- 2 -
ОГЛАВЛЕНИЕ.
X. Введение..................................................3
2. Исследование влияния присоединенных к диску локализованных масс на его колебания..*.......................14
2.1. Собственные колебания упругого диска с присоединенными к нему несколькими локализованными массами..............................................15
2.2. Вынужденные колебания вязкоупругого диска с присоединенными массами ............................. 39
3. Алгоритм решения пространственной динамической задачи теории упругости...................................49
3.1. Постановка задачи об определении собственных
форм и частот колебаний упругого тела..............50
3.2. Алгоритм решения задачи, основанный на методе обратных итераций................................ 54
3.3. Црименение метода геометрического погружения.......77
4. Реализация алгоритма решения пространственной динамической задачи теории упругости......................88
4.1. Конечно-элементная реализация алгоритма............89
4.2. Определение собственных частот и форм колебаний упругих тел.................................. 101
5. Вынузденные колебания вязкоупругих тел ...............130
5.1. Решение задачи в разложении по собственным
формам колебаний упругого тела....................131
5.2. Построение амплитудно-частотных характеристик... 139
6. Основные результаты диссертации и выводы .............148
7. Литература.............................................149
8. Цриложения........................................... 160
- 3 -
I. Введение.
Настоящая работа посвящена решению некоторых динамических задач теории упругости ивязкоупругости.
Рассматриваются два вида задач: о собственных колебаниях упругих и о вынужденных колебаниях вязкоупругих систем.
В задаче о собственных колебаниях предполагается отсутствие внешних воздействий: массовых внешних сил, усилий или перемещений на поверхности. Отыскиваютс собственные частоты и соответствующие им собственные формы колебаний рассматриваемой механической системы.
В задаче об установившихся колебаниях вязкоупругих систем рассматриваются периодические по времени внешние воздействия. Начальные условия не ставятся. Определяются периодические по времени перемещения точек системы.
Задачи указанных типов поставлены и решены для механических систем сложной геметрической формы.
Ниже приводится обзор публикаций, посвященный различным аспектам рассматриваемой проблемы. Этот обзор не претевдует на полноту, он имеет целью показать работы различных направлений.
Для решения задач теории упругости для различных областей применяются как аналитические, так и численные методы. Аналитическое решение задач терии упругости связано с большими трудностями для областей более или менее
4
сложной геметрии, известные нам работы посвящены решению некоторых частных задач для ограниченного класса тел и нагрузок. 30,42,23,241 ♦ Чаще применяются проекцион-
ные методы £ 211 , существенные трудности в которых возникают при выборе координатных функций. Эти трудности тем больше, чем сложнее геометрия рассматриваемой области. Методами этой группы в настоящее время решено большое количество задач. Так, в работе ^501 решается пространственная задача для тела близкого к осесимметричному -полого короткого цилиццра, внешняя образующая которого представляет собой окружность, а внутренняя - эллипс.
Торцы неподвижны, внутренняя поверхность свободна от нагрузок, на внешней поверхности задано распределенное давление. В работе С 513 рассматривается, методом возмущения формы границы, пространственная 1фаевая задача о напряженном состоянии сплошного изотропного, однородного цилиндра конечной длины с двумя кольцевыми выточками, находящегося под действием постоянного осевого сжатия. Проводится сравнение полученных результатов с экспериментом, а в работе [52] тем же методом рещаются задачи теории упругости для замкнутых толстостенных оболочек вращения, близких к сферическим. В работе С 53] изучены задачи типа Сен-Ветна для составных тел с боковыми поверхностями, отклоняющимися от цилиндрических по полиномиальному закону с малым параметром. Эти задачи, с точностью до определенной степени малого параметра, сведены к изученным задачам аналогичного типа для тел с цилиндрической поверхностью.
