Обобщенные плоские волны в задачах электродинамики магнитогиротропных сред

2
ОГЛАВЛЕНИЕ
Стр.
ВВЕДЕНИЕ............................................................ 7
1. ОСНОВНЫЕ ИСХОДНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ О ВОЛНАХ.
ОБОБЩЕННЫЕ ПЛОСКИЕ ВОЛНЫ........................................ 21
1.1. Гармоническая волна.......................................... 21
1.2. Фазовые соотношения........................................... 22
1.2.1. Нулевое приближение.......................................... 25
1.2.2. Линейное приближение........................................ 26
1.2.3. Квадратичное приближение.................................... 27
1.3. Амплитудные соотношения........................................ 28
1.3.1. Нулевое приближение.......................................... 31
1.3.2. Линейное приближение......................................... 32
1.3.3. Квадратичное приближение..................................... 33
1.4. Классификация волн............................................. 34
1.4.1. Однородные колебания......................................... 34
1.4.2. Плоские синусоидальные волны................................. 34
1.4.3. Экспоненциальные волны....................................... 35
1.4.4. Обобщенные плоские волны.................................... 36
1.5. Комплексная форма записи выражений для плоских волн............ 38
1.6. Случай произвольной зависимости от времени.................... 39
1.7. Результаты раздела............................................ 40
2. ОБОБЩЕННЫЕ ПЛОСКИЕ ВОЛНЫ В ИЗОТРОПНОМ НАМАГНИЧЕННОМ ДО НАСЫЩЕ11ИЯ ФЕРРОМАГНЕТИКЕ....................... 41
2.1. Исходные положения и постановка задачи....................... 41
2.2. Тензорный оператор магнитной восприимчивости................... 43
2.3. Дисперсионные соотношения..................................... 49
2.4. Анализ дисперсионных зависимостей в консервативном приближении. 52
2.4.1. Идеальный диэлектрик......................................... 52
2.4.2. Идеальный изотропный ферромагнетик........................... 54
2.4.2.1. Приближение плоских синусоидальных волн.................... 54
2.4.2.2. Приближение экспоненциальных волн.......................... 55
2.4.2.3. Приближение обобщенных плоских волн........................ 55
3
2.4.2.4. Высокочастотное приближение.................................. 81
2.5. Учет эффектов диссипации........................................ 83
2.5.1.11риближение плоских синусоидальных волн....................... 84
2.5.2. Приближение экспоненциальных волн............................. 87
2.5.3. Приближение обобщенных плоских волн........................... 87
2.6. Результаты раздела............................................. 132
3. МАГНИТОСТАТИЧЕСКИЕ ВОЛНЫ В ПЛАНАРНЫХ ФЕРРИТОВЫХ
СТРУКТУРАХ С IЮТЕРЯМИ.............................................. 137
3.1. Основные исходные положения.................................... 137
3.2. Дисперсионные соотношения для поверхностных МСВ................ 144
3.3. Частотные зависимости ГТМСВ.................................... 145
3.3.1. Коэффициент фазы............................................. 145
3.3.2. Коэффициент потерь........................................... 148
3.3.3. Ориентация векторов коэффициента фазы и коэффициента затухания.. 149 3.4. Влияние величины диссипации на свойства ГТМСВ.................. 150
3.4.1. Максимальное значение коэффициента фазы...................... 150
3.4.2. Характерные частоты.......................................... 152
3.4.3. Коэффициент фазы............................................. 155
3.4.4. Коэффициент потерь........................................... 155
3.4.5. Ориентация векторов коэффициента фазы и коэффициента затухания.. 157
3.5. Полевые зависимости парамегров ГТМСВ........................... 158
3.5.1. Критическое поле подмагничивания............................. 158
3.5.2 Характерные частоты........................................... 160
3.5.3. Коэффициент фазы при фиксированной частоте................... 163
3.5.4. Коэффициент потерь при фиксированной частоте................. 168
3.5.5. Ориентация векторов коэффициента фазы и коэффициента
затухания при фиксированной частоте............................... 168
