Эволюция релятивистских иерархических систем в поле гравитационного излучения

СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ...............................................7
ГЛАВА I
ИЕРАРХИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ В ПОЛЕ ГРАВИТАЦИОННОГО ИЗЛУЧЕНИЯ: ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ, ОБЗОР ЛИТЕРАТУРЫ И НОВЫЕ ИДЕИ ................................13
1.1. ГРАВИТАЦИОННОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ КАК СПЕЦИАЛЬНЫЙ ТИП ПОЛЕЙ ТЯГОТЕНИЯ.....................................13
1.1.1. О симметрии точных решений гравитационно - волнового тина в релятивистской теории тяготения..................13
1.1.2. О критериях чистого гравитационного излучения 15
1.1.3. О фоновых метриках гравитационно - волнового типа, используемых в работе.....................................17
1.1.4. О наиболее употребительных видах метрики (1.2).20
1.1.5. О сингулярных свойствах метрики (1.2)..........22
1.2. ТОЧНО ИНТЕГРИРУЕМЫЕ МОДЕЛИ ЭВОЛЮЦИИ РЕЛЯТИВИСТСКИХ ИЕРАРХИЧЕСКИХ СИСТЕМ В ПОЛЕ ГРАВИТАЦИОННОГО ИЗЛУЧЕНИЯ....................................24
1.2.1. Об иерархических системах, принципах моделирования эволюционных процессов и точно интегрируемых моделях.......24
А. 1.2.2. Иерархический подход к теории отклика многокомпонентных систем на действие поля гравитационного излучения; типы точно интегрируемых моделей, представленные в работе.......29
1.3. НЕРАВНОВЕСНЫЕ СОСТОЯНИЯ ИЕРАРХИЧЕСКИХ СИСТЕМ В ПОЛЕ ГРАВИТАЦИОННОГО ИЗЛУЧЕНИЯ И МЕТОДЫ ИХ ОПИСАНИЯ............................................ 39
1.3.1. Неравновесные, нестационарные состояния и необратимые явления. Производство энтропии и критерии хаотизации - организации ....................................................39
2
А. 1.3.2. Ковариантные обобщения информационных критериев 42
А.1.4. ПОЛЕ ГРАВИТАЦИОННОГО ИЗЛУЧЕНИЯ И ПРОБЛЕМА ФАЗОВЫХ ПЕРЕХОДОВ ВТОРОГО РОДА....................50
ГЛАВА II
ЭЛЕКТРОДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ В ПОЛЕ ГРАВИТАЦИОННОГО ИЗЛУЧЕНИЯ...............................56
2.1. ФЕНОМЕНОЛОГИЧЕСКАЯ КОВАРИАНТНАЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКА СПЛОШНЫХ СРЕД В ПОЛЕ ГРАВИТАЦИОННОГО ИЗЛУЧЕНИЯ........................................... 56
2.1.1. Ковариантное моделирование эволюционных уравнений............................................56
2.1.2. Пространственная симметрия среды и базовые феноменологические модели..................................... 63
2.1.3. Материальные тензоры, линейные по кривизне. 67
2.2. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ПОЛЯ В ВАКУУМЕ В ОТСУТ-
СТВИЕ ПРИЛИВНЫХ ВЗАИМОДЕЙСТВИЙ.......................73
2.2.1. Распространение электромагнитного излучения на гравитационно - волновом фоне: анализ точных решений....... 73
2.2.2. Инварианты электромагнитного поля, собственные значения и собственные векторы тензора энергии - импульса.80
2.2.3. Гравитационно - волновые сдвиги фазы и частоты, модуляция амплитуды и поляризации электромагнитных волн... 84
2.2.4. Квазистационарное вакуумное магнитное поле..89
2.2.5. Решение полевых уравнений массивной электродинамики ............................................92
2.3. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ПОЛЯ В МАТЕРИАЛЬНЫХ СРЕДАХ.............................................. 95
2.3.1. Электромагнитные ноля, наследующие симметрию гравитационно - волнового фона............................. 95
3
2.3/2. Эволюция первоначально постоянных однородных электрических и магнитных полей в пространственно изотропной среде под влиянием ГИ............................................97
2.3.3. Гравитационно индуцированный электромагнитный отклик в анизотропных средах со спонтанной поляризацией - намагниченностью 105
2.1 ЭЛЕКТРОДИНАМИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ, ИНДУЦИРОВАННЫЕ КРИВИЗНОЙ............................. 109
2.4.1. Двойное и тройное лучепреломление, индуцированное кривизной ...............................................109
2.4.2. Гравитационно - индуцированная нелинейность в электродинамических системах.................................117
2.4.3. Приливные искажения электрического и магнитного полей................................................ 121
2.4.4. Спонтанная поляризация - намагниченность, индуцированная кривизной........................................ 122
ГЛАВА III
КИНЕТИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ В ПОЛЕ ГРАВИТАЦИОННОГО ИЗЛУЧЕНИЯ .................................... 125
3.1. ДВИЖЕНИЕ РЕЛЯТИВИСТСКИХ ЧАСТИЦ В ПОЛЕ ГРАВИТАЦИОННОГО ИЗЛУЧЕНИЯ: БАЗОВЫЕ МОДЕЛИ ДЛЯ И С-СЛЕДОВАНИЯ КИНЕТИЧЕСКИХ ЯВЛЕНИЙ ..................... 125
3.1.1. Свободные частицы в поле ГИ: интегралы движения, траектории и отклонение геодезических................... 125
3.1.2. Динамика заряженных частиц в поле ’’чистого” электромагнитного излучения: интегралы движения и приливная девиация траекторий............................................132
3.1.3. Заряженные частицы в магнитном поле: параметрическая неустойчивость движения и приливная девиация
4
траекторий........................................... 136
