Нелинейная динамика токонесущих плазмоподобных сред

Оглавление
Введение .....................................................................4
Глава 1. Плазменная модель металла- Локально-равновесные фазовые переходы
при высоких плотностях энергии .........................................16
1.1. Анализ проблемы, динамические уравнения ...........................16
1.2. Основные положения плазменной модели ..............................20
1.2.1. Термодинамические функции...................................20
1.2.2. Электронные коэффициенты переноса ..........................35
1.2.3. Эффективный модуль сдвига и время релаксации ионной компоненты ................................................................40
1.2.4. Обсуждение..................................................42
1.3. Сверхбыстрый электрический взрыв проводников и скин-слоя ..........52
1.3.1. Электрический взрыв проводников: анализ проблемы ...........52
1.3.2. Мошнах МГД ударная волна и электрический взрыв скин-слоя 58
1.3.3. Наносекукдный электрический взрыв тонкой проволочки ........69
1.4. Магнитная кумуляция энергии .......................................80
1.4.1. Качественное рассмотрение физических процессов, сопутствующих магнитной кумуляции ...............................................82
1.4.2. Изучение стадии захвата магнитного потока при магнитодинамн-ческой кумуляции...................................................97
1.4.3. Анализ экспериментов по магнитной кумуляции ...............103
1.5. Характеристики плазмы, получаемой при воздействии па металлы интенсивных потоков заряженных частиц и излучения .........................116
1.6. Основные результаты Главы 1 ......................................133
Глава 2. Ламинарно-турбулентный переход в токонесущих плазмоподобных средах
.......................................................................136
2.1. Анализ проблемы, исходные уравнения...............................136
2.1.1. Исходные динамические уравнения для описания ламинарно-турбулентного перехода в плазмоподобных средах....................137
2.1.2. Исходные динамические уравнения для описания ламинарно турбулентного перехода в илотиой двух температурной плазме ...144
2
2.2. Маломодовые модели начальных стадий ламинарно-турбулентного перехода ................................................................150
2.3. Вычислительный эксперимент: динамика вихревых гидродинамических и токовых структур ....................................................167
2.4. Модели начальных стадий дробления пространственного масштаба вихревых структур (стратификации проводника с током)......................199
2.5. Крупномасштабные вихревые структуры и электрический взрыв: сравнение с экспериментом..................................................209
2.6. Динамическое прерывание электрического тока как неравновесный фазовый переход..........................................................226
2.7. Модель двухтемпературной плотной плазмы с сильной крупномасштабной турбулентностью .................................................... 229
2.7.1. Формулировка проблемы ....................................229
2.7.2. Динамические уравнения ...................................236
2.7.3. Термодинамические соотношения ............................244
2.7.4. Турбулентные транспортные коэффициенты. Обсуждение 247
2.8. Основные результаты Главы 2 .....................................254
Глава 3. Структурирование и зкжалиэаиия электрического тока на катале в вакуумных разрядах .......................................................256
3.1. Основные физические причины локализации и структурирования электрического тока. Условие существования горячих точек в поверхностном слое катода ..............................................................256
3.2. Изотермический разлет металлической сферы в вакуум как модельная задача о точечном взрыве эмиссионного центра ..........................264
3.3. Основные результаты Главы 3 .....................................276
Заключение: основные результаты диссертационной работы ....................278
Публикации, в которых отражены основные результаты диссертационной работы
......................................................................283
Библиография ..............................................................287
3
Введение
Прохождению электрического тока через плалмоподобныс среды1 сопутствует большое многообразие физических явлений, таких как: фазовые переходы ^твердое тсло-жидкость*' и "жидкость-нар”, различного типа неустойчивости (1, 2, 3], электрический взрыв проводников, локализация электромагнитной энергии н малых объемах н образование горячих точек, высокоскоростные плазменные струи (4, 5. 6, 7, 8, 9, 10, И, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18), формирование и разрушение гидродинамических и электромагнитных разрывов! 19], кратковременное электромагнитное излучение в рентгеновском диапазоне длин волн[11,20], пространственные диссипативные структуры и их хаотическая динамика [21, 22, 23, 24, 25, 26. 27, 28, 29, 30, 31, 32) и т.п.
Указанные явления не только определяют срок службы сильноточной электронной аппаратуры, но и широко используются в экспериментальной прак тике для достижения высоких параметров этой аппаратуры. Особую важность при этом имеет исследование физических процессов, сопровождающих прохождение тока через границы плазхюподобиых сред с различными физическими свойствами, а также границу * плазмоподобная среда-вакуум". Последняя проблема представляет несомненный научный интерес для физики процессов ка катоде и в прикатодной области и объяснения зажигания и поддержания горения вакуумной дуги.
Для упомянутых процессов характерным является локализация энергии с высокой плотностью в малых объемах и выделение ее за времена от единиц или долей наносекунд до единиц микросекунд и, как следствие этого, — изменение параметров вещества в широком диапазоне температур и давлений: сю состояние меняется от конденсированного до плазменного. Поэтому проведение теоретических исследований с целью прогнозирования результатов экспериментов и создания сильноточной электронной аппаратуры с высокими энергетическими и временными характеристиками требует построения моделей токонесущих плазмоподобных сред, применимых для описания поведения вещества при высоких плотностях энергии.
Размеры образующихся в |>езультате неустойчивостей пространственных структур (£,) могут быть как порядка размеров области (/^), занятой плазмоподобной средой, так и существенно меньше. При этом имеют место два случая: /„ Ь. и ~
(/* — длина свободного пробега частицы сорта о). В первом случае, характерном для континуальною приближения, можно вести речь о локально-равновесном неравновесном фазовом переходе (НФП), когда локальные свойства токонесущих плазменных сред остаются такими же как и в случае отсутствия пространственных структур.
1В предлагаемой работе иод плавмоподобнымм средами понимаются немагнитные проводящие кваоинейтральные, одно- или дву хтемнературкые, среды, к которым можно отнести непереходные тверды«? и жидкие металлы, а также — плазму (низкотемпературную или высокотемпературную) С ВЫСОКОЙ плотностью.
4
В этом случае пространственные структуры определяют глобальные свойства веществ а, в частности — прерывание электрического тока даже в случае постоянною коэффициента электропроводности [27, 28. 31, 32].
При прохождении тока через плазмоподобную среду наиболее подвержена неустойчивостям ее поверхность. В качестве примера можно привести классическую Релей—Тейлоровскую (РТ) неустойчивость поверхности раздела между тяжелей и легкой жидкостями в гравитационном поле (33, 34 , 35), неустойчивость Рнхтмайера—Мешкова (РМ) границы раздела между двумя газами с существенно отличающимися плотностями, ускоряемую импульсным давлением, в частности, ударной волной (У В) [36, 37]. неустойчивость границы "плазма-вакуум” в быстрых Z-пинчах [38]. В работе [37] экспериментально установлено, что РМ неустойчивость развивается как при ускорении границы со стороны легкого газа, так и со стороны тяжелого газа. При этом нелинейная сталия РМ неустойчивости подобна нелинейной сталии классической РТ неустойчивости. РТ неустойчивость поверхности плазмы в быстрых Z-пинчах определяет в конечном счете возможность получения мощною импульсного рентгеновского излучения с помощью Z-пинчсвых нагрузок сильноточных электронных устройств типа ускорителя PRBA-Z из Sandia National Laboratories (СИЛ, США) [39], способного создавать в малоиндуктивной нагрузке импульс тока с амплитудой 20 МА и длительностью около 1.5 икс. Имеются (40] экспериментальные указания на то, что плязх«а быстрых Z-пинчсн, по крайней хсере, вначале стадии стагнации обладает сильной (развитой) крупномасштабной турбулентностью. Поэтому представляет несомненный интерес теоретическое исследование существенно нелинейных стадий РТ неустойчивос ти поверхности и ламинарпо-турбулентного перехода в плазме быстрых Z-ппнчей с келью поиска способов управления РТ неустойчивостью.