3.5.6. Частоты ГТМСВ при фиксированном коэффициенте фазы............ 170
3.5.7. Коэффициент потерь при фиксированном коэффициенте фазы 174
3.5.8. Ориентация векторов коэффициента фазы и коэффициента
затухания при фиксированном коэффициенте фазы..................... 174
3.6. Экспериментальные исследования спектра МСВ..................... 178
4
3.6.1. Обоснование схемы эксперимента................................ 179
3.6.2. Экспериментальные результаты.................................. 185
3.6.3. Обсуждение экспериментальных результатов...................... 187
3.7. Результаты раздела.............................................. 188
4. МАГНИТОСТАТИЧЕСКИЕ ВОЛНЫ И КОЛЕБАНИЯ В ПЛОСКИХ ОБРАЗЦАХ С ДОМЕННОЙ СТРУКТУРОЙ..................................... 193
4.1. Основные модельные приближения и исходные положения............. 194
4.2. Дисперсионные соотношения....................................... 198
4.3. "Прецессионные" МСВ............................................. 201
4.3.1. Дисперсионные свойства спектра................................ 204
4.3.1.1. Дисперсионные зависимости собственных частот МСВ............ 204
4.3.1.2. Зависимость фазовых и групповых скоростей МСВ от величины и ориентации волнового вектора....................................... 209
4.3.1.3. Зависимость фазовых и групповых скоростей от частоты........214
4.3.2. Полевые свойства спектра...................................... 218
4.3.2.1. Полевые зависимости собственных частот...................... 219
4.3.2.2. Полевые зависимости фазовых и групповых скоростей........... 223
4.4. "Трансляционные" МСВ............................................ 228
4.4.1. Дисперсионные свойства спектра................................ 228
4.4.1.1. Дисперсионные зависимости собственных частот МСВ............ 229
4.4.1.2. Зависимость фазовых и групповых скоростей МСВ от величины и ориентации волнового вектора и от частоты.......................... 230
4.4.2. Полевые свойства спектра "трансляционных" МСВ................. 232
4.5. Особенности спектра МСВ в пластинке конечных размеров........... 235
4.5.1. Правило отбора МСК по интенсивности........................... 236
4.5.2. Полевые зависимости интенсивности "прецессионных" МСК......... 239
4.5.3. Полевые зависимости интенсивности МСК границ доменов.......... 242
4.6. Экспериментальные исследования спектров МСК в образцах с ДС 242
4.7. Результаты раздела.............................................. 248
5. МОДЕЛИРОВАНИЕ УСТРОЙСТВ НА МСВ.................................... 250
5.1. Передаточная функция МСВ-устройства............................. 250
5.1.1.11ередаточная функция МСВ-устройства с двумя преобразователями.... 252
5.1.1.1. Схема расчета............................................... 253
5
5.1.1.2. Результаты численного моделирования передаточной функции 255
5.1.1.3. Сопоставление результатов эксперимента и численного моделирования. 261
5.1.2. Передаточная функция МСВ-устройства с одним преобразователем... 262
5.2. Импульсы магнитостатических волн в многослойных структурах 266
5.2.1 Постановка задачи и расчетная схема............................ 267
5.2.2. Результаты численного моделирования эволюции огибающей........ 268
5.3. К вопросу о деформации формы СВЧ импульсов при распространении
через МСВ-устройства.............................................. 274
5.3.1. Постановка задачи............................................. 275
5.3.2. Параметры оптимального фильтра................................ 280
5.3.3. Напряжение сигналов на выходе оптимального неадаптивного фильтра. 283
5.3.4. Экспериментальные результаты.................................. 285
5.4. МСВ-устройства с неоднородным полем подмагничивания............. 289
5.4.1. Постановка задачи и расчетная схема............................ 289
5.4.2. Нормальное подмагничивание. Консервативное приближение......... 292
5.4.2.1. Расчет траектории........................................... 292
5.4.2.2. Расчет амплитуды............................................ 293
5.4.2.3. Случай однородного поля подмагничивания..................... 294
5.4.2.4. Случай неоднородности типа "магнитная канава"................ 294
5.4.3. Влияние потерь на траекторию и амплитуду ПОМСВ................. 297
