2
Оглавление
Введение.......................................................... 8
1 Обзор темы и основные уравнения................................ 15
1.1 Модель бинарного ионного раствора........................ 15
1.2 Электроконвекция в ионообменных мембранах................ 18
1.3 Капиллярные струи во внешнем электрическом поле .... 30
2 Постановка задачи об электроконвекции и промежуточная асимптотика её решений........................................ 43
2.1 Основные уравнения и характерные значения параметров . . 43
2.2 Одномерное' нестационарное решение на промежуточных
временах................................................. 44
2.3 Численное обоснование промежуточной асимптотики одномерной задачи ................................................ 50
2.4 Приближённое выражение для промежуточной асимптотики
одномерной задачи........................................ 52
3 Переход к электроконвекции на нестационарном этапе развития процесса................................................ 63
3.1 Нестационарная двумерная задача в пределе малого числа
Дебая.................................................... 63
3.2 Линейная устойчивость одномерного нестационарного решения 68
3.2.1 Постановка задачи на устойчивость.................. 69
3.2.2 Решение задачи о распределении пространственного заряда.................................................... 72
3.2.3 Нахождение компонент скорости проскальзывания . . 76
3.2.4 Спектральная устойчивость одномерного решения . . 81
3
4 Устойчивость капиллярной струи в переменном электрическом поле.................................................. 87
4.1 Постановка задачи в осесимметричном случае............. 87
4.1.1 Обезразмори ванне основных уравнений.......... 00
4.1/2 Предел малого числа Дебая....................... 93
4.1.3 Случай высокочастотных колебаний................ 96
V
4.2 Линейная устойчивость одномерного решения.............. 99
4.2.1 Случай колебаний с произвольной частотой........ 99
4.2.2 Случай высокочастотных колебаний................105
4.3 Устойчивость и распад струи в высокочастотном поле .... 106
4.3.1 Режимы устойчивости.......................... 108
4.3.2 Длинноволновая неустойчивость в сильном поле . . . 109
4.3.3 Численный анализ нелинейного каплеобразован и я . . 113
5 Основные результаты и выводы.............................118
Библиографический список......................................120
Приложение А. Декомпозиция двумерных уравнений
Нернста-Планка-Пуассона-Стокса............134
Приложение В. Длинноволновая асимптотика в задаче
об электроконвекции..........................137
Приложение С. Коротковолновая асимптотика в задаче
об электроконвекции..........................142
Приложение В. Устойчивость неосесимметричных
возмущений капиллярной струи.................145
Приложение Е. Квазиодиомерное приближение динамики
капиллярной струи.........................149
4
Список условных обозначений и сокращений
Размерные величины везде помечаются малой верхней тильдой. Соответствующие величины без тильд - их безразмерные значения.
Общие обозначения:
— зарядовые числа положительных и отрицательных ионов,
3*- — плотности токов ионов, Кл М-2С-1,
Й — коэффициенты диффузии ионов, м2с-1,
с* — объёмные концентрации ионов, моль м-3,
Соо — средняя концентрация иоиов в растворе, моль м“3,
Р — постоянная Фарадея, 9.С48 • 104 Кл моль-1,
Я — фундаментальная газовая постоянная, 8.314 Дж К-1моль-1,
Т — абсолютная температура, К,
Ф — электрический потенциал в жидкости, В,
Фе — тепловой потенциал, /т7\Р-1, В,
V — градиент но пространственным переменным, м-1,
и - вектор скорости жидкости, м с-1,
Р — давление в жидкости, Па,
60 — диэлектрическая проницаемость вакуума, 8.854-10-12 Кл В-1м-1.
6 — абсолютная диэлектрическая проницаемость жидкости,
Кл В-1м-1,
к — средняя удельная электрическая проводимость жидкости,
2Р2Йс00Я~1Т~\ Ом-1м-1, р — плотность жидкости, кг м-3,
/7 — динамическая вязкость жидкости, Пас,
I — время, с,
— дебаевская толщина, (бФеС^Я“1)1/2, м,
р — объёмная плотность электрического заряда, с+ — с-,
Ф — функция тока,
Л — коэффициент линейного роста возмущения,
а- — волновое число возмущения,
/\
Я — линейное возмущение некоторой величины Я,
5
Не — вещественная часть комплексной величины,
Хт — мнимая часть комплексной величины,
Обозначения и сокращения к главам 2 и 3:
ВАХ — вольтамперная характеристика,
ДИС — двойной ионный слой.
РПЗ — расширенная область пространственного заряда.
ДС — диффузионный слой,
ЭНС — электроиейтральный слой,
р — концентрация положительных ионов на поверхности мембраны,
моль м“3.