3.1.4. Кинетическое описание гравитационно - индуцированных явлений в многочастичных системах.................... 143
3.2. ПОГРАНИЧНЫЕ ЯВЛЕНИЯ В РЕЛЯТИВИСТСКОМ ГАЗЕ................................................. 152
3.2.1. Контактное взаимодействие и краевая задача для бессголк-новительного кинетического уравнения..................152
3.2.2. Пол у ограниченная система: пример возникновения неравновесных явлений и методы точного исследования проблемы • • • 159
3.2.3. Каталог точных решений краевых задач для газового слоя .................................................167
3.2.4. Фотонные резонаторы с полупрозрачной срединной поверхностью ...............................................173
3.3. РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ПЛАЗМА В ПОЛЕ ГРАВИТАЦИОННОГО ИЗЛУЧЕНИЯ........................................179
3.3.1. Релятивистская плазма в интенсивных внешних электромагнитном и гравитационно - волновом полях ...........181
3.3.2. Коллективные процессы в двухкомпонентной плазме, индуцированные полем гравитационного излучения............191
3.3.3. О параметрической неустойчивости электрон - позитронной плазмы в магнитном поле, ортогональном фронту ГВ......196
ГЛАВА IV
МНОГОЧАСТИЧНЫЕ СИСТЕМЫ И МАТЕРИАЛЬНОЕ ОКРУЖЕНИЕ............................................ 200
4.1. РЕЛЯТИВИСТСКИЙ ГАЗ В ГИДРОДИНАМИЧЕСКОМ КВАЗИТЕРМОСТАТЕ...................................... 200
4.1.1. Эволюция гидродинамического квазитермостата
в поле ГВ.............................................201
4.1.2. Кинетика релятивистского газа в силовом поле неравновес-
ного гидродинамического квазитермостата................217
4.1.3. Безмассовыс частицы в квазитермостате.........226
4.2. РЕЛЯТИВИСТСКИЕ МНОГОЧАСТИЧНЫЕ СИСТЕМЫ С ДОПОЛНИТЕЛЬНЫМИ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ......................240
4.2.1. Математический формализм в теории расширенного фазового пространства .....................................241
4.2.2. Релятивистские системы, взаимодействующие со скрытым внутренним стохастическим резервуаром..................248
4.2.3. Обобщенно - приливные взаимодействия и внутренний стохастический резервуар..................................264
4.3. МАКРОСКОПИЧЕСКОЕ И СТОХАСТИЧЕСКОЕ САМО-ДЕЙСТВИЕ В МНОГОЧАСТИЧНЫХ СИСТЕМАХ. ОБОБЩЕННО - РАВНОВЕСНЫЕ СОСТОЯНИЯ ...............................274
4.3.1. Макроскопическое самодействие.................274
4.3.2. Стохастическое самодействие...................277
4.3.3. Вязкое самодействие и обобщенное равновесие
в поле ГВ..............................................279
ОБСУЖДЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ...............................292
ЗАКЛЮЧЕНИЕ.......................................... 310
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ................................... 314
6
ВВЕДЕНИЕ
Теоретические исследования взаимодействия гравитационного излучения с частицами, полями и материальными системами столь же актуальны сейчас, как и тридцать лет назад. Одна из причин столь стойкого интереса, конечно же, состоит в том, чзо долгожданная яркая веха в развитии науки - прямое экспериментальное обнаружение гравитационного излучения - как никогда близка и потому магически притягивает внимание и порождает волну интереса к новому гравитационно - волновому каналу инфюрмации о структуре Вселенной.
Но есть, но - видимому, и другая причина, приковывающая внимание теоретиков к этой проблеме. В условиях, когда гравитационно -волновой эксперимент не претендовал на роль цензора, у теории взаимодействия релятивистских систем с гравитационным излучением не существовало жесткого стимула к строгим критериям самооценки, и некоторые из предсказаний теории оказались несогласующимися и даже противоречащими друг другу.
Однако, с начала восьмидесятых годов обнаружилась четкая тенденция к самосовершенствованию и саморазвитию указанной теории, которая привела не столько к расширению объектов исследования, формулировке новых концепций и гипотез, сколько к качественным изменениям: к переходу от приближенных моделей - к точно интегрируемым моделям эволюции, от оценочных формул - к детальным аналитическим и компьютерным расчетам, от анализа простейших -к синтезу сложных иерархических моделей и прогнозированию эволюционных процессов в них.
Можно констатировать, что в результате такого саморазвития современная теория детектирования гравитационного излучения всту-
7
пила в качественно новую фазу, в которой стимулом к исследованиям становится не только заинтересованность в подготовке решающего эксперимента, но и необходимость создания разветвленной теоретико - концептуальной базы для строгой, однозначной и адекватной интерпретации потока экспериментальной информации, в ожидании которого мы встречаем третье тысячелетие.
В данном контексте легко понять главную цель диссертационной работы:
на основе инвариантно - группового анализа серии точно интегрируемых моделей эволюции релятивистских многочастичных систем в поле гравитационного излучения и синтеза результатов, полученных для частных моделей, сформулировать общие закономерности формирования отклика иерархических систем на воздействие ноля нелинейных плоских гравитационных волн.
Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие основные задачи:
• предъявить точные решения уравнений ковариантной электродинамики сплошных сред, релятивистской гидродинамики и кинетики многочастичных систем для сформулированных моделей;
• исследовать макроскопические динамические и информационные характеристики неравновесных процессов, индуцированных полем гравитационного излучения в рассмотренных иерархических системах;
• установить микроскопические и макроскопические свойства финальных состояний иерархических систем, к которым приводит эволюция, инициированная полем гравитационного излучения.
8
Диссертационная работа состоит из «ведения, четырех глав, заключения и списка литературы.
В первой главе
• приведены необходимые сведения о точных решениях уравнений Эйнштейна плосковолнового типа, об их симметрии и интерпретации;
• введены основные понятия и определения, касающиеся иерархического подхода к теории отклика детектирующих систем на действие ноля гравитационного излучения, и описания неравновесных состояний и критериев их распознавания;
• кратко изложены концепция гравитационно индуцированного снятия вырождения по скрытым параметрам и концепция фазового перехода второго рода в иерархической системе под влиянием гравитационно - волнового поля.
Первая глава в целом имеет справочный характер, поэтому те разделы первой главы, в которых изложены авторские идеи как обобщение классических идей, помечены буквой А в номере раздела.
Во второй главе исследованы электродинамические системы в поле гравитационного излучения.
• Изложен формализм феноменологического моделирования материальных соотношений;
• проинтегрированы эволюционные электродинамические уравнения, исследованы инвариантные характеристики электромагнитных полей в вакууме, пространственно изотропных и анизотропных диэлектрических средах;
• изучены электродинамические явления, индуцированные кривизной пространства - времени: двойное и тройное лучепрело-
9
мление, приливная нелинейность и спонтанная поляризация -намагниченность.
В третьей главе рассмотрены кинетические системы в поле гравитационного излучения.
• Проанализированы базовые модели движения частиц, отклонение мировых линий и эволюция макроскопических параметров кинетической системы для нейтральных и заряженных частиц в электромагнитных полях волнового и квазистационарного типов;
• исследованы пограничные явления в релятивистском газе, представлен каталог точных решений краевых задач для полуогра-ничепного газа, газового слоя и фотонных резонаторов с различными законами контактного взаимодействия на внешних и внутренних границах;
• рассмотрены решения, описывающие эволюцию релятивистской плазмы в интенсивных внешних электромагнитных полях с учетом силы радиационного трения, а также коллективные процессы в релятивистской плазме.
Четвертая глава посвящена изучению миогочастичпых систем в материальном окружении.
• Первая серия точно интегрируемых моделей описывает кинетику релятивистского массивного и безмассового газа в силовом поле неравновесного гидродинамического квазитермостата, эволюционирующего в гравитационно волновом иоле;
• вторая серия моделей данного типа описывает многочастичные системы с дополнительными степенями свободы в рамках математического формализма расширенного фазового пространства;
• в третьей серии моделей представлены макроскопическое и стохастическое самодействие и решена проблема установления обобщенного равновесия в многочастичной системе в поле гравитационного излучения за счет включения сил вязкого самодей-ствия.
В Заключении детально дискутируются следствия из представленных точных решений электродинамических и кинетических уравнений. Сформулированы основные результаты исследований и положения, выносимые на защиту.
Логика композиции материала в диссертационной работе подчинена следующим трем соображениям:
• Ковариантные уравнения электродинамики сплошных сред, уравнения гидродинамики и кинетики релятивистских систем в гравитационном иоле имеют под собой прочный концептуально -аксиоматический фундамент, динамически обоснованны и потому представляют собой идеальный базис для конструирования точно интегрируемых моделей эволюции на нелинейном гравитационно волновом фоне.
• Все модели, представленные в диссертационной работе, строятся на указанных уравнениях в отдельности или в различных сочетаниях, но тематически объединены в три главы согласно ключевым признакам. Так, например, кинетика плазмы по ключевому признаку принадлежит третьей главе, а не второй, хотя эволюционные уравнения содержат электродинамическую подсистему.
• Рассмотрение каждой из групп моделей начинается с анализа простейших ситуаций и построено по принципу поэтапного усложнения иерархической структуры. В заключительной
дискуссии каждое из обсуждаемых положений иллюстрируется примерами из всех групп моделей для того, чтобы иметь основания судить о степени их общности.