5.4.4. Передаточная функция МСВ-устройства при неоднородном подмагничивании................................................... 298
5.4.5. Линия задержки на МСВ......................................... 300
5.5. Результаты раздела..............................................304
6. МАКЕТИРОВАНИЕ И ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ
МСВ-УСТРОЙСТВ..................................................... 307
6.1. Обьемно-интеїральньш подход к конструированию устройств на МСВ сантиметрового диапазона......................,................... 308
6.1.1. Ортогональное размещение ферритового образца.................. 312
6.1.2. Многослойная ферритовая пленка................................ 315
6.1.3. Преобразователи на основе объемных полосковых полноведущих структур.......................................................... 318
6.2. Частотно-селекгивныс устройства на МСК. Параметры связи......... 318
6.2.1. Математическая модель многорезонаторных МСВ устройств........ 321
6.2.2. Экспериментальная проверка математической модели............. 328
6.2.3. Фильтры на МСК............................................... 329
6.2.4. Мультиплексоры на МСК с электронным управлением.............. 331
6.3. Экспериментальные исследования СВЧ-устройств в миллиметровом
диапазоне......................................................... 338
6.3.1. Филыры на основе запредельных линий передачи вблизи критической
час юты........................................................... 338
6.3.2. Управляемые СВЧ-устройства на магнитостатических волнах...... 344
6 .3.2.1. Особенности электродинамики управляемых волноводных
фильтров МСВ...................................................... 345
6.3.2.2. МСВ-устройства на пленках ЖИГ.............................. 347
6.3.2.3. МСВ-устройства на пленках гексаферрита бария (ГФБ)......... 352
6.4. Имитатор многолучевого радиоканала............................. 353
6.4.1. Исходные положения........................................... 355
6.4.2. Конструкция имитатора........................................ 356
6.4.3. Принцип работы............................................... 360
6.5. Результаты раздела............................................. 362
ЗАКЛЮЧЕНИЕ.......................................................... 364
СПИСОК РАБОТ АВТОРА, ВОШЕДШИХ В ДИССЕРТАІ ДНО....................... 368
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ.................................... 374
7
ВВЕДЕНИЕ
Известно, что в ряде случаев при описании установившихся волновых процессов в линиях передачи на основе гтоскопараллельных структур необходимо учитывать зависимость амплитуды возбуждения от пространственных координат. Такие ситуации реализуются например: а) в полых металлических волноводах на частотах ниже критической [149]; б) для поверхностных мод (например, для поверхностных магнитостатических волн (МСВ) в ферритовых пленках [28]); в) при учете потерь [9].
Одним из простейших способов учета зависимости амплитуды колебаний от пространственных координат точки наблюдения является использование приближения обобщенных плоских волн [9]. Под термином "обобщенная плоская волна" понимается волна, у которой поверхности постоянных фаз и постоянных амплитуд плоские и могут не совпадать друг с другом, а амплитуда при удалении от источника на бесконечность стремится к нулю.
Интерес к физическим явлениям в плоскопараллельных волноведущих структурах в ситуациях, когда необходимо учитывать зависимость амплитуды волны от пространственных координат постоянно растет. В значительной степени это связано с развитием таких направлений твердотельной электроники как, например, слинволновая электроника [20] и акустоэлектроника [ 1501. Изучение таких явлений открывает также качественно новые возможности в применении уже используемых в технике волноведущих структур. Например, на основе запредельных волноводов с диэлектрическими резонаторами возможно создание по-лосно-иропускающих фильтров [151].
Рамки настоящей работы ограничены изучением свойств возбуждений электромагнитной природы в гиромагнитных средах.
Линии передачи с гиромагнитными включениями широко используются в СВЧ технике. На их основе создаются, например, вентили, фазовращатели, фильтры, линии задержки и т.п.