Что касается задач в динамической постановке, то и для них проекционные методы являются наиболее употребительными. Так в работах С 25,26,27,281 исследуются не-осесимметричные собственные формы и частоты колебаний оболочек вращения. В работе [951 исследуются свободные изгибные колебания круглых пластин с начальными неправильностями. При решении учитывается влияние поперечного сдвига и инерции. В работе [621 энергетическим методом получено уравнение движения сварной многослойной цилндри-ческой оболочки. Исследования для шарнирно-опертой по краям оболочки выполнены с использованием одночленной аппроксимации. Задача о собственных колебаниях ненагружен-ной составной оболочки исследована в работе методом конечных разностей [601 , а в работе [641 предложена методика определения форм и частот свободных колебаний тонкостенных конструкций на основе методов пошагового поиска, последовательных приближений и разложения собственных функций в конечномерном базисе. В работе [941 излагается конечно-разностная формулировка метода вычисления собственных частот произвольной тонкой анизотропной оболочки вращения, в частности цилиццрической. Рассматривается случай неоднородных граничных условий, приводятся примеры расчета однослойных и двухслойных цилиндрических оболочек.
Среди работ, посвященных решению задач теории упругости в рамках этого подхода, не удалось обнаружить посвященных исследованию областей сложной геометрической формы
6
в пространственной постановке.
Среда многочисленных приближенных методов вьщеляет-ся своей универсальностью метод конечных элементов С 101# Суть метода состоит в том, что исследуемая область разбивается на некоторое количество подобластей - конечных элементов. Иоле перемещений аппроксимируется внутри элемента фукцией координат, имеющей какой-либо простой вид, например - линейной. Стыковка элементов между собой осуществляется в узлах. Использование вариационной постановки позволяет свести задачу к решению системы линейных алгебраических уравнений. Специальный вид базисных функций обусловливает разреженность и ленточную структуру матриц алгебраической системы и устойчивость численного решения, что облегчает использование ЭВМ для реализации алгоритма метода конечных элементов. Отметим, что этот метод решения задач теории упругости по существу совпадает с методом Ритца при специальном выборе базисных функций I 291. С помощью метода конечных элементов решено большое количество как статических, так и динамических задач теории упругости для областей сложной геометрии. Так в работе 1543 для решения линейных трехмерных статических задач используются восьмиугольные изопараметрические конечные элементы с переменным числом узлов, которое меняется от 8 до 27. Отмечена эффективность использования вырожденных конечных элементов для сложных областей. В работе £551 метод конечных элементов применяется для исследования оболочек сложной геометрической формы. В работе произво-
дится дискретизация только искомых функций, входящих в вариационное уравнение теории оболочек, что позволяет избежать погрешностей, связанных с дискретизацией срединных поверхностей оболочечных конструкций, В работе [90*3 излагается конечноэлеменгный метод приближенного расчета таких конструкций, которые, при общей осесимметричной конфигурации, содержат отдельные неосесимметричные элементы. Исследован полый неосесимметричный цилиццр под внутренним давлением. Црямоугольные подструктуры - суперэлементы -рассматриваются в задачах о колебаниях пластин в работе [913 , из этих суперэлементов исключены внутренние узлы и есть возможность учесть неоднородность распределения массы и жесткости. Составлен каталог пластиночных супер-элементоа В работе С 611 рассмотрен метод построения расчетной сетки для сложных пространственных тел с помощью криволинейных элементов сетки второго порядка, изучены погрешности, возникающие при решении задач теории упругости в телах вращения, при использовании рассмотренного метода. Конечноэлементная модель, обеспечивающая анализ относительно толстостенных оболочечных конструкций, основанная на отказе от гипотезы прямой линии и обеспечивающая учет нелинейного закона изменения напряжений и деформаций по толщине оболочки, предложена в работе £933 • В работе С 633 рассмотрено применение метода конечных элементов в сочетании с разложением нагрузки и искомых величин в ряды Фурье по окружной координате к решению задач о напряженно-деформированном состоянии осесимметричных конструкций, состоящих из тонких пластин и оболочек при неосе-
8
симметричных воздействиях. В работе £641 построен алгоритм расчета установившихся вынужденных колебаний циклически симметричной конструкции в конечноэлементной аппроксимации с применением разложения по собственным формам колебаний. Выполнены расчеты для диска постоянной толщины, как для циклически симметричной конструции. Собственные формы колебаний цилиндров исследованы в работе £871 с помощью кольцевого конечного элемента с шестнадцатью степенями свободы, а в работе £881 рассмотрены собственные колебания циливдров со свободными торцами и боковыми поверхностями. В работе £391 выполнено исследование зависимости собственных частот и форм колебаний коротких цилиндров от соотношений их размеров для различных вариантов граничных условий. Исследованы осесимметричные и неосесимметричные формы колебаний. В работе £431 рассмотрены пространственные собственные колебания оболочки, использованы четырехугольные оболочечные элементы.