12
ГЛАВА I
ИЕРАРХИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ В ПОЛЕ ГРАВИТАЦИОННОГО ИЗЛУЧЕНИЯ: ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ, ОБЗОР ЛИТЕРАТУРЫ И НОВЫЕ ИДЕИ
1.1. ГРАВИТАЦИОННОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ КАК СПЕЦИАЛЬНЫЙ ТИП ПОЛЕЙ ТЯГОТЕНИЯ
1.1.1. О симметрии точных решений гравитационно -волнового типа в релятивистской теории тяготения
Теория симметрии является общепризнанной базой для различного рода классификаций и терминообразования в современной теории тяготения. Вот почему, обращаясь к терминам гравитационное излучение (ГИ) и гравитационные волны (ГВ) на инвариантно - групповом языке, мы не рискуем быть непонятыми, хотя эти термины часто наполняются различным физическим содержанием. Во всех разделах диссертации термины ГИ и ГВ используются как синонимы для краткого обозначения такого типа гравитационного поля в вакууме, который ассоциируется с четырехмерным пространством -временем, обладающим следующей симметрией:
• пространство - время допускает пяти - параметрическую группу движений С*5 с абелевой подгруппой 6?з, действующую тран-зитивно на изотропной трехмерной гиперповерхности; другими словами, существуют пять векторных нолей Киллинга где (а) = (г), (2)...(5), вдоль которых производная Ли от метрического тензора од. равна нулю £сх = 0;
Ч(о)
• первое из пяти векторных полей Киллинга является ковариант-но постоянным изотропным векторным полем, т.е. ковариант-
13
ная производная этого вектора равна нулю = 0, как и
квадрат длины век гора gnC(v)€(v) =
К исследованию различных геометрических свойств пространств - времен с симметрией данного типа и родственных им было привлечено внимание целого ряда ученых; перечислим фамилии некоторых из них: Aichelburg P.C. [1], Avez A. [2], Baldwin О.R. [3], Bel L. [4.5.6], Bondi H. [7], Brdicka M. [8], Brinkman M.W. [9], Debever R. [10], Ehlers J. [11,12], Hely J. [13], Jordan P. [14], Misra R.M. [15], Kundt W. [16,17], Levine J., [18] Lichnerowicz A. [19,20], Penrose R. [21], Peres A. [22], Pirani F. [23,24], Robinson I. [7], Rosen N. [25], Takeno
H. [26,27], Trautman A. [28], Sachs R. [29], Schimming R. [30], Zund J., [18] Аминова A.B. [31], Багров В.Г. [32], Билялов Р.Ф. [33], Бичак И.
[34], Гаврилов C.II. [35], Захаров В.Д. [36], Зельманов А.Л., Ибрагимов Н.Х. [37], Иванов Г.Г. [38], Кайгородов В.Р. [39], Малдыбаева
Э.Я. [40]; Обухов В.В. [41], Петров А.З. [42,43], Пестов А.Б. [39], Шаповалов A.B. [44]. В этом списке легко найти имена признанных классиков релятивистской теории тяготения. История исследований в этой области кратко описана в книгах [36] и [45]; интересные сведения можно также почерпнуть из обзоров [38] и [46].
Указанные выше условия определяют уникальный тип полей тяготения, характеризующийся следующими свойствами:
• пространство - время с такой симметрией принадлежит к типу N по Петрову [42];
• допускает изотропную конгруэнцию геодезических линий с равными нулю сдвигом, вращением и растяжением (траектории распространения ГИ) [16];
• пространство - время описывает ГВ с плоским фронтом, ортогональным семейству изотропных геодезических, перемещающим-
ся вдоль этого семейства параллельно самому себе [7].
1.1.2. О критериях чистого гравитационного излучешия
Возникает естественный вопрос: почему, вводя термины ГИ и ГВ, мы остановились на приведенном выше определении? Ответ прост.
ВО-ПЕРВЫХ, решения вакуумных уравнений Эйнштейна, обладающие данной симметрией, удовлетворяют, как частный случай, всем известным инвариантным критериям гравитационного излучения. Подробное обсуждение этих критериев можно найти в книге
В.Д.Захарова [36] и обзоре Г.Г.Иванова [38]. Проверка этих критериев для гравитационных полей с указанной симметрией проста, но громоздка: мы ограничимся только их перечислением.
• Инвариантный критерий Пирани [23], согласно которому пространства - времена, претендующие на звание пространств ГВ типа, должны принадлежать типу II, N или III по Петрову.
• Второй инвариантный критерий Беля [5], согласно которому все скаляры, построенные из тензора кривизны Римана ??д/т, равны нулю, если речь идет о свободном поле ГИ в вакууме.
• Инвариантный критерий Лихнеровича [19], согласно которому тензор кривизны Римана образует коэффициенты двойной особой формы, т.е. существует изотропный вектор удовлетворяющий уравнениям:
и^к1тп 4" "Г I)ПкИт ~ ^ I Rijkl = б. (^*^)
• Инвариантные критерии Хэли [13], Зунда, Левина [18], представляющие из себя критерий Лихнеровича, усиленный требованием градиентности изотропного вектора /‘ (/; = У,к>£т).
15
• Алгебраический критерий Дебеве [10] и первый критерий Беля [4], которые эквивалентны критерию Пирани.
• Критерий Мизры - Сингха [15], который эквивалентен второму критерию Беля.
• Критерий (определение) Аве [2], согласно которому ГВ монохро-матична, если изотропный волновой вектор I1 обладает нулевым растяжением, т.е. V*/* = 0.
• Критерии Зельманова (цит. но [36], глава 7) и Малдыбаевой [40], приводящие к ковариантным дифференциальным уравнениям второго порядка относительно тензора кривизны.
• Критерий (определение) Кайгородова [47], вводящий в рассмотрение линейные и нелинейные волны кривизны с помощью ко-вариантных дифференциальных уравнений первого порядка относительно тензора кривизны.
ВО-ВТОРЫХ, большинство из перечисленных критериев основано на прямой аналогии между электромагнитным и гравитационным излучением в вакууме. Это обстоятельство может служить дополнительным мотивом для обоснования выбора пространства - времени с указанной выше симметрией в качестве полномочного представителя фоновых пространств гравитационно- волнового типа в ряде физических задач, рассмотренных в диссертации.
