Применение метода вихревых частиц к задачам динамики вязкой жидкости

2
СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ
Вихревой метод, его достоинства и недостатки.............................3
Обзор развития вихревых методов в последние годы.........................4
Цели и содержание работы................................................6'
1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ, АЛГОРИТМИЗАЦИЯ И ОПТИМИЗАЦИЯ
ВИХРЕВОГО МЕТОДА. ........................................................ »0
1.1 .Теоретические основы метола..........................................10
Постановка задачи......................................................./0
Схема расщепления....................................................../ /
Ди<^)фузионное слагаемое................................................14
Конвективное слагаемое..................................................IВ
Вычисление граничных условий............................................19
Перераспределение вихрей................................................22
Многоблочные сетки......................................................26
Моделирование тем.......................................................29
Моделирование экрана....................................................30
1.2. ВЫЧИСЛИ! !ИЕ СИЛ.....................................................32
Определение сил с помощью закона количества движения....................32
Определение сил из рас пределе нш давления..............................33
1.3. Обобщение вихревого метода. Введение модели турбулентности...........35
Уравнение модели Спэларта-Аямэраса......................................36
Коррекция модели. Модель КАЯС...........................................38
1.4. ОРГАНИЗАЦИЯ ВЫЧИСЛЕНИЙ...............................................39
Оптимизация для многопроцессорных систем................................41
2. ВЕРИФИКАЦИЯ МЕТОДА НА ПРИМЕРЕ ОБТЕКАНИЯ КРУГОВОГО ЦИЛИНДРА.
________________________________________________________________________ 42
2.1. Введение....................... :...................................42
2.2. Результаты расчета...................................................44
2.3. Заключение...........................................................61
3. ДИНАМИКА ВИХРЕВОГО СЛЕДА ЗА ЛЕТАТЕЛЬНЫМ АППАРАТОМ.........................62
3.1. Введение........................................................... 62
3.2. Постановка задачи....................................................67
Некоторые оценки из потенциальной теории и противоречия с экспериментами. 67
Методика исследования...................................................70
3.3. ДИНАМИКА ВИХРЕЙ ВБЛИЗИ ТВЕРДОЙ СТЕНКИ................................71
Результаты расчета......................................................72
3.4. Устойчивость РЕШЕНИЯ.................................................85
3.5. Оценка и учет турбулентности.........................................89
3.6. Влияние концевых вихрей на динамику экраноплана.....................100
3.7. Результаты моделирования динамики экраноплана.......................103
Пересечение следа под прямым углом.....................................103
Пересечение вихревого следа под углом..................................107
Движение параллельным курсом...........................................111
3.8. Заключение! ........................................................115
4. ОТРЫВНОЕ ОБТЕКАНИЕ ПРОИЗВОЛЬНОГО КОНТУРА С УЧЕТОМ
ТУРБУЛЕНТНОСТИ -............................................................116
4.1. Нестационарное отрывное обтекание крыльевого профиля......1.........116
4.2. Расчет боковой силы, действующей на корпус дрейфующего судна........124
ЗАКЛЮЧЕНИЕ............................................................... 130
ЛИТЕРАТУР А............................. ............................... 133
3
Введение.
Вихревой метод, его достоинства и недостатки.
Целью данной диссертационной работы является разработка и приложение вихреного метода к задачам динамики вязкой жидкости. Согласно вихревому методу, основанному на лагранжевом описании движения жидкости, движущиеся зоны завихренности моделируются набором вихревых частиц, каждая из которых характеризуется формой, интенсивностью и линейными размерами. В настоящей работе в качестве таких частиц используются двумерные дискретные вихри, перераспределяемые в каждый момент времени между узлами некоторой вспомогательной неподвижной сетки, что позволяет избежать нерегулярности в их размещении и обеспечить устойчивость метода. Вихри перемещаются вместе с жидкими частицами с локальной скоростью потока и их завихренность меняется согласно уравнениям переноса. В вязкой жидкости наряду с конвекцией вихревых элементов учитывается их диффузия и генерация новых вихрей на границах потока.
Вихревые методы базируются на представлении скорости в виде суммы градиента скалярной функции и ротора векторного потенциала, законе Био-Савара и уравнении Иавье-Стокса, записанного в переменных завихренность - скорость. Как показывает история вычислительной гидродинамики, вихревые методы являются мощным и эффективным инструментом теоретического исследования концентрированных вихревых структур, обладая при этом перспективами дальнейшего совершенствования. Они имеют следующие преимущества по сравнению с традиционными конечно-разностными, конечно-элементными и псевдоспсктральными подходами [6], [68]:
• Вычислительные вихревые методы, базирующиеся на лагранжевом описании, требуют размещения вычислительных элементов только в ограниченной части потока, там где завихренность не равна нулю (фактически в очень малой части потока). Это преимущество особенно заметно проявляется при решении безграничных задач и нестационарных задач.