Неустойчивости поверхности проводников с током играют также существенную роль в их разрушении и стратификации [14]. Для объяснения последней привлекают соображения не только о магнитогидродинамических неустойчивостях перетяжечно-го типа (моды w = 0) [13, 14], но и перегревиых неустойчивостях [18, 41]. Поскольку неустойчивости в проводниках с tokoxi приводят к формированию крупномасштабных вихревых (гидродинамических и токовых) структур представляет несомненный научный интерес установление их роли в стратификации проводника без привлечения дополнительных соображений о роли нагревА в формировании страт, а также, — в локализации джоулсва источника тепла и образовании тепловых структур (горячих точек) и разрушении высокой риводящего токовою состояния проводника (прерывании электрическою тока).
Особую важность для создания эффективно работающих сильноточных устройств представляет, также, теоретическое исследование физических процессов на катоде на начальных стадиях вакуумного разряда, в частности, установление фундаментальных законохсерпостей нелинейной динамики катодных пятен, характерных размеров токовых ячеек и значений тока и напряжения, при которых эти ячейки формируются. Поскольку катодные пятна существуют в области токов ^ 1 А, представляет также научный и практический интерес установление физических причин, ведущих
5
к локализации и структурированию электрического тока на поверхности катода на начальных стадиях вакуумного разряда.
Исследование указанных нелинейных физических явлений имеет на сегодняшний день достаточно длительную историю, опубликовано значительное число работ, в тох* числе обзоров и монографий. Например, электрическому взрыву проводников посвящены работы (4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, Г2), свойствам вещества при высоких плотностях энергии [42, 43, 44, 45, 46], кумуляции энергии (магнитной [47, 48], с помощью сферической УВ [49. 50]), физическим процессам в плаэхеенных проводниках С током (Z-Пинчах) (51], Релей-Тейлоровской неустойчивости поверхности плазмы (35, 36, 38, 52], физическим нроцесса?л на электродах и в при электродных областях в вакуумных разрядах [53. 54, 55. 56, 57. 58. 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65. 66]. Поэтому нам представляется возможным не делать Специального обзора результатов предыдущих работ (эти результаты будут рассматрсны в соответствующих главах).
Выше сказанное позволяет сформулировать цель предлагаемой диссертационной работы: проведение комплекса теоретических исследований нелинейной дннамньи токонесущих ндазАюггодобных сред, включающего в себя следующие задачи:
Задача 1. Построение локально-равновесж>й модели плазмоподобной среды для нахождения кинетических коэффициентов при высоких плотностях энергии и исследование с се похюшью в одномерной постановке следующих нелинейных МГД явлений:
• сверхбыстрый электрический взрыв тонких проволочек;
• распространение мощной МГД ударной волны в полупространство и электрический взрыв скип-слоя;
• магнитодинаынческую и магнитную кумуляцию.
Задача 2. Построение моделей двухскоростных континуумов для исследования начальных стадий ламинарно-турбулентного перехода в токонесущих плазмоподобных средах н двухтемпературной плотной при наличии ламинарного течения с высокими скоростями и ускорениями с целью установления роли пространственных токовых и гидродинамических структур в прерывании электрического тока, его локализации и образовании горячих точек, в стратификации жидкометаллического проводника с током. Построение магнитогилро-линамичсской модели двухтсхспсратурной плотной плазмы с сильной крупномасштабной турбулентностью для установления фундаментальных закошшер-ностей, определяющих эффективность преобразования кинетической энергии направленного движения плазмы в рентгеновское излучение.
Задача 3. Исследование начальной стадии вакуумного разряда с целью установления условий локализации и формирования пространственной структуры токовых ячеек и горячих точек в поверхностном слое катода; выяснение роли точечного взрыва в установлении зарядовою состава плазмы вакуумной дуги.
6
При решении выше сформулированных задач диссертационной работы используются современные методы вычислительной математики [67, 68, 69, 70, 71], компьютерной алгебры (7*2, 73] и топологии [74 , 751, аналитические методы анализа (76, 77], геометрии [78], математической физики [79, 80], вариационные методы [67, 81, 82, 83]. При этом мы стремимся свести исходные динамические уравнения, фазовое пространс тво которых бесконечномерно, либо к связанным системам ограниченного числа одномерных нелинейных уравнений в частных производных для амплитуд неустойчивых мод (параметров порядка), зависящих от времени и одной из пространственных координат, вдоль которой собственно и развивается неустойчивость; либо — к системе обыкновенных дифференциальных уравнений. Поскольку данную редукцию можно совершать с помощью различных методов, результат будет в обшем случае зависеть от способа редукции (в качестве одного из возможных обоснований предположения о конечномерности фазового пространства можно привести эвристический принцип подчинения, предложенный Г. Хаксном [84], а также теоре-мы ©существовании глобального хонечномерного аттрактора в бесконечномерных динамических системах [85, 86, 87, 88, 89, 90)). Полученные динамические модели исследуются с помошыо методов качественной теории дифференциальных уравне ний [91, 92, 93, 94), теории динамических систем [95, 96. 97, 98, 99|, особенностей дифференцируемых отображений [100, 101], бифуркаций [102, 103, 101].
Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы из 413 наименований.
Первая глава посвящена построению локально-равновесной модели металла для определения локальных кинетических коэффициентов при высоких плотностях энергии. когда состояние вещества изменяется от конденсированного до плазменного и обсуждению результатов вычислительных экспериментов, проведенных с ее ПОМОЩЬЮ (см. также наши работы [105, 106, 107, 108, 109, ПО]).
При высохкх плотностях энергии металл проходит от исходного твердого (упорядоченного нли неупорядоченного) состояния через жидкое к плазменному состоянию. Поскольку на сегодняшний день не существует адекватного теоретического описания жидкометаллического состояния и сильно неидсальнон низкотемпературной плазмы (в общем случае с конденсированной дисперсной фазой (КДФ); см. ра боты [42, 43, 46, 111, 112, 113, 114, 115, 116, 117], н которых рассмотрены некоторые подходы к теоретическому описанию неупорядоченного вещества и в частности, жилкометаллического состояния), при построении широкоднапазонных моделей плазмоподобных сред используют, как правило, полуэмпирнческис подходы [42, 118, 119, 120, 121]. Полученные с полуэмпирнческис модели содержат свободные (“подгоночные“) параметры, определяемые с помощью специально поставленных экспериментов. Очевидно, что чем меньше та или иная модель содержит свободных параметров, тем она более предпочтительна. В первой главе диссертации предложена плазменная модель металла, содержащая минимальное число свободных параметров, определяемых с помошью характеристик вещества при нормальных условиях [105, 106, 107. 108, 109, 110]. В предложенной модели металл считается плазмой с вырожденной электронной компонентой. При этом электроны проводи мехти пред-
ставляют собой одночастичные возбуждения многочастичной системы (возможность использования этого допущения для нормальных Ферми-систем при произвольных температурах показана в [122, 123]; заметим также, что рассматриваемая в статистической механике одночастичная функция распределения фактически описывает одночастичное возбуждение многочастичной системы [124, 125, 126]). Длина свободного пробега электронов вычисляется в длинноволновом приближении для рассеяния их на флуктуациях плотности. Поскольку длина свободного пробега электронов не может біл ь меньше среднею межатомного расстояния г* = (ЗМД(4іг/))“1)1^3 (А/, Лл р — соответственно, атомная единица массы, атомный вес и плотность вещества), произведена се регуляризация. При вычислении свободною пробега электронов нами используется выражение для эффективного потенциала рассеивающего цент ра, которое обеспечивает требуемые асимптотики в области высоких и низких значений плотности вещества. Полученные с помощью предложенном модели выражения для локальных кинетических коэффициентов описывают их поведение в широкой област и изменения параметров плазмоіюдобной среды (см. также наши работы (109, 110]). С ее помощью нами определены параметры низкотемпературной неидеальной плазмы, образующейся при воздействии на металл интенсивных потоков заряженных частиц, и ее тормозная способность (127, 128, 129. 130}. Плазменная модель металла позволила также объяснить результаты экспериментов (131, 132], в которых исследовалось проникновение мощною лазерного излучения длительностью 400 фс в алюминиевую мишень и путем решения обратной задачи определена зависимость удельною сопротивления от интенсивности излучения и измеренной спектральным методом температуры электронов, которая изменялась от 300 К до 1.16 е 10е К. Простые оценки показывают, что в этих экспериментах плазма твердотельной плотности была сильно неизотермической: с холодными ионами и горячими электронами. Поскольку в твердотельной плазме нарушение кваэимейтральности затруднено (плазменная частота электронов в алюминии при нормальной плотности порядка 101в с“1), флуктуации плотности в такой плазме должны определяться ионно звуковыми колсба пнями. Учет этого обстоятельства в выражении для длинноволнового структурного фактора, определяющегося флуктуациями плотности, позволил нам объяснить |>с-эультаты экспериментов работ (131, 132). Полученный результат предотавил нам возмозность поставить вопрос о необходимости теоретического исследования ионно звуковой турбулентности в неизотермпческой плазме твердотельной плотности, получаемой воздействием мощною лазерного излучения фемтосекундной длительности на металлические мишени.