—2^—1
j — плотность тока положительных ионов через катод, Кл м“2с
ЗНт — предельное значение плотности тока, Кл м“2с~2,
АУ — полная разность потенциалов между мембранами, В,
ДФ — эффективная разность потенциалов между мембранами,
АУ В,
— координаты вдоль поверхности мембраны, м, у — координата поперёк мембраны, м,
Ь — расстояние между мембранами, м,
5 — толщина диффузионного слоя, м,
Ут — граница РПЗ, м,
І5 — характерное время установления одномерного процесса, с,
ао — волновое число возмущения, м“1,
І0 — характерное время, с,
/о — характерный масштаб вдоль мембраны, м,
О0 — продольная характерная скорость, м с'1,
Уо — поперечная характерная скорость, м с-1,
Ро — характерное давление, Па,
АІ — время пребывания возмущения в неустойчивой области, с,
т — время, Щ\
£ — координата вдоль мембраны, х1^1}
г] — координата поперёк мембраны, у5^,
С — вспомогательная переменная, а(г}т — 77),
б
ти - граница РПЗ, ут6 1,
є — нестационарное число Дебая, А^-1,
V — число Дебая, АДГ1,
^ — безразмерная плотность тока, іЦ/^бсоо)-1,
</ — плотность тока, ;/<5(.РОс^)~1,
,Іцт — предельное значение плотности тока, 4тг-1/2,
I/ — продольная компонента скорости,
V — поперечная компонента скорости,
ит — продольная компонента скорости проскальзывания,
Ут — поперечная компонента скорости проскальзывания.
К — сумма ионных концентраций (локальная проводимость), с+ 4- с-,
І*1 — нормированный на є эффективный электрический потенциал,
АЕ — нормированная на є эффективная разность потенциалов,
Е — минус напряжённость электрического поля, сЇФ/йу или ёФ/(1г),
Н — нормированная на є величина Е, (1Р/Ф],
Г — новая неизвестная, К — Н2/2,
х — параметр, описывающий свойства жидкости. сФ2Д-1/)-1.
Обозначения к главе 4:
Е — напряжённость электрического поля, —УФ, В м“1,
у — радиальная координата, м,
х — координата вдоль оси невозмущённой струи, м,
Фд — электрический потенциал в газе, В,
Фоо — электрический потенциал вдали от жидкости, —2х£,00со8<1>£, В, Фс — характерный “капиллярный”потенциал, ('7То)1/2€~1/2, В,
е9 — абсолютная диэлектрическая проницаемость газа, Кл В~Чг\
7 — коэффициент поверхностного натяжения, Па м,
г0 — радиус иевозмущёнпой струи, м,
£о — характерное время, с,
&о — характерная скорос ть, м с“1,
Р0 — характерное давление, Па,
Н — удвоенная средняя кривизна поверхности раздела фаз, м-1,
Т* — гидродинамический тензор за вычетом давления, Па,
7
Те — тензор Максвелла-Вагнера, Па,
5 - единичный касательный вектор,
'д - единичный касательный вектор,
п — единичный нормальный вектор,
О — угловая координата,
5 — координата вдоль 5, м,
п — координата вдоль п, м,
/г — поверхность раздела в цилиндрических координатах, м,
й — осевая компонента скорости жидкости, м с-1,
V — радигшьная компонента скорос ти жидкости, м с-1,
Ёоо - напряжённость электрического поля вдали от струи, В м-1, й — круговая частота колебаний ноля, рад с-1,
їе — электрическое время релаксации, екг1 = А^(21))-1, с,
а — поверхностная плотность электрического заряда, Iі / рйп,
К л м-2
є — число Дебая. Л^1,
Есо — напряжённость поля вдали от струи, основанная на Фс,
Ею — напряжённость поля вдали от струи, основанная на Фе,
Во - электрическое число Бойда, Ф2Ф“:2,
Ре — число Пекле, и0тоВ-\
Яе — число Рейнольдса, бо^оЭА“1»
5 — отношение диэлектрических проницаемостей фаз, б^еГ1,
іл) — быстрая частота колебаний поля,
— модифицированная частота колебаний поля, йЛе = є2а;Ре/2, Рс — электрическое давление,
Бе, Те — электрические сдвиги,
/ДА, а) — дисперсионное соотношение,
ат — наиболее опасное волновое число возмущения,
аг — правая граница длинноволновой области неустоЙчивости,
Аш — наиболее опасный коэффициент роста, А(ат),
(Я) — среднее по быстрому времени г = и і некоторой величины Я,
1 Ґ*
*1 Кс1т'
Я — колебательная часть некоторой величины II.
