Пространственно-временная фильтрация состояния распределенных систем

УДК 621.3%.%
2
Таран В.И.
Нространсгаеншг времсшіаяг фильтрация состояния распределенных систем: Монографий. РВВКЙУРВ, 1998.
В монографии рассматривается разработанная автором теория пространственно-временной фильтрации распределенных сисісм. Фундаментом работы являются два принципа, положенные в основу теории по-луїрупповой принцип синтеза алгоритмов фильтрации, обобщающий статистическую теорию фильтраций на бесконечномерные системы и второй принцип синтеза основан на использовании полуолределенного функционала Красовскої о. Фундаментальная роль теории фильтрации и достаточное количество примеров позволяет использовать монографию в учебном процессе для курсантов всех факультетов.
РОССИЙСКАЯ
ГОСУДАРСТВЕННАЯ
БИБЛИОТЕКА
з
ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение........................................................6
1. Основные ПОНЯТИЯ......................................... 11
1.1. Множества.............................................И
1.2. Пространства...................................... .15
1.3. Континуальный интеграл *.............................21
1.4. Дифференцирование в векторных пространствах..........29
2. Полу групповой принцип синтеза алгоритмов фильтрации параметров движения летательных аппаратов.....................33
2.1. Полугруппы, порождаемые движением летательных аппаратов.......................................................33
2.2. Полугруппы, порождаемые наблюдением..............,.ЛЛ4В
2.3. Эволюционное уравнение фильтрации....................59
3. Оптимальное сопровождение маневрирующей цели по критерию минимума полуопределенного функционала......................69
3.1. Обоснование сопровождения маневрирующей цели по критерию минимума полуопределенного функционала 69
3.2. Уравнение для стационарной точки функционала качества..73
3.3. Метод последовательною приближения к оптимально^ решению...............................................
3.4. Максимально правдоподобная оценка траектории движения цели........................................................87
\
\
\
4
4. Пространственно-временная фильтрация параметров движения точечной цели на основе полугруппового принципа синтеза 95
4.1. Приближения геометрической оптики пространственно-временных сигналов.........................................95
4.2. Пространственно-временная фильтрация при распространении сигнала в неоднородной среде........................102
4.3. Определение параметров движения высокоскоростного объекта на основе пространственно-временной обработки некогерентных сигналов......................................114
4.4. Применение стохастических полугрупп операторов для решения задачи пространственно-временной фильтрации...........128
5. Пространственно-временная фильтрация состояния распределенной системы на основе полугруппового принципа синтеза....136
5.1 Получение информации о состоянии пространственно -
распределенной системы...............................136
5.2. Функциональное уравнение электромагнитного поля в стохастической неоднородной среде............................145
5.3. Функциональное уравнение длинной линии..............152
6. Интерполяционная (интервальная) оценка параметров пространственно - распределенной системы по критерию обобщенной работы ...................................... 165
6.1. Математическая модель пространственно-распределенной системы газодинамического типа............................165
6.2. Метод динамического усвоения данных наблюдения метеорологических величин...................................Г/6
6.3. Применение метода прогнозирующей модели для решения обратных задач газовой динамики......................185
6.4. Оценка газодинамических параметров точечного взрыва.... 191
Точечная оценка состояния распределенной системы по критерию минимума обобщенной работы..........................196
7.1. Мегод инвариантного погружения ......................196
7.2. Точечная оценка состояния сосредоточенных систем 201
7.3. Точечная оценка состояния пространственно - распределенных систем........................................... 217
Литература................................................. 228
6
Введение
Задачи оптимальней фильтрации (оценки) состояния распределенных в пространстве систем возникают всякий раз, когда требуется управлять такими системами. Отсюда видно, что теория фильтрации и теория управления развиваются не только синхронно во времени, но и взаимно влияют друг на друга, используя достижения в сопряженных областях.
В предлагаемой книге рассмотрены некоторые проблемы управления, вначале для конечномерных систем (сосредоточенных), а затем и для распределенных в пространстве, которые послужили базой для создания алгоритмов фильтрации.
Одновременно развивается и строго классический подход к фильтрации, основанный па представлении процессов и полей случайными конструкциями марковского тина.