Предложенная модель позволила нам исследовать (численно и аналитически) локально-равновесный фазовый переход (ФП) металла от конденсированного к плазменному состоянию в условиях сверхбыстрой) электрического взрыва тонких проволочек и скин-слоя (численный метод и алгоритм вычислений рассхсотрен в работе автора [133]) (105, 134. 13-5, 136], а также — физические факторы, определяющие амплитуду магнитной индукции (Д,), получаемую в экспериментах по магнитоди-ыамической и магнитной кумуляции. Нами показано [105, 134, 137, 138, 133], что при сохранении симметрии сжатия металлической оболочки (лайнера) амплитуду
8
индукции определяют следующие физические факторы:
1. при В„ < 2 МГс магнитная кумуляция идеальна, т. е. факторы, ведущие к диссипации энергии магнитного поля, не окачивают никакого влияния;
2. при 2 МГс < Вт < I МГс ~ В, (Вс = (1хр0)1/г(7, — амплитуда индукции, определяющая границу, свыше которой энергия, поступающая в проводник, превышает энергию сублимации; ра, С, — соответственно, плотность и скорост ь звука в невозмущениом веществе) магнитная кумуляция близка к идеальной, т. е. потери магнитного потока из-за диффузии и сжимаемость материала оболочки оказывают слабое влияние;
3. 1 МГс яг В.. < В„ < 10 МГс амплитуду индукции определяют диффузия магнитного поля и электрический взрыв скпн-слоя (в этот диапазон попали все эксперименты с оболочками из нержавеющей стали);
4. при Вт > 10 МГс амплитуду индукции определяют потери энергии на создание УВ, электрический взрыв скип-слоя отсутствует, а диффузия магнитного поля оказывает слабое влияние, поскольку возрастающая из-за снятия вырождения электронов проводимости и нагрева электропроводность плазмы в скин-слое уменьшает потери магнитного потока.
Вторая глава содержит результаты исследования влияния эффектов неодномерности на прохождение электрического тока через илаэмоподобкыс среды. При этом основное внимание уделено динамическим эффектам, связанным с зарожден« ем вследствие маги нтогидродинампческих неустойчивостей крупномасштабных пространственных гидродинамических и токовых вихревых структур (22,23,24, 25,26), характерный размер которых существенно превышает длину свободного пробега частиц.
Последнее позволяет считать выполненным локальное термодинамическое равновесие (ЛТР) и рассматривать в качестве модели плазмоподобной среды магнитную гидродинамику, а в качестве модели плотной плазмы с частичным термодинамическим равновесием двухтешературную магнитную гидродинамику. На основе этих моделей получены модели двухскоростных континуумов для исследования лам и парно турбулентного перехода в токонесущих плазмоподобных средах и тух-температурной плотной плазме. Использование в качестве модели плазмонодобной среды песжимаемаемой вязкой проводящей жидкости с постоянными кинетическими коэффициентами дает нам возможность выделить в чистом виде влияние нелинейной динамики пространственных структур и неустойчивостей на прохождение тока, в частности, его прерывание и стратификацию жидкометаллического проводника. При исследовании нелинейной динамики П|юстранственных структур использова лась установленная нами в (22, 30] аналогия между начальными стадиями -зарождения турбулентности и электрического взрыва проводника (ЭВП), а также гипотеза о конечном числе взаимодействующих неустойчивых мод (параметров порядка), опре деляющих неравновесный фазовый переход (НФП) в токонесущей плазмоподобной среде (24, 25, 26, 28].
9
В предположении, что начальная стадия ламинарно-турбулентного перехода в токонесущей несжимаемой плазмоподобной среде с постоянными кинетическими коэффициентами определяется всего тремя неустойчивыми модами нами с помощью метода неопределенных коэффициентов получены и исследованы модели НФП. переход в которых имеет сингулярный характер, соответствующий докритической бифуркации [24, 2-5, 26, 29]; высказана идея о последовательности дробления пространственного масштаба структур через удвоение волнового числа и построена модель для первой стадии дробления — разбиения проводника на поперечные страты (139, 27, 28). Установлено, что фазовый переход через дробление пространственного масштаба энергетически более выгоден, чем через * раскрутку” вихревых структур. Вычислительный эксперимент, проведенный с помощью этих моделей, включенных во внешнюю электрическую цепь, позволил исследовать пространственно-временную динамику крупномасштабных вихревых структур и установить, что формирование токовых вихревых структур приводит к локализации электрического тока и возникновению горячих точек, а также — прерыванию тока даже в случае постоянных кинетических коэффициентов (25, 23, 26, 29]. Показано, ч то с точки зрения внешнею наблюдателя прерывание может быть воспринято как результат изменения локальных кинетических коэффициентов. На самом же деле, эффективное сопротивление проводника имеет турбулентный характер, которое в отличие от аномального сопротивления плазмы определяется не мелкомасштабными кинетическими флуктуациями (140, 141], а крупномасштабными структурами с характерным размером порядка диаметра проводника.
Использование спектрального метода Галеркнла (69) для получения конечномерных моделей НФП при тех же предположениях приводит к моделям, в которых отсутствуют сингулярности: при значении управляющего параметра меньше единицы бифуркация является докритической. а НФП является переходом первого рода; в противном случае, бифуркация закритичсская [142, 143. 30, 31, 32], а ІЇФП переходом второго рода. Однако же в моделях стратификации жидкомегалличсского проводника с током, полученных тем же методохс, с необходимостью возникает сингулярность [144,145]. Предложена и исследована (31, 32] трехмодовая модель многократного прерывания и восстановления тока. Эта модель позволила объяснить работу жидкоме-таллическою прерывателя тока с индий-галлйеной эвтектикой, разработанного в Институте сильноточной электроники СО РАН к.ф.-м.н. Шкатовым В. Т. (в этори прерывателе эффекты нагрева жидкого металла током незначительны). Установлено, что за многократное прерывание и восстановление тока ответственна нелинейная динамика гидродинамических и токовых вихревых структур. Наблюдаемая в эксперименте близость скоростей уменьшения и возрастания тока объясняется динамикой перссоединения сепаратрис токовых структур, исследованной н.зми в [25, 29], при которой направление движения электронов проводимости в токовых вихрях остается неизменным [29].
