Гидродинамика несущих систем с учетом кавитации и свободных границ потока на основе метода сращиваемых асимптотических разложений

Введение
Гидродинамика потенциальных течений идеальной несжимаемой жидкости вокруг несущих крыльев и их систем со свободными границами представляет собой сейчас один из самых разработанных разделов механики жидкости. Это езязано с рядом очевидных причин, основной из которых является большая практическая значимость возникающих в этой области задач. К ним, в частности, относятся задачи обтекания глиссирующих, кавитирующих и подводных крыльев, кавитирующих и частично погруженных гребных винтов, которые широко используются в современных быстроходных судах и аппаратах, см. рисунок I.
Другой важной причиной значительных успехов проведенных ранее и проводящихся в настоящее время исследований служат мощные и эффективные математические инструменты, применяемые для поиска и анализа решений. В первую очередь это, конечно, относится к плоским потенциальным течениям, в рамках которых ка базе аппарата теории функций комплексного переменного часто удается получить точное аналитическое решение нелинейной задачи. Основные методы и результаты теории плоских потенциальных течений можно найти, в частности, в книгах [32, 38, 100,107, 43, 77). Активная и успешная разработка задач теории струй ведется в Казанском и Чувашском госуниверситетах (см. Труды семинара по обратным краевым задачам, НИ ММ КГУ и сборники трудов по Гидродинамике больших скоростей, ЧГУ).
И преимущества, и недостатки этих аналитических подходов совершенно ясны. Точные решения, которые удается построить, не только являются отличным начальным приближением для анализа более сложных и общих задач, но и имеют самостоятельную теоретическую и практическую ценность. Автор полагает, что появление компьютерных пакетов символической математики (вычислительных С2>ед), таких как МаАИетаЫса 4.0 [251], дает дополнительный толчок развитию аналитических подходов.
Главным инструментом решения потенциальных пространственных кры-
1
Введение: асимптотические, численные и аналитические методы
2
развитые каверны
Рисунок I. Объекты, на которых появляются развитые каверны: (а) турбонасосы; (Ь) подводные крылья и стойки С ПК; (с) и (с!) гребные винты.
Рисунок II. Глиссирующее плоскокилеватое крыло с интерцептором на задней кромке.
Введение: асимптотические, численные и аналитические методы
3
льевых и винтовых задач с учетом кавитации и свободных поверхностей остаются разнообразные численные методы1, которые развиваются практически с той же скоростью, что и вычислительная техника. Среди таких методов следует отметить разработанный С.М. Белоцерковским метод дискретных вихрей (29, 30], “сверхмодный“ сейчас метод граничных элементов (Boundary Element Method, BEM) [33, 144] и метод конечных элементов [79, 52], различные иные модификации панельных методов [182, 186], вариационные подходы [136] и т.п. По численным методам практически ежегодно появляется большое количество обзоров, это, по сути, магистральное направление развития динамики жидкости, да и вообще прикладной науки.
Несмотря на впечатляющие успехи, достигнутые с помощью современных численных методов, их, по мнению автора, не следует считать панацеей от всех “бед’’, т.е. необходимо ясно понимать их широчайшие возможности и при этом видеть границы, за которыми численные методы встречают большие трудности либо вообще отказывают, как, например, при экстремальных - очень больших или малых - значениях параметров задачи.
Многообещающим представляется разумное сочетание численных и аналитических методов для плоских и пространственных задач. Хорошие результаты в этом направлении получены, в частности, при разработке эффективных численных алгоритмов расчета прямых двумерных потенциальных задач с неизвестными границами на базе точных аналитических решений [77]. При этом на передний план выходят асимптотические методы и, особенно, методы особых (сингулярных) возмущений (81, 82, 149].
Асимптотические методы позволяют так расширить области применимости аналитических подходов и численного моделирования, что они начинают перекрываться и оказывается возможным их совместное применение. Примерами этому служат задачи о крыльях большого и малого удлинения, методология нелинейных кромочных поправок для крыльев конечного размаха и т.п.
Дать общее определение асимптотическим методам оказывается довольно затруднительно, однако в первом приближении можно сказать, что это методы, приспособленные для исследования асимптотических явлений [26]. В гидродинамике крыла это, например, пограничные слои, течения вблизи кромок и изломов крыла, ядро спиральной вихревой пелены [31] и т.п.
Асимптотические методы так или иначе присутствуют во всех без исклю-
1 естественно, они активно применяются и для решения двумерных задач
Пнелснис: методика исследований
4
чения научных исследованиях, причем именно с них начинается предварительный анализ любой задачи. К достоинствам этих методов следует отнести существенное упрощение решения и одновременное повышение точности представлений в суженной (локальной) области изменения параметров. Б формулировке Р.Г. Баранцева [26] “асимптотические методы осуществляют синтез простоты и точности за счет локализации”. Они дают возможность единого подхода к различным на первый взгляд задачам, выявляют их единство и общность [7].
Методика исследований. В настоящей работе асимптотические методы, главным образом .метод сращиваемых асимптотических разложений (САР) использовал как основной инструмент исследования, каркас, вокруг которого “наращиваются” и на котором держатся решения различных потенциальных задач гидродинамики несущих систем с учетом кавитации и свободных границ потока.
Общая методология метода САР в приложении к потенциальным задачам гидродинамики крыльев, как правило, подразумевает следующие этапы решения рассматриваемой задачи:
a) определение малых параметров в задаче и разделение всей области течения на дальнее и ближнее поле, т.е. на области соответственно вдали и в непосредственной близости от источника особых возмущений; формулировка задач в этих областях - постановка внешней и внутренней задачи. Основная цель такого разделения состоит в упрощении внешней и внутренней задачи по сравнению с общей за счет линеаризации, корректного исключения некоторых факторов (например, влияния весомости, вязкости, трехмерности) и т.п. Если внешняя задача линеаризуется, то в ближнем поле проводится учет как можно большего числа нелинейных эффектов;
b) предварительный, “грубый” асимптотический анализ внешней и внутренней задач с целью определения их класса решения. Например, присутствие интерцептора на задней кромке кавитирующего или глиссирующего крыла, диктует новый класс внешнего решения ос — оо вместо традиционного оо — 0: у комплексно сопряженной скорости на задней кромке возникает корневая особенность [160];
c) решение внешней задачи в области вне окрестностей источников особых возмущений; уже упоминалось, что эта задача включает ряд упрощающих предположений, в результате чего приобретает элемент неопределен-
Введение: методика исследований
5
ногти; внешнее решение теряет пригодность во внутренней области;
с1) решение внутренней задачи, т.е. построение внутреннего асимптотического разложения, которое адекватно описывает локальное течение и теряет пригодность в дальнем поле; это решение строится в локальных растянутых координатах, причем масштаб растяжения связан с малым параметром/параметрами задачи. Именно вследствие измененного масштаба внутренняя задача также упрощается, например, становится двумерной при пространственной внешней. Такое упрощение дает возможность повысить точность модели за счет использования нелинейных методов, т.е. провести учет нелинейных факторов именно там. где они концентрируются и проявляются наиболее сильно. Из-за влияния внешнего решения внутренняя задача также содержит неопределенные параметры;
е) проведение процедуры сращивания (склеивание) внешнего и внутреннего асимптотических разложений; эта процедура позволяет найти неизвестные параметры в дальнем и ближнем поле и построить составное всюду равномерно пригодное асимптотическое решение общей задачи.
