Модели микронеоднородных сред

- 2 -
ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ..................................................7
ГЛАВА 1. Модели с производными высшего порядка-------------
по координатам и времени......................24
1 Осредненные уравнения с учетом членов высшего порядка по £.......................................... 25
2 Осреднение задачи отыскания стационарных точек
функционала.......................................... 28
2.1 Построение осредненных уравнений с сохранением свойства быть уравнениями Эйлера для некоторого функционала ............................... 30
3 Динамическая задача................................... 38
3.1 Интеграл энергии для динамической задачи .... 39
3.2 Две канонические формы осредненных уравнений
для композитов из линейно упругих компонент . . 45
4 Уравнения с высшими производными для слоистой среды 47
ГЛАВА 2. Смеси вязких сжимаемых жидкостей.................56
5 Постановка задачи и общие выводы о распределении параметров в одномерных процессах в мелкослоистой среде 57
6 Смесь сжимаемых вязких жидкостей как среда с памятью 59
7 Смесь сжимаемых вязких жидкостей как среда с внутренними степенями свободы.......................... 63
8 Среда трехмерной структуры............................ 68
8.1 Эффективные уравнения, соответствующие среде
с памятью...................................... 70
8.2 Эффективные уравнения, соответствующие среде
с внутренними степенями свободы ............... 72
ГЛАВА 3. Упругопластические композиты
9 Постановка задачи........................
74
75
-3-
10 Эффективные уравнения, соответствующие среде с памятью ................................................ 78
11 Эффективные уравнения, соответствующие среде с внутренними степенями свободы ........................... 80
12 Одномерные процессы в слоистом композите.............. 81
ГЛАВА 4. Модели пористых сред .............................86
13 Упругость пористого локально несжимаемого материала 87
13.1 Формулировка результатов......................... 88
13.1.1 Постановка задачи......................... 88
13.1.2 Осредненные уравнения и эффективные модули ............................................. 89
13.1.3 Оценки эффективных модулей локально
изотропного пористого материала........... 92
13.1.4 Эффективные модули среды с кубическими
и сферическими порами..................... 93
13.2 Обоснование эффективных уравнений локально несжимаемой пористой среды. Статическая задача..................................................106
13.2.1 Постановка статической задачи. Теорема
об оценке решения.........................106
13.2.2 Формализм осреднения и оценка погрешности 112
13.3 Обоснование осредненных уравнений для динамической задачи.........................................119
13.3.1 Постановка задачи и теорема об оценке решения ............................................120
13.3.2 Оценка погрешности осреднения для динамической задачи...................................125
13.4 Применение результатов к вязкой жидкости с пузырьками ..................................Г2 7
14 Явные формулы для эффективных коэффициентов упру-
гости и теплопроводности пористой среды специальной структуры ........................................128
14.1 Структура среды. Постановка задачи осреднения 128
14.2 Изотропный материал с порами.....................130
14.3 Анизотропный материал............................132
-4-
15 Пористый материал как предел среды с мягкомодульными включениями ........................................134
15.1 Постановка задачи..................................134
15.2 Вспомогательные оценки.............................139
15.3 Теоремы о близости решений исходных и осредненных уравнений.........................................149
ГЛАВА 5. Распространение звука в смесях ............152
16 Постановка задачи. Краткое качественное описание результатов ...............................................152
17 Влияние слабой сдвиговой упругости на распространение малых возмущений в смеси ............................157
17.1 Вывод осредненных уравнений методом двухмасштабных асимптотических разложений.......................158
17.1.1 Случай 7^ << £..............................163
17.1.2 Свойства осредненной среды в случае
£ < 1 166
17.1.3 Случай 7ц = ае..............................168
17.1.4 Случай £ < < 7/j............................170
17.2 Теоремы о близости решений исходной и осредненной задач.............................................171
17.3 Формулировка результатов для среды со случайной структурой...........................................174
17.4 Обоснование осредненных уравнений при е « 7Р 179
17.4.1 Основная теорема об оценке решения задачи для неоднородной среды 180
17.4.2 Осредненные уравнения.......................183
17.4.3 Теорема о связи погрешности осреднения с
6ру £а......................................184
17.4.4 Оценка погрешности осреднения для среды
с периодической структурой..................187
17.4.5 Среда со случайной структурой...............190
17.4.6 Негладкие начальные данные..................195
18 Влияние малой вязкости. Обоснование эффективных
уравнений в случае мелкодисперсной смеси..............196
18.1 Постановка задачи..................................197
-5-
18.2 Теорема об оценке решения задачи для неоднородной среды...............................................200
18.3 Осредненные уравнения..............................204
18.4 Энергетическая оценка для разности решений
осредненной и исходной задачи ...................20*5
18.5 Среда с периодической структурой...................209
18.6 Среда со случайной структурой......................211
18.7 Конкретизация оценок для двухфазной среды ... 212
18.8 Оценки в случае большого разброса свойств компонент .................................................215
18.9 Оценка ошибки в скоростях и давлениях при их
вычислении по осредненным уравнениям..............217
18.10 Случай негладких начальных данных и массовых
сил...............................................219
19 Влияние малой теплопроводности на вид эффективных уравнений распространения звука.........................220
19.1 Постановка задачи и основная теорема об оценке . 220
19.2 Осредненные уравнения при 7Х << 1..................224
19.2.1 Случай 7Х << е............................225
19.2.2 Случай 7Х ~ £..............................227
19.2.3 Случай 7Х >> е............................229
19.2.4 Точные формулировки результатов для
сред, периодических по р и а8...............232
19.3 Осредненные уравнения при конечной теплопро-
водности. Эффективные коэффициенты теплопроводности, теплоемкости, сжимаемости и теплового расширения................................236
ГЛАВА 6. Среды, армированные системой пластин..................