В последнем параграфе главы 2 предлагается метель двухтемпературной плотной плазмы с сильной крупномасштабной турбулентностью [146]. Поскольку плазменные проводники с током относятся к средам с высокой сжимаемостью, исследование суще-
10
ственно нелинейных стадий неустойчивостей в них, а также — перехода ехт линейных к нелинейнымй стадиям и физических факторов, определяющих этот переход, нельзя проводить в приближении нес ж и маемое мой среды и без учета больших градиентов гидродинамической скорости, плотности и температур (электронной и ионной). При этом необходимо учитывать начальную кривизну поверхности плазмы: например н работе [147) обнаружен эффект смягчения роста Релей-Тейлоровских возмущений поверхности плазмы в случае нагрузки с отличной от нуля начальной кривизной поверхности. В качестве базовой модели токонесущей плазмы нами выбрана одно жидкостная двухтемпературная модель [51, 148, 149. 150].
Как известно, нспользовнпе соленоида для создания аксиальною магнитною поля, способствующего смягчению роста РТ неустойчивости, малоэффективно из-за ею удаленности от поверхности плазмы. Если же для создания аксиальною магнитного поля использовал, проволочки, уложенные вдоль поверхности цилиндра под некоторым углом к его образующей, то эффективность сжатия плазмы останется ТОЙ же, что и в случае обычных многопроволочных 7-гшнчсй (такой способ укладки проволочек превращает многопроволочный 2-пинч в винтовой (5*) пинч). Аксиальное магнитное ноле, возникающее из-за винтовой укладки проволочек, будет уменьшать экспоненциальный рост РТ неустойчивости. Если же винтовая укладка проволочек выполнена вдоль поверхности нагрузки с ненулевой начальной кривизной, го появится азимутальная сила Лоренца2. Это приведет к скрутке образующейся в результате ЭВП плазмы относительно наименьшего сечения, скорость вращения в котором раина нулю [151). Как известно [35), это вращение способствует стабилизации длинноволновых возмущений поверхности. Кроме того, оно способствует локализации энергии в центре наименьшего сечения (формированию горячей точки). Проведенный нами сксйлпнг многопроволочных 8-нагрузок для генератора 1ЧШ7.Л из СИЛ [39] показал, что Я-пинч позволяет получить существенно больший рентгеновский выход, чем обычный 2-шшч (152).
Наличие в многопроволочных Э-пончах скрутки относительно их центрального сечения приводит к турбуяиэации и эффективному турбулентному перемешиванию плазмы еше на стадии имплозии. Это требует для исследования механизмов преобразования кинетической энергии в рентгеновское излучение использования МГД модели плазмы с сильной развитой турбулентностью. Для построения модели плотной плазмы с сильной крупномасштабной турбулентностью, в качестве базовой модели, по-прежнему, использована двух температурная модель плотной плазмы [51]. Замкнутая модель двухтемпературпой плазмы с сильной крупномасштабной турбулентностью содержит динамические уравнения, уравнение, детерминирующее производство энтропии в турбулентной плазме, уравнения состояния и выражения для турбулентных коэффициентов переноса, учитывающих возможную анизотропию переноса в турбулентной плазме из-за присутствия в ней крупномасштабных вихревых возбуждений (146). Обсужден механизм установления термодинамического равновесия в плазме с сильной крупномасштабной турбулентностью. Показано, что
7Способ винтовой укладки проволочек микронного диаметра вдоль поверхности иагрухжн с ненулевой кривизной (типа поверхности песочные пае) предложен автором в [151]
11
турбулентность усиливает исходную ШфАВНОВеГНОСТЬ между электронной и ионной компонентами плазмы: полное термодинамическое равновесие наступает лишь после исчезновения турбулентных пульсаций (146).
В третьей главе рассмотрены физические процессы на катоде, которые могут привести к локализации и структурированию элек трического гока и формированию в поверхностном слое катода токовых ячеек и пространственной структуры юрячих точек, являющихся источниками высокоскоростных плазменных струй. Качественный анализ проблемы, проведенный в диссертации, показал, что формирование в поверхностном слое катода токовых ячеек и горячих точек, позволяет снять практически все трудности, возникающие с теоретическим описанием катодных процессов вакуумных луг. Предложена физическая хсодель локализации и структурирования электрического тока в поверхностном слое катода с идеально гладкой поверхностью. Согласно этой модели пространственная структура токовых ячеек, представляющих собой тороидальные электронные (токовые) вихри, оси которых перпендикулярны поверхности хато/пц имеет характерный размер А = 2.32Л (Л — толщина поверхностного слоя: см. также нашу работу (153)). На оси вихрей происходит локализация джоулем источника тепла, в результате чего формируется простран сгвенная структура горячих точек, являющихся, по нашему мнению, зародышами взрывоэмиссионных центров (ВЭЦ), с тем же характерным размером.
Предложен количественный критерий существования горячих точек, представляющий собой минимальный поток мощности для обеспечения требуемых для точечного взрыва условий в горячей точке. Полученные с помощью этого критерия оценки плотности тока и характерного размера ВЭЦ говорят в пользу того, что токовые ячейки формируется на мезоскопическом уровне пластическою точения с характерными пространственным Л = (0.3 -г 3) мкм [151] и временным т = (0.025 -г 0.75) не х(Апитабами (для оценок г нами использована изотермическая скорость звука в вольфраме) в результате нелинейною взаимодействия электронов проводимости с топологическими дефектами (дислокациями и дисклинациями). (Для описания это-і\> взаимодействия прихи-нима континуальная модель плалмотщобной среды с. топо-логичсскими дефектами, предложенная в работе автора [155].) Эти оценки хорошо согласуются с результатами экспериментов научной группы И. Фогель из Технического университета в г. Хсхшицс (Герхсания) [156], являющихся доказательством существования юрячих точек в области катодною пятна вакуумной дуги. В этих жсиерихіен тах было обнаружено рснтюновское излучение с энергией 100 эВ и длительностью 0.33 -г 1.4 пс в диапазоне токов 1.2 -г 35 А. Пгхкгтрансгвенная структура светящихся точек с характерным размером 3 мкм не зависела от величины тока, которая определяла лишь число светящихся точек.
Поскольку в генерировании плазменных потоков главную роль играют взрывные процессы на катоде, были численно исследованы различные аспекты динамики плазменных струй [157. 158} и решена модельная задача сб изотермическом разлете металлической сферы в вакуум [109, 110]. С покошью вычислительного эксперимента установлено, что ионный состав катодных струй формируется в непосредственной близости к катоду, "захюраживается" и не изменяется при дальнейшей эволюции.
12
Средний заряд ионов, полученный в расчетах, хорошо согласуется с экспериментом как для имульсных, так и стационарных дуг.
В Заключении формулируются результаты диссертационной работы.
На защиту выносятся следующие результаты работы:
1. Плазменная модель металла» включающая в себя широкодиапазонные выражения для транспортных коэффициентов плазмоподобных сред, пригодных для описания поведения вещества при высоких плотностях энергии, а также полученные с ее помощью результаты аналитических и численных исследований физических процессов, определяющих амплитуду индукции магнитного поля при магнитной кумуляции в случае аксиально симметричного сжатия металлических лайнеров, согласно которым:
• в области полей, меньших 2 МГс — кумуляция идеальна;
• в области полей 2 ч-4 МГс на величину индукции оказывают слабое влияние потери магнитного потока кз-за диффузии и потери энергии на создание ударной волны в проводнике;
• в области полей 4 -г 10 МГс амплитуду индукции определяют диффузия магнитного поля в проводник и электрический взрыв скин-слоя;
• в случае полей, больших 10 МГс, амплитуду индукции определяют потери энергии на создание в проводнике ударной волны, а влиянием диффузии магнитного поля можно пренебречь.
