Устойчивость упругих тел из физически нелинейных материалов

2
Содержание
ВВЕДЕНИЕ.........................................................4
I. КОНЕЧНОЕ ДЕФОРМИРОВАНИЕ УПРУГИХ ТЕЛ ИЗ ФИЗИЧЕСКИ НЕЛИНЕЙНЫХ МАТЕРИАЛОВ...........................................11
1.1 Конечное деформирование упругих тел.......................11
1.2 Семейство физически нелинейных материалов.................13
1.3 Универсальные решения для физически нелинейных материалов 15
1.3.1 Конечное деформирование цилиндрических тел............15
1.3.2 Чистый изгиб прямоугольного бруса.....................23
1.3.3 Чистый изгиб кривого бруса............................30
1.3.4 Конечное деформирование полой толстостенной сферы.....33
1.4 Моделирование конечных упругопластических деформаций в
УСЛОВИЯХ АКТИВНОГО НАГРУЖЕНИЯ.................................37
II. УСТОЙЧИВОСТЬ НЕЛИНЕЙНО-УПРУГИХ ТЕЛ..........................38
2.1 УСТОЙЧИВОСТЬ НЕЛИНЕЙНО-УПРУГИХ ТЕЛ........................38
2.2 Алгоритм численного исследования задач устойчивости.......40
2.3 ЭЛЛИПТИЧ! ЮСТЬ СУЩЕСТВЕН! Ю НРЛИИЕЙНОГО МАТЕРИАЛА.........42
2.4 Устойчивость прямоугольной полосы.........................44
2.4.1 Деформирование и устойчивость бесконечного бруса прямоугольного поперечного сечения......................................44
2.4.2 Устойчивость толстой упругой плиты при комбинированном нагружении...............................................49
2.5 УСТОЙЧИВОСТЬ УПРУГОГО КОЛЬЦА ИЗ ФИЗИЧЕСКИ НЕЛИНЕЙНОГО МАТЕРИАЛА ...........................................................56
2.6 Устойчивость нелинейно-упругого цилиндра..................62
2.6.1 Осевое сжатие.........................................62
2.6.2 Комбинированное нагружение............................67
ЗАКЛЮЧЕНИЕ.......................................................72
з
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ
ЛИТЕРАТУРЫ
75
4
ВВЕДЕНИЕ
Механика твердого деформируемого тела занимает одно из видных мест в естествознании. Развиваясь вместе с научно-техническим прогрессом, эта наука позволяет решать всё более широкий спектр проблем, возникающих перед человечеством на пути познания природы.
Развитие механики деформируемого твёрдого тела происходило по пути от простого к сложному. Изучению одномерных конструкций были посвящены груды выдающихся учёных Р. Гука, Л. Эйлера.
С развитием науки и технического прогресса были полущены результаты, описывающие поведение при деформировании тел, допускающих применение двумерных моделей - пластин и оболочек. Начиная с трудов Пуассона и Кирх-гоффа, эта теория развивается и по сей день вследствие её большого практического значения.
Дальнейшее развитие науки пошло в направлении изучения новых материалов, всё шире применяемых в технике, в связи с чем возникла необходимость развития теории конечного деформирования и устойчивости тел и конструкций, имеющих сопоставимые размеры по всем направлениям.
Наряду с изучением вопросов деформирования особого внимания заслуживают аспекты применения теории устойчивости, являющегося одной из актуальных проблем естествознания. Основные концептуальные предпосылки теории устойчивости были впервые предложены Л. Эйлером применительно к сжатому призматическому стержню, рассматриваемому в рамках теории изгиба балки. С этого момента теория устойчивости как равновесия, так и движения развивалась трудами многих выдающихся учёных. Теория устойчивости равновесия тел и конструкций хорошо развита для случая тонких и тонкостенных упругих конструкций - стержней, пластинок и оболочек, с использованием приближенных одномерных и двумерных математических моделей деформируе-
5
мых сред [28]. Вопросы теории устойчивости трёхмерных деформируемых сред нашли отражение в ряде монографий [I, 7, 30, 31, 53, 55] и значительном количестве журнальных публикаций. Весомый вклад в формирование теории устойчивости нелинейно-упругих тел и в изучение их поведения внесли отечественные учёные B.JT. Бидсрман, В.В. Болотин, И.И. Ворович, А.Н. Гузь, Л.М. Зубов, A.A. Зеленин, В.Д. Клюшников, А.И. Лурье, В.В. Новожилов, А.Н. Рудев. За рубежом эти проблемы изучали Дж. Адкинс, М. Био, 3. Весоловский, А. Грин, Л. Зи, Р. Кнопс, Дж. К. Ноулз, Р. Огден, К. Трусделл, Р. Хилл, Е. Штернберг, Дж. Эриксен и другие.