Теория пространственно-временной фильтрации еще находится в начальной фазе своего становления. Это и понятно, поскольку она стала разрабатываться уже после того, как были получены основные результаты в теории фильтрации для сосредоточенных систем, созданные трудами Колмогорова, Винера, Калмаиа, Стратоновича и др.
В основу книги легли материалы работ автора и его учеников, лежащие в русле направления, сформированного A.A. Красовским, синтеза оптимального управления но так называемому нолуопределенному функционалу. Фильтрация параметров систем здесь строится на основе определения таких воздействий на модель системы, что реакция модели на сформированное управление и наблюдаемое движение системы были бы близки в смысле заданного функционала качества, каковым может быть, например, среднеквадратаческая ошибка.
7
Движения модели» которые доставляют экстремум функционала качества, принимаются за оценку реального состояния рассматриваемой системы.
С другой стороны» следует отметить влияние работ Фейнмана, Дынки-на. Иго, Монина, Яглома и других на результаты, полученные автором в направлении развития теории полугрупп на пространственно-распределенные системы.
Здесь уместно проследить качественные изменения понятий при переходе к бесконечным параметрам некоторой абстрактной системы уравнения.
Начнем с обыкновенных алгебраических уравнений. Если устремлять количество неизвестных в системе алгебраических уравнений к бесконечности, то при определенных условиях (которые не играют важной роли для
пояснения мысли, но существенны для теоретического построения) эта
\
система переходит к системе обыкновенных дифференциальных уравнений. Здесь вошло в рассмотрение время, а вслед за ним и движение. Посмотрим, что же происходит при этом с функцией качества, заданной на этих алгебраических уравнениях. Для определения экстремального значения параметров системы алгебраических уравнений, как известно, необходимо было продифференцировать функцию качества по независимым переменным и приравнять ее к нулю. Получилась опять конечная система алгебраических уравнений. При переходе к бесконечному количеству переменных эта система (в подходящих случаях) перетекает в систему обыкновенных дифференциальных уравнений, а функция качества превращается в функционал. Систему обыкновенных дифференциальных уравнений, полученных при экстремальном значении функционала, называют уравнениями Эйлера-Лагранжа.
Здесь мы рассмотрели только идею, опустив все теоретические подробности предельных переходов.
Перейдем теперь ко второму этапу анализа качественных изменений.
Выберем систему обыкновенных дифференциальных уравнений, устремим их количество к бесконечности и вновь перейдем к некоторой конструкции под названием "дифференциальные уравнения в частных производных". А здесь вошло в рассмотрение не только время, но и пространство.
Функционал качества также изменится, теперь он станет зависимым не только от функций; аргументом которых является время, но и от функций, аргументом которых являются время и пространственные координаты. В общем случае от конечного их количества.
Условия, при которых функционал качества достигает экстремума, также изменяются. Теперь они выльются в систему дифференциальных уравнений в частных производных.
Наконец, сделаем еще один шаг. Рассмотрим систему уравнений в частных производных и устремим их количество в бесконечность. При определенных условиях это приведет к системе уравнений в функциональных производных. При этом функционал качества, заданный на системе дифференциальных уравнений с частными производными, также перейдет в новый ранг. Аргументом его станут не функции, а функционалы. Аналогично изменяются и уравнения, описывающие экстремум функционала качества. Теперь они станут уравнениями в фунгсциональных производных.
Рассуждения подобного типа можно продолжить и далее, но из этих абстрактных построений мы остановимся на тех конструкциях, которые отвечают потребностям практики.
Уравнения в функциональных производных являются относительно новым классом уравнений. У истоков этих понятий стояли Фейнман, по-
видимому первый, кто систематически рассматривал континуальный интеграл (иначе интеграл по траекториям), лежащий в основе функционала плотности вероятностной меры; Хопф, впервые получивший (1952 г.) уравнения в вариационных производных для функционала плотности вероятности; Татарский, Новиков, Монип, Яглом и др.
В направлении изучения и решения уравнений в функциональных производных сделаны только первые шаги.