и стержней......................................238
20 Постановка задачи.........................................238
20.1 Структура ячейки периодичности и локальные
свойства среды....................................241
21 Явные формулы для эффективных коэффициентов теплопроводности композита с изотропными компонентами 244
22 Эффективные упругие свойства..............................252
- б -
22.1 Некоторые оценки решений элементарных задач .
22.2 Приближенное решение задач на ячейке и формулы для эффективных коэффициентов двумерной среды с анизотропными компонентами . . . .
22.3 Формулы для эффективных упругих модулей локально изотропной двумерной среды................
23 Трехмерная структура ..............................
23.1 Приближенное решение задач на ячейке и вывод формул для эффективных коэффициентов.............
23.2 Формулы для эффективных упругих модулей локально изотропной среды трехмерной структуры .
24 Предельные случаи..................................
24.1 Сравнение с результатами, полученными с помощью численного решения задач на ячейке...........
ЗАКЛЮЧЕНИЕ ................:..........................
252
257
268
269
269
280
281
284
291
ЛИТЕРАТУРА
295
-7-
ВВЕДЕНИЕ
Работа посвящена описанию поведения сильно неоднородных сред, в частности, смесей, композитов и пористых материалов. Такие среды широко распространены в природе и используются в технике, поэтому математическое моделирование различных физических процессов в них представляет важную и актуальную задачу.
Если линейный масштаб задачи /, например, размер тела, для которого решается задача, или типичная длина волны возмущения, много больше характерного размера неоднородности (/, то есть е = у « 1, то прямое численное исследование проблемы практически невозможно. В этом случае обычно вводится эффективная однородная среда, поведение которой близко к поведению исходной неоднородной среды. При наличии достаточного количества экспериментальных данных математические модели эффективных однородных сред могут быть введены феноменологически на основе этих данных. Другой подход состоит в том, что если локальные физические свойства и геометрическая структура среды известны, то эффективные свойства находятся с помощью некоторого осреднения. Этот подход особенно важен в случаях, когда решается задача оптимизации структуры материала или конструкции.
Проблема осреднения является одной из важных проблем во многих областях механики и физики [42], [90].
За десятки лет изучения неоднородных сред предложены различные способы получения осредненных уравнений микронеодно-родных сред, описанные, например, в [30], [37], [57], [67], [69], [78], [79], [102], [127], [101] и многих других книгах и статьях. В основе многих из предложенных способов лежат те или иные физические гипотезы о виде локальных полей. При этом часто границы применимости вводимых уравнений остаются не определенными. Многие способы осреднения относятся только к случаям малых концентраций включений или малого разброса свойств компонент.
Применяемый в этой работе путь вывода осредненных (эффективных) уравнений основан на использовании асимптотических методов, связанных с наличием малого параметра е - отношения
-8-
масштаба неоднородности к масштабу изучаемого процесса. Вывод, как правило, включает в себя строгое математическое обоснование и применим при произвольных концентрациях и при сильном отличии свойств компонент. Отметим, что этот алгоритм дает возможность получить не только осредненные уравнения, но и найти (после решения осредненных уравнений) приближенные локальные распределения параметров в неоднородной среде.
Уравнения эффективной среды существенно зависят от масштаба изучаемых процессов и от требуемой точности описания. В общем случае эффективные свойства среды не только количественно, но и качественно отличаются от свойств составляющих ее компонент. Так, известно, что уже для простейших, слоистых периодических сред типичен случай, когда скорость распространения гармонической волны зависит от ее частоты , т. е. наблюдается дисперсия волн, даже если в каждой из составляющих сред дисперсии нет [31], [32].
Другие примеры возникновения новых свойств содержатся во второй и третьей главах этой работы. Рассматриваются периодические среды, состоящие из компонент, определяющие уравнения которых связывают параметры среды и их производные по времени и пространству в каждой точке в один и тот же момент времени. Для рассматриваемых там случаев в результате осреднения появляются уравнения, содержащие запаздывание по времени. При этом в отличие от эффекта дисперсии волн новый эффект -запаздывание по времени - проявляется уже в слагаемых нулевого порядка по £, образующих главную часть осредненного уравнения. Появление моделей с долговременной памятью при осреднении неоднородных сред описано также в работах [128], [9], [85], [88].
Основными целями этой работы являются получение, строгое обоснование и исследование эффективных уравнений, описывающих различные процессы в микронеоднородных средах, в частности, процессы теплопроводности, распространения звука, деформирования и течения.
Методика исследования базируется на теории дифференциальных уравнений с быстро осциллирующими коэффициентами. Задача ставится следующим образом. Пусть известны уравнения,
- 9 -
описывающие поведение неоднородной среды. Эти уравнения содержат малый масштаб, так как сильно меняются на малых расстояниях. Требуется построить уравнения, не содержащие малого масштаба, решение которых позволяет найти функции, близкие в некоторой норме к решению исходных уравнений.