• Вихревые методы содержат меньшую искусственную вязкость, по сравнению с конечно-разностным представлением конвективных слагаемых в уравнении Иавье-Стокса.
• В вихревом методе непосредственно рассчитывается завихренность, а скорость получается интегрированием по закону Био-Савара. В итоге, ошибка вычисления скорости много меньше, чем в конечно-разностных методах той же точности, в которых скорости вычисляются непосредственно.
4
• При использовании вихревых методов проблема устойчивости расчетов при высоких числах Рейнольдса не столь остра, как в других методах.
• Вихревой метод универсален, прост и „прозрачен“. Благодаря этому облегчается контроль результатов и существует интуитивное понимание связи между математической моделью и моделируемой задачей.
• Вихревой метод предоставляет точное автоматическое выполнение граничных условий на бесконечности.
Конечно идеальных численных методов не существует, и вихревые
методы обладают рядом серьезных недостатков, которые также следует
отметить [6], [68]:
• Прежде всего это огромные затраты памяти при требующем высокого разрешения моделировании течений с высокими числами Рейнольдса. Учет турбулентности также увеличивает эти затраты. Сюда же следует отнести и огромные затраты расчетного времени, требующиеся для моделирования нестационарных задач.
• Несмотря на утверждение в ряде работ о полном отсутствии искусственной вязкости в вихревых методах, искусственная диффузия вихревых образований все же имеет место быть. При этом имеются различные источники ее образования. Наиболее заметный вклад вносят ошибки вычисления конвекции вихревых частиц. Как показано в работе [49], использование метода Эйлера при моделировании конвекции вихря Ранкина в идеальной жидкости приводит к тому, что дискретные вихри, моделирующие его, будут двигаться не по окружностям, следующим из точного решения, а по касательным к ним, переходя на внешние орбиты. В результате вихрь Ранкина будет расплываться на плоскости, как будто он испытывает численную диффузию[49].
• В ряде вариантов вихревых методов существуют свободные параметры, для выбора которых отсутствуют надежные и универсальные критерии. В большинстве случаев введение свободных параметров необходимо для стабилизации счета или для учета вязкости.
• Существуют трудности в постановке граничных условий на твердых и свободных границах потока.
• Вихревые методы сравнительно новые и поэтому еще слабо апробированы для сложных гидродинамических задач таких, как отрывные течения и турбулентность. Это отталкивает многих исследователей при выборе метода решения задачи.
Обзор развития вихревых методов в последние годы.
Начало вычислительному методу вихрей было положено в
теоретических работах Гельмгольца [42]. Теоремы Гельмгольца
5
конструктивно используются практически во всех вариантах вихревого метода. Впервые вихревой метод был использован в работе Розенхеда |65] для моделирования динамики тангенциального разрыва. Интенсивное развитие и применение вихревых методов началось в шестидесятых годах. Объектом исследования в подавляющем большинстве работ было отрывное обтекание двумерного контура с фиксированными точками отрыва. В семидесятые годы началось освоение трехмерных задач. В конце семидесятых годов сформировалось направление, целыо которого стало обобщение вихревых методов для исследования задач двумерного турбулентного движения жидкости. Это направление развивалось и в следующем десятилетии. В восьмидесятые годы продолжалось также исследование трехмерных задач отрывного обтекания с помощью вихревых методов, создавались алгоритмы и программы для решения прикладных инженерных задач. Как важное достижение следует отметить также разработку вихревых методов для решения широкого круга задач теории волнового движения, глиссирования и кавитации.
Следует отметить ряд отечественных исследователей, занимавшихся в эти десятилетия вихревыми методами. В первую очередь это С.М. Бслоцсрковский и его школа [2], [3], [4], М.И. Пишт, A.C. Гиневский, А.Н. Майборода |9], В.Ф. Молчанов, H.A. Новиков [10], В.И. Юшин [16], В.К. Трсшков [7], [11], [15], М.А. Басин [1], [22]. Зарубежные исследования представлены в блестящем и наиболее полном на сегодняшний день обзоре вихревых методов Т. Сарпкайя [68], в котором проанализировано около 600 работ. Также следует упомянуть работы А. Леонарда [53], [54], являющегося одним из наиболее крупных авторитетов в этой области. Другие наиболее принципиальные работы в области математического обоснования вихревых методов были сделаны Дж. Т. Биллом, А. Майдой [23], Грингардом |41|, Ху [43] и др.
