Волновая функция частицы в электромагнитном поле

2
ОГЛАВЛЕНИЕ
ОГЛАВЛЕНИЕ 2
ВВЕДЕНИЕ 5
ГЛАВА 1. ТОЧНО ОПРЕДЕЛЯЕМЫЕ ВОЛНОВЫЕ ФУНКЦИИ 12
1. Бегущая волновая функция дираковской частицы в постоянном
магнитном поле 12
2. Дираковская частица в бегущем электрическом поле 15
3. Дираковская частица в бегущем магнитном поле 25
4. Дираковская частица с аномальным магнитным моментом в бегущем
электрическом и магнитном полях , 30
5. Заряженная дираковская частица с аномальным магнитным моментом
в плоско и циркулярно поляризованной волне 34
6. Дираковская частица с аномальным магнитным моментом в
циркулярно поляризованной волне и постоянном поперечном магнитном и электрическом полях 41
7. Дираковская частица с аномальным магнитным момеїггом в плоско
поляризованной волне и постоянном поперечном магнитном и электрическом полях 46
8. Волновые уравнения для частицы со спином 1 51
9. Векторный мезон в бегущем электрическом иоле 66
10. Движение частицы со спином 1 в бегущем электрическом поле в рамках уравнения Брейта 69
11. Векторный мезон в плоско поляризованной волне 72
12. Решение уравнения Брейта в плоско поляризованной волне 77
13. Скорость заряженной частицы в плоско поляризованной волне в нерелятивнстском и ультрарелятивнстском приближении в рамках уравнения Кеммера и уравнения Брейта 83
14. Решение уравнения Кеммера и уравнения Брейта в циркулярно поляризованной волне 87
15. Векторный мезон в циркулярно поляризованной волне и
постоянном магнитном поле 102
16. Векторный мезон с аномальным магнитным моментом в циркулярно
3
поляризованной волне и постоянном магнитном иоле 113
17. Волновая функция частицы с аномальным магнитным моментом
в циркулярно поляризованной волне в рамках уравнения Брейта 126
18. Решение аналогов уравнения Кеммсра и уравнения Брейта в постоянном магнитном поле 142
19. Собственные значения уравнения Брейта для частиц
с разными массами в постоянном мяшитном поле 166
ГЛАВА 2. ВОЗМУЩЕ1111ЫЕ ВОЛНОВЫЕ ФУНКЦИИ ! 70
1. Атомный электрон в переменном магнитном поле 170
2. Излучение атомного электрона в переменном магнитном поле 173
3. Действие переменного магнитного поля на распространение циркулярно поляризованного излучения в веществе 176
4. Усиление света средой с переменным коэффициентом преломления 184
5. Магнитооптика электронного газа с нулевым спиновым момеггтом 187
6. Оптические свойства электронного газа с ненулевым спином в магнитном поле 195
7. Дираковская частица с аномальным магнитным моментом в циркулярно поляризованной волне 202
8. Релятивистская поправка к линейному эффекту Зеемана в кулоновском поле 210
9. Условие существования собственных функций уравнения Брейта 212
10. Аномальный эффект Зеемана для двух дираковских частиц,
связанных потенциалом Брейта 218
11. Условие существования собственных функций уравнения Кеммера
в кулоновском поле 230
12. Волновая функция скалярной частицы. Эффект Зеемана для скалярных частиц, связанных кулоновским потенциалом и потенциалом Брейта 238
13. Аномальный эффект Зеемана для дираковской и скалярной частиц, связанных потенциалом Брента 247
14. Связь уравнения Кеммера и уравнения Брейта с уравнениями Максвелла 25!