В-ТРЕТЬИХ, в сознании гравитационистов поля с данной симметрией прочно ассоциируются с плоскими ГВ (существует даже специачТьный термин pp-wave - plane fronted gravitational wave with parallel rays). He случаен и тот факт, что на волне интереса к проблеме гравитационного излучения не только в классической теории гравитации [48-60], но и в калибровочных теориях гравитации [61],
16
многомерных обобщениях теории гравитации [62], теории Эйнштейна - Картана [63], полу классической теории гравитации [64], теории гравитации с квадратичным по кривизне лагранжианом [65], биметрических теориях [66] - ведутся целенаправленные поиски точных решений, детализирующих рр-гиме решения вакуумных уравнений Эйнштейна или обобщающие их на случай потери изотропного кова-риантно постоянного вектора Киллинга.
1.1.3. О фоновых метриках гравитационно - волнового типа, используемых в работе
В обзоре [38] Г.Г.Иванов, ссылаясь на работу В.Р.Кайгородова и
А.Б.Пестова [39], а также на книгу В.Д.Захарова [36], сделал вывод, что класс пространств типа N по Петрову, допускающих ковариантно постоянное векторное поле, исчерпывается метрикой Переса [22,45]. Исследование С.П.Гаврилова [35] поставило заключительную точку в проблеме взаимосвязи между различными каноническими формами илосковолновых метрик. В результате стало очевидным, что такие термины, как например, метрика Переса, метрика Бонди - Пира-ни - Робинсона, метрика Розена, метрика Петрова, метрика Такено и другие, - олицетворяют либо различные координатные представления, либо различные модификации одного и того же объекта -плосковолнового пространства с группой движений <7з, либо с расширением этой группы до (3-5 и £б [45]. Учитывая эти обстоятельства, в дальнейшем мы не станем называть чьим либо конкретным именем используемую метрику, и надеемся, что читатель поймет мотивы такого поступка.
Симметрия представленного в пункте 1.1.1. пространства - времени ГВ типа столь высока, что метрика дц. выбором системы координат может быть приведена к следующему максимально простому
17
виду [42,45]:
йз2 = 2(1и • до 4- 9ар{и) * йха • дх^. (1.2)
В данной системе координат
и.Й^12, » = (1.3)
- представляют собой запаздывающее и опережающее время, соответственно; здесь и далее в диссертации греческие индексы а, р, 7, а принимают значения 2 и 3 только.
1.1.3.1. О векторах Киллинга
Тройка векторов Киллинга из абелевой подгруппы С 3 группы движений (7,5 выглядит следующим образом:
&) = К, е{2) = 4 е(3) = 4, (1-4)
а остальные два имеют вид:
£(4) = - С(2) / 522(«)«(« - С(3) 192\и)йи,
С(5) = *4 - $3) / 932{и)<1и - С(2) / 9Ъ\и)<1и. (1.5)
Здесь д(К\и) - контравариантные компоненты метрического тензора. Первый из указанных векторов ^ изотропен, ковариантно постоянен и ортогонален остальным четырем.
Полезно отметить, что в данной системе координат компоненты метрического тензора да$ просто и наглядно выражаются через скалярные произведения:
9*0 = (4о • &■(«)• Д6)
Как следствие, детерминант матрицы метрического тензора
д = (кЦда.) = д\3 - дп • </зз (1.7)
18
может быть выражен через длины векторов и их скалярное произведение:
9 = (&) ■ $,(3))2 - (&) • 6(2)) • (С(3) ■ С»(3))- (1-8)
1.1.3.2. О структуре тензора кривизны Римана Среди символов Кристоффеля, рассчитанных по метрике (1.2), и независимых компонент тензора кривизны Римана отличны от нуля только следующие:
Тензор Римана с компонентами (1.9) обладает очевидными свойствами
Уравнения Эйнштейна в вакууме сводятся к одному дифференциальному уравнению второго порядка в обыкновенных производных, связывающему д2з, #22> 9м'-
1.1.3.3. О поляризаи,ии ГИ
Поскольку три функции #23, #22><7зз связаны одним уравнением, то остающийся функциональный произвол говорит о наличии двух степеней свободы в поляризации ГИ. Первую поляризацию определим с помощью скалярного условия ортогональности второго и третьего векторов Киллинга; для ГИ со второй поляризацией потребуем, чтобы были равны длины второго и третьего векторов Киллинга:
п. = (С(2) • 6(3)) = 0, (либо) ГІ, = Щ3) ■ 6(2)) - (€{*) • 6(3)) = 0 (1.12).
(1.9)
ЛцтЯП?ІІ, = 0, Як1кт = Піт = 0, Якк = Я = 0. (1.10)
(1.11)
19
Из (1.12) в силу (1.4) узнаем, что #23 = 0 для первой поляризации, а для второй Q22 = #зз- Одновременное выполнение условий ортогональности и равенства длин второго и третьего векторов Киллинга означало бы, что тензор кривизны равен нулю.
1.1.4. О наиболее употребительных видах метрики (1.2)
1.1.4-1. Метрика с фоновым фактором L [67]
(/22 = -Ь2е2в cosh 2л/, #зз = -L2e~23 cosh 27, <723 = —L2 sinh 27.
(1.13)
Уравнение Эйнштейна:
L" + L • [(/?')2 • cosh2 27 + (V)2] = 0. (1.14)
Первая поляризация
определяется условием: 7 = 0; для нее с учетом упрощенного уравнения Эйнштейна:
Г 4- М/3')2 = 0 (1.15)
тензор кривизны имеет следующие ненулевые компоненты:
-Rhu = tf„j. = tß‘ J + ß"- (1-16)
Вторая. поляризаи,ия.