Известны теоретические модели, в которых для описания процессов распространения возмущений используется приближение обобщенных плоских волн. Общим для большинства из них является то, что в исходных модельных допущениях явным или неявным образом оговаривается параллельная либо
8
перпендикулярная ориентация плоскостей постоянных фаз и амплитуд относительно друг друга. Допустимость указанных выше модельных приближений, для случая гиромагнитных сред, свойства которых описываются не скалярным коэффициен том магнитной проницаемости, а тензором второго порядка, учитывающим частотную дисперсию, является, по крайней мере, не очевидной. Более тою, известно [9], что в поглощающих средах плоскости равной амплитуды и равной фазы могут образовывать острые углы.
Из сказанного вытекает актуальность развитие теории обобщенных плоских волн в приложении к установившимся возбуждениям электромагнитной природы, распространяющимся в гиромагнитных средах, без предварительных модельных ограничений о взаимной ориентации плоскостей постоянной фазы и амплитуды. Такие исследования представляют интерес как в чисто научном, гак и прикладном плане, т.к. направлены на решение конкретных проблем гиромагнитной электроники.
Целью работы является: теоретическое исследование общих свойств установившихся возбуждений электромагнитной природы, распространяющихся в гиромагнитных средах, в приближении обобщенных плоских волн; экспериментальная проверка некоторых положений развитой теории; разработка конструкций устройств на магнитостатических волнах (МСВ). В диссертации рассматриваются электромагнитные волны в изотропной (в отсутствии магнитного поля смещения), намагниченной до насыщения ферромагнитной среде и медленные дипольные спиновые волны - МСВ в планарных ферритовых структурах как в насыщающих полях, гак и в области существования доменной структуры (ДС).
Задачи, поставленные в ходе диссертационного исследования, решались в рамках фундаментальных и поисковых МИР, проводимых в Кубанском государственном университете и в Кубанском филиале 11ИИ механики и прикладной математики Ростовского государственного университета. Исключение составляет раздел, посвященный исследованию МСВ в образцах с ДС. Он был выполнен на физическом факультете Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова. Результаты диссертационной работы были использованы при проведении научно-исследовательских работ для предприятий МИСС. Автор являлся научным руководителем указанных работ.
Диссертация состоит из введения, шести разделов, заключения и списка ли-
9
тературы. Она содержит 384 страницы текста, включающие 118 рисунков на 85 страницах, 1 таблицу и список использованных источников из 151 наименований.
Во введении обоснована актуальность выбранного направления исследований, сформулированы цель работы и задачи, которые решаются в диссертации, кратко изложено содержание диссертации, перечислены основные положения, выносимые на защиту, и приведены сведения об апробации результатов работы.
Первый раздел посвящен обсуждению содержания основных, исходных понятий о волне и волновом процессе, используемых в настоящей работе.
Исходя из определения [3], что волна - это распространение колебаний в пространстве, происходящее с конечной скоростью, и представления о 1'армонической волне, рассмотрены фазовые и амплитудные соотношения. Показано, что:
- при определенных условиях возможно представление возмущения в приближении либо однородных колебаний, либо плоских синусоидальных волн, либо экспоненциальных волн, либо обобщенных плоских волн;
- обобщенной плоской волне соотвегствует линейное приближение в разложении в ряд Тейлора функции, описывающей пространственное распределение фазы, и линейное приближение в разложении функции, описывающей амплитуду.
Под термином "обобщенная плоская волна" понимается гармоническая
волна, у которой поверхности постоянных фаз и постоянных амплитуд плоские
и могут не совпадать друг с другом, а амплитуда при удалении от источника на
бесконечность стремится к нулю. Установлено, что обобщенная плоская волна
—►
определяется двумя векторами - вектором коэффициента фазы к1 и вектором
—>
коэффициента затухания к", которые явным образом между собой не связаны.
Записано выражение для представления возмущения с произвольной зависимостью от времени в виде суперпозиции гармонических обобщенных плоских воли, у которых векторы коэффициента фазы и коэффициента затухания явным образом не связаны. Величина этих векторов определяется частотой со, а ориентация рассматривае тся, как заданная.
