Термокапиллярные течения в пограничных и тонких слоях

СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ......................................................4
ГЛАВА 1. ПОГРАНИЧНЫЕ СЛОИ ВБЛИЗИ СВОБОДНЫХ ГРАНИЦ.......................................................19
1.1. Постановка задачи.......................................19
1.2. Взаимодействие равномерного потока и поверхностного напряжения...................................................21
1.3. Взаимодействие поверхностного напряжения и градиента давления.....................................................28
1.4. Возникновение противотока...............................30
1.5. Пограничные слои, сопрягающиеся с покоем................33
1.6. Пограничные слои в областях, имеющих угловую точку......35
ГЛАВА 2. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ПОГРАНИЧНОГО
СЛОЯ В НЕСТАНДАРТНЫХ СИТУАЦИЯХ...............................41
2.1. Задача перехода пограничного слоя Марангони в слой Прандтля.. 41
2.2. Задача перехода пограничного слоя Прандтля в слой Марангони.. 66
2.3. Пограничный слой Прандтля вблизи точки излома границы 82
2.4. Задача продолжения пограничного слоя Прандтля при возрастании давления вниз по потоку..........................89
2.5. Развитие пограничного слоя Марангони из точки торможения 99
ГЛАВА 3. ДИНАМИКА ЛОКАЛЬНО НАГРЕВАЕМЫХ ЖИДКИХ ПЛЁНОК......................................................116
3.1. Постановка задачи......................................116
3.2. Плоскопараллельные установившиеся течения пленок с постоянной вязкостью........................................126
3.3. Трехмерные течения пленок с переменной вязкостью.......136
ГЛАВА 4. ПОГРАНИЧНЫЕ СЛОИ В ЗАДАЧАХ МИКРОКОНВЕКЦИИ............................................ 151
4.1. Постановка задачи......................................151
4.2. Пограничные слои при установившемся движении...........154
4.3. Автомодельные решения. Формулы для массообмена.........160
2
4.4. Начальные асимптотики ЗАКЛЮЧЕНИЕ ЛИТЕРАТУРА...
ВВЕДЕНИЕ
Изучение термокапиллярных течений жидкости получило в последнее время интенсивное развитие прежде всего в связи с активным изучением космического пространства и с развитием новых технологий. Это получение кристаллов методом бестигельной зонной плавки, лазерная обработка материалов с плавлением поверхностного слоя для его легирования, охлаждение прецизионных устройств отекающими жидкими слоями, очистка расплавов от пузырей и включений, эпитаксия пленок из растворов-расплавов или газовой среды и др. Экспериментальные исследования в космосе весьма дороги, их физическое моделирование на Земле часто сложно технически. В связи с этим возникает проблема математического моделирования движения жидкости в условиях действия массовых и поверхностных сил а также тепловых нагрузках.
Во многих жидких средах диффузионные коэффициенты малы, что приводит к формированию концентрационных, тепловых и динамических пограничных слоев вблизи поверхностей раздела. Диссипативные нелинейные тонкие слои у разделяющих поверхностей до сих пор изучены не в полной мере. Такие задачи, как течение вблизи линии контакта трех фаз, термокапиллярные деформации поверхностей пленок, конвекция при пониженном тяготении или в микромасштабах еще не нашли своего окончательного решения. Недостаточно изучены также задачи теории пограничного слоя при таких осложняющих факторах, как неблагоприятный продольный градиент давления, наличие точек остановки внешнего основного потока, наличие в области течения угловых точек.
4
Диссертация посвящена решению крупной проблеме механики жидкости и газа по изучению движения жидкости в пограничных и тонких слоях под воздействием термокапиллярных сил, изучению влияния усложняющих эффектов, таких как непостоянство материальных постоянных и наличие углов у границ областей течений.
Целью работы является исследование влияния термокапиллярных эффектов на тепло- и массоперенос и конвективное движение жидкой фазы с учетом малости диффузионных коэффициентов, а также исследование движения жидкости на основе изучения нелинейных свойств пограничных слоев вблизи свободных границ путем использования аналитических, асимтотических. теоретико-групповых и численных методов. В качестве математической модели используются уравнения вязкой теплопроводной жидкости с граничными условиями, учитывающими термодинамику поверхностей раздела.