Для сред с периодической структурой для вывода осредненных уравнений, а также приближенного нахождения локальных полей используется метод введения быстрых и медленных переменных и асимптотических разложений по параметру е. Этот метод является развитием известного метода Боголюбова, Крылова и Митропольского [74]. Ему посвящено много работ, появившихся, в основном, в последние два десятилетия, в частности, монографии А.Бенсуссана, Ж.Л.Лионсаи Ж.Папаниколау [117], Э.Санчес-Паленсии [88], Н.С.Бахвалова и Г.П.Панасенко [9], О.А.Олейник, Г.А.Иосифьяна и А.С.Шамаева [82], В.В.Жикова, С.М.Козлова и О.А.Олейник [47] и другие. Применению этого метода при решении задач механики композитных материалов большое место уделено в книге Б.Е. Победри [83].
Алгоритм включает в себя следующие шаги. Во-первых, наряду с медленными переменными Хг с характерным масштабом изменения I вводятся быстрые переменные уг с характерным масштабом изменения с/. Обычно используются безразмерные переменные
= Х{/1, Ух = £;/(/, тогда £ = (1/1 - безразмерный период. Решение и задачи для исходных уравнений рассматривается как функция независимых переменных #,•,?/,•,£. Далее и представляется в виде асимптотического ряда
и = V 4- £У\ + ....
с коэффициентами, периодическими по ух. Этот ряд подставляется в исходную систему уравнений и граничных условий. В результате приравнивания коэффициентов при одинаковых степенях е возникают задачи для определения коэффициентов ряда как функций переменных ух (ж;, (. при этом рассматриваются как параметры). Эти задачи называют локальными задачами или задачами на ячейке. Решение этих задач и последующее использование осреднения по ячейке периодичности дает осредненные уравнения и алгоритм
приближенного вычисления локальных полей. Подчеркнем, что эффективные модули среды в общем случае не являются средними по ячейке или некоторому представительному объему; они вычисляются через решение задач на ячейке.
Важным этапом в описываемом алгоритме является строгое обоснование: доказательство существования решений всех возникающих задач и получение оценок близости решений исходных и осредненных уравнений.
Продемонстрируем этот алгоритм на примере задачи о стационарной теплопроводности в анизотропной периодической среде, выделяя лишь основные моменты и опуская детали. Рассмотрим уравнение
д ( дТ
где жуе = щк{Уэ) - компоненты тензора теплопроводности, Т - температура. Пусть
Т = Т° + еТ] + ..., где Тг — Тг(х;,у^ периодичны по ?;,• с периодом 1. Подставим это разложение в исходное уравнение, учитывая, что —— должны быть
С/Х |
9 1 д л,
заменены на тг—Ь-тг-• Условие, что коэффициент при е должен ОХг £ ду! обращаться в нуль, имеет вид
(нижний индекс в обозначении оператора Ьуу означает, что дифференцирование производится по переменным у). Из этого уравнения с учетом периодичности Т° по у і получается, что Т° не зависит ОТ быстрых переменных у г.
Условие, что коэффициент при должен обращаться в нуль, дает соотношение
- и -
Отсюда видно, что Т1 можно искать в форме
г'-л-'Дм^,
где ЛГ*Л - функции у к- удовлетворяющие уравнению
= 0 (1)
Оуі
5(М>> + у
*ік~
дук
внутри ячейки 0 < уі < 1 и условиям периодичности на границах ячейки. Таким образом для трехмерной задачи имеется три задачи на ячейке (1), соответствующие / = 1,2,3, решение которых позволяет вычислить Г1 через Т°.
Далее равенство нулю коэффициентов при е° дает
1'ххТ® + ЬхуТ] + ЬухТ1 + ЬУУТ2 = 0
Это уравнение для Т2 имеет решение при условии
(.ЬХХТ° + ЬхуТ1 + ЬухТ1) = 0,
где {•) означает интегрирование по ячейке периодичности. С учетом выражения для Т1 это последнее уравнение записывается в виде
д ( дТ0
дх{ \ 'г* дХ} где
йу=^+хй_ ^ (3)
Уравнение (2) и есть осредненное уравнение, его коэффициенты ху не зависят от координат. Из формул (3) видно, что в общем случае ху не равны средним по ячейке от коэффициентов ху, то есть величинам (ху).
В работе описанный выше алгоритм используется для вывода и обоснования эффективных уравнений различных процессов в ми-кронеоднородных средах. Большая часть результатов относится
= 0, (2)
- 12 -
к задачам, содержащим, кроме малого параметра е, дополнительные малые параметры. Таким задачам посвящены второй и третий параграфы главы 4, а также полностью главы 5 и 6.
Структура работы следующая.
Первая глава посвящена смесям и композитам, состоящим из упругих компонентов. Известно, что при учете членов высокого порядка по £ в результате осреднения получается, что напряжения в эффективной среде зависят от производных высшего порядка от перемещений по координатам и по времени. Такие среды, в частности, вводятся феноменологически в моментных теориях упругости [93], [72], [73], [71], [122], а также при описании жидкостей, содержащих пузырьки газа или пара [51], жидкостей, проявляющих свойства, которые были названы внутренней капиллярностью [71], [119], [105], [106]. При применении используемой в этой работе процедуры осреднения высшие производные появляются в числе параметров состояния автоматически, и все соответствующие коэффициенты в уравнениях вычисляются через структуру среды.