Во втором разделе на примере изотропной (в отсутствии магнитного поля смещения) намагниченной до насыщения ферромагнитной среды рассматривается теория обобщенных плоских электромагнитных волн в гиромагнитных средах. Эта задача представляет интерес не только как пример, позволяющий изу-
10
мить свойства обобщенных плоских волн в гиротропных средах, но и является ключевой при анализе волноведущих систем с гиромагнитными включениями.
Исходные положения и постановка задачи рассматриваются в подразделе
2.1. Для математического описания обобщенной плоской волны использовалось определение, основанное на применении выражения в виде функции от вещественных переменных:
—> —> —^ —> —>
V( г , t) = А 0 ехр {- к " г } cos (со t — к' г + (р 0 ),
где А 0 и <р 0 - амплитуда и начальная фаза колебания в точке, выбранной в ка-
—>
чсстве начала координат, к'= [ß х , ß у, ß z} - вектор коэффициента фазы,
^ —>
к"= {кп х у к" у ук" z } - вектор коэффициента затухания , г - радиус - вектор, со
—^ —)
- циклическая частота, t- время. Ориентация векторовк\ к" и магнитного по-ля смещения Н 0 относительно друг друга задается тремя угловыми координатами ер, У и у у где: cos <р = ( к'-Н 0)/(\к'\-\Н0\), cosi9 = (к"-Н 0 )/(|А"|-|Я0|), —> —> —> —>
соыу = (к'-кп)/(\к'\-\кп\). Значения (ру «9 и у/ полагаются известными. При решении задачи о спектре предварительные модельные ограничения о взаимной ориентации плоскостей постоянной фазы и амплитуды не использовались.
Такой подход отличается от обычно применяемого при анализе аналогичных задач комплексной формы записи уравнений электромагнитного поля [6]. І Іозтому в подразделе 2.2. получено выражение для тензорного оператора магнитной восприимчивости, определяющего связь между вещественными переменными напряженностью и индукцией магнитного поля в гиромагнитной среде. В качестве среды распространения рассматривается изотропный, намагниченный до насыщения ферромагнетик, магнитные свойства которого описываются уравнением Ландау - Лифшица с релаксационным членом в форме Гильберта. В подразделе 2.3. выведены дисперсионные соотношения, связывающие
-4 —>
длины векторов коэффициента фазы ß = \k'\ и затухания к" = \к"\ с частотой для обобщенных плоских волн. Эти формулы позволяют проанализировать законы частотной дисперсии не только для обобщенных плоских волн (ß&0 и
11
к" Ф 0), но и для плоских синусоидальных (£" = 0) и экспоненциальных (/? = 0) волн. Более того, они допускают возможность рассмотрения нескольких моделей для среды распространения электромагнитных возбуждений: а) идеального диэлектрика; б) изотропного, намагниченного до насыщения, ферромагнетика без учета потерь; в) изотропного, намагниченного до насыщения, ферромагнетика с учетом магнитных потерь.
Подраздел 2.4. посвящен анализу дисперсионных соотношений для первых двух вариантов модели среды распространения. Показано, что спектр установившихся электромагнитных возбуждений, распространяющихся в изотропной, намагниченной до насыщения ферромагнитной среде, даже без учета эффектов диссипации описывается большим числом мод, чем это считалось ранее.
В подразделе 2.5. исследуются законы частотной дисперсии электромагнитных волн в гиромагнитных средах с учетом эффектов диссипации. При описании возбуждений рассматривается три модельных приближения: плоских синусоидальных, экспоненциальных и обобщенных плоских воли. В приближении обобщенных плоских волн дисперсионные соотношения исследованы для нескольких частных случаев взаимной ориентации векторов коэффициента фазы, коэффициента затухания и магнитного поля смещения. Рассмотрены ситуации, когда угловые координаты (р, & и у/, определяющие взаимное про-
—> —> ~>
странственное положение векторов к', к" и И 0,равны:
—> —> —> —>
- Ф =# = 90 , а у/ может принимать любые значения, т.с. к'1Н0 и к"±Н0\
—> —> —> —>
. <р= $ = (р 0 и ^ = 0 , т.е. к' || к'\ а вектора к' и к” равнонаправленные;
- & = ср 0, (р - 180 0 - (р 0 и у/ = 180 °, т.е. к'\\кп,а вектора/:' и к" раз-
нонаправленные;
- <р = ,9 = <р о и у/ =2<р0;
- (р~ 180° - (р(), »9 = (р 0 и у/ = 180 0 -2<р0.