В настоящее время пограничные слои вблизи свободных границ все более привлекают внимание исследователей. Изучение термокапиллярных эффектов, возникающих при неравномерном нагреве свободной поверхности с большими градиентами температур приводит к необходимости исследовать новые свойства пограничных слоев Марангони. Наиболее интенсивно слои Марангони стали изучаться примерно 20 лет назад, хотя отдельные работы появлялись и раньше. По-видимому, в работе В.Я. Шкадова [93) впервые изучено автомодельное решение в пограничном слое вблизи плоской границы. Правильная постановка граничных условий на неизотермической поверхности раздела дана Ь.С. ПароШ;апо [113, 114], а в нестационарном сну чае
5
- В.В. Пухначевым [60]. Отметим работы L.G. Napolitano, C. Golia,
G. Russo [115]-[118] по постановке основных граничных задач для пограничного слоя Марангонии и изучению инвариантных решений. Часть исследований по пограничным слоям Марангони отражена в обзорной статье [96], содержащей также новые результаты. Интерес к задачам с вязкими слоями Марангони связан, в частности, с исследованиями термокапиллярной конвекцией в невесомости, в поле тяжести в случае малой диссипации, а также с расчетами течений в тонких слоях, ограниченных твердой и свободной поверхностями. Большой вклад в решение проблем течений жидкости со свободными границами при малых диффузионных коэффициентов внесли работы таких ученых как В.И. Юдович, А.Г. Петров. В.И. Полежаев, В.Л. Батищев. Л.С. Срубщик, Ю.П. Гупало. О.В. Воинов, В.В. Пухначев. Ю.С. Рязанцев, Ю.В. Саночкин, Ю.А. Сергеев. Выдающийся вклад в развитие математических методов в теории пограничного слоя был сделан в работах O.A. Олейник. Важные исследования по изучению краевых задач теории пограничного слоя выполнили В.Н. Самохин.
H.В. Хуснутдинова, К.Б. Павлов, Н.С. Пискунов, Д.А. Силаев, А.И. Суслов, Т.Д. Джураев, K. Nickel, P.C. Fife, S.A.S. Messiha и многие другие. Проблемой изучения пограничных слоев вблизи поверхностей разрыва занимались такие ученые как Л.В. Овсянников, vT.А. Чудов,
В.П. Стулов, A.B. Кажихов, В.А. Солонников, А.Г. Петров, М.А. Гольдштик, Ф.Л. Черноусько, С.Н. Антонцев, В.Н. Монахов. Вопросы устойчивости термокапиллярных течений и расчеты ответвляющихся режимов исследовались В.К. Андреевым, В.А. Батищевым, Р.В. Бирихом,
6
Г.З. Гершуни, Е.М. Жуховицким и многими другими.
Эффекты Марангони, проявляющиеся при взаимодействии ненулевого градиента температуры на поверхность капиллярной жидкости представляют значительный интерес, однако все еще недостаточно хорошо изучены. В реальных жидкостях с малыми диссипативными коэффициентами эти эффекты ярко проявляются в тонких слоях жидкости и в условиях, близких к невесомости. Наиболее простым, но достаточно распространенным случаем таких течений являются тонкие стекающие под действием гравитации пленки жидкости. Поверхностные силы в таком течении могут доминировать над объемными силами или быть сравнимыми с ними. Одно из обнаруженных явлений что формирование пространственной самоорганизующейся структуры в тонкой движущейся под действием гравитации пленке жидкости при ее локальном нагреве со стороны подложки. По-видимому, впервые формирование структур было замечено в экспериментальном исследовании [103], выполненом O.A. Кабовым и др. Было обнаружено, что локальный нагрев приводит к местному существенному утолщению пленки вблизи передней кромки нагревателя (жидкого вала). При определенной пороговой плотности теплового потока течение разделяется на вертикальные струи, следующие с определенной длиной волны и тонкую плёнку между ними. Теория пленочных течений жидкости в настоящее время быстро развивается. Имеется большое число работ, в которых при различных предположениях выведены уравнения движения. Эта множественность подходов объясняется многоплановостью рассматриваемого явления, его зависимостью от большого числа
7
факторов. Преобладание тех или других из них приводит к качественным отличиям в характере движения, что, естественно, требует различных подходов при описании. Заметный вклад в развитие данной теории внесли работы В.Е. Накорякова, С.В. Алексеенко, В.В. Пухначева, O.A. Кабова.
