cos q = P + РО(е) = т 4- РО(е)
Поэтому закон сохранения импульса в проекции на ось У эквивалентен закону сохранения массы.
Соотношения (1.4) в системе координат, связанной с линией пересечения СОЛитонов, имеют решение [153]
Кг = К2 - К\ + 0(e)
Ь,а2><*,} = (|)1/2{2к2 ~ Кг + 0(e), 21<г - К2 + 0(e), -К2 - I<} + 0(e)}
(1.8)
Пользуясь равенствами (1.6), получаем
Р = 2К, т = 2К, Е = фК3 (1.9)
Полагая в законах сохранения массы и энергии sin а = а. а в кинематических условиях V/ cos а = 1+а2/2+с К2/2 и подставляя в них соотношения (1.9), получаем, что указанные законы тождественно удовлетворены, т.е. решения (1.8) по существу являются приближенными решениями соотношений (1.6).
23
К каждой из трех волн можно применить систему (1.3), при этом граничных условий (1.8) на линии пересечения солитонов достаточно для решения задачи.
У первой волны обе характеристики являются приходящими на линию разрыва, у второй волны - одна уходящая характеристика и одна приходящая, у третьей волны - обе характеристики уходят и потому эта волна полностью определяется по первым двум, что видно из соотношений (1.8). По аналогии с разрывами можно говорить об эволюционности трехсоли-тонной конфигурации. Соотношение на трехсолитонной конфигурации, не содержащее параметров третьей волны, имеет вид
Û, - û'2 = (3e)‘/2(tf2 - К,) = 1,5(02 - А) + 0(е^2) (1.10)
Поэтому, если нет необходимости рассмотрения третьей волны, трех-солитонную конфигурацию можно рассматривать просто как разрыв с кубичной по интенсивности разрыва потерей энергии
02 sin »2 = 01 sin ai - 0.5(02 - 0])'\02 + 0l), —У— = —У— (1.11)
COS 02 COS O'l
Соотношения на таком разрыве даны в системе координат, связанной с разрывом.
В силу этого в разрывах малой интенсивности можно использовать условие сохранения энергии, не учитывая наличия отделившейся третьей волны, что удобно, например, в численных расчетах, использующих законы сохранения при размазывании разрыва.
Соотношение на разрыве (1.5), не содержащее U, имеет вид
a, - а2 = (3- Кг)( 1 + 0((^~^)2)] + 0(с3'2)
Л1
При выделении разрыва соотношение (1.10) более удобно, поскольку совпадает с условием сохранения инварианта Римана на характеристике системы (1.3)
a, - Q2 = щ(Рг - А) = 1, т - А) + С(Є3/2)
24
// і
Рис. 1.2.
Здесь { } - обозначает среднее значение величины.
Система (1.2) имеет автомодельные (зависящие от Х/У) решения, центрированные простые волны [91], у которых веер характеристик одного семейства сходится в одной точке, а инвариант Рішана второго семейства сохраняется. Таким образом, соотношение на разрыве неотличимо от соотношения на простой волне и трехсолитонную конфигурацию можно рассматривать как возникшую после опрокидывания центрированной простой волны, получив автомодельное решение с разрывом. На рис. 1.2 изображены фронты волны в различные моменты времени (жирная линия), траектория разрыва (тонкая линия) и сходящиеся характеристики простых волн (штриховая линия). По смыслу задачи на конце третьей волны введена простая волна с падением 3 до нуля.
1.4 Задача о распаде произвольного разрыва
Задачу о взаимодействии двух солитонов при использовании системы (1.3) можно рассматривать как задачу о распаде произвольного разрыва. В силу того, что соотношение на разрыве совпадает с соотношением на простой волне, имеется некоторая аналогия в решениях при ф и —ф.
Будем строить автомодельные решения из простых волн, трехсолитон-ных конфигураций и пересечений солитонов при ф > 1, Ъ(3\ 4- (5%). В этом случае задача решается однозначно. Результаты ее решения приведены на рис. 1.3-1.5. На этих рисунках изображены фронт волны в некоторый
25
Рис. 1.4.
момент времени, траектория разрывов и характеристики простых волн, а также вид графика 0(<р), где - полярный угол системы координат с центром в точке распада. Некоторые графики двузначные, поскольку на них помимо параметра 0 основной волны приведена его величина на третьих волнах в трехсолитонных конфигурациях и волнах, возникших после пересечения. При наличии нескольких волн волны и соответствующие им графики перенумерованы. Изломы на графике /?(<р) соответствуют слабым разрывам, по которым простая волна соединяется с однородной волной. Третьи волны не обязательно более слабые, чем первые, как это изображено на графиках.
При -1,5(02-01) < Ф < 1>5(/?2 - 0\) решение состоит из простой волны и трехсолитонной конфигурации (рис.1.3).
При ф < —1,5(02 “ 01) т одной простой волны, а при ф = 1,5(02 — Р\
26
Рис. 1.5.
из одной трехсолитонной конфигурации.
При 1,5(02 “00 < Ф < 1)5(02 + 00 решение содержит два разрыва, а при -1,5(02 + 00 < Ф < “1)5(02 - 00 “ лве простые волны (рис.1.4).