Область изменения параметра (р 0 во всех случаях была от 0 0 до 180
На примерах этих конкретных ситуаций, показано, что учет эффектов диссипации качественно изменяет, по сравнению с консервативным приближением, законы частотной дисперсии длин векторов коэффициента фазы и коэффициента
12
затухания установившихся электромагнитных возбуждений, распространяющихся в изотропной намагниченной до насыщения ферромагнитной среде.
В третьем разделе приводятся результаты теоретического анализа особенностей МС спектра в ферритовых пленках с потерями. В подразделе 3.1. рассмотрены известные основные положения исследований свойств длинноволновых типов прецессии намагниченности в изотропном ферритовом слое, которые являлись исходными при учете влияния эффектов диссипации на спектр МСВ.
В подразделе 3.2. рассматривается задача о спектре МСВ в плоскопарал-
лельном, касательно намагниченном полем /У, изотропном ферритовом слое с
потерями. Для случая, когда МСВ распространяется в плоскости пленки, пер-
—>
пендикулярно к направлению Я, выписано выражение для МС потенциала. Показано, что МС потенциал при учете эффектов диссипации (а Ф 0), так же, как и в консервативном приближении (а = 0), можно рассматривать как суперпозицию четырех обобщенных плоских волн. Отличаются эти волны друг от друга ориентацией векторов коэффициента фазы и векторов коэффициента затухания. Для каждой из этих четырех мод плоскости постоянной фазы и амплитуды ортогональны друг к другу. Однако при а Ф 0, в отличие от ситуации, когда а- 0, поверхность постоянной амплитуды не параллельна плоскости ферритового слоя, а поверхность постоянной фазы не ортогональна к нему. Записано выражение для угла наклона 0 плоскости постоянной амплитуды по отношению к поверхности образца. Угол между плоскостью постоянной фазы и поверхностью ферритового слоя является дополнительным к 0. Получены дисперсионные соотношения, определяющие для поверхностных МСВ связь между собственной частотой, коэффициентом фазы и коэффициентом потерь. Под терминами коэффициент фазы и коэффициент потерь понимаются, соответственно, длины проекций векторов коэффициента фазы и коэффициента затухания на плоскость ферритовой пленки.
Подраздел 3.3. посвящен анализу частотных зависимостей коэффициента фазы, коэффициента потерь и ориентации векторов коэффициента фазы и коэффициента затухания относительно поверхности ферритового слоя. Установлено, что - в изотропном, намагниченном до насыщения ферромагнитном слое с потерями могут существовать "диссипативные1' МСВ;
13
- для поверхностных МСВ ориентация плоскостей постоянных фаз и амплитуд по отношению к плоскости ферритового образца зависит от длины вектора коэффициента фазы в плоскости пленки, частоты, напряженности магнитного поля смещения и величины параметра диссипации.
В подразделе 3.4. анализируется влияние величины параметра диссипации а на спектр І1МСВ.
Обсуждению полевых зависимостей спектра ПМСВ в ферритовом слое с потерями посвящен подраздел 3.5.
Подраздел 3.6. посвящен экспериментальным исследованиям спектров МСВ в касательно намагничиваемых прямоугольных пленках железоиттрие-вого граната (ЖИГ). Дано обоснование схемы эксперимента. Установлено наличие в спектре дополнительных резонансов, необъясняемых теорией Дэймона - Эшбаха [4]. Частотное положение этих типов возмущений совпадает с теоретически предсказываемым для поверхностных “диссипативных” мод. Показано, что природа наблюдаемых дополнительных пиков не может быть обусловлена ни влиянием кристаллографической анизотропии, ни влиянием металлических поверхностей возбуждающей и приемной структур. Низкая добротность наблюдаемых дополнительных резонансов свидетельствует о том, что они обусловлены быстро затухающими бегущими волнами.