С.В. Митлина, В.М. Старова, О.Ю. Цвелодуба, Г.И. Сивашинского, С. Nakaya. J.A. Moriarty, A. Oron, A. Sharma, J.C. Legros, S.W. Joo, S.H. Davis и многих других. Можно отметить работу (26], в которой теория пленочных движений распространена на случай неизотермических пленок с учетом термокапиллярных сил.
Если плотность жидкости меняется в зависимости от температуры или концентрации примеси, то при их неоднородном распределении возникает движение жидкости, называемое свободной или (чаще в иностранной литературе) естественной конвекцией. Свободная конвекция является хорошо изученной областью гидродинамики. Наиболее полные исследования по свободной конвекции приведены в монографиях [14, 15. 19]. Подробное изучение применения методов пограничного слоя в задачах со свободной конвекцией дано в монографиях (44, 45]. Однако классическая модель конвекции Обербека-Буссинеска не применима в условиях малой тяжести или в микромасштабах. В работах В.В. Пухначева [61], a. также P.S. Perera к R.F. Sekerka (124] разработана замещающая классическую модель микроконвекции. В работах О.Н. Гончаровой (16, 17] проведен сравнительный анализ результатов проведенных численных расчетов режимов конвекции по обеим моделям, выявлены качественные отличия. Исследования тепло-и массообмена при свободной конвекции проводились также О.С.
8
Федынеким, Я.Б. Зельдовичем, A.A. Березовским, О.Г. Мартыненко, Г.Г. Кумсишвили, Е.М. Пузыревым, A.A. Гухманом, а также В. Gebhart, Y. Jaluria, В. Sammakia, E.J. Le Fevre, S. Roy, J.R. Selman и другими учеными.
Диссертация посвящена, изучению движения неизотермической жидкости в пограничных и тонких слоях под действием поверхностных термокапиллярных сил. В первой главе рассмотрено движение жидкости в плоском пограничном слое Маран гон и с неблагоприятным градиентом температуры, индуцирующим термокапиллярную силу, направленную против основного потока жидкости, с которым сопрягается пограничный слой. Представляется естественным нахождение такого соотношения параметров задачи, при котором свободная граница неподвижна. Тогда, изменяя это сотношение в ту или в другую сторону, можно ожидать как наличия возвратных течений, так и обычных решений с однонаправленной продольной скоростью. Подробно исследованы случаи, когда основной поток имеет постоянную скорость или характеризуется постоянным градиентом давления (случай переменного градиента давления отличается от последнего не принципиально).
В первом случае (U = const) равновесие на свободной поверхности достигается при касательном напряжении, убывающем обратно пропорционально корню квадратному из расстояния вниз но потоку, причем должно быть U = U+ (некоторая постоянная, определяемая по данным здачи). При каждом U > U„ строятся два решения, одно из которых физически нереализуемо, а другое не имеет противотоков. Установленные дополнительные свойства монотонности решений задачи
9
Коши для уравнения Блазиуса показывают, что при II < /У* у
рассматриваемой задачи мет автомодельных решений.
Иная ситуация возникает, когда в основном потоке продольный градиент давления равен (отрицательной) постоянной —Р. Здесь также вычисляется значение Р = Р0, при котором на свободной границе наблюдается равновесие. Но здесь решения, имеющие физический смысл, существуют как при Р > Р0, так и при Р < Ра. В последнем случае область течения содержит зону противотока, которая захватывает тем большую часть всего пограничного слоя, чем меньше Р.
Рассмотрена ситуация, когда пограничный слой Марангони сопрятется с состоянием покоя. Построено точное решение, удовлетворяющее условиям сопряжения с покоем и наличия некоторого тангенциального напряжения на поверхности. Замечено, что при сопряжении с покоем можно строить решения, имеющие зоны противотока по чисто динамическим причинам, а не в результате конкуренции двух физических факторов, как в рассмотреном выше случае.
Случай постоянных скорости внешнего течения и касательного напряжения характеризуется тем, что при удалении от начала координат вниз по потоку обязательно возникает область возвратных течений. Выведена приближенная формула для расчета длины участка, на котором тормозящая поверхностная сила еще не приводит к нарушению однонаправленности течения.