4
ГЛАВА 3. ОЦЕНКИ ПАРАМЕТРОВ ВОЛНОВОЙ ФУНКЦИИ НЕРЕЛЯТИВИСТСКИХ ЧАСТИЦ, СВЯЗАННЫХ ГРАВИТАЦИОННЫМ И КУЛОНОВСКИМ ПОТЕНЦИАЛОМ 255
1. Верхние оценки энергии частиц, связанных гравитационным потенциалом 255
2. Нижние оценки энергии частиц, связанных i равитационным потенциалом 258
3. Уточнение нижних оценок 266
4. Оценка спектра сумм собственных чисел 270
5. Оценка плотности звезд 275
6. Плотность частиц в окрестности звезды 277
7. Зависимость энергии и радиуса звезды от температуры 288
8. Нижние оценки энергии связи кулоновскнх частиц 289
9. Верхние оценки энергии связи кулоновских частиц 292
10. Зависимость энергии связи от плотности конденсированного водорода 297
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
ЛИТЕРАТУРА
ДОПОЛНЕНИЕ
299
302
309
5
ВВЕДЕНИЕ
Релятивистское уравнение Дирака [1-3] для заряженной частицы во внешнем электромагнитном поле - основа релятивистской квантовой механики и квантовой электродинамики. Точные решения этого уравнения и уравнения Дирака-Паули [3, 4] представляют особый физический интерес, так как они, определяя, в основном, картину движения частиц со спином 1/2 во внешнем электромагнитном поле, являются в то же время базой для получения с помощью квантовой электродинамики точной картины движения такой частицы. Наиболее известные решения уравнения Дирака появились в такой последовательности: стационарная волновая функция в кулоновском поле - в 1928 году [5, 6], в постоянном и однородном магнитном поле - в 1930 [7], решение в плоской электромагнитной волне - в 1935; а, когда волна распространяется вдоль постоянного и однородного магнитного поля - в 1965 году [9]. Решение уравнения Дирака-Паули в постоянном и однородном магнитном поле найдено в 1965 [10] и в 1966 году [И]. В постоянном электрическом поле - в 1966 [12, 13], в плоской электромагнитной волне в 1967 [14] и в 1968 году [15, 16]. Другие точные решения этих уравнений приведены в монографиях [17, 95]. Точных решений уравнений для частиц со спином 1 существенно меньше. Уравнение Кеммера [18 -20] в постоянном однородном магнитном поле для заряженной частицы решено в 1949 году [21], для заряженной частицы с аномальным магнитным моментом - в 1970 [22] и в 1971 году [23]. Решение уравнения Кеммера для заряженной частицы, движущейся в плоской электромагнитной волне, приведено (с легко исправимой опиской) в 1966 году [24]. Исследование точных решений уравнений Дирака и Дирака-Паули в электромагнитном поле наиболее полно представлено в монографиях [17, 95], а движение дираковской частицы в постоянном магнитном поле анализировалось в сравнительно многочисленных публикациях, в том числе в [25 - 33]. Исследование уравнений для частиц со спином 1 малочисленны и абстрактны. Характер этих исследований иллюстрируют работы [34 -36]. Уравнение Кеммера [18 -20] и уравнение Брейта [37, 38, 3, 20] описывают поведение частицы со спином 0 и 1 хуже
6
чем уравнение Дирака описывает поведение частицы со спином Уг. Поэтому желательно иметь как можно больше решений этих уравнений в разных электромагнитных полях, чтобы, сопоставляя эти решения друг с другом и точными решениями уравнения Дирака и Дирака-Наулн, сделать вывод: какое же из этих уравнений - Кеммера или Брейта - предпочтительнее для описания поведения частиц со спином 0 и 1. Поэтому основная тема первой части диссертации - получение новых решений уравнений Дирака, Дирака-Паули, Кеммера, Брейта, сопоставление и анализ этих решений.
Решения уравнений Дирака и Дирака-Паули представлены в виде суммы произведений у -матриц Дирака на компоненты, зависящие только от координат [39, 40, 2]. Такая запись решения эквивалентна обычной записи в виде четырехрядных квадратных матриц [I, 3, 41 - 45]. Для перехода от представленной записи решения к матричной записи в дополнение приводится конкретный вид у -матриц Дирака, которые образованы только из чисел 0, ± 1 и ±/. Поскольку большинство их элементов равно нулю, перемножение этих матриц и, следовательно, переход к обычному решению не сложен.
Решение уравнения Кеммера и уравнения Брейта находилось в виде суммы произведений компонент, зависящих от координат, на гиперкомплексные группы, которые выбраны так, чтобы для свободной частицы со спином 1 шесть компонент этого решения, когда масса частицы стремится к нулю, в пределе совпали с проекциями электрического и магнитного поля свободной электромагнитной волны, а чегыре - с компонентами ее четырех вектора. Для уравнения Кеммера система уравнений, определяющих эти компоненты, идентична уравнениям Прока [46].
В работах [47 - 49] утверждается, что заряженная частица со спином 1 в кулоновском поле в рамках уравнения Кеммера не имеет регулярных стационарных волновых функций. Поэтому во второй главе находятся условия существования стационарных волновых функций у таких частиц в кулоновской поле как в рамках уравнения Кеммера, так и уравнения Брейта, а затем рассматривается эффект Зеемана у двух связанных друг с другом частиц с разными спинами: 0 и 0, 0 и 1/2, 1/2 и 1/2. Кроме этого, в начале второй главы рассматривается в нерелятивнстском приближении влияние меняющегося во
7
времени однородного магнитного поля на оптические свойства среды и на спонтанную эмиссию атомов, а также магнитооптика электронного газа.
Верхние и нижние оценки энергии связи N частиц, связанных друг с другом гравитационным потенциалом впервые, в рамках уравнения Шредингера, приведены в [50, 51], затем [52 - 60]. В третьей главе диссертации эти оценки уточняются и дополняются оценками состояния частиц, ранее не исследованных. Затем, используя лишь математические приемы, оценивалось влияние температуры звезды на ее плотност ь и на плотность термодинамически равновесной газовой среды в окрестности звезды. В этой главе оценивается влияние на энергию частиц их кулоновского взаимодействия, когда полный заряд частиц равен нулю. В частности, оценивается сверху и снизу энергия частиц в сжатом водороде.
ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТ, ИЗЛОЖЕННЫХ В ДИССЕРТАЦИИ
1. Получены новые решения уравнения Шредингера, Дирака, Дирака-Паули, Ксммера, Брейта и аналогов уравнений Кеммера и Брейта в электромагнитном поле.
2. Приведены примеры, иллюстрирующие предпочтительность использования для описания частиц со спином 0 и спином 1 уравнения Брейта, а не Кеммера.
3. Найдены условия авторезонансного ускорения дираковских заряженных частиц бегущим магнитным полем и условия захвата заряженных дираковских частиц и частиц, описываемых уравнением Кеммера и уравнением Брейта, бегущим электрическим полем.
4. Рассчитаны магнитооптические параметры электронного газа и газов из частиц, описываемых уравнением Кеммера и уравненем Брейта.
5.Показано, что среду, коэффициент преломления которой уменьшается с течением времени, можно использовать для эффективного усиления светового потока.
6. Предложен новый и самый простой способ двусторонних оценок собственных чисел уравнений квантовой механики и новый вариационный способ оценки суммы п первых собственных чисел уравнения Шредингера,
8
которые использовались для оценок собственных чисел конкретных СОСТОЯНИЙ частиц.
НАУЧНЫЙ МАТЕРИАЛ, ВЫНОСИМЫЙ НА ЗАЩИТУ
1. Точные решения уравнения
а) Дирака для заряженной частицы, которые имеют вид бегущей со скоростью света волны, когда частица движется
в постоянном магнитном поле, гл. 1 (1), [61],
- в бегущем магнитном поле, гл.1 (3), [61];
б) Дирака-Паули для частицы с аномальным магнитным моментом
- в бегущем магнитном поле, гл. 1 (4);
- в циркулярно поляризованной волне и в продольном постоянном магнитном и электрическом полях, гл. 1 (6), [62];
- в плоско поляризованной волне и поперечном постоянном магнитном и электрическом полях, гл. 1 (7), [63];
в) Кеммера и уравнения Брейта для заряженной частицы
- в бегущем электрическом поле, гл.1 (9, 10);
- в циркулярно поляризованной волне, гл. 1 (14), [64 - 66];
- в плоско поляризованной волне, гл.1 (12), [66];
г) Кеммера и уравнения Брейта для частицы с аномальным магнитным моментом
- в бегущем электрическом поле, гл. 1 (2);
- в циркулярно поляризованной волне, которая распространяется вдоль постоянного магнитного поля,гл. I (16, 17);
д) Кеммера для заряженной частицы в циркулярно поляризованной волне и продольном магнитном поле, гл.1 (15), [67];
е) Брейта и точные решения аналогов уравнения Кеммера и Брейта для заряженных частиц со спином 3/2 и 2 с аномальным магнитным моментом в
4
постоянном и однородном магнитном поле, гл. 1 (18), [68];
ж) Шредиигера для атома водорода в однородном магнитном поле, которое меняется во времени как по величине, так и по направлению, гл.2 (1), [69].
9
2. Сравнительный анализ решений уравнений Дирака, Дирака-Паули, Кеммера, Брейта, из которого следует, что в отличие от уравнения Кеммера, волновая функция уравнения Брейта, как и волновая функция дираковской частицы
- имеет везде положительную плотность вероятности и дает для скорости частицы величину, лишь в пределе достигающую скорости света, гл. 1, (8, II — 14), [64-66];
- в сильном магнитном поле при больших квантовых числах имеет собственные числа, в пределе совпадающее с собственными числами полученными, в квазиклассическом приближении, гл. 1 (8);
- в кулоновском поле регулярна гл. 1 (9).
3. Уравнения движения частиц в электромагнитной волне, оптика и магнитооптика
а) электронного газа, гл. 1 (4 - 7), гл.2 (7), [62, 63, 70 - 74];
б) газа из векторных мезонов, гл.1 (11, 14-16), [64 - 67];
в) газа из частиц, ко торые движутся в рамках уравнения Брейта, гл.1 (12, 14, 17), [65, 66].
4. Анализ уравнения Кеммера и уравнения Брейта в кулоновском поле, из которого следует, что оба уравнения имеют в достаточно слабом поле собственные функции, однако регулярны они только у уравнения Брейта, гл.2 (9, 11), [75. 76].
5. Магнитооптика в переменном магнитном поле, в которой имеют место эффекты
а) когерентное усиление света средой, если показатель преломления среды с течением времени уменьшается, гл. 2 (2, 3), [77, 78];
б) независимость спонтанной эмиссии от скорости изменения магнитного поля, гл.2 (1), [69].