Преимущества метода САР как инструмента решения задач теории крыла обсуждены во многих работах, например 247, 149, 81, 82, 213). Среди них отметим книгу К.В. Рождественского [91], в которой систематизированы наиболее значительные на тот период результаты применения сращивамых разложений к решению задач теории крыла в идеальной несжимаемой жидкости. в том числе разработанные им асимптотическая теория низколетящего крыла (эта теория получила дальнейшее развитие в книге [224]), теория тонкого профиля как объект приложения метода САР и т.д.
В настоящей работе на базе метода САР предложена и реализована методология .математического конструктора, дающего возможность выбирать и комбинировать подходящие для конкретной задачи внешние и внутренние асимптотические решения и создавать из них2 составное равномерно пригодное.
Аналитическая и численная реализация “математического конструктора” предполагает
+ построение внешнего решения, пригодного вне областей особых возмущений, где сконцентрированы сильные нелинейные эффекты либо факторы, не учтенные в дальнем поле и, затем, определение двучленных
некотором (шутливом) смысле »тот процесс подобен конструированию дома из составных частей-кубиков
Введение: методика исследований
6
внутренних разложений этого внешнего решения для каждой зоны осо бых возмущений. Поведение внешнего решения качественно диктуется локальными задачами, а коэффициенты в его асимптотическом разложении определяются численно;
* для гладкого соединения внешнего решения с нелинейными внутренними, также определяются двучленные внешние разложения всех внутренних разложений. При этом особое значение имеет создание большого числа взаимозаменяемых внутренних нелинейных решений, моделирующих различные схемы течения в ближнем поле. Взаимозаменяемость заключается в наличии обязательной общей асимптотической структуры внутренних решений. Ярким примером таких взаимозаменяемых решений служат задачи, собранные в параграфе 1.3 и описывающие течение около интерцептора со щелыо, с застойной зоной, произвольно изогнутого интерцептора и т.п.;
* благодаря использованию двучленных разложений, численно-аналитическое сращивание представляет собой достаточно простую, быструю и прозрачную процедуру обмена информацией между ближним и дальним полем, замыкающую общее решение задачи за счет формирования дополнительных условий для определения неизвестных величин;
+ как следствие, появляется возможность собирать, конструировать составное всюду равномерно пригодное асимптотическое решение из “хорошо подогнанных’* друг к другу частей: одного общего внешнего решения (линеаризованного либо нелинейного) и набора взаимозаменяемых нелинейных локальных задач.
В процессе построения внешних асимптотических разложений работа опирается на ряд методов:
• теория потенциала ускорений [88] в сочетании с методом коллокаций [41] использована для решения пространственной стационарной задачи глиссирования;
• метод искусственных вариационных задач (ИВЗ), предложенный А.Ш. Ач-кинадзе в (12, 18] и развитый автором совместно с А.Ш. Ачкинадзе в работах [134, 135, 136, 137], применен для решения линейных пространственных задач обтекания кавитирующих крыльев;
• основным инструментом, используемым для анализа двумерных задач кавитирующих и глиссирующих крыльев во внешней области послужила ли-
Иведение: обоснованность и достоверность
7
нейная теория [239, 110, 100. 47, 185], базирующаяся на теории функций комплексного переменного [64]. Внешние линейные решения построены в классе сю-ос [160, 21];
• теория несущей линии (в асимптотической интерпретации работ [247, 229]) была применена для определения внешнего решения задачи о крыле и тандеме крыльев большого удлинения вблизи свободной поверхности;
Основанные на теории функций комплексного переменного методы теории струй идеальной жидкости [38] и, прежде всего, метод особых точек Чаплыгина, значительно развитый А.Г. Терентьевым [110, 112, 233], использованы при построении точных аналитических решений нелинейных плоских внутренних задач.
Тот же метод особых точек Чаплыгина, а также модификация метода Леви-Чивиты [38^ применены для нахождения точного решения плоских нелинейных задач обтекания профилей в безотрывном, кавитационном и глиссирующем режиме, используемых для верификации полученных асимптотических результатов.
Обоснованность и достоверность. Обоснованность и достоверность полученных результатов и вытекающих из них выводов обеспечены рядом факторов:
• математическое моделирование основано на известных моделях механики жидкости в теории крыла и физических предпосылках, отражающих реальный характер исследуемых процессов;
• все составные асимптотические решения получены в рамках методологии метода САР, при этом в дальнем поле в ряде задач проведена корректная процедура линеаризации граничных условий;
• все плоские нелинейные задачи в работе решены с применением строгих аналитических методов теории функции комплексного переменного;
• в тех случаях, когда это возможно, проведена численная и аналитическая верификация составных асимптотических разложений путем сравнения с точными нелинейными решениями, давшая хорошие результаты;
• установлено согласование приведенных в работе числовых результатов с экспериментальными данными, полученными в ЦАГИ им. проф. Н.Е. Жуковского и ЦНИИ им. акад. А.Н. Крылова, а также в ряде научных статей.
• установлений согласование приведенных в работе результатов расчетов для некоторых частных задач с числовыми данными в других отечественных
1}веление: практическая значимость и актуальность
8
и зарубежных научных исследованиях.
Практическая значимость и актуальность исследования. Практическая значимость и актуальность работы целиком и полностью связаны с самим предметом исследования: разработкой с единых асимптотических позиций аффективных методов решения потенциальных задач обтекания несущих крыльев и систем в присутствии свободных поверхностей. К ним, в частности, относятся задачи о подводных крыльях, о кавитирующих крыльях и лопастях гребных винтов с интерцепторами, о глиссирующих поверхностях с интерцепторами и комплексах (тандемах) крыльев, состоящих из элементов, каждый из которых работает в одном из перечисленных выше режимов обтекания. Все эти объекты активно используются в современных скоростных судах на подводных крыльях, глиссерах, экра.нопланах и других подобных аппаратах.
Созданная асимптотическая методика позволила проводить поверочный и проектировочный расчет кавитирующих профилей и крыльев с интерцепторами в ударном и безударном режимах обтекания, рассчитывать ГДХ и форму свободный поверхностей для глиссирующих, кавитирующих и подводных крыльев большого удлинения и т.п. Полученные результаты решения оптимизационных задач для суперкавитирующих профилей дали верхние оценки по гидродинамическому качеству, которые следует учитывать при проектировании. При помощи численно-асимптотических методов спроектирован кавитирующий профиль с контролируемой толщиной передней кромки и интерцептором, работающий в безударном режиме и обладающий рядом преимуществ по сравнению с обычным. Проведено тщательное исследование влияния интерцепторов и малых закрылков на характеристики крыльев и найдены оптимальные с точки зрения прироста подъемной силы параметры их установки (угол наклона, размер щели и т.д.)
Обзор исследований. Экспериментальные исследования явления кавитации начались более 100 лет назад, в 1894 г. О. Рейнолдсом (О. Reynolds) ’218] и в 1897 г. С. Барнаби [143] на полномасштабных испытания гребного винта эсминца “Daring”. Первые теоретические результаты для задач кавитации (точнее, для нелинейных задач струйного обтекания при числе кавитации <7 = 0) получены Гельмгольцем [175]. Изучение явления глиссирования началось несколько позже: одни из первых экспериментов были проведены Зотторфом (Sottorf) [230, 231, 232 . Интересно, что первые теоретические
Введение: обзор исследований
9
результаты в этой области были получены также для нелинейной плоской задачи о глиссирующей пластинке [248, 39].