Область движения может иметь пересекающиеся под некоторым углом твердые стенки и свободные границы, либо твердые стенки могут иметь точки излома. Тогда при решении задачи методом выделения
10
пограничных слоев возникает проблема возможности прохождения пограничного слоя через угловую точку. Выделена асимптотическая (при больших числах Рейнольдса) форма уравнений Навье- Стокса, пригодная для описания течений вблизи угла. Показано, что преобразованием координат полученная система сводится к классическому уравнению Мизеса теории пограничного слоя. Рассмотрены автомодельные решения. Отмечено, что в случае тупых углов имеется более широкие возможности построения решений, имеющих физический смысл.
Во второй главе изучены математические свойства краевых задач теории пограничного слоя в ситуациях, часто возникающих (см., например. |34. 96]) при исследовании задач динамики жидкости методами выделения у границ области движения пограничных слоев, таких как наличие угловых точек, неблагоприятных градиентов давления, развитие слоев из точек торможения. В этих нестандартных для теории пограничного слоя ситуациях возникающие задачи не изучены с достаточной полнотой до настоящего времени.
При течении в угле возможны следующие режимы движения: случай натекания жидкости на твердую стенку со стороны свободной поверхности (переход пограничного слоя Марангони в слой Прандтля), случай обратного направления движения и случай движения жидкости вблизи излома твердой стенки. Поставлены граничные задачи, соответствующие данным ситуациям. Точка контакта при этом соответствует точке смены типа граничного условия для уравнения Мизеса: на участке границы, соответствующему свободной поверхности в физическом пронстранстве задаются условия второго рода, и на участке, соответствующему твердой
11
стенке - первого рода. Эти задачи математически весьма различны и имеют особенности, обусловленные их физическим смыслом: точку разрыва продольного градиента, давления, в которой к тому же имеет место остановка внешнего потока. Во всех трех вариантах задачи установлены условия существования обобщенного решения, а в случае перехода слоя Марангони в слой Прандтля найден также класс данных, правда, довольно узкий, при которых решение становится классическим. Показана регулярность обобщенных решений всюду в области движения, за исключением, быть может, одной линии. Исследовано асимптотическое поведение решений при удалении от границ.
Рассмотрена классическая задача продолжения пограничного слоя Прандтля в случае возрастания давления вниз по потоку. Известно [50]. что при этом пограничный слой непродолжим дальше точки остановки внешнего потока. Известно также [89]. что имеется некоторый класс задаваемых начальных профилей скорости, с которыми решение задачи разрушится, еще не достигнув этой точки. Здесь построен другой класс начальных профилей скорости, с которыми пограничный слой можно продолжить вплоть до точки остановки.
Если распределение температуры вдоль свободной границы имеет максимум, то пограничный слой Марангони развивается из точки остановки. Аналогичная задача для пограничного слоя Прандтля изучена в (51), где продолжимость слоя как угодно далеко вниз по потоку установлена в случае не возрастания давления. Однако в пограничных слоях Марангони это условие не является необходимым.
Получены условия существования "в целомпи единственности
12
классического решения рассматриваемой задачи, если градиент давления отрицателен в точке торможения. При этом во внутренних точках интервала решения (вне некоторой окрестности точки торможения) градиент давления может иметь произвольный знак, а скорость внешнего потока, с которым сопрягается пограничный слой, может равняться нулю на некоторых промежутках интервала решения. В более общем случае, когда градиент давления может быть нулевым в некоторой окрестности точки торможения, установлено существование обобщенного решения этой задачи.
В третьей главе рассмотрено движение жидкой пленки, стекающей с наклоненной к горизонту плоской подложки и подвергаемой местному тепловому воздействию. Задача решается в приближении гонкого слоя. Традиционный подход для описания движения тонких пленок жидкости состоит в упрощении уравнений импульсов и их интегрирования поперек потока, что позволяет свести задачу к одному уравнению для положения свободной поверхности. Б.К.Копбосынов и В.В.Пухначев |2С) распространили этот подход на нсизотермические пленки с учетом термокапиллярных сил. Однако в проводимых в последнее время (О.А.Кабовым и соавторами [104, 106)) экспериментах по локальным нагревам пленок было установлено появление в жидкости больших (до 15 град/мм) градиентов температуры. Это приводит к значительным (до 50 %) отклонениям от среднего значения динамического коэффициента вязкости. Кроме того, при использовании жидкостей с большими (более 10) значениями числа Прандтля оказывается неоправданным пренебрежение конвективным переносом тепла в пленках по сравнению
13
с кондуктивным, что обычно делается при расчетах в тонких пленках. В итоге оказывается невозможно точно проинтегрировать уравнения импульсов и теплопереноса поперек потока.