Пространственно-распределенные системы, находящиеся под воздействием случайных полей, описываются уравнениями в частных производных и, следовательно, для описания их поведения необходимо привлекать вероятностные характеристики.
Наиболее полной характеристикой случайного поля является функционал вероятпостной меры. Если быть последовательным сторонником теории случайных процессов броуновскою типа, а более широко - марковских процессов, то для плотности вероятностной меры неизбежно приходим: для систем, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями, к уравнениям в частных производных параболического типа; для систем, описываемых дифференциальными уравнениями с частными производными, к уравнениям в функциональных производных, также параболического типа.
При этих переходах возникает одно замечательное обстоятельство. Если на исходную нелинейную систему дсйсгиуют процессы и поля броуновского типа, то несмотря на нелинейность исходной системы, уравнения для плотности вероятностной меры являются линейными. Это позволяет использовать богатый арсенал линейной теории для исследования поведения сугубо нелинейных систем.
Книга адресована в первую очередь аспирантам, адъюнктам и другим исследователям, которые вега л и на нелегкий путь добычи новых знаний.
С другой стороны, обилие примеров синтеза конкретных систем позволяет надеяться, что книга может быть полезной для преподавателей, являющихся руководителями дипломных проектов, и курсантов, как при изучении ими дисциплин радиотехнического профиля, так и при работе над курсовыми и дипломными проектами.
Выражаю искреннюю благодарность своему учителю Расщепляеву Юрию Семеновичу за конструктивную критику, благодаря которой были получены многие интересные результаты; друзьям, в особенности Хутор-цеву Валерию Владимировичу и Соколову Сергею Викторовичу, за поддержку и плодотворную дискуссию; ученикам, Костоглотову Андрею Александровичу, Детистову Владимиру Анатольевичу и Трофименко Владимиру Николаевичу, за разрабопсу и доведение до логически завершенных результатов высказанных идей; Юхнову Василию Ивановичу и Сергеевой Елене Владимировне за оформительский труд.
и
1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
1.1. Множества
Само по себе понятие множество достаточно простое, однако потребовалось значительно времени и усилий для его осознания. Теория множеств как математическая дисциплина - плод трудов многих математиков Особую роль в ее организации играл Г. Кантор (1845-1918 г.) [1.1,1.2]. Согласно Кантору, множество есть собрание определенных и различимых между собой объектов [1.3-1.8]. Это понятие является базовым, или первичным, и потому сведение его понятия к другим является невозможным. Наоборот, многое другое будем определять через понятие множества.
Множества обычно обозначаются прописными буквами (А, а их
элементы - малыми (а. в). Принадлежность элемента к множеству будем обозначать а е А, а запись а £ А означает, что элемент а не принадлежит' множеству А . Наряду с множеством вводят понятие подмножество. Принадлежность некоторого подмножества А множеству В записывают следующим образом А а В . Пустое множество обозначают 0.
На множестве вводят операцию объединения [ 1.3,1.4,1.6]
С^лив, (1.1)
которая означает, что множество С состоит из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств А или В (рис. 1.1), и операцию пересечения
С=АПВ. 1.2)
где мнохсесгво С состоит из тех и только тех элементов, которые принадлежат как А. так и В (рис. 1.2).
А В
С-АС/ В
в
С = АПВ
Определим для множеств операцию вычитания. Разностью С = А\ В множеств А и В называется совокупность тех элементов из А, которые не содержатся в В (рис. 1.3).
Теория множеств позволяет с самых общих позиций рассматривать такие математические понятия, как функция, функционал, оператор,
представляя их как отображение одного множества на другое.
Под отображением / понимают операцию соответствия элементов одного множества А элементам другого множества В. Для отображения используют запись
/:А-*В9 (1.3)
что означает
Ь = )'(а\
где а е А и Ь еЯ, при этом множество А называют областью определения, а В - областью значений отображения.
В дальнейшем будем часто пользоваться множествами, число элементов которых бесконечно. Для таких множеств интуитивное понятие количества элементов теряет смысл. Кантор предложил ввести понятия мощности множеств следующим образом: “Если два вполне определенных много об-
разня1 М и N МОЖНО поэлементно ИОСТаВИТЬ В соответствие Друг с» другом однозначно и полностью (что, когда это возможно одним способом, всегда таюке может быть сделано и многими другими), то да позволено будет в дальнейшем употреблять выражение, что эти многообразия имеют равную мощность, или что они эквивалентны’" (1.2).