В четвертом разделе приводятся результаты теоретического изучения спектра МСВ в тонких планарных ферритовых образцах с регулярной пластинчатой двухфазной ДС в приближении: а»Т>» 5 и с1»Т> (Л - пространственный период МСВ, V - период ДС, <!> - толщина доменной границы (ДГ), с1-толщина ферритового слоя). В подразделе 4.1. оговариваются основные модельные приближения и исходные положения. Существование МСВ в магнетике с ДС может быть обусловлено двумя механизмами восприимчивости: "прецессионным" - за счет внутридоменной прецессии намагниченности, и "трансляционным" - за счет коллективного волнового движения ДГ. Краевую задачу о спектре МСВ в образце с ДС можно, используя выражения для усредненных по ДС тензоров "прецессионной" [46] и "трансляционной" [50] восприимчивости, привести к виду, формально аналогичному задаче Дэймона - Эшбаха [28]. Решению краевой МС задачи посвящен подраздел 4.2. Оно ищется в виде суперпозиции обобщенных плоских волн. Получены дисперсионные со-
14
отношения для "прецессионных" и "трансляционных" МСВ.
Исследованию дисперсионных и полевых свойств спектра МСВ, обусловленных прецессией намагниченности в приближении неподвижных ДГ, посвящен подраздел 4.3. Установлено, что "прецессионные" МСВ в магнетике с ДС
—> —»
делятся по преобладающей поляризации т относительно Н 0 на две группы: "продольные" и "поперечные". Показано, что "поперечные" МСВ, как и в случае однородно намагниченного анизотропного образца, могут быть прямыми поверхностными, прямыми и обратными объемными модами. "Продольные" МСВ могут быть только прямыми объемными и поверхностными модами.
Исследованию дисперсионных и полевых свойств "трансляционной" части МС спектра, обусловленной коллективным волновым движением границ доменов, без учета прецессии намагниченности внутри доменов, посвящен подраздел 4.4.
Обсуждению особенностей МС спектра в прямоугольной пластинке конечных размеров с ДС посвящен подраздел 4.5. Размагничивающие поля от боковых граней образца приводят к изменению внутреннего постоянного магнитного поля смещения, которое учитывалось введением эффективного размагничивающего фактора. Предполагается, что для тонкого плоского образца конечных размеров можно приближенно использовать дисперсионные выражения, полученные для бесконечного плоскопараллельного ферритового слоя. Влияние боковых граней пластинки на спектр учитывалось условием закрепления на них магнитных моментов [61]. В рамках таких допущений МС колебания (МСК) в пластинке рассматриваются как стоячие МСВ. Спектр собственных частот магнитных возбуждений образца конечных размеров имеет дискретный характер. Установлены правила отбора МСК но интенсивности. Магнитные потери описываются параметром затухания а в форме Гильберта. Получены и качественно проанализированы выражения для интенсивности возбуждения МСК в прямоугольной пластинке с ДС однородным СВЧ полем в зависимости от величины подмаг-ничивающего поля. При анализе параметр затухания полагался постоянным.
Подраздел 4.6. посвящен экспериментальным наблюдениям МСК пластинки и диска из монокристалла ЖИГ' в области существования ДС. Установлено, что наблюдаемый спектр поглощения пластинки и диска хорошо описывается в рамках приближения стоячих МСВ как в доменной области, так и в насыщающих нолях. Экспериментально качественно подтверждены выводы
15
теории об относительной интенсивности МС мод и характере зависимости их интенсивностей ог величины подмагничивающего поля.
В пятом разделе рассматривается несколько простейших математических моделей, позволяющих рассчитывать параметры линии передачи на МСВ, как целостного проходного элемента. При описании возмущений намагниченности в таких устройствах используется приближение обобщенных плоских волн.