2. Результаты анализа экспериментального поведения электропроводности плазмы алюминия твердотельной плотности с холодными ионами и горячими электронами, получаемой в результате воздействия мошною лазерною Излучения фемптосекундной длительности [131,132]. Согласно этому анализу удельное сопротивление не изотерм и ческой плазмы твердотельной плотности описывается плазменной моделью металла в предположении» что флуктуации плотности и, следовательно, структурный фактор определяю™* конно-звуковыми колебаниями.
3. Модели начальных стадий ламинарно-турбулентного перехода в токонесущих плаэмонодюбных сред и результаты аналитических к численных исследований нелинейной динамики крупномасштабных вихревых (гидродинамических и токовых структур), показывающие, что пространственные структуры ответственны за локализацию электрическою тока и образование горячих точек, стратификацию жидхоысталличсских проводников с током, многократное прерывание и восстановление тока в жидкомсталличсских прерывателях на основе индий-галлисвои эвтектики даже в случае постоянства кинетических козффи-циен ГОН.
4. Модель двухтемпературной плотной плазмы с сильной крупномасштабной турбулентностью, включающая в себя динамические уравнения, выражения для
13
турбулентных транспортных коэффициентов и термодинамические соотношение, описывающие турбулентно теплонос состояние, а также установленный в работе факт, что развитая турбулентность усиливает исходную термодинамическую неравновесность плазмы.
5. Физическая модель локализации и структурирования электрического тока, за-ключюшаяся в формировании пространственной структуры токовых ячеек с характерным размерохс около 3 мкм. Согласно модели токовые ячейки представляют собой тороидальные токовые вихри, оси которых перпендикулярны поверхности катода и на которых, в центре ячеек (вихрей), локализованы горячие точки (зародыши взрывоэмиссионных центров (ВЭЦ))> генерирующие путем точечного взрыва катодные струи.
6. Количест венный критерий существования горячих точек, представляющий собой минимальный поток мощности, необходимый для обеспечения в горячен точке условий, требуемых для точечною взрыва: ф* = 1)с}с = (Ь'о Зс
— падение напряжения на горячей точке и плотность тока в минимальном сечении токового вихря; И'™*, С\ — энергия сублимации и скорость звука), а также полученные с помощью этого критерия оценки диаметра горячей точки (зародыша ВЭЦ), которые попадают в ин тервал хсасгптабов, характерный для мезоскопического уровня пластической деформации, \зьд — (0.1 3) мкм (164}.
7. Результаты решения модельной задачи об иэотерх<ическом разлете металлической сферы в вакуум, согласно которых! ионный состав катодной плазмы формируется в непосредственной близости к поверхности катода в результате точечного взрыва и не изменяется в процессе дальнейшей эволюции катодной плазмы.
Выносимые положения на защиту определяют научную новизну выполненных в диссертации исследований.
Результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на Всесоюзном совещании по инженерным проблемам УТС (Ленинград, 1971). Всесоюзном семинаре по фазовым переходам при импульсном нагревании проводников током (Москва, 197$), Всесоюзных конференнциях по физике плазмы (Звенигород, 1979, 198$), Межотраслевом семинаре * Проблемы получения свсрхсильных импульсных магнитных полей” (Москва, 1982), III Всесоюзной конференции "Электрический разряд в жидкости и его применение в промышленности" (Николаев, 1981), VI Всесоюзном совещании но уравнениям состояния (пос. Эльбрус, 1988), II Всесоюзном совещании по низкотемпературной плазме с конденсированной дисперсной фазой (Одесса, 1988), XIII (Париж. 1988) и XVII (Эйндховен, Нидерланды, 199Й) Международных симпозиумах но вакуумным разрядам (КШЕ1\Г), Всесоюзной конференции ”Модификация свойств конструкционных материалов пучками заряженных частиц” (Томск, 1988). Всесоюзнох! совещании по воздействию интенсивных потоков
11
заряженных частиц с веществом (Алма Ата, 1989), V Международной конференции по мегагауссным полям (Новосибирск, 1989), VII и IX Всесоюзных симпозиумах по сильноточной электронике (Томск, 1988; Пермь Москва, 1992), II Всесоюзном совещании "Метастабнльные фазовые состояния, теплофизические свойства и кинетика релаксации” (Свердловск, 1989), Всесоюзных и Российских конференциях по физике низкотемпературной плазмы (Минск, 1991; Петрозаводск, 1995), X Международной конференции по мощным пучкам заряженных часгиц ”BEAMS'92r (Вашингтон, 1992), Международной школе по нелинейным явлениям (Нижний Новгород, 1995), Конференциях отделения физики плазмы Американского физического общества (Питтсбург, 1997: Луизиана, 1998), Международной конференции но физике плазмы (ICÛPS’98; Релей, шт. Северная Каролина, США, 1998), научных семинарах кафедры электрофизики высоких напряжений СПТГУ (г. Санкт-Петербург), ФТИ им. А. Ф. Иоффе (г. Санкт-Петербург), ФИАЭ им. И. В. Курчатова. ('ГРИШИН) (г. Троицк), ОВЭИ (г. Истра), ОИХФ (г. Черноголовка), И ВТ АН РАН (г. Москва), ИОФ АП РАН (г. Москва), ИТЭФ (г. Москва), Института механики при МГУ (г. Москва), МЭИ (г. Москва), ИГЛ им. М. А. Лаврентьева СО РАН (г. Новосибирск), ИФ СО АН РАН (г. Красноярск), ИСЭ СО РАН (г. Томск), ИММ УрО РАН (г. Екатеринбург), ИТФ УрО РАН (г. Екатеринбург), ИФМ УрО РАН (г. Екатеринбург), ИЭФ УрО РАН (г. Екатеринбург), Sandia National Laboratories (г. Альбукерх, США), Los Alamos National Laboratory (Лос Аламос, США), заседаниях секции по ириэлектродным процессам Совета РАН по проблеме ”Физика низкотемпературной плазмы”, опубликованы н ведущих отечественных и зарубежных журналах.
15
Глава 1
Плазменная модель металла. Локально-равновесные фазовые переходы при высоких плотностях энергии.
1.1 Анализ проблемы, динамические уравнения.
Мгновенное состояние проводника с током определяется как его глобальными, так и локальными свойствами. В изменении его глобальных свойств, как будет показано в главе 2, ведущая роль принадлежит динамике крупномасштабных гидродинамических и токовых пространственных структур и его поверхности. Если характерный размер структур сравним с характерным размером проводника (например, его радиусом) и существенно превышает длину свободного пробега частиц* его локальные свойства практически не отличаются от свойств проводника с тем же током, когда структуры отсутствуют.1 В этом случае можно считать, что нлазмолодобная среда находится в локальном термодинамическом равновесии (ЛТР), а неравновесные фазовые переходы (НФП), происходящие при прохождении через нее электрического токае плотностью 10°-г10!> А/см2 и выше* локально равновесными в указанном смысле. Экспериментально замечено [12, 159, 160, 161), что при быстрых деформациях наблюдается некоторая задержка разрушения материала по сравнению с медленным нагружением материала. Измерения вязкости в ударных волнах (162) также дают значения вязкости, большие чем в с статических экспериментах. При интерпретации этих эксперимен тов обычно полагается* что система слабо отклоняется от ЛТР и в ней отсутствуют крупномасштабные пространственные структуры, определяющиеся эффектами неодномерности* и для их объяснения привлекаются локальные релаксационные модели типа классической модели вязко-упругого тела Максвелла [1631, соответствующих не учету эффектов кслокальности взаимодействия и экспо ненцнально затухающей памяти.
Учитывая выше сказанное, будем использовать для описания локально-равновесных НФП в токонесущих плазхюпозобных средах во всех ее фазовых состояниях следую щис динамические уравнения (их запись учитывает, что (а) среда квазмнейтральна;
’Ниже. в главе 2 будет показано, что глобально ли ситуации отпичиются кардинально.