Линейная теория глиссирования нашла свое развитие в 30-е годы прежде всего в работах Л.И. Седова [97, 98, 100], Н.Е. Кочина [53], Л.М. Сретенского [106], М.Д. Хаскикда [122]. Основополагающие теоретические результаты для пространственного глиссирования были сформулированы в работах Л.И. Седова и X. Вагнера [97, 99, 248]: в рамках линейной модели течение для глиссирующего крыла совпадает (за исключением зоны вблизи передней кромки) с потоком вокруг тонкого крыла той же геометрии. М.Г. Щегловой [126] был предложен способ определения смоченной длины плоскокиле-ватого глиссирующего крыла как линии пересечения свободной поверхности и поверхности крыла.
Важные экспериментальные и теоретические результаты по глиссированию были получены в ЦАГИ Л.А. Эпштейном (128, 129, 131], Г.В. Логви-новичем [66, 68, 69, 70], В.А. Лукашевским и Ю.М. Банниковым [23, 24, 25], В.П. Соколянским [102, 72], А.И. Тихоновым [115, 116, 114], А.В. Лотовым [73], М.Г. Щегловой [127], М.Н. Николаевым [84, 85] Л.Д. Коврижных [50, 51] и другими. В ЦНИИ им. акад. А.Н. Крылова также проведен ряд тщательных исследований по глиссированию, см., в частности, работы С.Б. Соловья [86, 90, 103, 104]. Следует также отметить многих других отечественных и зарубежных авторов [74, 75, 207, 208. 176, 153, 146, 210, 214].
Глубокое математическое исследование вопросов движения тел по поверхности тяжелой жидкости с использованием аналитических и асимптотических методов, в том числе методов теории особых возмущений проведено в работах Н.Г. Кузнецова [58, 59, 60, 61, 195, 196, 197]. В них решен ряд задач о полу погруженных телах и тандемах тел, об их волновом сопротивлении, об однозначной разрешимости задачи Неймана-Кельвина, связанной с движением этих тол, рассмотрено волнообразование на поверхности жидкости под действием быстроосциллирующих воздействий и т.п.
Интерес к задаче глиссирования как задаче особых возмущений связан с неско л ькими о б сто яте л ьств ами.
Во-первых, в рамках идеальной невесомой жидкости двумерная задача не имеет единственного решения (парадокс Грина [173]) из-за логарифмического поведения ординат свободной поверхности далеко от крыла. Это означает, что плоское нелинейное (и тем более линеаризованное) решение оказывается пригодным лишь на расстояниях порядка хорды, т.е. является ло-
Введение: обзор исследований
10
кальным по отношению к некоторому внешнему. В работах [254, 220, 234, 235] внешним разложением служит решение задачи о малых возмущениях свободной поверхности весомой жидкости, вызванных гидродинамической особенностью. находящейся на ее границе (учет влияния силы тяжести на больших расстояниях от профиля). 13 работах (229, 236] в качестве внешнего решения применяется трехмерная теория глиссирующей несущей линии (учет влияния конечного размаха крыла). Оба этих асимптотических подхода дают возможность преодолеть парадокс Грина и построить всюду пригодное асимптотическое решение.
Во-вторых, при линеаризации граничных условий, в решении появляется корневая особенность для функции распределения давления на передней кромке крыла, что свидетельствует о некорректности линейного решения в этой области, где расположена критическая точка и происходит разворот брызговой струи. Асимптотический анализ показал, что размер этой области имеет порядок 0(а2), где ос - угол атаки.
В третьих, при установке интерцептора малой относительной длины е = о(1) на задней кромке также возникает корневая особенность и линейное решение теряет пригодность на расстояниях ё от задней кромки. Задачи об интерцепторе на глиссирующем крыле в силу своей практической значимости исследовались экспериментально (24, 25, 125. и теоретически [86, 71, 90, 103, 104, 22], в том числе и автором [119].
Отметим, что ярким свидетельством в пользу присутствия в крыльевой задаче источников особых (сингулярных) возмущений является малый параметр, образованный отношением двух характерных длин. Такими малыми параметрами в задаче глиссирования служат отношения длины выдвига интерцептора £ к хорде / профиля/крыла, толщины возвратной струйки 8 к хорде /, хорды I к длине гравитационных волн хорды I к размаху D
крыла и т.д.
Значительный вклад в развитие нелинейных методов решения плоских задач о кавитирующих профилях внесли работы А.Г. Терентьева [109, 110, 113], А.Н. Иванова [45,47], A.B. Кузнецова [54, 55], Д.В. Маклакова [78, 77], О. Фу-руйа (О. Furuya) [165], В. Ларока и Р. Стрита (В. Larock & R. Street) [198], М. Тулина (М. Tulin) [241] и многих других. Современные численные методы успешно применяются к двумерным кавитационным задачам в работах (215, 257, 258, 27, 151, 185, 186, 137, 201, 187, 188, 243, 244, 204, 179] и т.д.
Отметим предложенную и реализованную А.Н. Ивановым [47] идею реше-
Введение: обзор исследований
И
ния кавитационной задачи в точной нелинейной постановке методом последовательных приближений, на каждом шаге которых решается нелинейная прямая задача теории потенциала и затем линейная обратная задача для незамкнутого контура. Форма той части контура, которая рассматривается в качестве границы каверны, при решении обратной задачи на каждой итерации изменяется так. чтобы давление там приблизить к постоянному. Этот подход позволил создать универсальные методы расчета как плоских так pi осесимметричных кавитационных теченртй [1, 2, 4, б, 141, 142], в том числе, с учетом капиллярности и вязкости жидкости (5, 36], с отрывом и присоединением пограничного слоя [3].
Основы линейной теории кавитационного обтеканргя профилей были заложены М. Тулиным [237, 239]. Теория получила существенное развитие в работах А.Г. Терентьева [38,110, 111], А.Н. Иванова [45, 46, 47], И.И. Ефремова [44], А.Ш. Ачкинадзе [13, 18], М.А. Басина [28], И.Т. Егорова [42], Дж. Герата (J. Geusrt) [171, 172], А. Акоста (A. Acosta) [140], Т. By (T.Y. Wu) [252], Т. Ханаока (Т. Hanaoka) [174], X. Като (H. Kato) [180] pi многих других.
В 90-е годы эту тему успешно разрабатывал С. Киннас (S. Kinnas) [183, 184, 185]. За счет так называемых кромочных поправок ему удалось преодолеть существенный недостаток линейной теории, которая предсказывает увеличение объема и длины каверны с ростом толщины профиля, что про-тиворечит экспериментам.
Кавитирующие крылья конечного размаха значительно более сложный объект исследований, чем кавитирующие профили. Тем не менее, и в этой области достигнуты впечатляющие результаты, полученные методом дискретных вихрей [249, 44, 28), различными вариационными методами [133, 12, 136], методом САР [202, 203, 166, 242, 14, 164], методом граничных элементов (ВЕМ) и другими численными подходами [157, 188, 189, 216. 177, 156, 178].
Предпринимаются значительные усилия для прорыва в вопросе учета вязкости [190, 257, 180] и нестационарности течения вокруг кавитирующего крыла [17, 187, 137, 156, 185].
Кавитирующий гребной винт остается наиболее сложным объектом. Полностью расчетный метод его проектирования впервые был разработан Ачкинадзе и Нарвским в работах [139. 83]. Расчет нестационарного течения у кавитирующего винта проведен в [200,192, 185]. В ряде работ, например [96], в процессе проектировочного расчета толщины каверн задавались по данным выполненного заранее для винтов прототипов эксперимента. Важные
Введение: обзор исследований
12
результаты по кавитирующим гребным винтам приведены в книгах [94, 9
С точки зрения асимптотических методов задачи обтекания кавитирующих крыльев весьма привлекательны. Как и для задач глиссирования, основные математические причины этого состоят в появлении в формулировке задач ряда малых параметров, являющихся отношением двух характерных длин.