6. Релятивистская поправка к линейному эффекту Зеемана в кулоновском поле, гл. 2 (8), [79].
4
7. Эффект Зеемана в системе двух связанных
- дираковских частиц, гл.2 (10), [80];
-• скалярных частиц, гл.2 (12);
скалярной и дираковской частиц, гл.2 (13), [68].
10
8. Связь уравнения Кеммера и уравнения Брейта с уравнениями Максвелла, гл.2 (14), [81].
9. Использование метода Заутера [39, 40, 2] для анализа состояний со спином, не равным 1/2, гл.1 (8 - 19), гл.2 (10- 14), [82 - 84, 80, 68, 64 - 67].
10. Теорема, справедливая для уравнения Шредингера, Дирака, Дирака-Паули, Брейта и для аналогов уравнения Брейта: область значений
А
вещественного функционала H'F/'F включает в себя хотя бы одно собственное
А
число А„ дифференциального уравнения ITF,, = Япу¥11, если функция Ч* удовлетворяет тем же граничным условиям, что и . Поэтому, меняя функцию
VF так, чтобы область значений функционала HlF/vF была как можно уже,
получаем двустороннюю оценку собственного числа уравнения H'F„
точность которой увеличивается по мерс увеличения числа изменяемых параметров в 4х, гл.2 (9), [82 - 84, 76, 77].
И. Теорема: сумма первых к собственных чисел уравнения Шредингера
к . п .
HXF„ = меньше суммы р, | H J <р( ), где <р, - любые ортонормнрованные
/=i
вещественные функции, удовлетворяющие тем же граничным условиям, что и y,, гл.3 (4), [88].
12. Новые двусторонние оценки собственной энергии системы многих частиц, связанных друг с другом
- гравитационным взаимодействием, гл.З (1-3), [88 - 90];
- кулоновским взаимодействием, гл.З (8 - 10), [88. 91].
СТРУКТУРА ДИССЕРТАЦИИ
Диссертация состоит из трех глав. В первой главе приводятся и обсуждаются точные, а во второй - возмущенные решения уравнений Дирака, Дирака-Паули, Кеммера, Брейта в электромагнитном поле. В третьей главе в рамках уравнения Шредингера оцениваются сверху и снизу собственная энергия системы многих частиц, связанных друг с другом гравитационным или кулоновским взаимодействием. Кроме этого, во второй главе в рамках уравнения Шредингера анализируются особенности воздействия на атомы
11
переменного магнитного поля. Начинается диссертация введением, список литературы и дополнение находятся в конце диссертации.
12
ГЛАВА I. ТОЧНО ОПРЕДЕЛЯЕМЫЕ ВОЛНОВЫЕ ФУНКЦИИ
1. БЕГУЩАЯ ВОЛНОВАЯ ФУНКЦИЯ ДИРАКОВСКОЙ ЧАСТИЦЫ В ПОСТОЯННОМ МАГНИТНОМ ПОЛЕ.
В постоянном магнитном поле, наряду со стационарными
осесимметричные волновые функции, у которых в течение времени меняется поперечный масштаб, но форма распределения плотности вероятности остается такой же, как и у стационарной волновой функции. В рамках уравнения Шредингера такая квазистационарная волновая функция меняет свой поперечный масштаб сразу во всем пространстве [92, 93]. В этом разделе такая квазистационарная волновая функция определена в рамках уравнения Дирака в виде волны, бегущей вдоль магнитного поля со скоростью света [61].
зарядом е определяется в постоянном и однородном магнитном поле И следующим уравнением Дирака:
где у, - матрица Днрака [2, 3]. Решение уравнения (1.1) ищем в виде:
осесимметричными
волновыми
функциями, существуют
Волновая функция дираковской частицы с массой т0 и
(1.1)
; Э І ЄН
кх-----------------У,
х дх 2 Пс
— +-------
ду 2 іїс
д і е Н
х
где
Ч' = е'>,л(у/, +у/,г3 +¥'4Гзі)і', (1.2)
г=|0+/уиХі+л). (і.з)
13
Если компоненты Ч/, - волны, бегущие вдоль магнитного поля, то они определятся следующими системами уравнений:
(*х +1*>)ч/г+ко'1/\ +^”(±У/з - V,)**,?', =0,
(1.4)
01]к
-{к + '*,)?' 4 +*о("5 +'Гз)~ =°.
01)±
+— (±^2 -;>4 )+^4 =°-
Верхний знак в двойном знаке ± берется в случае, когда компоненты зависят только от х, у и */+ =с/ + 2, нижний - когда
они зависят только от х, у и = с/ - г. В первом случае решение (].4)
- волна, бегущая со скоростью света справа налево, во втором - слева направо. Из (1.4) следует, что компоненты , у волны, бегущей справа налево - следующие функции:
=|(<г-у), чгг-,(сГ +*-),
Уг=а' +1>\ ч/А=-ал-Ь-,
(15)
где функция а1 определяется уравнениями:
л2 . /ел ./а сП
А Н х у—
2т0 2т0с ^ ду дху
±_^н + -И_Н 5(х2+/)
2/н0с 8///0с
(1.6)
* Лс с*1*
а =---------------
| с??/ ’
а функции - равенствами.