В последние годы вихревые методы испытывают „второе дыхание“ после их бурного расцвета в 60 -с и 70 -е годы. В первую очередь возвращение интереса к вихревым методам объясняется значительным ростом мощности вычислительной техники и ростом степени ес доступности. С одной стороны, доступность вычислительной техники проявляется в том, что сегодня любой ученый или даже студент имеет доступ к высокопроизводительным системам, способным решать достаточно сложные задачи. Повышение мощности компьютеров с другой стороны приводит к тому, что широкий класс аэрогидродинамических задач можно сегодня решать без разработки каких-либо упрощающих теорий и предположений, которые, как показывает история развития гидромеханики, не всегда оправданы. Гак. к примеру, сегодня возможно проводить прямые численные исследования динамики жидкост и, не только не отказываясь от
6
рассмотрения эффектов вязкости, но и проводя в некоторых случаях прямое моделирование турбулентности [26]. И вихревые методы предоставляют на этом пути широкие возможности.
Подробный обзор развития вихревых методов в последнее десятилетие представлен в работе Н.В. Корнева [6]. Поэтому в настоящем введении будут отмечены только работы появившиеся после выхода обзора [6]. Основными путями развития вихревых методом в девяностые годы стали четыре следующих направления:
• Основой любого качественного численного метода являются Эффективность И достоверное 1Ь [26]. Эффективность проявляется в том, что число вычислительных элементов должно быть сведено к минимуму, не теряя при этом качества решения. Это означает, что основные усилия в разработке современных вихревых методов должны быть сосредоточены на создании и приложении быстрых алгоритмов, дающих при этом возможность моделирования как можно более широкого круга практически значимых задач. Поэтому разработка быстрых алгоритмов, направленных на устранение громоздкости и повышенных вычислительных требований вихревых методов стала приоритетным направлением в развитии вихревых методов в последние годы. Сюда следует также отнести и привлечение современного математического аппарата. Основные достижения в этой области были сделаны Грингардом [41], Блиссом, Андерсоном [18]. Цикл работ Грингарда посвящен ускорению расчетов путем использования кластеризации частиц. Вихревые частицы объединяются в иерархические конгломераты различного масштаба и расчет взаимодействия с другими дальними конгломератами производится с помошыо мультипольных разложений. В работе [18| предлагается комбинация метода вихрь - ячейка с методом прямого суммирования по закону Био-Савара. Наиболее поздние исследования Корнева Н.В. [47] показали, что наибольшая производительность вычислительного метода вихрей достигается при использовании комбинации метода Грингарда и метода вихрь-ячейка. Дополнительным и немаловажным способом повышения мощности вихревых методов в последнее время стало вычисление скорости, индуцированной вихрями, через векторный потенциал, определяемый из решения уравнения Пуассона вместо непосредственного применения закона Ьио-Савара. В настоящей работе для решения уравнения Пуассона применяется мегод быстрою преобразования Фурье.
• Обобщение вихревых методе в для решен и я задач дин амик и вязкой жидкости. Эта проблема состоит из двух задач: моделирование вязкой диффузии и учет граничных условий. Для моделирования диффузии использовались и дстсрмшшсшческий, и стохастический методы. Здесь
7
следует отметить работы Леонарда, Грингарда, Мас-Галлика и Дегонда[35]. Одна из последних работ Хуберсона и др. [44] посвящена расширению существующих численных схем расчета диффузии для задач с неоднородной вязкостью (турбулентные течения). В работе рассматриваются метод случайных блужданий (Random Walk Method), метод обмена завихренностью (Strength Exchange Method) и модель диффузионной скорости (Diffusion Velocity Model), базирующаяся на законе Фика. К сожалению строгих и четких выводов о преимуществах какого либо метода получено не было. Как показывают личные исследования автора, этот вопрос нуждается в дальнейшем изучении. 11рименению метода обмена завихренностью посвящена и работа [24J, в которой метод Мас-Галлика и Дегонда [35] обобщается на широкий класс задач и в частности на задачи с граничными условиями Нейманна. В работе Вольфа и Стриклэнда [82] описывается применение модели диффузионной скорости для вычисления диффузионного слагаемого с использованием набора вихревых элементов близкою к работе |26]. Также интересной представляется работа [17] в которой метод случайных блужданий применяется для задачи со сложными граничными условиями (волнообразные (гофрированные) стенки). Значительные результаты по учету граничных условий были получены Комотсакосом и др. [54] (развитие идей Лантхилла [56]), Бернардом [25], [26] (использование в качестве вихревых частиц прямоугольных кусков вихревой пелены, причем элементы прилегающие к границе потока полагаются неподвижными, а их интенсивность равна отношению скорости на их верхней границе к их полуширине). Ни [62] (использование для вычисления условия прилипания вихревых слоев и слоев источников).