В этой главе рассмотрены следующие вопросы: 1) сохране-
ние свойства уравнений быть уравнениями Эйлера для некоторого функционала, в частности, свойства бездиссипативности при осреднении любой (в общем случае нелинейной) неоднородной периодической упругой среды при учете членов любого порядка по е; 2) формы осредненных уравнений для неоднородной периодической линейно упругой среды при учете членов порядка е и выше; 3) знаки коэффициентов главных членов, определяющих дисперсию волн в линейной среде, плотность и упругие характеристики которой есть периодические функции одной декартовой координаты.
Сначала рассмотрен вопрос о том, возможно ли в приближении какого-нибудь порядка появление диссипации в композите, составленном из компонент, в каждой из которых диссипация отсутствует. То, что для сред периодической структуры диссипация не возникает, показывают следующие утверждения, доказанные в работе.
Уравнения периодической упругой среды, и, в частности, сжимаемой идеальной жидкости, могут быть получены на основе голо-номного вариационного принципа [27], [83], [91], [93]. Они являются
- 13 -
уравнениями Эйлера для функционала
I = JJ Wdxdt, W = Т-U, U = U(yi, Xi, V;“),
t X
1 2 ди 1 Эи
т=2 Р\У'х)иг' * = {®b»2,®3 }> y« = —> Vf'u=e^ + ia^
В результате процедуры осреднения получаются уравнения эффективной среды. Соответствует ли им снова голономный вариационный принцип? Для приближения нулевого порядка ПО £ этот вопрос рассматривался в работах 11.С. Бахвалова [9] и В.Л. Бердичевского [27]. Здесь рассматриваются приближения высшего порядка по е. Построена процедура осреднения, приводящая к уравнениям, которые также являются уравнениями Эйлера для некоторого функционала I:
/(„) = I j(f - U)dxdt,
t X
т = (^p{x,y){u(v))f^ , и = (U(x,y, gradu(w)),
00
u(v) ~ v(x) + vn(x,y)£n, n= 1
где {•) означает интегрирование по ячейке периодичности, а vn(x, y) являются функциями от x,y,v(x)y а также от производных v по х и t порядка не выше п.
Если для процесса в исходной среде существует интеграл энергии, то для эффективной среды также имеет место интеграл энергии
J (Т + U)dx = const.
Таким образом для сред с периодической структурой при осреднении уравнения остаются не содержащими диссипацию. Отметим, что в случайных структурах диссипация может возникать, даже если она отсутствует в каждой из компонент [115]. Преобразованием искомых функций вида
сс
г1 ~ w -f- ^ £nwu(w)
«=1
можно получить разные формы осредненных уравнений. В частности, для композита из линейно упругих компонент, когда U есть
- 14 -
квадратичная форма от первых производных от перемещений с коэффициентами (модулями упругости) a,ijki(y), можно в приближении н-го порядка ввести две канонические формы эффективных уравнений, (А) и (В). Для формы (Л) кинетическая энергия имеет обычный вид
f(w)=-pw}, р=(р{х,у)).
Л
Упругая энергия U{w) при этом зависит от производных от перемещений по координатам до n-го порядка и определяется не ТОЛЬКО ИСТИННЫМИ упругими модулями Clijkh но и ПЛОТНОСТЬЮ р. Для формы (В) упрупш энергия имеет вид, аналогичный (Л), но эффективные упругие коэффициенты зависят только от упругих модулей Oijki и геометрической структуры и не включают явно информацию о распределении плотности. При этом кинетическая энергия есть квадратичная форма от dm+lw/dtdxjl...dxjm с коэффициентами, при вычислении которых используются сведения не только о р, но и об aijki.
В последнем параграфе первой главы рассматривается распространение волн в слоистой периодической локально изотропной линейно-упругой среде, в частности, в слоистой идеальной сжимаемой жидкости. Направление распространения волн перпендикулярно слоям. Проводится явное вычисление коэффициентов осред-ненных уравнений, входящих в члены, содержащие производные четвертого порядка от перемещений (это члены порядка а2). Наличие таких членов приводит к дисперсии волн. Показывается, что при любой зависимости плотности среды р и ее модуля упругости (коэффициента сжимаемости) к от быстрой координаты коэффициент при четвертой производной неотрицателен, а если зависимости р(х/е), к(х/е) согласованы так, что кр = const, то он равен нулю. В этом случае дисперсия может проявляться только за счет членов порядка е4 или выше.
Во второй главе выводятся эффективные уравнения для крупномасштабных процессов в периодических сжимаемых вязких теплопроводных жидкостях, в частности, в смесях. Уже в нулевом приближении по г они в общем случае оказываются качественно
15-
отличными от уравнений вязкой жидкости: смесь сжимаемых вязких жидкостей в общем случае не ведет себя как вязкая жидкость.
Б первых трех параграфах этой главы рассматриваются одномерные движения в слоистых жидкостях, последний параграф посвящен трехмерным структурам.
Получены две различные системы эффективных уравнений.
Одна из них состоит из уравнений для средних по ячейке параметров и соответствует среде с памятью, так как содержит интегралы от градиентов перемещений и температуры по времени. Другая форма эффективных уравнений получается, если допустить присутствие в них функций, зависящих от быстрой переменной. Эффективная система при этом подходе также является интегродифференциальной, в уравнения входят интегралы от искомых функций по быстрым переменным. Она не содержит малого масштаба £ и поэтому может быть названа эффективной. Соответствующая среда характеризуется дополнительными определяющими параметрами и имеет дополнительные степени свободы, т.к. ее параметры зависят не только от £,гг,-, но также от у,-.