Для волны, бегущей слева направо, правая часть уравнения (1.6) имеет другой знак и дифференцирование справа производится по В
цилиндрических координатах р \\ (р уравнение (1.6) имеет следующий вид:
Л’ I Г і 9 о 1 а-) | УеЛ д + еЛ
2 т01 [рдр др р1 0<р2) 1 2д/0с 2т0с
Нч*—е—г\\гр1
о*
0.8)
/ дц
а его решение - следующий вид:
«1=«!1,С”'<Р,’кУв'. (19)
где У(П5 совпадает в сечении г с нормированной стационарной волновой функцией частицы, которая двигалась бы в магнитном поле
Нэ = 2Н/{(Н/Н„ + Н0 /Н)+ (Н/Н„ - Н0 /Н)со8(а>„»;, + ?>„), (1.10)
фаза ©* определяется формулой
ч,
@± = {т0/4Пс)р2 —-1п11э +—^-т|[Нэ((2л+|«|+1)+(щ±1)Нр;;.
а1)+ гт0С
(1.11)
В (1.9 -11) а)п и Н - циклотронная частота и магнитное поле, в котором движется частица, ни т- главное и азимутальное число функции ЯНэ, и Н0, <р0- произвольные постоянные. При
Н0 = И квазистационарное решение (1.9) переходит в стационарную
волновую функцию. Квазистационарное решение в виде волны, бегущей
15
слева направо, получается из решения (1.9), заменой ;;+ на */_. Средний импульс в этих волнах по величине равен
Гг = £ (*<«.1 > <0{>+1 т 14 0(Н / Н„ + Н0 / И)* + 4(ш ± 1) (112)
О
и направлен вдоль оси 2 для волны, которая движется слева
направо, и в обратном направлении для волны, которая движегся справа
налево. Средняя энергия частицы в волне связана со средним импульсом соотношением:
Е = »/„с3 + Ргс (1.13)
ИЛИ
Е = кт0с7 + Ргс, (1.14)
если частота волны в к раз больше циклотронной.
2. ДИРЛКОВСКЛЯ ЧАСТИЦА В БЕГУЩЕМ ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЕ.
Волновая функция дираковской частицы с массой т0 и зарядом е в электромагнитном поле определяется уравнением Дирака [2, 3]
+*о)*' = 0,
(2.1)
1,
0 п дх, Ьс"
где у, - матрицы Дирака [2, 3], ф, - составляющие четырехвектора поля,
которые для поля, бегущего справа налево вдоль оси х со скоростью света, зависят только от и ;/ = г + сГВ этом случае волновая функция ищется в виде [2]:
где
у = +(У2Г, + ГзГз +^Гз,)Г,
r = i(l + i>i,)(l + r4).
(2.2)
(2.3)
Компоненты у! суммы (2.2) зависят только от х,у и 1} и определяются системами уравнений:
Л О
*+¥г +Т“(^з -'>.)+ Ф, -ф,)^з + (*/ ~f>Vi =°> 01]
к-У\ +Т-(у'4+*Ч'г)+*(кг-фт)У/4-(к< -<Р)Уг = 0> Оц
(2.4)
А v
**^4 +^^1 -<>3 )+'(*, -Ф, V, -(*, -?>V3 =0,
8г/
k-V, + X- (^2 + ' ^4 )+ ' (*, ' Фз V2 - (*, - Р V4 = 0, ОЦ
А А А £ £
где fc± =kx±ik , Ф, =—фг> (p-i—. Решение системы уравнений (2.4) -
Лс tic
следующие функции:
^i=;(a+-b+), у/2 =i(a.-b_),
V/i = а*-b+у ч/4 = -а_-Ь_, определяемые системой уравнений:
(2.5)
i,k-' ir-2i— + kt-k?/k
а± = -*о|М-'К' (2-6)
и равенствами:
17
** =*;’(*>, +*л), (2.7)
где
к, =(к,-<р)±(к,-Ф,), [м:1 ]=*>:’-*:'**• (2»)
Составляющие скорости Уа = /с(т* | у„ | , составляющие спина
^ = / (Ч* * | у оа I Ч* ) и составляющие <!а -(Ч'* | у1а | Ч') определяются
через а* и Ь* по формулам:
Ух - Ис\т{а\Ь_ - Ь\а^ )/р,
(2.9)
Г, = 2с Яе(а*£_ - )/р,
Г, = с*(а'а+ + а*а_ -/>*/>♦ "0-)/р,
л>7 =5Х = 2/1т(<7**/_ +Ь'<Ь_)/р>
(2.10)
5Я = ^ = 2 Яе^а.. + )//? ,
= 2 Мка- - 6>_ )//?,
(2.11)
^у = -2/ 1т(а*а_
4
з,г г = ”2 /1т(а*£+ - )/р,
где
18
р - а\а+ + а[а_ + 6*6* + Ь*Ь . (2.12)
А
В случае, когда операторы кі коммутируют с Ф, и <ру и система уравнений (2.6) распадается на два независимых уравнения
*1 ** - 21 (*,-*,-?> + <Ф,)А + (*,-(*, - Ф,У -кі^ = О, (2.13)
формулы (2.9 - 2.11) можно переписать в виде:
Ух - -2 і с 1ш(а*£,а± )/ р±к_,
V * = Т2 с Яе1р1к?ак )/ р±к_,
К = ~са'М ~к0 +к1 +*ї)я± //>**-.