16
(Ъ) электроны проводимости неинерциониы; (с) токи смещения малы но сравнению
с токами проводимости и,д1/Ш = ^г1/(4*^) < 1):
^ + (V • У)о + о{ V ■ V) = 0; (1-1)
Яу А 1
^ _ V X V х V + V-) = -VI* + V ■ 5 + —{V х Н) х Н; (1.2)
(/А 1, 4 *Т
^ = -сУхЕ + 7х(ухН); (1.3)
01
V х Н = -у (1.4)
С
V Н = 0; (1.5)
+ (У ' У)Т) = ~Рт<У ‘ у) + ^ : Уу - (V • ч) + 0 • Е), (1.6)
где ц - плотность; V - гидродинамическая скорость; Р - давление. Рт = Т(9Р/дТ)^ £ - девиатор тензора напряжений; Т - температура; Сй удельная теплоемкость при постоянном объеме; (\ - электронный тепловой поток; Еч Н - напряженность электрического и магнитного паля, соответственно; 3 - плотность электрического тока2. Уравнение (1.1) — уравнение неразрывности; уравнение (1.2) — уравнение баланса импульса; уравнения (1.3)-(1.5) — уравнения Максвелла для кваэинейтраль-ной среды в квазпетационарном приближении; уравнение (1.6) — уравнение баланса внутренней энергии среды.
Для учета слабых отклонений от ЛТР ниже используется модель изотропного вязко упруго-пластического тела, девиатор тензора напряжений для которое определяется релаксационным уравнением типа уравнения Максвелла [163). Поскольку такого типа уравнение может быть получено строго лишь для плотного идеального газа решением уравнения Больцмана методом моментов (Грзда) (164), мы его просто постулируем:
Ш А
? + ('■■ V)® = 20,„и - (1.7)
01 Т'}}
В (1.7)
и=1(\^ь(^у)г-Н(У-у)1)- (1.8)
2В уравнениях (1.1)-(1.6) и далее- символы " х" н" обооначаюг, соответственно, внутреннее (скалярное), внешнее (векторное) произведение векторов ИЛИ тенхюров и операцию свертки результата внутреннего произведения соответствующих тензоров
— девплтор тензора скоростей деформаций; ї - единичный тензор; 6’*// эффектив-
ный модуль сдвига.
Для учета изменения времени релаксации воспользуемся математической моделью пластичности Мнэеса [165, 166. 167, 168). Тогда эффективное время релаксации равно:
релаксации ионной компоненты нлазмоподобной среды.
Обобщенные законы Ома и Фурье для электронной компоненты плазмоподобной среды в пренебрежении ее инерционностью в слабых магнитных нолях имеют вид
где ц* — соответственно, химический и электрический потенциал; а — термоэлектрический коэффициент; ке(р,Г), <т(р9Т) - соответственно, электронная теплопроводность и электропроводность.
Для замыкания динамических уравнений (1-1)- (1.7) следует также задать граничные условия, которые очевидно зависят от формы поверхности, ограничивающей плазмоподобную среду, через вектор нормали к поверхности п ^ сЬ/ | | (с1в -
элемент поверхности) и фазовую скорость поверхности О (170):
где д( = д/ді, ;ї(ха,£) = 0 (о - 1,2,3) — уравнение поверхности. Возможны дне ситуации: (а) ток и вещество переходят через поверхность; (б) гок и поток вещества через поверхность отсутствуют. В данной главе и двух последующих рассматривается вторая из этих ситуаций. Условие отсутствия тока и потока вещества через поверхность плазмоподобной среды, имеющее вид (51):
являегся дифференциальным уравнением в частных производных для нахождения формы поверхности3. Действительно, пусть уравнение поверхности имеет вид 9 = х1-£(х2, х>, <) = <>. Тогда
(1.13) и далее используется общепринятое условие: по 1Хжторяхицимся индексам в формулах, если не оюворено обратное, производится суммирование.
Тя < Ц-Ти > &т>
(1.9)
где Тя = Б : В/2\ £т • заданная константа (например, предел текучести); г, - время
[169]:
(1.10)
(1.12)
v(>na -0-0,
(1.13)
18
. ґ _ 1 _ _ __ 1 (11J}
1 v/1 + (ftf >а +1^)2 ’ \Л + (&Оа + (&0*’ Vі + (w + (w
и
д,( = Vі - v2d2i - v3^, (1.15)
ГДЄ О* = д(дта (а = 1/2,3). Уравнение (1.15) является дополнительным к уравнениям (1-І)-(1-7) н должно решаться совместно с ними, поскольку форма Поверхности через вектор нормали п определяет граничные условия.
Модель, позволяющая определить локальные термодинамические функции: давление Р(о,Т)у внутреннюю энергию е(о,Т) или энтропию з(е>Т) и локальные кинетические коэффициенты; сдвиговую вязкость4 т/ = <?«//(ff»?)r«//, элек і ропровод-ностьo{Qi Т),электронную теплопроводность 7*) и термоэлектрический коэффи-циент o(f>, Г) и зависнуть систему уравнений (1.1)-(1.7) во всех фазовых состояниях среды (от конденсированного до плазменного), играет роль ее физической модели. Вследствие отсутствия адекватного теоретического описания жидкого (топологически неупорядоченного (1121) состояния, как правило, при построепии широкодиапа-эонных моделей используются полуэмпиричсские модели [19, 4*2, 43, 118, 119, 120, 172. 173). При этом, чем меньше в модели свободных (подгоночных) параметров, определяемых с помощью эксперимента, тем Гх>лее она предпочтительна. Наиболее близкими к предлагаемой ниже модели но использованному подходу’ являются работы [172, 173) (см. также обзоры [46, 174, 175)). В этих работах для расчета ионизационною состава плазмы используется так называемая химическая модель [176], обобщенная на случай вырожденного электронного газа и неидеальностъ и предложен феноменологический способ описания фазового перехода металл-диэлектрик, использующий информацию о потенциалах ионизации и критических параметрах металлов. По нашему мнению этот подход, содержащий два подгоночных параметра, недостаточно обоснован. Непонятно, также, почему число электронов, получаемых в результате расчета должно быть “весьма близким к числу валентных электронов ([172), с. 6). Предложенное в J172, 173) выражение для структурного фактора для согласования с поведением транспортных коэффициентов в области конденсированного состояния никак не связано с истинным структурным фактором, определяющимся, как известно, в длинноволновом приближении термодинамическими свойствами вещества (уравнением состояния). Поэтому, несмотря на интересный подход и полученные в [172, 173) результаты» проблема построения моделей для получения широкодкапазонных транспортных коэффициентов остается нерешенной.
Ниже пр<7ілахается и исследуется физическая модель плазмоподобной среды, содержащая минимальное число свободных параметров. Для их определения используется информация о свойствах среды при нормальных условиях и модельные представления о структуре неупорядоченною (жидкого) состояния и поведении квазнчастнчных возбуждений (электронов проводимости и фонолой) в нем
‘'Объемная вязкость отлична от нудя лишь в случае отсутствия ЛТР (171).
19
[42, 43, 111, 112, 113, 117, 177, 178]. В этой модели, называемой ниже плазменной моделью металла,5 [105, 106, 107, 108, 109, 110] металл (плазмоподобпая среда) считается плазмой, в которой электроны проводимости являются одночастнчны-ми возбуждениями многочастичной системы в смысле теории J1. Д. Ландау [183] я В. П. Сплина [184] и подчиняются в равновесных условиях статистике Ферми-Дирака. В [122, 123] показано, что в нормальных Ферми*жидкостях одлочагл ичгше возбуждения могут рассматриваться и за пределами применимости теории Ландау (следует отметить также, что рассматриваемые в статистической механике одночастичные функции распределения фактически определяют одночастичное возбуждение многочастичной системы (классической или квантовой) [124, 125, 126]). Параметры металлической плазмы (илазмоиодобной среды) при нормальных условиях равны: п, ~ 10й см-3; wp,/к, > 1 — электронный газ почти идеален («,* плазменная электронная частота; и4, — частота электрон-ионных (электрон-фононных) столкновений); i/ti ~ Ю13 с->; ~ (Ifl15 4- 1016) с-1; ионная плазменная частота Wfi ~ (1013 4- 10й) с-1 (для меди = 1.64 • 10,е с“1, = 4.82 • Ю13 с-1,
иа = 2- Ю13 с-1)-
1.2 Основные положения плазменной модели металла.