Третья глава посвящена микронеоднородным упрочняющимся термо-упруго-пластическим средам. Предполагается, что ло-кально поведение среды описывается теорией пластического течения. Функция нагружения, законы изменения пластических и упругих деформаций и параметров упрочнения и другие характеристики среды являются периодическими функциями лагранже-вых координат с периодом е « 1.
В общем случае эффективная среда не будет обычной пластической средой, описывающейся некоторой теорией пластического течения. Так же, как для вязкой жидкости, возможны две различные, но эквивалентные друг другу формы осредненных уравнений. Обе эти формы представляют собой системы интегродифференци-альных уравнений. Одна форма содержит интегралы от неизвестных функций по пространству быстрых переменных (эффективная среда с внутренними параметрами и внутренними степенями свободы), другая - интегралы от неизвестных функций но времени (среда с памятью). Для некоторых частных сред и частных процессов при осреднении получаются уравнения обычной теории
-16 -
пластичности.
В четвертой главе рассматриваются пористые среды. Изучаются как стационарные, так и нестационарные процессы. Если типичный диаметр пор и расстояние между ними много меньше, чем характерный размер тела (и типичная длина волны возмущения - для нестационарных (динамических) задач), то поведение материала может быть приближенно описано осредненными уравнениями, которые соответствуют некоторому эффективному материалу без пор. Феноменологически эффективные уравнения для процессов деформирования и теплопроводности в пористых средах вводились и использовались разными авторами. Такие уравнения не только для упругих, но и для неупругих пористых сред приводятся, например, в книгах [68], [80]. Вывод эффективных упругих свойств сжимаемых пористых материалов на основе математической теории осреднения рассмотрен в книгах [9], [70], [82], [81], [88]. Эффективные уравнения упругости несжимаемых сред, содержащих поры, получены в [27], однако строгое обоснование там отсутствует.
Содержанием первого параграфа этой главы является вывод и строгое обоснование эффективных уравнений для пористых сред из несжимаемого упругого материала. Изучаются статическая и динамическая задачи. Если исходный материал является линейно упругим и несжимаемым, то в нулевом приближении по £ эффективный материал получается также линейно упругим, анизотропным и сжимаемым. Таким образом, скорость распространения возмущений в эффективной среде получается конечной, в то время как в исходной среде в силу несжимаемости скорость распространения возмущения давления бесконечна.
При определенных условиях на геометрию области С£, занятой материалом, получены следующие оценки близости перемещений и и давления р - решений исходных задач для среды с порами, и приближений г^1*, которые находятся с помощью решения осредненных уравнений и ячеечных задач
II" - "(1)1к2'(с,| = 0{уД), ||р - р(1)||12(с,) = 0{л/ё),
-17-
В первом параграфе выводятся также некоторые новые оценки для эффективных модулей. Приводятся результаты численного решения задач на ячейке и расчета эффективных модулей для материалов с кубическими и сферическими порами. Исследована зависимость эффективного модуля объемного сжатия и других упругих коэффициентов от объемной доли пор. На основе численных расчетов предложены приближенные формулы для величин эффективных модулей для материалов со сферическими и кубическими порами. Результаты представлены в виде таблиц и графиков.
Во втором параграфе этой главы даются явные приближенные формулы для эффективных коэффициентов теплопроводности и упругости сжимаемых изотропных и анизотропных сред с порами в виде параллелепипедов, а также с порами в виде прямоугольных каналов при большой объемной доле пор. Возможность получения явных формул связана в этом случае с наличием дополнительного малого параметра - толщины прослойки между порами.
В третьем параграфе этой главы рассматривается вопрос о предельном виде осредненных уравнений статики среды, содержащей включения, модули которых много меньше модулей матрицы, при стремлении периода среды и модулей включений к нулю. В этом случае задача осреднения содержит два малых параметра е и г; -отношение модулей включений к модулям матрицы. Ответ в таких задачах обычно зависит от соотношения величин малых параметров. Здесь показано, что уравнения, получающиеся при предельном переходе е -4 0, г] —> +0 в общем случае отличаются от осредненных уравнений соответствующей пористой среды правыми частями. Для динамических процессов этот вопрос исследовался в недавних работах Г. В. Сандракова [86], [87].
Пятая глава посвящена распространению звука в смесях. Изучается влияние малой сдвиговой упругости, малой вязкости и малой теплопроводности компонент. В частности, исследуется обоснованность физической гипотезы о том, что скорость длинноволновых звуковых возмущений в смеси без фазовых переходов определяется ее средней плотностью и средней сжимаемостью, то есть
- 18-
эффективные уравнения имеют вид
~ ^ + сИу V = 0, р ^ + &тас1 р = 0. (4)
где 1/Л = {!/>), р = ^), (•) обозначает среднее по периоду, Л = ррр коэффициент сжимаемости. Из (4) следует, что эффективная скорость звука в смеси определяется формулой
С = \f\Jp. (5)
Эта гипотеза широко используется для объяснения наблюдаемого эффекта падения скорости звука в смесях. Формула (5) и ее модификации с учетом обычно имеющего место большого разброса свойств компонент смеси приводится, например, в работах [27], [78], [131], [36], [98].