Широкое использование техники наложения малой деформации на конечную [53] при исследовании задач устойчивости в последних работах [2, 9, 19, 34-46] свидетельствует о наличии достаточно разработанного математического аппарата. Физическая и геометрическая нелинейность краевых задач статики приводит к спектральной задаче с нелинейным вхождением спектральных параметров, роль которых играют внешние нагрузки или параметры деформации основного деформированного состояния.
Ряд конкретных задач статической устойчивости в малом трёхмерных упругих тел исследован в работах [41, 42, 45, 46]. В качестве моделей изотропного материала использованы модель неогуковского материала при исследовании упругого цилиндра при кручении и сжатии [41], материала Бартенева-Хазановича в задаче о бифуркации равновесия круглой плиты с незакреплённым краем, полулинейного материала при исследовании устойчивости упругого цилиндра с дисклинацией [34-36].
В задаче об устойчивости толстой плиты из эластичного материала [45] используются так называемые однородные решения линеаризованных уравнений равновесия. Для частного случая - равновесия круглой плиты с незакреплённым краем, обнаружено явление локализации деформации вблизи боковой поверхности при потере устойчивости. Кроме изгибной, выявлена крутильная форма потери устойчивости в задаче о бифуркации равновесия упругого цилиндра, сжатого по боковой поверхности «мёртвой» нагрузкой.
6
Вопросы устойчивости и за критического повеления прямоугольной толстой плиты рассматривались также [4, 9], где с помощью принципа виртуальной работы исследовалось влияние способов предварительного нагружения (растяжение и простой сдвиг, осложнённый равномерно распределённым нормальным давлением по «неосновным» поверхностям) на бифуркацию равновесия и формы потери устойчивости.
Исследование таких свойств сжимаемых и несжимаемых материалов, как выполнение условий Адамара [53], сильной и ординарной эллиптичности, занимает особое место в механике сплошной среды. В [44] найдены относительно простые критерии выполнимости перечисленных условий. В [33] также рассмотрено выполнение условий дополнительности для краевых задач статики нелинейно-упругих тел, и доказана эквивалентность дополнительности требованию устойчивости состояния однородной деформации нелинейно-упругого полупространства.
Вопросы классификации нежимаемых материалов исследовались в [45], где классификационный признак определён на основе особенностей потери устойчивости сжатого прямоугольного бруса, поведение которого оказалось качественно зависимым от принадлежности к одному из трёх классов материалов. Для первого класса материалов бифуркация равновесия сколь угодно толстого бруса происходит при конечном значении критической деформации, для второго наблюдается феномен неограниченного возрастания критической деформации с ростом относительной толщины бруса, для третьего класса материалов характерно существование предельной толщины, при превышении которой бифуркация равновесия невозможна.
Исследование особенностей бифуркации равновесия упругих тел, обусловленных внутренними напряжениями, содержится в работе [19], где установлено, в частности, дестабилизирующее влияние напряжений от винтовой дислокации на потерю устойчивости кругового цилиндра при осевом сжатии.
Если определение критических параметров деформации и нагружения хорошо представлено в литературе особенно для случаев обычного, некомби-
7
нированного нагружения, то закритическому поведению уделено не так много внимания в силу достаточной аналитической и численной сложности этой проблемы. Одни из первых результатов, описывающих поведение деформируемых тел после потери устойчивости в рамках пространственной теории упругости, получены [34-36], где обнаружены качественные отличия от закритического поведения тонкостенных конструкций [28]. В рамках этих исследований [34-36] получено решение задач о закритическом поведении толстостенных тел - сферы и цилиндра, под действием внешнего гидростатического давления, а также упругого цилиндра с клиновой дисклинацией. Определено также число ответвляющихся решений, и получено их асимптотическое представление при нагрузках, близких к критическим [34-36].
Несмотря на широту спектра охваченных проблем нелинейно-упругой устойчивости существует потребность в углубленном изучении поведения тел из физически нелинейных материалов в рамках теории конечного деформирования. В связи с этим настоящее исследование посвящено актуальной проблеме изучения поведения трёхмерных тел из физически нелинейных материалов в условиях больших деформаций. Основное внимание уделено вопросам устойчивости упругих тел, в том числе случаю комбинированного нагружения системой нагрузок.