1.2.1 Термодинамические функции.
1. Энергию возбуждения электронов внешних атомных уровней В ДЛИННОВОЛНОВОМ приближении определим выражением (109, 110]:
Е0 =
0 при 6 >6.
при !<!.' (ы6>
где £ = $!()о — относительная плотность; = £>*/&,; — соответственно, плот-
ность металлизации вещества и его нормальная плотность; Л — лервий потенциал ионизации; ег(6) = 1 +3£/(£» — £) — относительная диэлектрическая проницаемость вещества в длинноволновом приближении.
Определим энергию возбуждения электронов с внутренних атомных уровней в приближении среднего иона с учетом снижения осцилляционных поправок вследствие микрополей свободных заряженных частиц следующим выражением:
&Отметпм, чю термин "пламенная модель металла" был введен в работах П. С Зырянова (179, 180, 181] цди исследования коллективных снойств алскт|хякш проводимости в металле с помощью методов, ргюработалимх п корни плапмы. Автор предлагаемой рабсаы независим ввел в [105,106) этот термин для получения широкодиэпаоаиною выражения электропроводное» и шьюмо-поденной среды Отмстим, что начиная с семидесятых годов непереходные металлы в отсутствие перскры I ии ионных остовов фал I и чсс к и считаются вырожденной лланхюи с электронной плотностью. определяемой валентностью, и специфической вершиной электрон-конною взаимодействия
т
•20
Ё’’1^+тМгу С"»
В (1.17) г — Средний заряд иона, равный в квазпнейтральной нлазмоподобной среде числу электронов проводимости; /*(£) и 61 (г) — 1(г) - У*(г) — соответственно, средний потенциал ионишіии и осиилляпионкые поправки к нему как функции г; /(г) — реальный потенциал нонишии ках функция £; £г(г, V' Г) — относительная диэлектрическая проницаемость *газа" свободных заряженных частки:
Г.2 »,2
«,(І,К,Г)-1+ ? . (1.18)
■5m.KHi.ff
В (1.18) (172]
4 = шт{^.^,}; (1.19)
*«■ = *0' + (*2к + №ЬЪ (1-20)
к] = г:\ (1.21)
где г* = (3/(4хл))1^3 — среднее расстояние между ионами (атомами); 4хе2іп(Л/?7с//)"1 — квадрат дсбасвсхого волнового числа электронов; крг 4'хе727п{квТ)~х — квадрат дебаевс кого волнового числа ионов: Т'Н = (ТЧПУ" эффективная температура электронов [185]; Тр = 2£у1('Лкн), єр - соответственно, температура и энергия Ферми; Ад — постоянная Больцмана.
Равновесная функция распределения электронов проводимости является распределением Ферм н-Дирака:
А=М£^Г + 1))"1- (1-22)
в котором химпотенциал - Е$ — эффективный химпотенциал) и
энергия электронов є являются функционалами среднею числа электронов проводимое ги в атомной ячейке обьема V = л“1 = МА/д (А/, А — соответственно, атомная единица массы и атомный вес вещества).
Среднее число электронов приходящееся на одну атомную ячейку, связано с /0 условием нормировки
. 2 •*КЫГ'Ч' (»,п-Е,\ .....
* - ——М”№“> (| 23)
где
«-Г
'о ехр(у - х) + 1
— функция Ферми-Дирака. Если ре// и Еа известны, то выражение (1.23) можно использовать для нахождения ионизационного состава плазмоподобиой среды в широком диапазоне изменения плотности и температуры.
21
Для обеспечения правильной асимптотики в области низких температур и д < от {у. = Л/,4/К — плотность металлизации вещества) запишем эффективный химический потенциал в виде:
Ы ,{VsT) = tiTFciV.T) + {1-25)
И (1.25) ;*rfc(V', 7’) — -эффективный химический потенциал электронов в стати-
стической молели Томаса-Ферми с хпантовымн и обменными поправками (ТФП) [186, 187, 188, 189, 190, 191]. Согласно [190] utfc определяется выражением:
i5i '&квТ(р ( я п п-тл
fl. b\i — соответственно, хим потенциал и квантовая и обменная поправка к нему,
протабулировянные в [192]. В (1.26)
пл dK{x) гчл d4'v[z)
К(х) ~ЧГ' K{x)-~d^~-
Несомненным ДОСТОИНСТВОМ молели ТФП является уинверсальпость ПОЛучагМЫХ с ее помощью термодинамических функций электронной компоненты вещества и хванто-вых и обменных поправок к ним, а именно, нижеследующие зависимости одинаковы для всех веществ [192]:
2-ю/.гр = %r(zv, Z~*,zT\ Z~*,36P = %r(ZV, Z~A/3T);
Z'7t\ = $t(ZV,Z-*'3r), Z~6/36£ = %'(zv,z-*'3Ty,
Z~i/3fi = %[ZV, Z~*f3T)t Z~VzSf, = %„{ZV, Z-4f*T),
где 7 — заряд атомного ядра; Однако хсодель ТФП неприменима при нормальных условиях и при низких температурах и плотностях, меньших нормальной. Поскольку в определение термодинамических функций электронного газа химический потенциал входит пол знак интеграла, можно ввести дополнительные поправки к химическому потенциалу модели ТФП при Т = 0 с тем, чтобы обеспечить требуемые асимптотики термодинамических функций. С этой целью нами введена в (1.25) дополнительная поправка 6ц'1)(У).
Потребуем, чтобы при V = Vo = €уо, где ерь — энергия Ферми при
V = Vo и Т = 0. (Поскольку целью данной работы является построение широко-диапазонной модели вещества, мы отвлекаемся от конкретных особенностей топологии дальний поверхности Ферми, заменяя се сферой так. чтобы получаемые значения элекцюпроиодности, теплопроводности и электронной Теплоемкости как можно меньше отличались ОТ своих значений при нормальных условиях.) Тогда = sf\) - {‘TFcft’о)- Эта поправка наиболее существенна вблизи V = К,. Кро?лс того, как выше отмечено, она входит в термодинамические функции под знаком интеграла. Поэтому можно для простоты положить, что при V < Ц, <5/^|)(Vr) = = const.
22
Для нахождения поправки в интервале [1^, V») и значения объема, при котором происходит металлизация (К), разложим р»//(К0) в ряд Тейлора вблизи У0 и ограничимся (из тех же физических соображений, что и выше) двумя первыми членами:
/*«//№ 0) = его - a(V - Г0)} а =\
Объем Г., при котором происходит металлизация вещества, определим условием /ге//(Г.,0) = 0 или, что то же, *е(Г.) = і(Г.,0) = 0. Тогда V. = (£я0 + )/" и
Дд(1>(Г) = еро - а(Г - КО - цтрс(У>о).
Выражение (1.25) учитывает, что при V > V. уровень Ферми попадает в серо дину щели в энергетическом спектре электронов проводимости д,//(V, 0) = 0.ЬЕ3. Следовательно, 6ц^{У) = —цтк';(У, 0).