Известно [6], что применение математического метода осреднения к системе, описывающей распространение малых возмущений в неоднородной идеальной сжимаемой жидкости, то есть к системе, не учитывающей вязкость, теплопроводность и сдвиговую упругость, дает, что в неодномерном случае осредненная система не совпадает с системой (4). Вместо средней плотности р в уравнениях движения стоит Я - матрица, вычисляемая с помощью решения задач на ячейке
1§<+с1'',У = 0’ Л^4^гас1р = 0,
Это означает, что скорость звука зависит от структуры ячейки, а не только от концентрации и свойств компонент. Например, при равной объемной концентрации воды и воздуха скорость звука для воды, содержащей сферические пузырьки воздуха, получается примерно в 10 раз меньше, чем для воздуха, содержащего капли воды. Кроме того, в общем случае скорость звука получается зависящей от направления распространения.
Однако, оказывается, что для очень мелкодисперсной среды осредненная система все же получается совпадающей с (4), если учесть влияние сдвиговой упругости или вязкости компонент.
В первом параграфе этой главы рассмотрено влияние малой сдвиговой упругости. Пусть р\ Л*, /I* - характерные значения
-19-
п л относ ти, коэффициента сжимаемости и модуля сдвига рассматриваемой среды, Ь - характерная длина волны, г = Ь/у/\*/р* -характерное время. Масштаб расстояния, которое проходят волны сдвига за время т определяется формулой = а;іт, где ар = \]р*/р* - характерная скорость волны сдвига. Обозначим отношение и / через :
-1Л- Р—
7" I \ А*’
Говоря О малой СДВИГОВОЙ упругости, МЫ имеем В ВИДУ, ЧТО 1.
Отметим, что отношение ур/е равно //г/<7, где с/ - масштаб неоднородности среды. В работе показано, что если среда неоднородна по плотности, то осредненные уравнения получаются различными при «С с/, при 1Р ^ (1. и при ~ (I.
При (і (т.е. при у^/е «С 1), когда волны сдвига за ха-
рактерное время т проходят расстояние, много меньшее размера ячейки сі, осредненной системой является система (б), полученная без учета сдвиговой упругости. При Ір (і (є/ур <С 1) осредненной системой является система (4), и поэтому эффективная скорость длинноволновых звуковых возмущений определяется только концентрацией и свойствами компонент по формуле (5) и не зависит от геометрической структуры среды. В частности, она одинакова для волн, распространяющихся в слоистой среде вдоль и поперек слоев. Заметим, что это последнее утверждение согласуется с формулами для мелкослоистой среды, приведенными в книге [31], если в этих формулах устремить р* к нулю.
При ~ (I осредненная система содержит запаздывание и может быть записана в виде :
_8га<1(^с1ІУи) +° /ЯП* - т))-= °, (7)
и - вектор перемещения, а — 7,,/є; А, Я - те же, что в системе, полученной без учета сдвиговой упругости, () - матрица, вычисляемая с помощью решения задач на ячейке. Скорость переднего фронта звуковой волны для системы (7) получается такой же, как и для системы без сдвиговой упругости, в частности, зависит от направления и от геометрии ячейки.
- ‘20 -
Для задачи Коши при некоторых условиях на гладкость решения осредненных задач и функций, определяющих свойства среды, получены оценки
,]— и) < — и) + 82, СЮ
сумма первых двух членов асимптотического ряда для перемещения, вычисленных по решению осредненных уравнений (4), (6), (7) соответственно. При этом, если среда по плотности однородна и неоднородность проявляется только в зависимости от координат коэффициентов сжимаемости и сдвиговой упругости, то при любых соотношениях между 7Я и £ осредненными уравнениями являются уравнения (4) и верна оценка (8) с 8 = 0(у2 + е2).
Результаты, относящиеся к случаям 1И <С (I и //г ~ с/, получены при условии, что р и А - периодические. Периодичность [I не обязательна. Результат, соответствующий 1И > с1., получен также для сред со случайной структурой с масштабом неоднородности е.
Влияние малой (стремящейся к нулю) вязкости на вид эффективных уравнений распространения звука в смесях периодической структуры рассматривалось ранее в работах Э. Санчес - Паленсии [88] и Г.В. Сандракова [85]. Нами дана физическая интерпретация резз'льтатов, предложен и проведен другой способ обоснования, рассмотрены среды не только периодической, но и случайной структуры, изучена зависимость оценки близости решений исходных и осредненных уравнений от разброса значений параметров компонент и их концентрации.
Результат осреднения и в этом случае зависит от соотношения между (1и \и = у/и* т, где V* - характерное значение коэффициента вязкости. Величина 1и определяет расстояние, на которое распространяется эффект выравнивания (за счет вязкости) скорости за характерное время процесса т. Отношение /„/</ равно отношению 7„/е, где
1и V*
-21 -
Для рассматриваемых здесь процессов 7„ 1.
В частности, при /„ > й, когда время выравнивания скорости по ячейке за счет вязкос ти много меньше т, осредненной системой является система (4). Этот результат получен нами для сред не только периодической, но также и случайной структуры.
Оценки близости решений исходных и осредненных уравнений зависят от разброса значений параметров компонент и их концентрации. В работе оценки выведены в форме, в которой эта зависимость указывается явно.
Для изучения влияния малой теплопроводности вводится величина 1Х ~ л/х* т> где х* ~ характерное значение коэффициента температуропроводности (х* = к*/(р*с*), к“,с* - коэффициенты теплопроводности и теплоемкости соответственно); 1Х определяет масштаб расстояния, на котором за время г существен эффект выравнивания температуры за счет теплопроводности.
Для изучаемых процессов предполагается малым параметр ух
X*
1^7?'
Отношение 1х/(1 равно ух/б.