определяется условием ß = 0; для нее с учетом уравнения Эйнштейна:
Г + М 7? = 0 (1.17)
получим в силу очевидной симметрии, что не равна нулю только
одна компонента тензора кривизны:
Я2„3и = 27' • I + у". (1.18)
•20
Метрика Минковского
получается при Ь = 1, /3 = 0, 7 = 0. На гиперповерхности и = 0 может быть осуществлена сшивка пространства Минковского (и < 0) и плосковолнового пространства (и > 0), если положить:
1(0) = 1, Ь\0) = 0, /3(0) = /3'(0) = 0, 7(0) = У(0) = 0. (1.19)
При этих условиях компоненты тензора кривизны испытывают па гиперповерхности и = 0 скачок, равный /3”(0) при наличии только
первой поляризации ГВ, либо 7^(0), (при наличии только второй по-
ляризации)
1.1.4-2. ”А&В” представление ГИ с первой поляризацией
<722 = — А2, дм = —В2, #23 = 0. (1.20)
Уравнение Эйнштейна:
^- + |- = 0; Л(0) = В(0) = 1, Л'(0) = Д(0) = 0. (1.21)
Тензор Романа:
-ДІ2* = = X (1-22)
1.1.4-3. Симметрическое пространство Г В типа [43]:
922 = - СС«2(&м), 9зз = - совії2^«), 923 = о. (1.23)
Уравнение Эйнштейна обращается в тождество.
Компоненты тензора Римана постоянны:
= -Д3и3„ = к2. (1-24)
Метрика (1.23) становится метрикой Минковского при к = 0; величина к может служить мерой напряженности поля ГИ.
21
1.1.4-4- Частный случай метрики с фоновым фактором:
3 = А, • (1 - созЬ), /5(0) = /3'(0) = 0. (1.25)
Уравнение для Ь:
+\ Ь ■ 0% ■ к2 ■ (1 - со$2ки), Ь(0) = 1, Ь'(0) = 0 (1.26)
- имеет вид уравнения Матье [68,69].
1.1.4-5. Классический вариант метрики слабой ГВ: дэ2 = 2диди — (1 - Ь+(и)) • ду2 - (1 4- /г+(н)) • дг2 4- 2Нх(и) • с1ус1г, (1.27) можно получить, полагая малыми по модулю величины: Р(и), у (и),
1_Л2(и) = -1+^2(п), А:2, Д,.
1.1.5. О сингулярных свойствах метрики (1.2)
Общим свойством решений уравнения (1.14) является наличие особой точки и*, в которой обращается в нуль определитель метрики йеЛ(дгк) [07]; (для частного случая метрики (1.23), например, имеем
и* ~ ^)-
Если речь идет о данной сингулярности в контексте решения вакуумных уравнений Эйнштейна, то обычно такую сингулярность считают ” фиктивной (нефизической)’1 [67], и используют следующие способы обойти эту проблему:
Способ первый
Совершаем преобразование координат [67], которое переводит метрику (1.13) в несингулярную ((1еЛ(д^ = -1) метрику:
сЬ2 = 2(IV - дУ - с1У2 - дг2 4- 2Н(Ь\ У, Z)(tfУ2, (1.28.)
где Н(и,У^) - гармоническая по У^ функция, т.е. Нуу 4- Нуг = 9.
22
В частности, для ГВ с первой поляризацией (7 = 0) указанное преобразование имеет вид:
U = и, V = v -f l/4[(x2)2(L2e2ß)' + (ж3)2(Ь2е“2/?)'],
У = z2Z2e2/?, Z = xzL2e~2ß, 2Я = (Z2 - Y2)L~2(L2ß')'. (1.29.)
Переход к координатам U,V,Y,Z эквивалентен введению нормальной системы координат Ферми [70], которая обычно ассоциируется с лабораторной системой координат и в рамках которой, как считают некоторые авторы, предпочтительнее всего интерпретировать результаты расчетов. Этот способ обойти проблему сингулярности хорош тем, что можно следовать такой логической схеме: находим точные решения эволюционных уравнений на фоне метрики (1.13), зависящей только от одной переменной, преобразуем полученные динамические тензорные величины, переходя к указанным новым координатам, и интерпретируем результаты, пользуясь переменными U, V, У, Z.
Способ второй
Считаем, что ГВ есть ”сэндвич-волна” [67,70], т.е. тензор кривизны отличен от нуля при 0 < и < щ и равен нулю вне этого интервала. В случае wo < и* особая точка и* принадлежит плоской области пространства - времени и интерпретируется как точка ” фиктивной (нефизичсской)” сингулярности.
При наличии материальных объектов в поле ГВ интерпретация сингулярности в значительной мере осложняется из-за возникновения каустических явлений [71]. Эта проблема будет детально обсуждаться в дальнейшем в контексте интерпретации точных решений эволюционных уравнений, полученных в диссертации.
23
1.2. ТОЧНО ИНТЕГРИРУЕМЫЕ МОДЕЛИ ЭВОЛЮЦИИ
РЕЛЯТИВИСТСКИХ ИЕРАРХИЧЕСКИХ СИСТЕМ В ПОЛЕ ГРАВИТАЦИОННОГО ИЗЛУЧЕНИЯ
1.2.1. Об иерархических системах, принципах моделирования эволюционных процессов и точно интегрируемых моделях
Понятие ’’иерархическая система” (ИС) прочно вошло в лексикон современной науки благодаря бурному развитию Синергетики. Теории. Открытых Систем, Теории Хаоса и Самоорганизации [72-85]. Этому событию во многом способствовало то обстоятельство, что в современной науке сформировалась тенденция перехода от анализа явлений к их синтезу, от исследования локальных свойств объектов к изучению их глобальной структуры, от изучения отдельных подсистем к моделированию сложных многокомпонентных систем.