Простейшим среди бесконечных множеств является множество натуральных чисел, которое в определенном смысле является “эталоном” мощности счегных множеств. Под счетными множествами понимается всякое бесконечное множество, элементам которого можно взаимно однозначно сопоставить элементы множества из натуральных чисел. В [1.4} показывается, что множество всех целых и рациональных чисел счетно.
Может показаться, что все бесконечные множества являются счетными, однако это не так. Кантором доказана теорема, утверждающая, что множество действительных чисел, заключенных между нулем и единицей, несчетно. Это множество имеет мощность “большую”, чем мощность множества натуральных чисел. Про множества, эквивалентные множеству действительных чисел из отрезкз (0;11, говорят, что они имеют мощность коп т-нуума 11.4). Поскольку всегда можно из некоторого множества А сконструировать некое множество В, куда будет входить множество Л и различные его подмножества Се А , то из [1.4] следует, что мощность полученного таким образом множества В больше, чем исходного Л. Таким образом, шкала мощностей множеств не ограничена сверху.
Множество Лг называется кольцом, если любые подмножества А и В этого множества удовлетворяет условиям
АиВеК, АГ\Ве К, ЛеЛ,ВеЛ. (1.4)
1 Здесь Кантор еще не использует понятие множества, & вслед т« Романом использует термин многообразие, что говорит о чрезвычайно трудном пути формирования теории множеств.
Выражения (1.4) означают, что множество, составляющее кольцо, замкнуто относительно конечных объединений и пересечений подмножеств из Ж
С= и А,,О- Г) А, ,А, ^Ж,СеЖ,Г)еЖ'. (1.5)
к~\ К к=\ К к
Если в кольце найдется такое подмножество Еа Ж, что любое подмножество А из Ж удовлетворяет условию
АПЕ = А, (1.6)
то Е называется единицей, а кольцо ж алгеброй.
В теории случайных процессов и полей часто приходится рассматривать не только конечные , но и счетные объединения и пересечения множеств. В этом случае кольцо множеств называют о -кольцом. Иными словами о кольцо содержит не только множества Л\,А2>..А„ ......., по и их сумму
Ь' = 1\Лп. (1.7)
п
Аналогично определяется б - кольцо
»=ПЛп . (1.8 )
п
Как о -кольцо, так и 8 - кольцо с единицей Е называется соответственно а- и 8 - алгеброй.
Каждая о - алгебра является 5 - алгеброй и наоборот, поскольку соотношение двойственности
У лп = в \ П (Е \ Ап), ПА =£\1)(Е\ Л„)
п г п 1 п
позволяет сопоставить не только элементы алгебр друг другу, но и операции над ними.
15
1.2. Пространства
С некоторой общей точки зрения математика имеет дело только с множествами и операциями (или связями) над элементами этого множества. Эти связи формулируются абстрактным образом с помощью аксиом. Так дело обстоит и с понятием пространства.
Метрическим пространством называется пара ОК р), состоящая из некоторого множества 2С(пространства) элементов (точек) и расстояния между двумя любыми точками этого пространства.
Расстояние р должноудовлетворятьнекоторымтребованиям. Во-первых, р должно быть неотрицательной, однозначной, действительной функцией двух аргументов х и у . Во-вторых, удовлетворять очевидным аксиомам:
1) р(х>у) = 0, тогда и только тогда, когда х = у9х е X, у еХ; аксиома тождества;
2) р{хуу)=р(у>х\ аксиома симметрии;
3) р(хуг) < р(х,у) + р(у, 2), аксиома треугольника.
Введение на множестве Ж расстояния р позволяет с единых позиций рассматривать процессы предельного перехода и близости некоторых точек друг к другу.