Рассматриваются среды, некоторые характеристики которых являются периодическими, другие - произвольными функциями координат. Осредненные уравнения снова зависят от соотношения между 1Х и сі, однако, если учитывается только теплопроводность, то уравнения (4) не получаются ни при каких соотношениях. Если 1Х <С с/, т.е. теплопроводность не успевает за характерное время существенно повлиять на распределение температуры на ячейке, то осредненная система есть система, получаемая без учета теплопроводности. При Іх (I время выравнивания температуры на ячейке много меньше г. Осредненная система аналогична предыдущей, но значения скорости звука (в общем случае зависящие от направления) для всех направлений в одно и то же число раз меньше, чем для случая Іх (і. Наконец, при Іх ~ сі осредненное уравнение содержит член с запаздыванием.
В работе показано, что при 1Х » (I, в том числе при не малых 7Х, эффективная теплоемкость смеси получается больше, чем
1Х
= і =
- ‘22 -
средняя по объему. Это, вместе с уменьшением эффективной теплопроводности, увеличивает теплозащитный эффект при использовании неоднородной среды.
Отметим, что физические аспекты влияния вязкости и теплопроводности на распространение звуковых волн в эмульсиях рассмотрены в [50], в поликристаллических телах - в [61]. Полученные нами результаты находятся в соответствии с этими физическими представлен иями.
Шестая глава посвящена, построению явных приближенных формул для эффективных коэффициентов теплопроводности и упругости сред специальной геометрической структуры. Рассматриваются композиты, армированные периодической системой в общем случае пересекающихся пластин, стержней и включений в виде параллелепипедов [13], [25]. Материалы матрицы и включений всех трех типов могут обладать произвольной анизотропией. Предполагается, что некоторый параметр 0, составленный из отношений модулей и объемов компонент, является малым. Наличие дополнительного малого параметра позволяет в явном виде построить приближенные решения задач на ячейке и получить явные формулы для эффективных коэффициентов и получить оценку их погрешности. Для малости 0 достаточно, чтобы пластины и стержни были тонкими, а их модули не были много меньше, чем модули матрицы.
В этой главе приводится также сравнение результатов, полученных двумя способами: с помощью численного решения задач на ячейке, проведенного в этой работе, и по предложенным здесь явным приближенным формулам.
Предельными случаями рассмотренных здесь структур являются слоистые среды, пористые среды и конструкции из пластин и стержней. Вычислению эффективных модулей слоистых сред посвящено большое количество работ. Формулы, полученные здесь, согласуются с имеющимися в литературе формулами для этих более простых структур [57], [83].
Общий вывод этой главы может быть сформулирован в виде ”принципа расщепления”, аналогичного принципу, который был сформулирован и доказан Г.П. Панасенко для материалов, армиро-
- 23 -
ванных системами параллельных высокомодульных стержней, такими, что разнонаправленные стержни не пересекаются, а также для каркасных конструкций [9].
В заключении кратко перечисляются основные результаты диссертации.
- 24 -
ГЛАВА 1
МОДЕЛИ С ПРОИЗВОДНЫМИ ВЫСШЕГО
ПОРЯДКА ПО КООРДИНАТАМ И ПО ВРЕМЕНИ
В этой главе рассматриваются неоднородные среды, в которых напряжения являются функциями производных от перемещений по координатам, в частности, неоднородные упругие среды и неоднородные идеальные сжимаемые жидкости.
Для смесей и композитов, состоящих из линейно упругих компонентов с модулями упругости а^н, разными для разных компонент, алгоритм, описанный во введении, дает [9, 88], что в нулевом приближении по е эффективная среда является обычной линейно упругой средой с некоторыми эффективными модулями упругости а^к! И Средней ПЛОТНОСТЬЮ р. Эффективные модули 0,цЫ вычисляются через решения так называемых задач на ячейке.
Если масштаб изучаемых явлений таков, что нужно учитывать члены порядка е и выше, то в результате осреднения получается, что напряжения в эффективной среде зависят от производных высшего порядка от перемещений по координатам и по времени [9].
Феноменологически такие среды, в частности, вводятся в мо-ментных теориях упругости [122], [72], [73], [93], [71], а также при описании жидкостей, содержащих пузырьки газа или пара [51], жидкостей, проявляющих свойства, которые были названы внутренней капиллярностью [71], [119], [105], [106]. При применении используемой в этой работе процедуры осреднения высшие производные появляются в числе параметров состояния автоматически, и все соответствующие коэффициенты в уравнениях вычисляются через структуру среды.
В этой главе проводится исследование свойств уравнений, получающихся при осреднении с учетом членов порядка е и выше.
Рассмотрены три проблемы: 1) сохранение свойства бездисси-пативности при осреднении любой (в общем случае нелинейной) неоднородной периодической упругой среды при учете членов любого порядка по £, 2) формы осредненных уравнений для неоднородной периодической линейно упругой среды при учете членов
- 25 -
порядка е и выше, 3) вид главных членов, приводящих к появлению дисперсии в одномерной периодической среде.
В частности, показано, что можно провести осреднение таким образом, чтобы свойство исходных уравнений быть уравнениями Эйлера для некоторого периодического функционала сохранилось бы и для осредненных уравнений в приближении любого порядка точности по в.
Кроме того, показано, что если для процесса в неоднородной периодической среде существует интеграл энергии, то для осред-ненной среды интеграл энергии также существует.