^ = 2ік0Р±ь1,
< = = ±2*0 Яе(<|’*т<7±)/
з%=з,=а\аХко/кУ ! Р±>
У* =г/* =-У1 •V ">• *>лг »
■*„ =0.
(2.14)
(2.15)
(2.16)
19
где
(2.17)
Из формул (2.15) и (2.16) следует, что вектор сі всегда перпендикулярен
как вектору спина 5 , так и оси г. Верхний индекс + в формулах (2.13 -2.17) соответствует состоянию, спин в котором в нерелятивистском пределе ориентирован по, а нижний индекс - против направления распространения волны.
В осесимметричном электромагнитном поле, бегущем со скоростью света вдоль своей оси, волновая функция легко определяется, когда осевая составляющая электрического поля зависит от или ;/_ [94, 95]. Тогда вектор потенциал бегущего поля имеет ненулевые Ф, и Ф, —і<р
составляющие, которые зависят только от ;/; или ог г/_. Они коммутируют с
операторами к±. Поэтому волновая функция частицы в таком поле определяется через а± соответственно по формулам (2.5) и (2.7), а функция а± определяется уравнением (2.13), которое в поле, бегущем справа налево, имеет следующий вид:
(2.18)
где
(2.19)
Из (2.17) следует.
.2
О
Ф) . (2.20)
Используя формулы (2.14 - 2.16) и (2.20), получаем следующие значения составляющих вектора скорости, спина и вектора 3:
20
где
Г/ =2 ск_кж/к\ V* =2 ск.ку/к\ V? =2с(к]-кга-к]-к1)/к\ 5* = 2к0кх/к2 = ~Ы1,
5; =2к0ку/к2=^, =±2к20(к2,
<±=о,
(2.21)
(2.22)
Для сопоставления полученных результатов с поведением в этих же условиях классических частиц формулы (2.21) удобно переписать в виде:
К = ср, —- , (2.23)
1-г+-г2/(1+/0
Кг=су9/ >-г/0+£)
/?,-г+~гг/(1+/?;)
К, =С-------Г----------
1-г + 1гг/(и/0
21
где ра и р - отношение первоначальных составляющих скорости и абсолютной скорости частицы к скорости света, а у отношение е(ф,-/Ф,) к
первоначальной полной энергии частицы. Когда бегущее электрическое поле и заряженная частица со скоростью рс движутся навстречу друг другу, то частица после встречи с электрическим полем, согласно (2.23), изменит свою скорость рс на скорость:
P-r+\r'i<l+P)
U = с f---------------. (2.24)
I-г+-гг/(н/0
Пока у (1 + /У, такой же результат дает и классическая механика. Однако при у)1 -vР в рамках классической механики частица захватывается волной и предельная ее скорость равна скорости света, а в рамках уравнения Дирака при превышении у величины (l + р) скорость частицы начинает уменьшаться.
Это различие, возможно, объясняется особенностью функции at,
определяемой формулой (2.20) - в интервале, входящем в показатель экспоненты этой функции, при у)1 + Д возникает логарифмическая расходимость. Не исключено, что эта расходимость делает это решение при у)\ + р нефизнчным.
Рассмотрим теперь случай, когда наряду с бегущим электрическим полем на частицу действует циркулярио поляризованная волна, которая, как и бегущее электрическое поле, распространяется вдоль оси z. D правоциркулярной волне составляющие ее четырехвектора определяются равенствами:
С /?) С СП
ФЖ=Е—sin—//, Ф =Е—cos—//, Ф =0, Ф, = 0, (2.25)
со с со с
где Е - напряженность поля волны, со - ее частота. В этом случае во вращающейся системе координат, в которой ось дг„ направлена по
электрическому, а ось х1 по магнитному полю циркулярио поляризованной
22
волны, компоненты у/, волновой функции (2.2) определяются системой уравнений:
е ‘‘"(к, +ф)<у3 +
(д_
дт)* * д<ру
+ »
-у + *,-Фг]^з+^-у + =0,
е'^-Ф^, +*0^+[
10'/ Фу1
(^4 +'^2)+
+'(у+а, -Ф,у4 -Гу-+*, -Л,=о.