В линеаризованной постановке на передней кромке кавитирующих профилей и крыльев конечного размаха возникает степенная особенность вида “1/4” для распределения давления 239, 110]. Корневая особенность появляется и на задней кромке каверны, если применена линейная закрытая модель замыкания [110]. Влияние интерцептора на задней кромке кавитирующего крыла также моделируется корневой особенностью. Эти три зоны - области особых возмущений задачи, где линейное решение теряет пригодность. Малые параметры являются соответственно отношением отстояния критической точки от передней кромки, толщины 6е возвратной струйки для схемы Эфроса (или тела замыкателя для схемы Рябушииского) и длины выдвига интерцептора е к хорде / профиля или крыла. Пригодное вблизи передней острой или закругленной кромки кавитирующего профиля решение рассматривалось в [217, 167], где в качестве внешнего разложения использовалось линейное двумерное решение. Некоторые вопросы, связанные с влиянием интерцепторов на кавитирующих крыльях, изучены в рамках метода САР в [48, 71, 119].
Решение нелинейной плоской задачи о кавитирующем профиле под свободной поверхностью невесомой жидкости теряет свою пригодность при большом удалении вверх или вниз по потоку (аналог парадокса Грина в глиссировании). Это следствие неучета влияния силы тяжести, которое становится существенным в дальнем поле, либо конечности размаха, т.е. трехмерности течения. Малый параметр в этом случае есть отношение хорды I к длине гравитационных волн или к размаху крыла. Преодолеть парадокс Грина для кавитирующих профилей можно способом, предложенным в [220], где, как отмечалось, в дальнем поле проводился учет весомости в плоских задачах, либо “выходом” в пространство за счет использования во внешнем решении теории несущей линии [166, 164]. Отметим, что в отсутствие свободной поверхности парадокс Грина, естественно, не реализуется, однако малость отношения хорды к размаху крыла позволяет применить метод САР и в этом случае [202, 203, 166, 242, 14, 141].
Введение: научная новизна и основные результаты
13
Все сказанное дает возможность сделать вывод о том, что методы особых возмущений и, в частности, метод САР, представляют собой аффективные инструменты исследования потенциальных задач гидродинамики крыльев с учетом кавитации и свободных границ. Некоторые такие задачи представлены в настоящей работе.
Научная новизна и основные результаты. Диссертация является самостоятельным оригинальным научным исследованием, значительно развивающим методологию метода сращиваемых асимптотических разложений, на базе которго решен ряд важных практических задач гидродинамики крыльев со свободными поверхностями. Основные результаты, выносимые автором на защиту, и их научная новизна заключаются в следующем:
• разработана и реализована методология “математического конструктора”, основанная на методе сращиваемых асимптотических разложений и предназначенная для эффективного построения равномерно пригодного решения рассматриваемой задачи из линейного либо нелинейного внешнего и нелинейных внутренних решений;
• сформулирован в общем виде и численно реализован для трехмерной задачи о кавитирующем крыле с интерцептором по открытой схеме замыкания каверны метод искусственных вариационных задач (ИВЗ), основанный на вариационном подходе и предназначенный для поверочного и проектировочного расчета кавитирующих профилей, крыльев и лопастей гребных винтов;
• предложена и численно реализована нелинейная асимптотическая методика уточнен им смоченной поверхности плоскокилеватого глиссирующего крыла с интерцептором, основанная на способе определения смоченной длины в рамках линейной модели, при этом во внешнем поле использована теория потенциала ускорений в сочетании с методом коллокаций;
• сформулирован в общем виде и численно реализован для трех режимов обтекания профиля с интерцептором или закрылком нелинейный асимптотический подход, основанный на методологии метода САР и позволяющий сращивать нелинейные внешние решения с нелинейными внутренними в тех задачах, где этого не проводилось ранее;
• построено точное аналитическое решение и получены числовые результаты для нелинейной плоской задачи обтекания глиссирующего произ-
Введение: структура работы
14
вольно изогнутого контура с заданным направлением возвратной струйки на бесконечности без учета влияния силы тяжести, при этом использована модификация метода Леви--Ч и виты;
• предложен и численно реализован общий подход к аналитическому решению локальных нелинейных задач для крыльев большого удлинения вблизи свободной поверхности, который дал возможность алгоритмизировать процесс сращивания с решением в дальнем поле по теории несущей линии;
• в рамках методологии “математического конструктора5' решены задачи проектирования и оптимизации суперкалитирующих профилей: найдены теоретические верхние оценки по гидродинамическому качеству для оптимальных суперкавитирующих профилей с интерцепторами при произвольном числе кавитации, которые не могут быть превзойдены в процессе реального проектирования; спроектирован оптимальный суперкавитирующий профиль нового типа с заданным углом заострения передней кромки и 2% интерцептором на задней, обтекаемый в безударном режиме, когда критическая точка совпадает с вершиной смоченной с двух сторон передней кромки, при этом использовано обобщенное условие однолистности течения;
• найдено всюду равномерно пригодное асимптотическое решение задачи о глиссировании произвольного профиля с интерцептором по поверхности весомой жидкости для произвольного числа Фруда, при этом в дальнем поле использован метод Л.И. Седова;
• в рамках методологии “математического конструктора” с единых позиций найдены асимптотические решения для подводного. глиссирующего и безударного кавитирующего крыла и тандема крыльев большого удлинения около свободной поверхности, позволяющие определить ГДХ и форму свободных границ потока;
• получено более 15-ти точных аналитических решений и соответствующих числовых результатов для новых нелинейных локальных задач обтекания входящих и выходящих кромок крыльев в режиме кавитации (с малыми и развитыми кавернами), глиссирования и безотрывном, при этом все решения найдены методами теории струй идеальной жидкости.
Введение: структура работы
15
Структура работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, объединяющих 21 параграф, заключения, списка рисунков, таблиц, цитированной литературы и приложения.
Во введении отмечены цели, методика и характер исследований, обсуждена обоснованность и достоверность, актуальность и практическая значимость полученных результатов, апробация работы на различных научных конференциях и семинарах. Кратко обсуждена особая роль асимптотических методов в научных исследованиях, их соотношение с аналитическими и численными методами, указано на перспективность разумного сочетания численных и аналитических подходов, преимущества которого становятся еще более выпуклыми именно в задачах с зонами особых (сингулярных) возмущений, где эффективные численные расчеты часто недостижимы. Проанализирована методология метода САР для крыльевых задач, сформулирован асимптотический подход к построению равномерно пригодного решения, который назван “математическим конструктором”. Отмечено, что склеивание локальных аналитических решений и численных внешних повышает точность результатов. Подчеркнута важная роль современных компьютерных пакетов символической математики, в особенности МаИютяИся 4.0, для аналитического и асимптотического анализа плоских нелинейных задач потенциального обтекания профилей. Во введении также дан обзор работ, в которых получены основные результаты для потенциальных задач обтекания крыльев идеальной жидкостью со свободной поверхностью, а также обзор исследований, посвященных использованию асимптотических методов в таких задачах. Аннотированы основные результаты работы, выносимые на защиту. Описана структура работы.
За исключением параграфа 3.3, где проведен учет влияния силы тяжести, жидкость всюду рассматривается идеальной несжимаемой и невесомой, а течение - стационарным. Предложены способы, которыми можно в ряде локальных задач косвенно описать влияние вязкости жидкости за счет учета застойных зон в потоке (раздел 1.3.4).