Это означает, что для периодического композита при осреднении в приближении любого порядка точности по 8 не возникает диссипация, если она отсутствует в каждой из компонент.
Отметим, что в случайных структурах вязкость, а значит и диссипация, может возникать, даже если она отсутствует во всех компонентах [115].
1 Осредненные уравнения с учетом членов высшего порядка по е
Этот параграф содержит краткое изложение некоторых известных фактов, касающихся осреднения с учетом членов высшего порядка по е [9]. Он включен для облегчения дальнейших ссылок, а также для демонстрации того, как при осреднении могут возникать уравнения с высшими производными по координатам и времени.
Здесь рассмотрены только линейно упругие среды с быстро меняющимися в пространстве, но гладкими коэффициентами. В следующих параграфах будут рассматриваться нелинейные среды без предположений о гладкости определяющих функций.
Способ получения осредненных уравнений для периодической линейно упругой анизотропной среды, решение которых близко к решению исходных уравнений с точностью до £п, Уп > 0 , описан в книге [9].
Пусть период среды (I много меньше характерного линейного
-26-
размера задачи /, так что е = с1/1 « 1. Введем безразмерные медленные переменные Х{ = Хг/1 И быстрые переменные У1 = Х{/(1, тогда у{ = ж,-/е. В дальнейшем будем использовать только безразмерные переменные, опуская черту и обозначая их просто ж,-, Ух-
Пусть среда занимает область <7. Рассмотрим следующую задачу.
/>(?у)-^7 = Ьи + *), Ьи = t> о,
и\дс; = 0Ьбт» * > 0? «1<=о = 0? ^<|<я0 = 0,
где Атк{у) - матрицы упругих коэффициентов, периодические функции ?/, причем
если гд., г]т - столбцы симметричной матрицы.
Асимптотическое разложение решения этой задачи возможно записать в виде
00 .
Е £,+ Е (м)
<?,/=0 |:|=/
Здесь г - мультииндекс (г 1, г2, • ••,*/)> И = / - его длина,
8 * . дя+^г
у = у у л**» =------------------_________
НИр & ' • дР>дх^...дх(,'
№дг(у) - периодические матрицы б; х 5, V - вектор-функция, не зависящая от быстрых переменных; - рг^.л*. 'у ■:<>:*> * & + Подставляя ряд в исходную систему уравнений, получаем
оо
Е г,+'-2 Е н^у)П"\(х,г)\ - / ~ о, (1.2)
^=0 |*| яг/ ^ 1
где
Нд1.(у) — Ьуу1\'д1 4- Т?,-(у),
-27-
дАнЖі.
р^удгі...ц
(1.3)
АііІ2^Т я~2*і...і/
Задача состоит в построении функций А7ч{{у) таких, чтобы коэффициенты при €~2 и £~1 в уравнении (1.2) обратились в нуль, а остальные стали бы постоянными
где 1гч{ - постоянные матрицы.
Уравнения (1.4) вместе с условиями периодичности на границах ячейки представляют собой систему задач для определения Лгя>(у)> в процессе решения которых вычисляются и значения 1гч{. Отметим, что решения задач для ^(у) определяются с точностью до константы, следовательно, возможны различные выражения для кя{. Обычно произвол устраняется добавочным условием, чтобы среднее значение Л^(у) было равно нулю. Тогда первый член ряда (1.1), то есть функция и, совпадает со средним перемещением.
Матрицы кч{ являются коэффициентами осредненного уравнения. Действительно, соотношение (1.2) будет иметь вид
Задачи (1.4) решаются последовательно. Матрица Лдо полагается единичной. Общая формула для /г7,-, как видно из (1.3), (1.4), имеет вид
В частности, при учете только членов нулевого порядка по є уравнение (1.5) не содержит высших производных по координатам и времени. Оно имеет вид
НЧі(у) = Нді, /і,; = 0 при <7 + / < 1 (1.4)
Ьді —
-28-
где
Р&) = {Р) > Атк = • У
Свойства эффективной среды определяются коэффициентами /г7,-, в частности, их знаками, а также их свойствами симметрии. Существенные выводы о НЧг следуют из результатов следующего параграфа. В третьем параграфе этой главы исследуются коэффициенты Нф для д + |г| < 6 для слоистой среды.
2 Осреднение задачи отыскания стационарных точек функционала
В этом параграфе показывается, что при определенной трактовке уравнение Эйлера для стационарной точки периодического функционала в приближении любого порядка точности по в соответствует уравнению Эйлера некоторого осредненного функционала.
Эта задача в отношении приближения нулевого порядка рассмотрена в [27], [9]. Для сред с гладко меняющимися свойствами проводимые далее построения можно провести на языке дифференциальных уравнений. Однако в приложениях типичен случай, когда свойства среды меняются дискретно - на границах между различными компонентами. Поэтому здесь используются формулировки задач в виде интегральных соотношений.
Для наглядности изложения все построения подробно проводятся для скалярного случая и функционалов простейшего вида, зависящих только от первых производных решения по координатам. Необходимые изменения, относящиеся к векторному случаю и зависимости от высших производных, указаны в работе [16].
Изучается задача о стационарных точках функционала
I(и) = ! О' (у, х, gradu)c&r,
х = (х*ь у = 0/1,..., т/,), Уз = Хз/е, (1х = (1х!
и - 1-периодическая по каждой из переменных У3, интегрирование по всему 5 - мерному пространству. Предполагается, что V - бесконечно дифференцируемая по аргументам Xj и и$ = ди/дх},