Множество действительных чисел на прямой с расстоянием
образует метрическое пространство, которое обозначают /('
Множество упорядоченных групп из п действительных чисел с расстоянием
р(-‘\ >)=!*-.И
(1.9)
(1 10)
называется евклидовым пространством к п
16
Множество всех непрерывных действительных функций, определенных на интервале [ я, Ь ]. с расстоянием
называют пространством непрерывных функций с квадратичной метрикой С-2 [а, Ь\. Примеры других пространств можно найти в [1.4,1.5, 1.6, 1.8, 1.9, 1.10, 1.11].
Введение на множестве ЗС метрики р позволяет рассматривать в пространстве Ж такие понятия, как предельная точка, точка прикосновения, открытые и замкнутые множества, плотные и полные пространства. Однако эти понятия можно изначально постулировать с помощью аксиом о системе подмножеств 9С, не привлекая понятия расстояния. В этом случае пространство называется топологическим.
Пусть 9С— некоторое множество, его иногда называют пространством-носителем. Топологией в Э: называется любая система т его подмножеств С/, удовлетворяющая двум аксиомам:
1) само множество Ж и пустое множество 0 принадлежат т.
2) объединение иОк любого (конечного или счетного) и пересече-
ние любого конечного числа множеств из т принадлежат т.
Подмножества Сет называют открытыми. Таким образом, задав счетную систему открытых множеств, называемую базой, можно рассмагривагь процесс сходимости и , следовательно, точки прикосновения, замыкания и т.д.
А/,Я)=- / (/)]
(!!!)
обозначают С [я, 6].
То же множество, но с другой метрикой
1/2
<1 12)
Топологические пространства дают большую свободу в исследованиях фундаментальных свойств процессов сходимости.
Наделив множество SX аксиомами алгебраического характера, получим векторное пространство или иначе линейное пространство. Итак, множество ЗС9 замкнутое относительно операций “+” и удовлетворяющее аксиомам.
1)х+у = у+х (коммутативность),
2)х + (.v+z) =(х+ у) f z (ассоциативность),
3) х + Ö = х (существование нулевого элемента),
4) х + (—х) = 0 (существование противоположного элемента ), называется векторных» пространством.
ß векторном пространстве обычно вводят еще од!гу систему аксиом, установившую порядок операций умножения векторов на число:
1) a(ß x) = (ctß)x7x eüf.ct,ß ei?‘.
2) (a+ß)x=ax+ßxyx eX>a,ß eR\
3) a(x + y) = ax + ay,y,x e^r,a ei?'.
В векторном пространстве также возникает потребность рассматривать вопросы сходимости. В этом случае векторные пространства наделяют некоторой топологией. Наиболее простой путь введения топологии в векторные пространства состоит в задании в нем функционала P:3C->R\. называемого нормой, удовлетворяющего следующим аксиомам:
1) Р(х) > 0, причем Р(х) = 0 тогда и только тогда, когда х = О,
2) Р(х + у) < Р(х) + Ду),х,у еХ;
3) Р{ах) = jocjP(x),x е ег?а е R' ,
где R' - множество положительных действительных чисел.
Обычно для функционала Р (нормы) вводят специальное обозначение |Ь||.
Всякое нормированное пространство обладает свойствами метрического пространства паї ому, что норма по существу определяет расстояние от нулевого элемента векторного пространства до некоторого т, поэтому можно ввести метрику с помощью нормы следующим образом
(Кх,у)=\х-у{ (1.13)
Полное нормированное пространство называют банаховым. Напомним, что полным называется метрическое пространство, если всякая фундаментальная последовательность в нем сходится к пределу.
Пространство вс называется измеримым, если в нем выбрана некоторая а-алгебра множеств. Понятие меры /ЛА) множества Л является обобщением таких понятий как масса, объем, длина, площадь и т.д. Далее это понятие Колмогоровым было обобщено на вероятность.
Введем на измеримом пространстве вс неотрицательную функцию цу называемую мерой и удовлетворяющую следующим аксиомам:
1) Пусть и является а -алгеброй, тогда для любого А € и, ц( Л)>0 (аксиома положительности);
2) Пусть имеется счетная система попарно нелересекающихся множеств
А, ПАу, =0,А, с I),/4г с и,
К 4 К ’
тогда для А), где А =11 Л, справедливо представление
к к
МЛ) = £/іМ, ). к К
Эта аксиома называется счетной аддитивностью меры. Если для единицы из а - алгебры положить меру равной р. (/:') - І, Нєи, то гакую меру принято называть вероятностной.