1. Первая глава посвящена анализу локальных течений в зонах особых возмущений задач гидродинамики крыльев в идеальной несжимаемой жидкости. Общие свойства таких внутренних задач, а также критерии, по которым следует определять подобные зоны, обсуждены в параграфе 1.1. Подчеркнуто, что внутренние решения могут быть корректно упрощены за счет правильного растяжения локальных координат. При этом внутренняя зада-
Введение: структура работы
16
ча часто “теряет” простраиствспность и становится двумерной, даже если общая задача рассматривается в трех измерениях; локальное число Фру да Fr*, образованное с помощью локальной, т.е. малой, характерной длины оказывается достаточно большим, чтобы влиянием силы тяжести во внутренней области можно было бы пренебречь; факторы, связанные с нестационарно-стью внешнего описания общей задачи, могут оказывать пренебрежимо малое влияние на локальную область и т.п.
В параграфе 1.2 собраны точные аналитические решения внутренних двумерных задач обтекания входящих кромок крыльев при безотрывном и кавитационном режимах. При этом даны не только сами внутренние нелинейные разложения, но и их асимптотики на локальной бесконечности3. Рассмотрены острые и закругленные передние кромки некавитирующих крыльев, а также некавитирующая кромка произвольной (гладкой) геометрии; острые и закругленные передние кромки с малыми кавернами, размеры которых сравнимы с радиусом закругления кромки, либо квадратом толщины крыла; острые и закругленные передние кромки кавитирующих крыльев и гребных винтов с развитыми кавернами; локальная задача обтекания передней кромки кавитирующего крыла или лопасти гребного винта с заданным углом заострения, обеспечивающая так называемый безударный кавитационный режим обтекания; передние кромки глиссирующих профилей и крыльев в зоне разворота брызговой струи.
Выявлена общая асимптотическая структура внутренних решений для входящих кромок: для локальных задач с развитыми кавернами (каверна простирается вплоть до локальной бесконечности) у функции комплексно сопряженной скорости возникает степенная особенность вида “1/4”, а для локальных задач глиссирования, некавитационного обтекания и обтекания с малыми кавернами (вся каверна находится во внутренней области) - степенная особенность вида “1/2”. Отсюда следует, что во внешней области решение должно содержать аналогичные особенности на передней кромке.
Локальные задачи о течении вблизи интерцептора, установленного на задней кромке кавитирующего или глиссирующего крыла, рассмотрены в параграфе 1.3. Предложены четыре альтернативные модели обтекания интерцептора: известная простейшая схема для прямолинейного интерцептора, задача о произвольно изогнутом интерцепторе, модель течения со щелью между крылом и интерцептором и схема с застойной зоной перед интерцеп-
’ имеется в виду поведение внутреннего решения при устремлении локальной координаты к бесконечности
Введение: структура работы
17
тором. Установлено, что. независимо от выбранной модели, асимптотическая структура внутреннего решения содержит корневую особенность для функции комплексно сопряженной скорости, моделирующую влияние интер цептора, что в свою очередь диктует в дальнем поле (внешняя задача) новый класс линейных решений, а именно оо - оо. Это означает, что особенность во внешнем линейном разложении появляется не только на передней, но и на задней кромке, причем мощность этой корневой особенности на задней кромке заранее неизвестна и определится при сращивании. Проведены расчеты, характеризующие влияние щели и застойной зоны на эффективность интерцептора. Для всех четырех моделей численно выявлен оптимальный с точки зрения прироста подъемной силы угол установки интерцептора по отношению к хорде крыла. Значение этого угла в зависимости от других геометрических параметров колеблется в районе 95° -Ь 100°.
В параграфе 1.4 проанализированы две нелинейные локальные схемы обтекания малого закрылка: простейшая задача о прямолинейном закрылке и модель с закрылком произвольной геометрии. В отличие от задач для интерцептора, предположено, что закрылок обтекается без срыва струй, поэтому в области течения возникает точка (внешний угол у точки стыковки закрылка и крыла), где скорость будет иметь интегрируемую степенную особенность. Определен угол наклона закрылка, обеспечивающий максимальный прирост подъемной силы. Установлено, что как и для локальных задач с интерцептором, закрылок генерирует во внешней области корневую особенность на задней кромке, мощность которой определится при сращивании.
В параграфе 1.5 предложена общая схема решения внутренних задач для крыльев и систем крыльев большого удлинения вблизи свободной поверхности, которая затем реализована для трех случаев, включающих три основных режима обтекания: подводного крыла, глиссирующего тандема и кавитирующего крыла под свободной поверхностью. Показано, что для локальных задач о крыльях большого удлинения, которые адекватно описывают поток на расстояниях порядка хорды крыла, независимо от режима обтекания, свободная поверхность не имеет горизонтальной асимптоты. Ординаты свободной поверхности логарифмически изменяются с. удалением от крыла, что делает невозможным задание погружения задней кромки. Таким образом, известный парадокс Грина, установленный впервые для глиссирующих пластин и обнаруженный затем в нелинейной задаче о подводной пластинке, реализуется для всех типов подобных плоских нелинейных задач. Прсодо-
Введение: структури работы
18
леть этот парадокс можно лишь при учете влияния трехмерности потока или весомости жидкости. Все локальные нелинейные задачи в параграфе решены методом особых точек и найдены единые формулы, позволившие по точному аналитическому решению определить коэффициенты в общих асимптотических структурах для потенциала скорости и ординаты свободной поверхности, которые используются при сращивании.
Последний параграф 1.6 первой глазы посвящен анализу течения в области вблизи замыкания каверны. Предложены две локальные модели замыкания, соответствующие схеме Эфроса с возвратной струйкой и схеме Ря-бушинского с замыкателем. Показано, что асимптотическая структура внутреннего решения обеих схем содержит корневую особенность, что соответствует поведению скорости в точке замыкания каверны во внешнем линейном решении для любой закрытой схемы. Отмечено, что в процессе сращивания определяется толщина возвратной струйки и/или геометрия замыкателя, а также все детали течения во внутренней области, которые трудно достижимы при помощи численных методов.
2. Во второй главе плоские и пространственные задачи кавитационного обтекания несущих систем (профилей и крыльев) рассматриваются в рамках единого асимптотического подхода, как задачи теории особых (сингулярных) возмущений, а именно, задачи, в которых присутствуют области сосредоточения сильных нелинейных эффектов, подробно описанные в Главе 1. Этими областями, в данном случае, являются зоны в непосредственной близости от передней и задней кромок кавитирующего профиля, либо крыла, а также область замыкания каверны (для закрытых схем замыкания).
В параграфе 2.1 получено составное решение для произвольного кавитирующего профиля с интерцептором и фиксированным углом заострения передней кромки, равномерно пригодное во всей области течения, включая зону замыкания каверны. В качестве модели замыкания каверны использована схема Эфроса с возвратной струйкой. Главной особенностью задачи является безударный режим обтекания, когда критическая точка совпадает с вершиной смоченной с обеих сторон передней кромки профиля Построено точное аналитическое решение нелинейной задачи обтекания кавитирующего клина со щеками разной длины и с интерцептором на задней кромке нижней щеки в безударном режиме. Проведен подробный асимптотический анализ нелинейного решения. Числовые результаты для гидродинамических характеристик и картины течения, полученные в рамках асимптотического
Внеденне: структура, работы
19
подхода, сопоставлены с данными точной нелинейной и линейной теории, при этом выявлено хорошее согласование нелинейного и асимптотического подхода в широком диапазоне изменения параметров.