При ф > 1,5(02 + 0]) решение состоит из одного пересечения солитонов, а при ф < —1, 5(02 + 00 - из двух простых волн, в которых 0 падает до нуля, т.е. имеется зона, где волна отсутствует (рис. 1.5).
1.5 Некоторые выводы
При использовании трехс.олитонных конфигураций и пересечений при ф > 1,5(01 + 02) автомодельное решение задачи о распаде произвольного разрыва существует и единственно, что указывает на возможность получения разрывных решений системы (1.3) и в более сложных случаях. Сделаем некоторые выводы о свойствах этих решений. Пересечения солитонов в зоне 0 < ф < 1,5(02 — 0т) не были использованы. Анализируя решение задачи о распаде разрыва, можно показать, что вторая волна в таких конфигурациях обязательно имеет одну уходящую характеристику. Поэтому для их поддержания необходимо наличие волн, идущих сзади. Следовательно, при решении системы (1.3) непосредственно из одной волны они не возникают.
При формальном решении задачи о распаде разрыва из допущения только трехсолитонных конфигураций следует, что при переходе из зоны ф <
27
1,5(02 + 00 в зону ф > 1.5(02+01) угол между траекториями трехсол 11-тонных конфигураций уменьшается до нуля, а затем становится отрицательным. т.е. решение о распаде разрыва перерождается в решение задачи об образовании разрыва ф > 1,5(01 + 02)- Это и обусловливает введение пересечений.
Из такого решения нетрудно показать, что у пересечений при ф > 1,5(01+02) иге четыре характеристики приходящие, причем касание характеристикой линии пересечения возможно, только если одна из волн, имеет нулевую амплитуду. В отличие от трехсолитонной конфигурации, которая может возникать из центрированной простой волны, в случае пересечения нельзя построить непрерывного автомодельного решения такого типа в силу ТОГО, ЧТО при Ф < -1,5(01 + 02) имеется участок, где нет волны. Нельзя также построить автомодельного решения с одной трехсолитонной конфигурацией, приводящего к пересечению. Пересечение не возникает, по-видимому, непосредственно из непрерывного решения, для его образования необходимо столкновение двух и более трехсолитонных конфигураций.
1.6 Заключение к главе 1
Факт существования трехсолитонных конфигураций, неоднократно проверялся, например, в задаче о косом отражении волны от стенки [156], [157], [152]. Легко видеть, что в соответствии с развитой в главе 1 теорией скачков в этой задаче для случая, когда угол между направлением распространения волны и вертикальной стенкой мал, возникает так называемое Маховское отражение волны. Появляется волна с фронтом перпендикулярным стенке и отраженная волна. Подробнее эта задача рассматривается в главе 3 для периодических волн. Имеется также специальное исследование для случая, когда амплитуда переднего фронта велика, а амплитуда отраженной волны мала [139]. Явление трехсолитонного резонаса наблюдалось также экспериментально для ионнозвуковых волн в плазме. В соответствие с теорией данной главы можно получить усложненный ана-
28
Рис. 1.6.
лог решения задачи о распаде произвольного разрыва. Пусть в начальный момент имеется две волны не с иолу бесконечным фронтом, как предполагалось выше, а с бесконечными пересекающимися фронтами. Тогда при 1» 5(/?2 “ А) < ф < 1, о(/3-2 + 0\) возникает решение, фронты волн которого для случая — Р2 изображены на рис. 1.6. Такое расположение фронтов действительно наблюдалось в эксперименте.
29
2 Скачки в автомодельных решениях для прямолинейных элементов рельефа дна
Материалы, представленные в данной главе, следует рассматривать как иллюстрации возможных применений теории бездиссипативных скачков в автомодельных задачах для уединенных и периодических (см. главу 3) волн. Обзорный характер изложения материала связан с тем, что все результаты получены путем идейно довольно простого, но утомительного с технической точки зрения анализа систем алгебраических уравнений. Кроме того, часть материала уже была подробно описана в ранее защищенной кандидатской диссертации [10]. Новыми но сравнению с [10] являются только результаты для полубесконечной впадины, но и они являются только развитием результатов для комбинации из хребта и впадины бесконечной протяженности, изложенных в [10]. Глава составлена по результатам работ [8], [11]-[14].
Рассматриваются автомодельные и стационарные решения, описывающие распространение уединенных волн над прямолинейными впадинами и хребтами. Эти решения включают в себя непрерывные автомодельные и стационарные участки, разделенные разрывами. Ранее в работе ,40 было установлено, что при распространении волны вдоль хребта последний проявляет свойства волновода. В работах [90 ], [91], [72І уже исследовалось взаимодействие уединенных волн с прямолинейными хребтами. Однако вновь введенные соотношения на разрывах позволяют получить большое количество новых решений, например решение с пониженной амплитудой над хребтом при распространении волны вдоль хребта. Кроме того, теперь удается получить и физически осмысленные решения для подводного желоба, поскольку скачок типа грехсолитонной конфигурации можно использовать для описания нелинейной каустики.
Граничные условия (1.8) на трехсолитонной конфигурации в удобном