Непосредственное применение метода конечных элементов к пространственным задачам связано с определенными трудностями - ограниченными ресурсами ЭВМ по памяти и быстродействию. Этими трудностями объясняется отсутствие в литературе решений пространственных динамических задач, полученных в рамках этого метода.
В настоящее время имеется значительное число работ, в которых решаются задачи о колебаниях конструкций с присоединенными к ним массами. Так, в работах £44,451 рассмотрены, на основе метода Ритца, свободные колебания ор-тотррпных оболочек с сосредоточенными массами. Исследова-
но влияние величин и мест расположения масс на собственные формы и частоты колебаний конструкции. В работе £461 методом малых возмущений определяются частоты и формы свободных колебаний пологой оболочки с сосредоточенной массой. Решение ищется в виде разложения в ряд по степеням малого параметра, в качестве которого взято отношение сосредоточенной массы к массе всей оболочки. Задача о собственных колебаниях круговой цилиндрической оболочки с присоединенными массами рассматривается в работе С471. Решене раскладывается в двойные тригонометрические ряды. Собственные частоты получены из равенства смещений масс и прогибов оболочки в точках их присоединения. В работе [.481 энергетическим методом с использованием процедуры Ритца анализируется влияние сосредоточенных масс на собственные частоты колебаний оболочки. В работе 1491 исследуется вопрос о взаимовлиянии присоединенных к оболочке масс при собственных ее колебаниях. Обсуждаются вопросы оценки основной частоты колебаний оболочки с несколькими массами в зависимости от их взаиморасположения. В работе [.891 собственные формы и частоты круговых цилиццрических оболочек с присоединенной массой определяются с помощью приближенного энергетического метода. Дается оценка влияния величины и места присоединения массы на собственные частоты колебаний оболочки.
Как видим, в работах этой группы исследуется присоединение масс к таким конструкциям как балки, пластины, оболочки, а работы посвященные исследованию пространственных задач для тел сложной геометрической формы отсутствуют.
- 10
Таким образом модно констатировать, что наличие большого числа работ, посвященных решению динамических задач теории упругости свидетельствует об актуальности такого рода задач, а относительная простота конфигураций исследуемых конструкций свидетельствует о том, что задача далека от своего окончательного решения в случае тел сложной геометрической формы.
Что касается задач о колебаниях вязкоупругих тел, то прямой, или символический, метод Вольтерры получил в настоящее время, весьма широкое распространение для самых различных конструкций. Так, в работе С57 3 рассмотрена задача о колебаниях конструкций с неоднородными вязко-упругими свойствами, которая представляется в виде набора конечных элементов, внутри каждого из которых свойства однородны. В работе С.583 исследуется напряженно-деформированное состояние упругих и вязкоупругих те вращения при действии внешнего динамического давления. Подход к решению динамических задач для осесимметричных упругих и вязкоупругих тел описан в работе £633 . Рассмотрены собственные колебания короткого полого цилиццра, выполненного из линейно-вязкоупругого материала. В работе С 59 3 рассмотрета начально-краевая динамическая и квазистатиче-ская задача для геометрически нелинейных оболочек. Для случая весьма малого параметра, характеризующего инерцию оболочки, получены достаточные условия асимптотической близости решений задач квазистатики и динамики на конечном отрезке времени.
II
Оцин из перспективных подходов к решению динамических задач вязкоупругости состоит в использовании, в качестве координатных функций, собственных форм колебаний упругого тела. В работах С36,37,383 предложена общая постановка линейных и нелинейных задач вязкоупругости и схема решения этих задач, основаншя на представлении искмого решения в виде разложения по собственным формам упругой задачи. В работах С 22,39,401 с помощью такого разложения решены динамические задачи для осесимметричных тел и осесимметричных оболочек. Представляет интерес вопрос о выборе числа координатных функций, удерживаемых в разложении. Часто удерживают одну - две функции. В работах С39, 40 3 утверждается, что в каадом конкретном случаенеобходимо специально исследовать это число.