Базируясь на полученных асимптотических результатах предыдущего раздела, в параграфе 2.2 рассмотрена задача проектирования оптимальных суперкавитирующих (СК) профилей в ударном и безударном режимах, удовлетворяющих обобщенному условию однолистности течения, подразумевающего достаточную толщину каверны.
Параграф состоит из трех разделов: в первом предложен и реализован алгоритм проектирования оптимальной пластины с интерцептором для нулевого числа кавитации и показано, что для данного коэффициента подъемной силы такая пластина всегда имеет более высокое гидродинамическое качество, чем СК-дуга без интерцептора. Для оптимальных контуров этот выигрыш составляет более 20%. Получены верхние оценки гидродинамического качества для СК-пластины с интерцептором и С К-дуги, которые не могут быть превзойдены при проектировании реальных СК профилей.
Во втором разделе параграфа алгоритм проектирования оптимальных профилей с интерцепгора’ли в рамках внешнего асимптотического решения в классе оо — оо обобщен для случая ударного (классического) кавитационного обтекания пластины и профиля с заданным распределением толщины с интерцептором при ненулевом числе кавитации т. Формулировка задачи проектирования такова: при заданных значениях о > О, угла наклона интерцептора Д, коэффициента вязкостного сопротивления С/, а также любых трех из четырех параметров Су, ё, /?. и о (соответственно, коэффициента подъемной силы, относительной длины интерцептора, стрелки прогиба нагнетающей стороны профиля и угла атаки) найти длину I и форму каверны, четвертый оставшийся незаданным параметр, а также коэффициент кавитационного сопротивления Сх и гидродинамическое качество К. Существенными в задаче для профиля являются требования по прочности, интерпретированные как условие максимизации характерной толщины 6 СК-профиля при заданном законе распределения толщины по хорде /*(х). Толщина каверны ;г/,(а:) должна быть не меньше толщины профиля <$/<(#) во всех точках его хорды.
В том случае, если максимальная толщина профиля заранее определена, неизвестными становятся два из четырех указанных выше параметров и задачи можно назвать проектировочными, они включают процесс оптими-
Н ведение: структура работы
20
зации по качеству. При неизвестной 5 задачи являются поверочными и не предполагают процесса выбора наилучшего варианта из множества возможных (процесса оптимизации профиля).
Предполагается, что засасывающая сторона профиля полностью охвачена каверной. При этом и в первом, и во втором случае использованы как линейная открытая схема В у- Фабулы, так и закрытая схема замыкания каверны. Для закрытой схемы замыкания дополнительно накладывается ограничение на длину каверны Ь > 1.3, а для открытой - Ь > 1. Определены области однолистности течения, причем отмечено, что наличие интерцептора приводит к их расширению. На основании полученных асимптотических результатов сделан ряд практических выводов. Асимптотические результаты сопоставлены с точными нелинейными и найдено их хорошее согласование. Получены верхние теоретические оценки гидродинамического качества для кавитирующих профилей с интерцепторами при ненулевом числе кавитации.
Третья часть параграфа 2.2 содержит асимптотический алгоритм проектирования кавитирующего профиля нового типа с контролируемой толщиной передней кромки, с клиновидной полностью смоченной передней частью и интерцептором относительной длины 0.02 при выполнении обобщенного условия однолистности. В отличие от двух предыдущих разделов параграфа, для анализа использовано составное равномерно пригодное решение, а не внешнее разложение. Полученные данные собраны в таблицы, позволившие также сделать ряд выводов об эффективности интерцептора. Приведена форма оптимального безударного профиля с двухпроцентным интерцептором и границы каверны. Указано, что важным преимуществом безударного профиля является увеличенная и контролируемая толщина входящей кромки на переднем участке хорды с развитой клиновидной формой смоченной части.
В параграфе 2.3 изложен и обоснован метод искусственных вариационных задач (ИВЗ) для кавитирующих профилей и крыльев конечного размаха, причем акцент сделан именно на пространственные задачи. Суть метода ИВЗ можно кратко сформулировать следующим образом: вместо классической краевой задачи, описывающей обтекание кавитирующего крыла и включающей в себя систему уравнений, в рассмотрение вводится эквивалентная задача математического программирования (задача нелинейной оптимизации), включающая набор ограничений -равенств, ограничений-не-
И воден не: структура работы
21
равенств и некоторый искусственный целевой функционал, который достигает своего минимального, нулевого, значения на точном решении исходной краевой задачи. Функционал называется искусственным, поскольку он может не быть связан с какими-либо физическими характеристиками профиля и выбирается достаточно произвольно. Установлена эквивалентность традиционной и вариационной постановок задачи, т.е. показано, что если решения обеих задач существуют, то они совпадают.
Метод ИВЗ сформулирован для закрытой и открытой схемы замыкания. Показано, что при численной реализации метода процесс сводится к решению задач квадратичного программирования с линейными ограничениями. Проведена линеаризация общей пространственной задачи и дано численное решение для открытой схемы замыкания со следом. Для повышения точности расчетов внешнее линейное решение сращено с локальными нелинейными кромочными решениями для интерцептора, малого закрылка и передней кромки. Проведено сравнение числовых данных метода ИВЗ по ГДХ и форме каверны с другими численными методами и отмечено хорошее согласование. Числовые расчеты показали также, что при некоторых длинах выдвига интерцептора кавитирующее крыло имеет оптимум по качеству.
3. Третья глава посвящена задачам глиссирования крыльев с интерцепторами как задачам теории особых возмущений. При атом во внешней области основным инструментом решения плоских и пространственных задач послужила линейная теория глиссирования, модифицированная для класса оо - со, а во внутренних областях, как обычно, нелинейный метод особых точек. Общая постановка задачи глиссирования с точки зрения асимптотического подхода сформулирована в параграфе 3.1. Проанализированы основные сложности задачи, связанные с нелинейностью граничных условий, которые, к тому же, должны выполняться на заранее неизвестных поверхностях, а также с неизвестной заранее формой смоченной поверхности. Приведены некоторые асимптотические подходы, позволяющие преодолеть эти сложности.
Параграф 3.2 содержит асимптотическое решение задачи о глиссировании произвольного профиля с интерцептором по поверхности жидкости без учета силы тяжести. Получены общие формулы внешнего решения в рамках классического подхода и бесквадратурного подхода в классе оо — оо. В рамках построенного составного разложения проведен учет влияния интерцептора. на ГДХ профиля, на параметры брызговой струйки и форму
Введение: структура работы
22
свободной поверхности. Получены точные аналитические решения двух нелинейных задач: о пластине с интерцептором при произвольном направлении возвратной струйки и о произвольно изогнутом глиссирующем контуре. Эти решения асимптотически проанализированы и использованы в качестве “эталонных" при верификации асимптотических результатов, а также как внутренние нелинейные описания течения вблизи глиссирующих крыльев большого удлинения. Проведено тщательное сравнение числовых результатов линейной, нелинейной и асимптотической теорий, причем найдено, что две последних хорошо согласуются в широком диапазоне углов атаки. Отмечено, что при установке интерцептора область высокого качества смещается на большие значения коэффициента подъемной силы.