В соответствии с логикой исследования материал диссертации разделен на введение, две главы основного содержания, заключение а также приложения с материалами, не вошедшими в главы основного содержания, вспомогательными результатами и выкладками.
В первой главе «КОНЕЧНОЕ ДЕФОРМИРОВАНИЕ УПРУГИХ ТЕЛ ИЗ ФИЗИЧЕСКИ НЕЛИНЕЙНЫХ МАТЕРИАЛОВ» для ряда известных в нелинейной теории упругости задач изучены особенности деформирования упругих тел из физически нелинейных материалов рассматриваемого семейства, особое внимание уделено модели материала, пригодной для описания конечного жёсткопластического деформирования. Исследование этой модели показало, что поведение характерных зависимостей так называемых универсальных решений
8
действительно похоже на идеальнопластическое деформирование. При этом основополагающих предположений теории пластичности о малости деформаций не использовалось, что позволяет предложить модель для исследования активного нагружения упруго-пластических тел.
Обнаружен феномен утраты поведения, подобного идеальнопластическому, при больших деформациях, вызванных комбинированным нагружением толстостенного полого кругового цилиндра-растяжением/сжатием и кручением.
Численные расчёты задач о деформировании проведены с использованием авторских модулей и прикладных программ численного интегрирования, решения нелинейных уравнений и систем, решения начальных задач для дифференциальных уравнений и их систем.
Во второй главе «УСТОЙЧИВОСТЬ НЕЛИНЕЙНО-УПРУГИХ ТЕЛ» исследованы особенности устойчивости упругих тел из рассматриваемых физически нелинейных материалов, специальное внимание также уделено модели материала, способной описывать жёсткопластическое поведение тел. Установлены как известные в литературе эффекты, связываемые с физической и геометрической нелинейностью, так и новые, имеющие самостоятельное теоретическое и практическое значение.
В рамках диссертационного исследования изучены также следующие задачи об устойчивости упругих тел - бесконечного бруса прямоугольного поперечного сечения, толстой упругой плиты при комбинированном нагружении системой двух нагрузок, упругого кольца, полого упругого цилиндра в условиях осевого сжатия, полого упругого цилиндра в условиях осевого сжатия и радиального обжатия. Как и при исследовании конечного деформирования, построены зависимости напряжений и параметров деформации от нагрузок, параметра нелинейности материала и геометрических параметров упругого тела.
Численная реализация алгоритма исследования устойчивости упругих тел позволила определить зависимости критических нагрузок от 1еометрических параметров и параметра нелинейности материала и в задачах о комбинированном нагружении построить границы области устойчивости (кривые взаимодейсгвия).
9
Установлено, что для «квазижёсткопластического» материала существует предельное значение критической деформации и критического давления при возрастании толщины бесконечного бруса прямоугольного поперечного сечения.
Существование предельной толщины, при превышении которой тело не теряет устойчивости при сколь угодно большом давлении, получено в результате численного эксперимента для задачи об обжатии упругого кольца.
Полученные границы устойчивости в задачах о комбинированном нагружении свидетельствуют об утрате свойств выпуклости области устойчивости для некоторых из изученного семейства физически нелинейных материалов. Так, при осевом сжатии и радиальном обжатии полого цилиндра при некоторых значениях параметра нелинейности класса материалов свойство выпуклости области устойчивости утрачивается, и граница устойчивости имеет характерный участок вогнутости. Для задачи о комбинированном нагружении толстой упругой плиты системой двух нагрузок участков вогнутости области устойчивости не обнаружено. Для симметричной плиты область устойчивости также оказалась симметричной относительно перестановки координатных осей, и её форма напоминает фрагмент повёрнутого на +45 градусов вытянутого и несколько смещённого эллипса. Отмечается наличие эффекта стабилизации упругого тела при взаимодействии нагрузок по сравнению с воздействием только одной из них.
Вывод уравнений нейтрального равновесия осуществлён с помощью средств компьютерной алгебры. Численные расчёты решений задач устойчивости проведены с использованием ангорских программ, реализующих адаптацию метода стрельбы.
В заключении приведен перечень основных результатов, полученных в диссертационном исследовании. Сделан вывод о существенном влиянии нелинейности материала на характеристики деформирования и устойчивости упругих тел.