8
ВВЕДЕНИЕ
There ’s a plenty of worn at the bottom: an invitation to enter a new field of physics
R. Feynman1
Основные особенности течения жидкости существенным образом зависят от характерных линейных масштабов, в которых это течение рассматривается. В обычных для человека масштабах порядка метра и больших поверхностные силы в жидкости оюизываются малыми по сравнению с объёмными. В этом случае наличие внешних электрических полей слабо отражается на динамике хорошо проводящих жидкостей в целом, так как электрогидродпиамические эффекты в таких средах возникают фактически только благодаря дополнительным электрическим напряжениям на границе раздела фаз в силу эффектов концентрационной поляризации. В этом случае электрические напряжения балансируются вязкими и имеют характер поверхностных.
В важных для современных приложений микромасштабах поверхностные силы в жидкой фазе становятся сравнимыми по величине с объёмными. Это влечёт за собой, в частности, практическую невозможность использования обычных механических принципов прокачки жидкости созданием градиента давления. На первый план выходят способы управления течением жидкости, в которых главную роль играют различные электрические эффекты. Альтернатив им в настоящее время не существует.
На рис. 0.1 изображена шкала характерных линейных размеров некоторых микро— и нанообъектов.
Актуальность темы. Первоначально исследования течений жидкости в микромасштабах представляли лишь чисто теоретический интерес.
1иТ;ш внизу много места: приглашение в новую физику” — выступление Ричарда Фейнмана на встрече Американское Физического Общества (APS meeting, 1959) о методах, которые впоследствии будут названы микро- п нанотехнологиями.
9
наноустройства микроустройства
_Хч_
Н---------1---------1--------1-------1--------1-------
10-1 10-3 10-2 10-1 ! 10 102 103 10-1
мкм
молекулы частицы дыма
V
вирусы кровяные капилляры
бактерии
Рис. 0.1. Характерные линейные размеры неко торых мнкро— и нанообъектов Ц, 2\
Современный интерес к электрогидродинамике и, в частности, к микротс-чениям, движимым внешним электрическим полем, связан, прежде всего, с конкретными прикладными задачами и требованием времени — постоянной тенденцией к миниатюризации приборов и устройств. Кроме практического имеется также и чисто теоретический интерес к микротеченггям в условиях концентрационной поляризации, которые могут порождать когерентные структуры, а также демонстрировать хаотическую динамику в этих масштабах.
В настоящее время имеется огромное число как классических, так и совершенно новых теоретических и прикладных задач, требующих описания механизмов поведения жидкости под действием различных электрических эффектов. Каждая из них оказывается на стыке нескольких наук: электродинамики, теории гидродинамической устойчивости, электрохимии и, как следствие, довольно сложна по своей математической постановке. Для достаточно полного исследования этих задач требуется весь современный аппарат как механики, так и математики.
К настоящему времени на стыке электрофизики и гидродинамики сформировалась отдельная динамично развивающаяся дисциплина — элек-трогидродинамика, круг приложений которой огромен и продолжает расширяться. Задачи электрогидродинамики мнкро— и ианомасштабов привлекают большое внимание исследователей, главным образом, в связи с широкой областью их применения в нано—, биотехнологиях и медицине.
10
Литература, посвященная различным эффектам электрогидродипа-мики и их приложениям, насчитывает сотни статей, содержащих как экспериментальные данные, так и теоретические исследования (обзор многочисленных современных приложений можно найти в [1, 3]). Однако, несмотря на обилие работ, внедрение как классических, так и новых приложений электрогидродинамики тормозится недостатком знаний о физических механизмах динамики жидкости во внешнем электрическом поле. Новыми являются задачи электрогидродинамики малых масштабов. В этих задачах доминирующими становятся электрокинетические эффекты и эффекты концентрационной поляризации.
В настоящей работе рассматриваются две задачи современной электрогидродинамики малых масштабов: 1) задача об электроконвекции в ионообменных мембранах; 2) задача, о динамике капиллярной струн во внешнем переменном электрическом поле. Предлагаемые модели, во-первых, дадут качественную картину механизмов потери гидродинамической устойчивости в рассматриваемых задачах и, во-вторых, позволят теоретически получить численные значения параметров устойчивости, необходимые для приложений, без проведения дорогостоящих экспериментов.
Основной целью диссертационного исследования является теоретическое исследование некоторых появившихся в последнее время вопросов течения и устойчивости жидкости в микромасштабах под действием постоянного и переменного электрического поля в условиях концентрационной поляризации ионов в растворе жидкости.
Предполагается решить следующие задачи:
1. Вывести асимптотическую систему уравнений, описывающую двумерную электрокопвекцшо в ионообменных мембранах.
2. Выявить существование и описать электроконвективную неустойчивость в ионообменных мембранах на нестационарной стадии развития процесса.
3. Вывести асимптотическую систему уравнений, описывающую среднюю динамику капиллярной микроструи в продольном сильноосцил-лирующем электрическом поле.
11
4. Теоретически исследовать неустойчивость и распад капиллярной микроструи в продольном сильноосциллирутотцем электрическом поле.