• Моделирование турбулентных течений. Среди новых работ посвященных развитию вихревых методов для решения турбулентных задач следует отметить очередную работу А.Чорина 120]. Несомненно в этом разделе стоит упомянуть и работу Бернарда [26] описывающую турбулентное моделирование обтекания сфероидов с помощью вихревого метода и показывающую, что моделирование когерентных структур в свободных вихревых потоках возможно в рамках вихревых методов без привлечения дополнительных гипотез феменологического характера. Хотя основным средством моделирования турбулентности в вихревых методах пока остается «моделирование крупными вихревыми структурами» (Dirge Eddy Simulation, LES), однако появляются и работы в которых производится попытка синтеза вихревого метода и полу эмпирических моделей турбулентности [12]. Примером такого подхода к учету турбулентности является и настоящая работа. Одной из наиболее поздних тенденций в моделировании турбулентности является так называемое Detached-Eddy
8
Simulation (DES) [39], [69], [74], которое объединяет моделирование крупными вихревыми структурами по модели Смагоринского в свободном потоке и полуэмпирические модели турбулентности (SA) вблизи стенки.
• Практическое применение вихревых методов для решения инженерных задач. Наиболее выдающиеся результаты в этом направлении были получены в работе Маршалла и Гранта [60], в которой вихревые частицы использовались для расчета взаимодействия крыльевой лопасти и вихревою шнура, находящегося в вихревом потоке. Из других значительных практических результатов следует отмстить цикл работ Леонарда [53], [54J посвященный детальному и высокоточному моделированию импульсно стартующего цилиндра с большим объемом сравнений с численными и экспериментальными результатами. Работа Лин и Везза [57] представляет интересные результаты моделирования крыльевого профиля при больших углах атаки и числах Рейнольдса. Работа Ху 183] посвящена изучению отрывною обтекания профиля с интерцептором.
Рее отмеченные выше направления развития вихревых методов нашли свое отражение и в данной диссертационной работе, в которой делается попытка обобщения вихревого метода для решения практических задач динамики вязкой жидкости с учетом турбулентности и граничных условий. Данный обзор дополняют введения к каждой главе данной диссертации, где рассмотрены конкретные проблемы.
Цели и содержание работы
Целью работы является дальнейшее развитие вихревого метода, разработка алгоритмических вопросов его реализации и применение метода для решении конкретных задач динамики вязкой жидкости.
Для достижения поставленной цели необходимо было рассмотреть ряд конкретных физико-математических проблем, в том числе:
• Разработка эффективных численных методов и алгоритмов решения уравнений Навье-Стокса вихревым методом.
• Моделирование турбулентности в рамках вихревого метода.
• Апробация метода, оценка точности и эффективности метода на примере исследования задач, для которых существуют либо точные аналитические решения, либо надежные численные или экспериментальные результаты.
В качестве прикладных задач гидродинамики вязкой жидкости рассматриваются следующие проблемы:
9
• Разработка вихревого метода для расчета отрывного обтекания двумерных контуров потоком вязкой жидкости с учетом внешних границ и турбулентности.
• Динамика концевых вихрей вблизи твердой стенки. Анализ устойчивости образования вторичных вихревых систем. Влияние концевых вихрей на динамику экраноилана. Исследование безопасности полета пары экранопланов.
• Применение вихревого метода к задачам управляемости судна. Получение отрывной составляющей боковой силы на корпусе дрейфующего судна.