т /•* \ ( д д \ ч
е » (*. +Ф^+Л0^3+ —+Л„— (у+'Уз)+
1^7
(2.26)
+ / —2- + *, - Фг
I 2
(I/, -I—у4-** 1^з =0,
-е ‘‘"(к. -ф)^3 +*„(/„ +Г^-+*.-^-)(^2 + 'Уч)+
1^7 а«?;
^2+["у+*, -«’]у/4 =0.
5 5
где Ф = сеЕ1а), к± = —±/-------, кф =0)1 с. Решение системы уравнений (2.26)
а& ак±
- следующие функции:
-1/- 1,-^ у/,=/<? 2 ^2=/е2 •*(<!- +0»
(2.27)
23
1/в
У'з =<? 2 с\а+ + *Д у/4 =<?2 с\-а_ +Ь_),
если функции а± определяются уравнениями:
*-(** ±<ь)у & тф)-2^-(^+Л. £]+*♦*- ~к! ±к°к-
^=0, (2.28)
а функции Ь± - равенствами:
К =Р±±фК+М±]^-
(2.29)
Решение уравнения (2.29), которое зависит только от 77, имеет следующий вид:
а± = ехР ^'
^ к2 + Ф2 ----------------
(2.30)
а функции Ь± - следующий:
*± =(±Фа1+к0а1)/к^
(2.31)
В этих условиях составляющие скорости, спина и вектора <1 определяются формулами:
*?=0,
V, =2ск_Ф/(к1+к1+Ф1),
(2.32)
V, = с{к1 - к1 - Ф2 )/(*_2 + к1 + Ф2),
24
=о, </, = о.
(2.33)
= 2А_Ф/(А:3 + к% + Фг)=</„,
яг=±2к1/(к1+к1+ Ф2).
Для сопоставления с результатами классической релятивнсткой механики формулы (2.32) удобно переписать в виде:
где е - отношение сеЕ/о к первоначальной полной энергии частицы. Остальные обозначения совпадают с обозначениями в формуле (2.23). Как следует из формулы (2.34), дополнительное действие циркулярно поляризованной волны не влияет на особенности движения частицы в бегущем электрическом поле. При у(1 + /? классическая релятивистская механика и уравнение Дирака дают одинаковое значение скорости при действии на нее одновременно циркулярно поляризованной волны и бегущего электрическою поля. При у)\ + Р классическая релятивистская механика дает захват частицы бегущей волной, в которой она ускоряется в пределе до скорости света, а в рамках уравнения Дирака скорость частицы при увеличении 1 + р при значениях у больших I + р сначала по абсолютной величине уменьшается. И только при достаточно больших у скорость частицы начинает увеличиваться. Однако, при у)\+Р из-за вышеупомянутой логарифмической расходимости это решение, вероятно, надо отбросить, как не имеющее физического смысла. Это означает, что в рамках уравнения Дирака, только при у{\ + Р существуют
(2.34)
Р-Г + \(гг-е2)!(' + Р)
25
физически реализуемые состояния, бегущие за действующим на них электрическим полем. Волновые функции таких состояний перемещаются вслед за волной со скоростью свега, не меняя своей формы. При у)\ + р таких состояний, которые имели бы физический смысл, вероятно, нет.
3. ДИРАКОВСКАЯ ЧАСТИЦА В БЕГУЩЕМ МАГНИТНОМ ПОЛЕ
Осесимметричное магнитное поле может иметь следующие компоненты четырехвектора:
Такое магнитное поле, имеющее осевые составляющие, которые зависят только от 1] = г + с1, бежит справа налево но оси г со скоростью света. Волновая функция частиц в таком ноле ищется в виде:
=-тН(г+ст), Фу =-д:Н(г + с/),
*+ 1л
(3.1)
Ф, = О, Ф, =0.