Употребляя термин ИС. мы всегда предполагаем, что справедливы следующие утверждения, характеризующие систему в целом:
• ИС включает в себя две и более нетождественные подсистемы (два и более ансамбля, субъединицы), (налицо иерархическая структура,);
• каждая отдельно взячая подсистема связана взаимодействием хотя бы с одной из оставшихся подсистем,( наличие коммуникативной связи)]
• взаимодействие между подсистемами может быть разделено на два типа: (і) управление и подчинение, (іі) коллективное; на основе этого деления подсистемы классифицируются по иерархическим уровням: в одном "горизонтальном" уровне находятся
24
эквивалентные подсистемы, взаимодействующие только коллективно или не взаимодействующие вовсе, ” вертикально” расположенные уровни символизируют отношения соподчинения, (то есть имеет место иерархическая упорядоченность);
• каждый из типов взаимодействия подсистем характеризуется своими динамическими переменными и параметрами (макроскопически распознаваем);
• указан динамический репертуар каждой из подсистем и их объединений, т.е. заранее установлены рамки и правила возможного изменения коммуникативных связей, не нарушающих иерархической упорядоченности ИС в целом.
Признаком высокого уровня исследований в этой области, несомненно, считается использование точно интегрируемых моделей при математическом описании состояний ИС.
Происхождение термина точно интегрируемые модели ” (или эквивалентного ему термина "точно решаемые модели”) связано с исследованием ключевых проблем классической и квантовой статистической физики, а также химической кинетики многокомпонентных систем. Для этих областей науки многочастичность изучаемых систем и их нелинейность казались непреодолимыми препятствиями до тех пор, пока не были изобретены упрощенные модельные системы, поддающиеся строгому и точному математическому описанию, с одной стороны, и в той или иной степени адекватные поставленной задаче - с другой.
Так в историю статистической физики вошли точно решаемые модели Изинга и Бакстера (см., например, [86-87]), придавшие мощный импульс теории критических явлений. Аналогичную по значимости роль в теории химических систем сыграла тримолекулярная модель
25
Пригожина - Лефевра - Николиса, названная брюсселятором [72].
Формулировка любой Точно Интегрируемой Модели содержит три основных элемента:
• список взаимодействующих подсистем с указанием их иерархической упорядоченности;
• эволюционные (управляющие) уравнения;
• ограничения на область применимости модели.
Логика исследования точно интегрируемых моделей предполагает либо предъявление аналитического решения поставленной задачи, либо ее качественное исследование. Важно подчеркнуть, что там, где под сомнением оказываются методы теории возмущений и аппроксимации решений, там единственной надежной опорой теоретика становятся точно интегрируемые модели.
Хотелось бы обратить внимание читателя на то, что в теории тяготения явно или неявно прослеживается именно тенденция к исследованию точно интегрируемых моделей. Действительно, что представляет из себя многолетний широкомасштабный поиск точных решений уравнений Эйнштейна [45]? Очевидно, что это стремление к исследованию нелинейных модельных систем с гравитационным взаимодействием с помощью непертурбативных методов. В теории гравитации ценность точного решения полевых уравнений намного превосходит ценность любого приближенного анализа еще и потому, что экспериментальная гравитационная физика еще долго не сможет претендовать на роль строгого и авторитетного цензора.
Взглянув на историю развития теории гравитации под таким углом зрения, нельзя не подчеркнуть, что именно инвариантно -групповой анализ точных решений в теории гравитации, космологии, релятивистской кинетике, гидродинамике и нелинейной теории
*26
ноля составляет основное ядро научной деятельности кафедры теории относительности и гравитации Казанского университета. В этом смысле программа А.3.Петрова но поиску точных решений и инвариантно - групповой классификации релятивистских нолей тяготения, реализованная им самим, его учениками и последователями, - есть программа исследования точно интегрируемых моделей в теории гравитации.
Другими показательными примерами анализа точно интегрируемых моделей в теории гравитации могут служить исследования:
• Штеккелевых пространств (см., например, [88-89]);
• частицеподобных решений в теории самогравитирующих скалярных, векторных и спинорных полей (см., например, обзор
[90]);
• пространств электровакуума (см., например, [48,50]), и т.д.
Наконец, любопытно отметить, что книга В.Г.Багрова и соавторов [91], сыгравшая важную роль в формировании научных интересов автора диссертации, носит название ” Точные решения релятивистских волновых уравнений”.
Только исследования в области гравитационно - волновой физики несколько не укладываются в рамки данной тенденции, и этому есть свои причины. В этой области сложилась устойчивая парадигма слабости поля ГВ. Эта парадигма, во-первых, создает убеждение о слабости самого поля ГВ и рекомендует пользоваться линеаризованными уравнениями гравитационного поля; во-вторых, создает иллюзию о том, что все гравитационно индуцированные процессы в сложных физических системах непременно слабы, и вроде бы естественно использовать линеаризованные эволюционные уравнения.