Диссертация состоит из введения, четырех глав и заключения. Во введении рассмат риваю гея достоинства и недостат ки вихревых методов, и проводится краткий обзор последних работ в этой области и тенденций развития вихревых методов. Завершается введение описанием целей диссертационной работы. В первой главе рассмотрены теоретические вопросы построения эффективною вихревого метода, пригодного для решения задач гидродинамики с учетом вязкости и граничных условий. Метод вихревых частиц обобщается на случай учета турбулентности путем сопряжения с базирующимися на вихревой вязкости (eddy viscosity) моделями турбулентности (модель Спэларта-Алмэраса, модель SARC). Также в этой главе производится обобщение метода Донор-Акцептор на случай неоднородной вязкости. Среди прочего рассматриваются достоинства и недостатки различных диффузионных численных схем, различные алгоритмы регуляризации вихревого поля и обсуждается применение многоуровневых и неоднородных сеток для вихревых методов. Во второй главе метод апробируется на примере мгновенного старта круговою цилиндра в диапазоне чисел Рейнольдса 120-9500, и проводится сравнение с экспериментальными данными и численными расчетами других авторов. В третей главе исследуется динамика концевых вихрей вблизи твердой стенки в ламинарной и турбулентной постановках задачи, и изучается влияние концевых вихрей на динамику экраноплана. Четвертая, заключительная, глава данной работы посвящена применению описанного вихревою метода к расчету обтекания произвольного контура ламинарным или турбулентным потоком вязкой жидкости с учетом различных граничных условий. В качестве примеров рассматриваются обтекание крыльевого профиля движущегося с различными углами атаки и при различных числах Рейнольдса и использование метода плоских сечений для получения отрывной составляющей боковой силы на корпусе дрейфующего судна. В заключении кратко обобщаются и перечисляются основные результаты данной диссертационной работы. Завершается работа списком используемой литературы.
10
1. Теоретические основы, алгоритмизация и оптимизация вихревого метода.
1.1.Теоретические основы метода
Постановка задачи
Рассмотрим задачу движения профиля (В) из состояния покоя в области вязкой жидкости (О). 13 начальный момент времени вихри в потоке отсутствуют. 13 начальный момент времени суммарная циркуляция течения равна нулю. В силу инвариантности вихря суммарная циркуляция равна нулю во все последующие моменты времени
Г = 0 (1.1)
В каждый момент времени поле завихренности можно представить состоящим из двух зон: свободное вихревое поле и вихревая пелена на профиле.
Свободное вихревое поле (\\0 будет моделироваться системой дискретных вихрей, расположенных в узлах прямоугольной однородной сетки. Вихревая пелена на теле моделируется системой прямолинейных отрезков вихревого слоя с линейным распределением интенсивности.
Рис. 1.1 Расчетная область.
Необходимо вычислить распределение коэффициента давления но телу, коэффициенты сил и моментов, распределение завихренности в потоке.
11
Схема расщепления
Теоретической основой метода расчета является численная схема растепления уравнений Павье-Стокса с учетом граничных условий, полученная в работе [48]. Основное отличие этой схемы от предыдущих состоит в том, что схема Басина - Корнева получена сірого из начально-краевой задачи для уравнений Павье-Стокса и не содержит каких-либо эвристических идей. Суть этой схемы состоит в преобразовании уравнений Павье-Стокса в уравнения в частных производных, по виду' подобным уравнениям параболического типа. Затем интегральное представление решения квазипараболического уравнения раскладывается в ряды Тейлора по малому шагу по времени Л/ и используется аппроксимация первого порядка по параметру At.
Уравнения Павье-Стокса для завихренности гу записанные в виде:
— = (<yV)v + уАсо , (1.2)
dt
где V - динамическая вязкость, a t - время могут быть переписаны в переменных Лагранжа Xкак:
~-vAxCl = Ф(ЛГ) (13)
dt
где
Ф = у (grad ХА х (Q Grad х) - А х Q) , Q = со ■ grad* ,
^ , dx , dX
Grad х = —, grad x = —
dX dx
Уравнение (1.3) является дифференциальным уравнением в частных производных параболического типа. Общее решение начально-краевой задачи для такого уравнения может быть записано в виде [6]:
і
£!(*„,О = [Ш,І0МХ0,1-,Х,і0)сІХ + I j0(X,T)C,(Xo,f,X,T)dXd
Г +
I
+ |, j/KXs,t)G(X„,f,Xs,T)<IXsdT (1.4)
*0
где G(Xo,t; X, т) - фундаментальное решение уравнения теплопроводности.
Предположим, что в момент времени t поле завихренности известно и нам надо продолжить решение на время t+At. Полаг ая, что X равно х в момент времени I, получим [6]:
Ф(*,0 = 0, Grad x(t) = grad *(0 = 1, ß**,0 = ß(*,0 (1-5)
Полагая, что функция Ф является достаточно гладкой, мы можем
получить следующие разложения в ряд Тейлора относительно момента времени / [6]:
Ф(*,/ + А/ ) = —(*,/)At 4 ()(At2) (1.6)
dt