Понятие меры позволяет более последовательно рассматривать вопросы интегрирования.
Пусть ( и , р ) - произвольное пространство с конечной полной ме рой // — /4Л) на с -алгебре множеств и. Функция у = (р(х) на пространстве #'со значениями в некотором пространстве $ называется интегрируемой {относительно меры ц ), если сходится соответствующий ряд
где А|,/1г , ...си попарно непересекающиеся множества.
Таким образом, интеграл простой интегрируемой функции определяется выражением
Теория вероятности, теория случайных процессов и полей основаны на вероятностном пространстве. Дадим определение вероятностного пространства (1.14, 1.15]. Во первых, имеем непустое множество О и во многих случаях можно рассматривать элемент сое О как параметр, индексирующий реализацию изучаемого случайного явления (атомы или элементарные события). Во-вторых, имеем семейство 41 подмножеств множества П, удовлетворяющее следующим трем условиям:
Д. Другими словами, 41 образует а - алгебру (или а-поле) подмножеств О. В-третьих, имеем определенную на 41 счетно-аддитивную функцию множеств Р (меру), удовлетворяющую следующим условиям:
1) 0йР(В) <> 1, для каждого В е(і/;
(1.14)
1) Псїї;
2) если Апс<&, я = 1, 2,..., то у
3) если А с 4(,то и Лса% где Ас - Ш А дополнительное множество к
3)/>(Q) = l.
Тройка ( ft, P, V) называется вероятностным пространством.
2!
1.3. Континуальный интеграл
Изучение этого понятия начнем с броуновского движения [1.13J. Броуновское движение стало предметом изучения с 20-х годов прошлого столетия. Наиболее яркий вклад в его изучение внесли Эйнштейн, Смолухов-ский и Винер.
Рассмотрим модель движения частицы вдоль одной координаты. Плотность частиц пыльцы на единицу длины в момент времени / обозначим pixj), xsR и будем предполагагь, что их движение является однородным как по времени, гак и пространству. Доля частиц ныли, переместившаяся из точки х в точку х+у за интервал времени т, может быть записана как
f(W). Поэтому для интервала времени от / до / + т получим
00
р(х,1 + r)dx = dx j^x - yj)(p(T,y')dy- (115)
Будем считать функции р и (р гладкими.
Предположим, что (р симметрична в пространстве относительно начала координат и имеет дисперсию, пропорциональную т
оо
\y2(p(j,y)dy ~ От, (1-16)
—00
где D постоянная, формула для которой была получена в работах Эйнштейна и экспериментально проверена Свебергом, Перреном, Дабровским и др. Значение дисперсии равно:
D = RT!(Nf), (1.17)
где R -универсальная постоянная, зависящая от вещества взвеси, Т- абсолютная температура, N -число Авогадро, а/- коэффициент трения. Разложение в ряд Тейлора (1.15) при малых т дает следующее представление
откуда следует равнение теплопроводности
."/= 2Г)Рхх>
(1.19)
где нижний индекс указывает' на частную производную по соответствующему параметру.
Если начальным положением частицы является некоторая точка, скажем, у > так что
которое можно рассматривать как условную плотность вероятности.
Для простоты вычислений в дальнейшем положим, что О ==1/2 , этого можно всегда добиться подходящим выбором единиц измерения смещения броуновской частицы.
Рассмотрим измеримое пространство (А>; , )) [1.14], где 7’- кон-
тинуальное множество. Пусть Т - [0,со). Введем в рассмотрение цилиндрическое множество
где Л--множество вида (<?*,/>*].
Множество3! <I х-х/й), есть ни что иное, как множество тех
функций, которые в моменты Г/,..., /„ "‘проходят через окна” 1( а
в остальные моменты принимают произвольные значения (рис.1.4 ).
то из уравнения (1.19) следует фундаментальное решение
(1.20)
J
(1.21)
(1.22)