27
Эта парадигма с психологической точки зрения является сильным сдерживающим фактором развития исследований точно интегрируемых моделей эволюции физических систем в ноле ГИ. Решительный шаг в преодолении такого психологического барьера, как мне представляется, был сделан, с одной стороны, благодаря существующей на кафедре Теории Относительности и Гравитации Казанского Университета традиции инвариантно - группового исследования эволюционных уравнений, а с другой стороны - благодаря многочисленным и плодотворным дискуссиям с сотрудниками кафедры Теоретической Физики Московского Университета, в первую очередь с Гальцовым Д. В.
В Казани инициаторами развития нового направления но изучению эволюции 'релятивистской плазмы на фоне нелинейной плоской гравитационной волны стали сотрудники кафедры ТОиГ К).Г. Игнатьев и Г.Г.Иванов. Хронологически первой статьей на эту тему была статья Игнатьева Ю.Г. и Балакина A.B. [92]; затем последовала серия работ [93-108] Ю.Г.Игнатьева, Г.Г.Иванова, А.Б.Балакина,
В.Ю.Шуликовского, А. А.Попова, Н.Р.Хуснутдинова, и других. Главным итогом этой деятельности следует считать всесторонний анализ эволюции релятивистских плазмоподобных систем в иоле нелинейной плоской гравитационной волны. Эта же деятельность, активным участником которой являлся автор данной диссертации, послужила импульсом для обобщения и расширения предмета исследований и позволила автору диссертации сформулировать концепцию исследования точно интегрируемых моделей эволюции релятивистских иерархических систем в поле гравитационного излучения.
28
А. 1.2.2. Иерархический подход к теории отклика многокомпонентных систем на действие поля гравитационного излучения; типы точно интегрируемых моделей, представленные в работе
Используемый в работе иерархический подход как способ видения предмета исследования, как способ описания его свойств, предполагает соблюдение следующих принципов:
• Точно интегрируемая модель эволюции должна быть однозначно представлена на языке теории иерархических систем: установлена (постулирована) иерархическая структура и иерархическая упорядоченность, коммуникативная связь между подсистемами и динамический репертуар.
• Гравитационно - волновой фон, представленный точным решением вакуумных уравнений Эйнштейна, выставлен па вершину иерархической лестницы, т.е. каждая из подсистем испытывает воздействие ноля ГИ, однако, обратного воздействия ГВ - фон не замечает.
• Управляющее воздействие ГВ - фона на структурные элементы иерархической системы распространяется но двум каналам:
(I) прямое непосредственное воздействие на каждую из подсистем (вертикальные линии связи на иерархической диаграмме);
(II) косвенное опосредованное воздействие, которое разносится за счет коллективного взаимодействия между подсистемами но коммуникативным связям (горизонтальные линии связи).
• Отклик ИС на действие поля ГВ многоканален; в каждом из информационных каналов отклик формируется как композиция (свертка) всех прямых и косвенных воздействий, допускаемых иерархи ческой структурой.
29
• Структура эволюционных уравнений наследует иерархическую структуру модели; уровень математического описания модели в целом не может быть ниже, чем уровень описания отдельных подсистем; так как ГВ - существенно релятивистский объект, все подсистемы необходимо описывать на общековариантном уровне.
Вслед за иерархическим подходом необходимо сформулировать авторскую иерархическую гипотезу, согласно которой только та иерархическая система, которая помимо ГВ - фона содержит- две и более материальные или полевые подсистемы, способна сформировать информационно распознаваемый отклик на воздействие поля ГИ.
Проиллюстрируем приведенные выше принципы на примерах десяти трехуровневых иерархических моделей, исследуемых в диссертации. Порядок расположения моделей в списке связан с порядком возрастания сложности их анализа.
1.2.2.1. Многокомпонентный бесстолкновительный газ
• Структура ИС: ГВ фон + релятивистский бесстолкновительный газ, составленный из 5 различных сортов невзаимодействующих частиц.
• Коммуникативные связи: горизонтальных связей нет, ибо нет взаимодействия между частицами.
• Включен только прямой канал воздействия ГВ на движущиеся частицы.
• Отклик ИС можно связать с динамическими переменными типа плотности числа частиц каждого сорта (концентрации), макроскопической скорости движения частиц каждого сорта, а так-
30
же относительных скоростей течений, парциальных давлений, энергии, энтальпии и т.д..
• Эволюционные уравнения: система общерелятивистских бес-столкновительных кинетических уравнений на ГВ фоне.
1.2.2.2. Вакуумное электромагнитное поле на фоне ГИ
• Структура ИС: ГВ фон + электромагнитное поле.
• Коммуникативные связи: только вертикальная связь типа управление - подчинение.
• Включен только прямой канал воздействия ГВ на электромагнитное поле.
• Отклик ИС можно связать с ГВ модуляцией: энергии, групповой скорости, а для электромагнитных волн также фазы, частоты, кривизны фронта, инвариантов тензора поляризации.
• Эволюционные уравнения: уравнения Максвелла в вакууме.
1.2.2.3. Релятивистская гидродинамика
• Структура ИС: ГВ фон + релятивистская жидкость.
• Коммуникативные связи: только вертикальные, горизонтальные отсутствуют в том смысле, что имеется только одна рабочая подсистема; отличие от модели релятивистского газа состоит в макроскопически скрытой межчастичной связи внутри жидкости.
• Включен только прямой канат воздействия ГВ на жидкость, связанный с ГВ индуцированным ускорением движущихся материальных образований.
31