Вообще, в рамках этого подхода, вызывает затруднения само определение собственных форм колебаний упругого тела, и работ, посвященных решению пространственных задач для тел сложной геметрической формы, обнаружить не удалось.
Подводя итог сказанному, можно утверждать, что решение пространственных задач о колебаниях тел сложной геометрической формы является весьма актуальной и далекой от своего окончательного решения задачей. Рассмотрению именно этой проблемы посвящена настоящая работа, в которой показана необходимость постановки пространственных задач о колебаниях для областей сложшй геометрии; предложен итерационный метод решения пространственной зада-
12
чи о собственных значениях, сформулированы и доказаны теоремы, гарантирующие его сходимость, предложен один из вариантов численной реализации метода, проведены расчеты собственных форм и частот колебаний нескольких конструкций сложной геометрической формы, решеш задача о вынужденных колебаниях вязкоупругого тела в разложении по собственным формам колебаний упругого тела, построены амплитудно-частотные характеристики колебаний нескольких конструкций сложной геометрии.
Кроме настоящей, работа включает еще четыре главы.
Во второй главе поставлена и решена модальная задача о свободных колебаниях упругого и вынужденных колебаниях вязкоупругого круглого диска с присоединенными к нему несколькими локализованными массами. Исследовано влияние дискретности распределения масс по внешнему контуру на вянужденные колебания диска. Показана необходимость учета неравномерности распределения присоединенных масс.
В третьей главе приведена постановка пространственной задачи о собственных колебаниях конструкции сложной геометрической формы. Предложен подход к решению такой задачи, основанный на использовании обратных итераций для нахождения собственных форм и частот колебаний конструкции и метода геометрического погружения для решения вариационного уравнения, возникавшего на каждой итерации. Сформулированы и доказаны теоремы, гарантирующие сходимость разработанного итерационного алгоритма.
13
В четвертой главе изложены основные аспекты численной реализации алгоритма. Предлагаемый вариант реализации основан на использовании полуаналитического метода конечных элемеш'ов. Приведены примеры расчета собственных частот и форм колебаний нескольких конструкций сложной геометрической формы.
В пятой главе поставлена и решет задача о вынужденных колебаниях вяхкоупругого тела. Решение ищется в рамках линейной наследственной теории Больцмана - Вольтерры в разложении по собственным формам колебаний упругого тела. Приведены амплитудно-частотные характеристики колебаний точек нескольких конструкций сложной геометрии.
Результаты нвстоящего исследования опубликованы в работах 171,72,73,74,75 3 . Отдельные результаты и работа в целом доложены на IX Всесоюзной научно-технической конференции по конструкционной прочности двигателей /Куйбышев, 1983/, на I Всесоюзном симпозиуме по математическим методам механики деформируемого твердого тела /Москва, 1984/, на Всесоюзной конференции по проблемам снижения материалоемкости силовых конструкций /Горький, 1984/, на П ‘ Всесоюзной конференции по теории упругости /Тбилиси, 1984/, на семинаре, под руководством профессора Л. А. Толоконнико-ва /Тула, 1984/, на семинаре под руководством профессора Б.Е. Пэбедри /Москва, 1984/, на семинаре кафедры механики МИЭМ /Москва, 1984/.
14
2. Исследование влияния присоединенных к диску локализованных масс на его колебания.
В настоящей главе, на примере простейшей модельной задачи, иллюстрируется необходимость решения задачи о диске с лопатками в пространственной постановке. Здесь поставлены и решены задачи об изгибных свободных колебаниях упругого и вынужденных колебаниях вязкоупругого диска, имеющего форму круглой пластины, с присоединенными к нему несколькими локализованными массами. Исследованы случаи различных соотношений геометрических размеров. Выделены те из них, при которых в спектре собственных частот диска имеются близкие и кратные значения. Определены собственные формы и частоты колебаний упругого, построены амплитудно-частотные характеристики колебаний вязкоупругого диска для различных вариантов неравномерного присоединения масс по внешнему контуру. Продемонстрирована необходимость учета такой неравномерности.
- Київ+380960830922