Следующий параграф 3.3, основываясь на асимптотическом методе и результатах, полученных в предыдущих разделах, включает в себя более общую (и сложную, естественно) задачу о глиссировании профиля с интерцептором под действием силы тяжести. Во внешней области применена модификация известного линейного подхода, предложенного Л.И. Седовым и численно реализованного Ю.С. Чаплыгиным для контура, глиссирующего по поверхности весомой жидкости. Модификация, кроме разнообразных численных аспектов, связана с появлением нозого класса решения оо — оо, соответствующего интерцептору на задней кромке. Показано, что при растяжении локальных координат в зонах особых возмущений влиянием силы тяжести можно пренебречь, поэтому использованные ранее внутренние решения пригодны и для конечных чисел Фруда F•/' < оо. Проведены расчеты ГДХ профиля с интерцептором в рамках равномерно пригодного асимптотического решения для различных чисел Фруда.
Пространственная стационарная задача глиссирования плоскокилевато-го крыла с интерцептором решена в параграфе 3.4 в рамках единого асимптотического подхода. Во внешней области использована аналогия с безотрывным обтеканием крыла, которая сохраняется и в трехмерных задачах. Теория потенциала ускорений в сочетании с методом коллокаций использована как основной инструмент решения в дальнем поле. Как и ранее, класс линейного решения взят ос-оо. Задача определения “линейной” смоченной поверхности решена с помощью последовательных приближений, по методике, предложенной М.Г. Щегловой. Передняя кромка смоченной поверхности, найденная в рамках внешнего разложения, интерпрстировгша как линия критических точек на глиссирующем крыле, что дало возможность провести
Введение: структура работы
23
сращивание с нелинейной плоской локальной задачей и получить уточненную форму смоченной поверхности.
Проведено большое число расчетов для плоских и плоскокилеватых пластин с интерцептором и без него. Расчеты сопоставлены с экспериментальными данными, полученными в ЦНИИ им. акад. А.Н. Крылова и в ЦАГИ и найдены хорошо согласующимися. Численно установлено, что для плоского крыла форма смоченной поверхности близка к прямоугольной, а для плос-кокилеватого - к трапециевидной (передние кромки смоченной поверхности почти прямолинейны). Интерцептор сравнительно слабо влияет на форму смоченной поверхности. Отмечено также, что приращения коэффициентов динамической нагрузки Сц£ и сопротивления связанные с влиянием интерцептора, мало зависят от смоченной длины и угла атаки глиссирующего крыла. Этим числовым результатам дано обоснование с точки зрения асимптотического подхода к решению задачи.
4. Четвертая глава работы содержит ряд новых задач обтекания крыльев и систем крыльев (тандемов) большого удлинения в присутствии свободной поверхности, исследованных в единой постановке и по единой асимптотической методике “математического конструктора”. Во всех задачах во внутренней области использован подход, предложенный в разделе 1.5. В параграфе 4.1 приведено общее решение для изолированного крыла большого удлинения около свободной поверхности, которое на расстояниях порядка размаха сжимается в несущую линию, лежащую на свободной поверхности, причем все детали течения вблизи самого крыла становятся неразличимы (внешнее решение). Процедура сращивания сведена к достаточно простому алгоритму, общему для широкого класса подобных задач. Этот алгоритм оказался эффективным и дал возможность свободно комбинировать внешнее решение теории несущей линии с внутренними нелинейными задачами по единой схеме. Основное внимание в параграфе уделено задаче о подводном крыле. Получен общий вид условий, доставляемых сращиванием. в том числе интегро-дифференциальное уравнение для функции распределения циркуляции по размаху крыла. Определены ГДХ подводного крыла и форма свободной поверхности. Даже для удлинений Л = 2-5-3 числовые результаты для пластины очень хорошо согласуются с данными, полученными в рамках других численных методов, в частности, метода дискретных вихрей.
Приведены результаты для глиссирующего плоскокилсватого крыла в
Введение: структура работы
24
предположении, что возвратная струйка направлена вдоль смоченной поверхности. Построены формы свободной поверхности для нулевого и ненулевого угла килеватости. Выводы о форме смоченной поверхности, сделанные в параграфе 3.4 для глиссирующего крыла конечного размаха, повторно подтверждены числовыми результатами.
Общая постановка задач о тандеме крыльев большого удлинения вблизи свободной поверхности приведена в параграфе 4.2. Показано, что в дальнем поле, на расстояниях порядка размаха, элементы тандема с продольным разносом порядка размаха сжимаются в две несущие линии, лежащие на свободной поверхности, а для тандема с продольным разносом порядка хорды -в одну несущую линию, причем все детали течения вблизи самих элементов тандема, включая режим обтекания переднего и заднего крыла, становятся неразличимы. При этом с приближением к несущим линиям ордината свободной поверхности изменяется логарифмически, что дало возможность провести сращивание с локальными нелинейными решениями по той же схеме, что и для изолированного крыла большого удлинения.
Тандем крыльев большого удлинения у свободной поверхности при продольном разносе элементов на расстояние порядка хорды и размаха, в предположении, что каждый элемент работает в своем режиме (некавитирующем, кавитирующем или глиссирования), рассмотрен в параграфе 4.3. Показано, что схема построения асимптотического решения общая независимо от режима обтекания элементов тандема. Получено внешнее решение для тандема несущих линий и проведено сращивание с локальными решениями по общей схеме. Найдены условия, поставляемые сращиванием, в том числе два интегро-дифференциальных уравнения относительно функций распределения циркуляции по размаху каждого элемента. Структура этих условий одинакова для любых комбинаций элементов тандема. Приведена компактная система двух интегро-дифференциальных уравнений, к которой сводится решения задачи о глиссирующем тандеме, когда возвратные струйки направлены вдоль смоченных поверхностей элементов. Числовые расчеты проведены для тандема плоскокилеватых глиссирующих пластин с произвольньш направлением возвратных струек. Проанализировано влияние продольного разноса элементов, глубин погружения их задних кромок и углов атаки на ГДХ.
5. Пятая глава посвящена разработке нелинейного асимптотического подхода к решению задач гидродинамики крыла в потенциальном потоке с
Введение: структура работы
25
источниками сильных нелинейных возмущений. К подобным объектам относятся, как уже говорилось, интерцепторы, малые закрылки, каверны малой по сравнению с хордой длины, щели и отверстия в несущих поверхностях, области сворачивания вихревой пелены и т.п. В большинстве рассмотренных в работе задач во внешней области, вне зон сильных нелинейных эффектов, проводилась процедура линеаризации граничных условий, основанная на упрощающем предположении о том, что несущая система вносит малые возмущения в набегающий поток. Предложенный нелинейный асимптотический подход дал возможность в ряде важных случаев избежать такой линеаризации в дальнем поле и срастить нелинейное внешнее с нелинейным внутренним решением, в результате чего составное асимптотическое разложение хорошо согласуется с точным нелинейным решением даже для сугубо нелинейных параметров течения.
В параграфе 5.1 обсуждены преимущества нелинейно-нелинейного сращивания по сравнению с линейно-нелинейным. Подчеркнуто, что метод САР не накладывает ограничений на линеаризацию внешней задачи, и нелинейный асимптотический подход соответствует общей методологии сращиваемых разложений. Приведен ряд примеров, иллюстрирующих неявное применение такого подхода в различных численных методах (deuce panelling, analytical-numerical matching и т.п.)