Таким образом, дополнительная поправка к химическому потенциалу имеет вид:
Рис. 1.1 показывает влияние введенной нам» выражением 1.27 поправки к химическому потенциалу на число электронов при 7' = 0 К для меди и алюминия. На рис. 1.2 показано изотермы числа электронов на один атом в меди при V > Ги, рассчитанные с помощью выражений (1.23), (1-17), (1.16) и (1.27). Видно, что в области разреженной низкотемпературной плазмы наши результаты неплохо согласуются с расчетами степени ионизации но модели Саха [193]. (Отметим, что предложенный нами метод расчета степени ионизации в области разреженной плазмы совпадает с приближенным методом расчета многократной ионизации но модели Саха, предложенным Зельдовичем и Райтером (19).) Наблюдаемая на кривых рис. 1.2 немонотонность вызвана неточностью определения эффективного химического потенциала в модели ТФП (в этой области изменения объема он близок к нулю, поэтому любая малая неточность в его величине может привести к ошибке в определении степени ионизации). Полученные результаты показывают, что данный способ позволяет с достаточной для приложений степенью точности рассчитать ионизационный состав в плазмоподобной среде при произвольной степени вырождения электронного газа.
2. Обычно свободную энергию вещества F(V,’Г) представляют в виде:
В (1.28) ея описывает потенциальную энергию взаимодействия частиц вещества при Т = 0, Я(Г,Т), Рс(У,'П — тепловое возбуждение ионов (решетки) и электронов, соответственно. Такое представление свободной энергии полностью оправдашю для
-/•TFcO'o) при V < К>
fyW(V) = efV~ a(V - Го) - М7>-с(Г,0) при Го < V < V. . (1.27)
-рггс(Г,0) при Г > Г.
F(V,T) = е,(Г) + Fi(V}T)+ K{V,T).
(1.28)
23
Рис. 1.1. Среднее число свободных электронов при Т = 0 для меди (кривые 1, Г) и алюминия (кривые 2, 2’).
24
Рис. 1.2. Изотермы среднего числа свободных электронов медной плазмы.
25
случал £ = qIqo >1 (tfo = Л/-4/Vo), поскольку основное состояние для квазичастич-ных возбуждении является хорошо определенным. Этого нельзя сказать об веществе при д < £о. Можно лишь предположить, что свободная энергия для этою случая определяется выражением
ЛГ,Г)= wr) + ft(v,r), (1.29)
где Ft(V,T) 'структурная" часть свободной энергии, причем в обшем случае она
не может быть представлена в виде Ft{V,T) = с,(\7) + F,{V,T).
Рассмотрим вначале F.. Для этого запишем свободную энергию газа электронов проводимости с переменным числом частиц в виде
ад г) = fM(v,n+[ е,(*№ - (1Л0)
При г = const выражение (1.30) совпадает со свободной энергией элект ронного газа с постоянным числом частиц. Очевидно, что (1.30) является аппроксимацией свободной энергии газа кваэичастичных возбуждений в нормальной Ферми-жидкости.
Число электронов проводимости г связано с эффективным химическим иотенци алом /г«// и энергией возбуждения Fy условием нормировки (123), выполняющим в нашей модели, как показано выше, роль уравнения ионизации. Поскольку структурная часть свободной энергии вещества включает в себя вклад всех электронов при Т = 0, можно записать выражение для свободной энергии теплового возбуждения электронов проводимости в виде Fjt[V^T) = Ff — Ff(Vr,0), где F. свободная энергия электронов без учета оболочечных эффектов. Используя извест ные термодинамические соотношения, получим следующие выражения для термодинамических функций электронного газа:
В (1.31)
e,(V,T) = eTl(V,T) + eion(2)\
Р'{У>Т)=~Ы1. (1.31)
~(bFV2{x) _\
_ Д.// - Eg
* квТ ’
I ZKh! 77^7-7 - iZcJlQ, Q £ pm
*тЛКТ)={ ; (1.32)
ion
26
— энергия ионизации; гс = 2(У,0), Б0{х) = E3{z)\ -г — число электронов в атомной ячейке, вычисленное без учета оболочечных эффектов; до - #**//( У»0).
Поскольку выражение (1.32) содержит вклад в энергию и давление оболочечных Эффектов при Т = 0, С. помощью выражений (1.31) - (1.33) можно приближенно описать структурные фазовые переходы при высоких давлениях.
Перейдем к нахождению выражений для £,00 и Pr(V)t которые содержат вклад всех электронов и их взаимодействие с ядрами. Для этого используем принятый при построении широкодиапазонных уравнений состояния путь: интерполяцию между облстями изменения плотности от 0 до д0 (^ - &/&о от 0 до 1) и областью примени* мости модели ТФП 18G, 187, 188], которая ограничивается сверху релятивистским электронным газом, а снизу - &tfc — Ю 4-20 [194]. Особенностью нашего подхода является (1) разбиение области изменения плотности на три: I 0 < 6 < 1; 11 1 < 6 < 6Tfc'< III - £ > &tfC' (2) нахождение в каждой области выражений для
in(l' ) и P*{V) н (3) гладкая (с точностью до первых двух производных) сшивка их
на границах областей. Это позволяет существенно увеличить точность определения термодинамических функций в указанном диапазоне плотностей.
11 области I
ет(6) s» А,(1 + - W)); (1.34)
Л(6) = е2^ = гоЛ.^з(*!" ~ П (1*35)
Выбор е, и Р, в виде (1.34) и (1.35) обеспечивает правильную асимптотику при <5 —» 0. Постоянная 6 определяется условием Ь — SC^Aj1 = 6 (С^, = dP„fdg — квадрат скорости звука при д = до: Л, = С%/2 — энергия связи).
Тогда
^ = 1 + ^-2)); (1-36)
= ^(6-1). (1.37)
Уравнения (1.36) и (1.37), записанные в таком вил* приобретают универсальный вид
для всех металлов. Отметим, что выражение (1.37) ранее было получено в работах
(195, 196) с помощью несколько иного выражения для сг? имеющего в приведенной форме также универсальный вил:
^ = ^-1)2 (1-38)
(Отметим, чю аналогичного типа универсальные уравнения состоянии рассматривались также в [197].)
eoCjo
27
Чтобы получить правильное значение коэффициента Грюнаизепа, характеризующего ангармонизм тепловых колебаний ионных остовов относительно положений равновесия [19, 198, 199]
ш <*,пд
7'и = Жй'
при 6 Ш 1, определим температуру Дебая в, следуя [200], выражением:
ад-**43-І 4)" <*■*»
в ко юром свободный параметр а\ может принимать любые значения, а Не только целые, как в [200]; Рж = З/^^ДЛ,)“1 = /*(£оСЗо)"1* Используя (1.39) и определение коэффициен га Грюнайзсна, получим
_ 1 , 1 “ І«і(Ф “ Ч) п ш1
+ 5—Г-Ж • П-40)
Обозначая 70 = ъ(& = 0» получим из (МО) выражение для параметра о%:
<РР
= 1 + 1лж ^ “37°* (14,)
Для уравнения состояния (1.37) можно записать выражение (1.41) в виде: о, = 7—3^, откуда для меди при та = 1.98 следует Ст| = 1.06.
В области II
Р,(б) = '£аібі*\ (1.42)
1=1
И области III
М*) = ^ ^6. (1.43)
РЛ6) = '£Ы>К (1-44)
1=1
сж(Я) = гг(6тк) + (‘ (1.45)
где ся = е.д;1.
Ныбор выражения Для Яг в виде (1.11) диктуется т|>е6ованием совпадения асимптотического поведения выражений (1.44) н (1.15) с термодинамическими функция ми вырожденного киек тронного газа. Раисе выражения гипа (1.42) использовались в
[200] для описания всей области изменения 6; типа (1.44) — в [194] при 6 > 1. Вслед-
ствие этого предложенные в [194,200' выражения допускали погрешность: (1.42) при 6 -» 0, (1.44) в области 6 -»1. Разбиение всей области изменения плотности на три
28
Рис. 1.3. Кривые холодного сжатия для меди: кривая 1 — еж; кривая 2 1\\
кривая 3 — эксперимент [201].
29