Здесь построена математическая модель движения пленки, сводящая задачу к решению системы трех уравнений для определения давления, толщины и температуры (все остальные величины рассчитываются через них по явным формулам), причем две первые переменные не зависят от поперечной координаты. Разработан эффективный итерационный алгоритм численного решения, основанный на сходстве уравнений для плановых переменных (давление и толщина) с системой уравнений Навье-Стокса в переменных вязкость-функция тока. Проведены серии расчетов, в которых в которых варьировались управляющие параметры процесса. Исследованы особенности полей скорости и температуры, формы возникающих на поверхности пленки структур.
В случае плоскопараллельных течений при слабых тепловых воздействиях построены точные решения задачи, удовлетворяющие условиям затухания при удалении от места нагрева. Здесь же рассмотрены движения пленки под воздействием спутного потока маловязкого газа. Проведенный асимптотический анализ такого совместного движения показал, что даже при исчезающе малых значениях динамического коэффициента вязкости может оказывать воздействие, соизмеримое с действием других факторов, таких как термокапиллярный эффект, и может быть причиной движения пленки. Изучено влияние на возникающие поверхностные структуры теплового режима на подложке и на свободной поверхности.
14
В четвертой главе рассмотрена задача о массообмене и свободной конвекции вблизи вертикальной стенки при больших числах Шмидта. Проведен сравнительный анализ интегральных характеристик течения для моделей Обербека — Буссинеска и микроконвекции. Для обеих моделей выведены асимптотические формы задач в установившемся режиме движения и на малых временах от начала процесса. В области движения выделяется диффузионно-динамический слой, в котором существенны вязкие силы и силы плавучести, а динамические силы пренебрежимо малы. Вне этого слоя концентрация примеси неотличима от средней.
Структура поля скоростей во всей области движения зависит от числа Рейнольдса 11е. Если Ле велико, то в области движения выделяется еще один чисто динамический пограничный слой с большей асимтотической толщиной, сопрягающийся на внутренней границе с диффузионно-динамическим слоем, а на внешней — с состоянием покоя. Если Ле мало, то вне диффузионного слоя можно использовать приближение Стокса.
Для обоих способов описания конвекции получены формулы для чисел Нуссельта в зависимости от чисел Рейнольдса, Шмидта и параметра Буссинеска в режиме установления. В случае конвекции эти формулы совпадают с известными, полученными ранее (98) в предположении об интенсивном движении с большими значениями Ле. Проведено исследование массообмена на вертикальной подложке на малых временах от начала процесса. Получены формулы (в случаях конвекции и микроконвекции) для чисел Нуссельта. Обнаружено, что поток массы имеет степенную особенность по времени.
15
Основные результаты, полученные в диссертации.
1. Найдены новые автомодельные режимы течений жидкости в пограничных слоях Марангони. Построены примеры точных решений. Получена формула для расчета длины участка, на котором поток вблизи свободной границы при действующем вдоль неё тормозящем напряжении сохраняет однонаправленность. Установлены дополнительные свойства решений задачи Коши для уравнения Влазиуса.
2. При больших числах Рейнольдса выделена асимтотическая форма уравнений Навье-Стокса для описания движения вблизи угловой точки, являющаяся аналогом системы уравнений Прандтля. Проведен анализ автомодельных режимов течений. Замечено, что случай тупого угла дает значительно более широкие возможности построения решений с понятным физическим смыслом.
3. Изучены математические задачи для пограничных слоев вблизи угловой точки. Рассмотрены три варианта движения: а) жидкость натекает на твердую стенку со стороны свободной поверхности (переход пограничного слоя Марангони в слой Прандтля), б) направление движения противоположное (переход пограничного слоя Прандтля в слой Марангони), в) переход пограничного слоя Прандтля через точку излома твердой границы. Для всех трех случаев установлены условия существования обобщенных решений соответствующих краевых задач, исследованы свойства решений. Для задачи перехода пограничного слоя Марангони в слой Прандтля найдены условия, при которых решение становится классическим.
4. Исследованы граничные задачи для пограничных слоев Прандтля
16