Ч'-И^(Ч'1+Ч'1у1+Ч'Л + Ч'4г,1)Г,
(3.2)
г = -0+'Г|г)(,+^)
Согласно формулам (2.5 - 2.8) компоненты Ч' - следующие функции:
(33)
Х=-а~ +*-,
если функции ал определяются уравнениями:
26
Л2 . іеП Л -
2///0 2 /п0с
нГдг—-у—1± Н + ——г И2(г2 +у2)
\ ду дх) 2т0с 8т0с2
а функции Ь± - равенствами:
= д* +-±-
Г-5- ІЄ
2 Пс
± + ^-ХН ду 2 Лс
(3.5)
Уравнение (3.4) (уравнение Шредингера, в котором роль времени играет переменная ;//с ) в цилиндрических координатах ри <р имеет следующий вид:
д 1 /г Л с? еП
др р2 2т0с дд> -Е 2т0с
Н+-1—ну
8 т0с
* Ьс да* а =
Ищем решение уравнения (3.6) в виде [61]:
«' = Л„,.(*)схр/[»м$; + Р(ч)р2 + /**(?)],
*=«('/)/>,
и для функций а, р и р± получаем систему уравнений:
/ д;/ (3.6)
(3.7)
2а2 (2н+1 т |+і)+(е Н !іїс\т ± і)- 4ір = (2/н0с /Л)^— ,
с/7
2ар = (т0с/п№, <*/
(3.8)
а" - 4/?! - (е И / 2сЛ)г = -(2от0с/,
если функция /(Я|Я определена уравнением:
27
(39)
где /і и І т І - целые положительные числа. Из уравнений (3.8) следует
а* = а /<„„ («/>)«"’*. (3-Ю)
где а определяется уравнением:
(fl/m0c)2a4-{~\па \ + -^-r-lna = (eH/2w0c2V, (3.11)
W7/ ) </?Г
а фаза #± формулой:
0к = (///0 / 2Лс)/з2 ~Т“1п « + (Л/2м0с)х J[20г2 (2//+1 т | +1) + (еIl/vh)(nt ± l)\hj.
/
(3.12)
Формула (3.10) означает, что в плоскости г в момент времени / функции а* с точностью до фазы совпадают с собственной функцией уравнения Шредингера в постоянном магнитном поле Нэ, равном (2tic/e)a*. Когда Н обратно квадратично зависит от 7; = ci + z, І! = k/rj2, поле H, совпадает с И, а когда зависит от ;/ обратно пропорционально, Н = Л/т/, поле Н, в
- (т0с/к е)2 раз меньше Н. Когда бегущее магнитное поле состоит из
участков, на которых осевое магнитное поле Н постоянно, то поле И, на
каждом участке определяется формулой:
И, = Н0 /[і - Vі - (Но /Н)2 COs(ü7h7j/c + <p0), (3.13)
28
где Н и оп - осевое магнитное поле и циклотронная частота на участке, а Н0 и
(1а
<р0 -постоянные, которые определяются из условии непрерывности а и — на
"7
концах участка. Если на частицу в стационарном состоянии в постоянном магнитном поле Н дополнительно набегает справа магнитное поле Л, то //, в магнитном поле //, -Н »7/ определяется формулой
если переход от поля Я к полю Я + А в плоскости г - 0 происходит в нулевой момент времени. Согласно (3.13) в поле // + // поперечное сечение волновой функции определяется формулой:
частицы по оси г в стационарном состоянии в постоянном магштгном поле II,. Если на частицу в стационарном состоянии в постоянном магнитном поле Н набежали справа N прямоугольных импульсов магнитного поля амплитуды Л длительностью л7со1иь с длительностью промежутков между импульсами л7<у„,то Нэ определяется формулой:
Н, =2//,/{(Я,/Я+ Я/Я,)+(Я,/Я-Я/Я|)созй>„1(/ + г/с)} (3.14)
а - л-1
{р2), = К т )+("/Я,)+[(//, /я )-(/////,)]с<мюи, (/ + г/с) ,
(3.15)
где
29
Ры = + (ла>„ /сф/1+1Л11 +1)X [(Н, /Н)" + (Н / Н,)" ] ’+ 4(т ± 1) V (3.18)
О
а средняя энергия формулой:
(3.19)
Классические аналоги формул (3.18), (3.19) имеют следующий вид:
л»=А^н./нУ'+(н/н1уф.
(3.20)
И
Е„ = »10сг + Рцс,
(3.21)
если сначала движение частицы было осесимметричным, а продольный импульс и энергия равны соответсгвеиио р0 и т0с2 + р0с. Энергия передается частице на переднем фронте импульса магнитного поля, а отнимается - на заднем. На максимальном расстоянии от оси частица находится на переднем фронте, на минимальном расстоянии - на заднем. Отношение отнимаемой энергии к получаемой меньше квадрата отношения минимального расстояния к максимальному расстоянию. После каждого импульса магнитного поля максимальное расстояние до оси в (Н, /Н) раз увеличивается, минимальное во столько же раз уменьшается. Поэтому при достаточно большом N у когда минимальное расстояние до оси станет настолько малым, что отданной на заднем фронте энергией можно пренебречь по сравнению с энергией, полученной частицей на переднем фронте, энергия и классической и дираковскон частиц с увеличением N возрастает экспоненциально. Безграничное увеличение энергии дираковскон частицы периодическими импульсами бегущего магнитного поля имеет место не только в случае, когда разность между полной энергией частицы н произведением продольного импульса частицы на скорость света равна собственной энергии частицы т0с2.
Если эта разность равна кт0с2, то безграничное увеличение энергии частицы