Достоверность полученных результатов обусловлена применением классических математических и надёжных численных методов, сопоставлением полученных теоретических результатов с прямым численным счётом, работами других авторов в этом направлении и экспериментами, где это возможно.
Научная новизна. При решении поставленных в диссертационной работе задач получены следующие новые результаты, которые выносятся на защиту:
1. Вывод асимптотической системы уравнений, описывающей двумерную электрокоивекцию в ионообменных мембранах в пределе малого числа Дебая.
2. Вывод промежуточной асимптотики одномерного нестационарного решения задачи об электроконвекции в ионообменных мембранах.
3. Доказательство и исследование неустойчивости этого решения как сценария перехода к электроконвекции в ионообменных мембранах.
4. Исследование неустойчивости и распада капиллярной микроструи в переменном электрическом поле.
Апробация работы. Основное содержание и результаты исследования изложены в восемнадцати работах [4-21], в том числе в четырёх работах в рекомендованных ВАК журналах: “Доклады РАН”, “Известия РАН. Механика жидкости и газа”, “Прикладная механика и техническая физика”:
• Дельёхин Е.А., Полянских С.В. Неустойчивость струп жидкости в переменном электрическом поле высокой частоты // Прикладная механика и техническая физика. 2009. Т. 50. Ш 5. С. 56-66.
12
• Демёхин ЕЛ., Полянских С.В. Устойчивость струи вязкой жидкости в переменном электрическом поле высокой частоты // Прикладная механика и техническая физика. 2010. Т. 51. Xе1 1. С. 39-53.
• Демёхин Е.Л., Полянских С.В. Устойчивость микроструи вязкой жидкости в постоянном и переменном электрическом поле // Известия РАН. МЖГ. 2010. № 5. С. 49-65.
• Калайдип Е.П., Полянских С.В., Демёхин Е.А. Автомодельные решения в ионообменных мембранах и их устойчивость // Доклады РАН. 2010. Т. 434. № 4. С. 476-480
и двух работах в зарубежном журнале “Microgravity: science and technology”:
• Polyanskikh S. V., Demekhin E.A. Stability of non-axisymmetric electrolyte jet in high—frequency AC electric field // Microgravity Sci. Technol. 2009. V. 21. Supplementary Issue № 1. P. 325-329.
• Demekhin E.A., Polyanskikh S.V. Instability of slender liquid jet in AC electric field of arbitrary frequency // Microgravity Sci. Technol. 2010. V. 22. № 3. P. 369-375.
Результаты диссертационного исследования представлялись на девяти научных конференциях:
• Международная конференция “Нелинейные задачи теории гидродинамической устойчивости и турбулентность” (“НеЗаТеГиУс и турбулентность”), г. Москва, МГУ им. М.В. Ломоносова, 24 февраля-2 марта 2008 г.
• Международная конференция “Microfluidics 2008”, г. Болонья (Италия), Болонский университет, 10-12 декабря 2008 г.
• Между народная конференция “Современные проблемы математики, механики и их приложений”, г. Москва, МГУ им. М.В. Ломоносова, 30 марта—2 апреля 2009 г.
13
• Международная конференция “Современные проблемы электрофизики и электрогидродинамики жидкостей”, г. Санк'Р-Петербург, СПбГУ, 22-26 июня 2009 г.
• Международная конференция “Two-phase systems for ground and space applications”, г. Новосибирск, Институт теплофизики СО РАН, 6-8 сентября 2009 г.
• XXXIX Уральский семинар “Механика и процессы управления”, г. Екатеринбург, УрО РАН, 22-24 декабря 2009 г.
• Международная конференция “Нелинейные задачи теории гидродинамической устойчивости и турбулентность” (“НеЗаТеГиУс и турбулентность”), г. Москва, МГУ им. М.В. Ломоносова, 28 февраля-7 марта 2010 г.
• XIV Международная конференция “Современные проблемы механики сплошной среды5', г. Ростов-на—Дону, г. Азов, ЮФУ, 19-24 июня 2010 г.
• XVI школа—семинар “Современные проблемы аэрогидродинамики”, г. Сочи, “Буревестник” МГУ им. М.В. Ломоносова, 6-16 сентября 2010 г.,
а также докладывались и обсуждались на научных семинарах:
• Семинар кафедры аэромеханики и газовой динамики механикоматематического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова иод руководством академика Г.Г. Черного, 18 марта 2010 г.
• Семинар по аэромеханике в НИИ механики МГУ им. М.В. Ломоносова под руководством академика Г.Г. Чёрного, 19 мая 2010 г.
• Семинар лаборатории физико-химической гидродинамики НИИ механики МГУ им. М.В. Ломоносова под руководством доктора физмат. наук профессора В.А. Полянского, 11 октября 2010 г.
- Київ+380960830922