Параграф 5.2 содержит подробный асимптотический анализ модельной нелинейной задачи теории струй идеальной жидкости - обтекания кавитирующей пластины с интерцептором при нулевом числе кавитации - в предположении, что относительная длина интерцептора е мала, а все остальные параметры, включая и угол атаки а, суть величины порядка 0(1). Показано, что линейное (прямое) асимптотическое разложение точного нелинейного решения рассматриваемой задачи некорректно вблизи задней кромки пластины с интерцептором на расстояниях порядка 0(ё). По методу особых точек и методу Леви-Чивиты найдено “точное” решение нелинейной внешней задачи при ё —* 0. Это решение содержит экспоненциальную особенность неизвестной мощности для комплексно сопряженной скорости на задней кромке, описывающую влияние интерцептора. Отмечено, что аналогичная особенность генерируется в точках сворачивания односпиральных вихрей в схеме Тулина-Терентьева для замыкания каверны. Проведено сращивание нелинейного внешнего и внутреннего решений и получено составное аддитивное и мультипликативное разложение.
Введение: структура, работы
*26
В параграфе 5.3 нелинейный асимптотический подход приложен к нелинейной задаче о глиссировании пластинки с интерцептором для произвольного направления возвратной струйки. Точное нелинейное решение задачи и асимптотический анализ выполнены ранее в разделе 3.2. Также построено “точное” внешнее решение, проведено сращивание и определено составное асимптотическое разложение.
Нелинейный асимптотический подход применен в параграфе 5.4 для задачи об обтекании пластины с закрылком в безотрывном режиме. Впервые точное решение полностью нелинейной задачи дал С. А. Чаплыгин. По общей схеме получено “точное” решение внешней нелинейной задачи, содержащее на задней кромке экспоненциальную особенность неизвестной мощности. Эта мощность определена в процессе сращивания с нелинейным внутренним решением о закрылке. Асимптотический анализ точного решения4 аналитически подтвердил полученные в рамках нелинейно-нелинейного сращивания результаты.
Все числовые расчеты для трех основных режимов обтекания профиля, проведенные по формулам из предыдущих трех разделов Главы 5, собраны в параграфе 5.5. Основная цель параграфа - сравнить гидродинамические коэффициенты, рассчитанные в рамках точной нелинейной теории с результатами метода САР для линейно-нелинейного сращивания (“классический” подход) и нелинейно-нелинейного сращивания (нелинейный асимптотический подход). Во всех случаях рассмотрены сугубо нелинейные параметры течений: угол атаки взят о = 50°, относительная длина интерцептора (закрылка) ё ~ еЦ =■ 0.2, а- угол наклона интерцептора (закрылка) /3 = 40у. Для глиссирующей пластины направление возвратной струйки на бесконечности принято 7о = 110°. Сравнение проведено по коэффициентам распределения давления, подъемной силы и сопротивления. Все расчеты показали хорошее согласование нелинейных асимптотических и точных результатов даже вблизи кромок и даже для столь больших углов атаки. Линейно-нелинейное сращивание для этих параметров приводит к неадекватным результатам, что подтверждает общие положения, сформулированные в разделе 5.1.
В заключении отмечено, что в диссертации с единых позиций методов теории особых возмущений рассмотрен широкий круг задач гидродинамики потенциальных течений вокруг крыльев и их систем с учетом кавитации и свободной поверхности. Получены точные решения большого числа не-
чв иной, чем у Чаплыгина форме
Л веление: структури работы
27
линейных локальных задач для передних и задних кромок крыльев в различных режимах обтекания, выявлены общие асимптотические структуры во внутренних разложениях, дающие возможность проводить сращивание с внешней задачей по единой схеме. На основе методики “математического конструктора-’ построены всюду равномерно пригодные асимптотические решения плоских и пространственных задач обтекания кавитирующих (в ударном и безударном режимах) и глиссирующих крыльев с интерцепторами со щелью, застойной зоной, произвольной формы и т.п. Решена задача о тандеме крыльев большого удлинения возле свободной поверхности, когда каждый элемент работает в одном из трех режимов: подводного крыла, кавитационном, глиссирования. Найдены верхние оценки по гидродинамическому качеству для оптимальных кавитирующих профилей с интерцепторами. При помощи численно-асимптотических методов спроектирован работающий в безударном режиме кавитирующий профиль с контролируемой толщиной передней кромки и 2% интерцептором. Нелинейный асимптотический подход, подразумевающий нелинейно-нелинейное сращивание, дал хорошие результаты для модельных задач и может быть эффектив2ю встроен в современные численные схемы расчета крыльевых задач в различных режимах обтекания.
В приложении А с точки зрения асимптотических методов представлены некоторые локальные задачи обтекания крыла на предельно малых расстояниях от экрана, т.е. в зоне сильного экранного эффекта, в так называемом режиме поддува, когда специальными двигателями на крыло нагнетается струя воздуха, за счет чего значительно повышаются его несущие свойства. Обсуждены три схемы обтекания крыльевой системы у экрана воздушными струями: схема с отходящей струей; с плавным огибанием передней кромки и закрылка; с плавным огибанием передней кромки и дальнейшим сходом струи (в последних двух реализуется эффект Коанда). В соответствии с этими схемами предложен и решен в нелинейной постановке набор внутренних задач для передней и задней кромки крыла с закрылком у экрана (с учетом установки дополнительных средств управления потоком: предкрылков, роторов и т.п.), а также задача о течении в зоне между крылом и экраном. Отмечено, что особенностью задач о крыле с поддувом на предельно малых расстояниях от экрана является то обстоятельство, что общее асимптотическое решение получено как результат сращивания нескольких локальных задач между собой. Неким эквивалентом внешнего асимптотического раз-
Ив едение: структура, работы
*28
ложения служит задача о течении в канале под крылом, которая, по сути, является также локальной и обладает соответствующими свойствами: решается в растянутых координатах, и более того, “теряет1' при этом одно размерение.
Настоящая работа была выполнена на кафедре Прикладной математики и математического моделирования Санкт-Петербургского государственного морского тех]тческого университета. Все основные асимптотические и аналитические результаты получены автором. Ряд научных статей, содержащих материал, вошедший в диссертацию, написан совместно. При этом в работу включены результаты, полученные автором и при его непосредственном участии. Основные числовые расчеты, которые вошли в работу, были проведены автором. Расчеты по нелинейной задаче обтекания произвольного глиссирующего контура выполнены под руководством автора С.М. Ше-баловым.
Автор пользуется случаем выразить особую признательность своему учителю д.т.н.. профессору К.В. Рождественскому и д.т.и., профессору А.Ш. Ачкинадзе, которые оказали значительное влияние на формирование его научных взглядов, а также коллективу кафедры Прикладной математики и математического моделирования за участие в обсуждении результатов его работы. Автор также рад возможности в рукописной форме выразить любовь своим родителям, жене, сыну и таксам и благодарность за терпение и поддержку во время работы над диссертацией.
Результаты диссертации по мере получения были доложены на городском семинаре по гидромеханике (С.-Петербург, 1993 и 1994 гг.); на семинарах научно-технического общества им. акад. А.Н. Крылова (С.-Петербург, 1993); на Всесоюзной школе-конференции “Гидродинамика больших скоростей” (Чебоксары, 1988, 199G); на научно-технической конференции “Крыловские чтения11 (С.-Петербург, 1997); на конференции, посвятценно 300-летию Российского флота (С.-Петербург, 1997); на научно-методической конференции “Герценовские чтения'1 (С.-Петербург, 1998); в цикле выступлений, сделанных автором в институтах Сеула, Тэджона и Пусана (Seoul National University, Korean Research Institute of Ships and Ocean Engineering, Pusan National University, Republic of Korea, 1997); на. международных конференциях IV International Symposium on PR ADS’89 (Varna, Bulgaria, 1989); “Асимптотические методы в механике - Asymptotics in Mechanics (AiM)” (С.-Петербург, 1994 и 1996); 25-th & 27-th Israel Conference on Mechanical