В подразделе 5.1. приводится построение расчетных схем для вычисления передаточной функции МСВ - устройства как с двумя преобразователями, так и с одним преобразователем. Дня структуры типа металл - диэлектрик - феррит -диэлектрик - металл (МДФДМ) проведен расчет частотной дисперсии передаточной функции. Рассмотрены случаи, когда преобразователи выполнены в виде отрезков одиночной полосковой, копланарной или щелевой линии передачи. Сопротивление излучения преобразователя вычислялось но методике, приведенной в [80]. Изучено влияние изменения величины подмагничивающего поля и его ориентации относительно поверхности пленки, а также температуры фер-ритовой пленки на передаточную функцию. Проведено измерение амплитудно-частотных характеристик (АЧХ) функции макетов полосно-иропускающего и полоспо-заграждающего филыров на МСВ с конланарными преобразователями. Результаты расчета и эксперимента находятся в удовлетворительном согласии.
В подразделе 5.2. приводятся результаты численного исследования эволюции огибающей гауссовского импульса МСВ в МДФДМ структу ре с учетом частотной дисперсии как длины вектора коэффициента фазы, так и вектора коэффициента затухания. Изучена деформация огибающей импульса при изменении напряженности поля смещения и его ориентации относительно поверхности структуры, величины поля анизотропии и температуры ферритового образца. Показано, что при распространении импульса МСВ в МДФДМ структуре возможно смещение максимума спектральной плотности как вверх, гак и вниз по частоте.
В подразделе 5.3. приведены аналитические оценки динамики изменения формы импульсов в допороговой области при различных параметрах системы обработки, выполненной на основе МСВ - устройства. В рамках теории оптимальной фильтрации предложено объяснение деформации формы СВЧ - импульса, возбуждаемого клистронным генератором, при распространении через МСВ устройство. Анализ выполнен с использованием методики расчета опти-
16
мальных фильтров [96]. Получены количественные оценки амплитудно- и фазочастотных характеристик выходных сигналов. Выполнена экспериментальная проверка полученных теоретических результатов. Установлено, что при создании управляемых линий задержки для импульсных систем обработки сигналов необходим учет влияния преобразования спектров СВЧ - сигналов для получения требуемой формы сигналов на выходе.
Подраздел 5.4. посвящен исследованию влияния неоднородности магнитною поля смещения как на амплитуду и траекторию МСВ, так и на характеристики МСВ - устройства в целом. На основе усредненного вариационного принципа Уизема [99] получено выражение для амплитуды монохроматической МСВ вдоль траектории ее распространения в ферритовой пленке, намагниченной неоднородным полем. 11ри нормальном намагничивании полем смещения типа "магнитная канава" с поперечным профилем в виде параболического цилиндра рассчитаны траектория и амплитуда прямой объемной МСВ, излучаемой преобразователем, представляющим собой дугу окружности. Изучено влияние эффектов диссипации на траекторию и амплитуду ПОМСВ. В приближении геометрической оптики создана математическая модель МСВ - устройства с неоднородным полем подмагничивания. Предложена оригинальная конструкция линии задержки на МСВ, характеризующаяся величиной параметра вносимых потерь на единицу времени задержки в два с половиной раза меньше, чем у аналогичных устройств, использующих однородное поле смещения.
Шестой раздел посвящен обсуждению вопросов, связанных с конструированием МСВ - устройств. Приводятся описание оригинальных технических решений и результаты экспериментальных исследований МСВ - устройств.
В подразделе 6.1. рассмотрены этапы перехода от планарной к объемноинтегральной конструкции МСВ устройств.
Подраздел 6.2. посвящен особому классу СВЧ - устройств, в которых используются свойства стоячих волн намагниченности - магнитостатических колебаний (МСК) в ферритовых пленках. Рассмотрены особенности конструирования многорезонаторных частотно-селективных устройств на МСК. Предложена математическая модель оценки величин коэффициентов связи. Оптимизация коэффициентов связи позволила создать перестраиваемый многорезона-торный фильтр на МСК с электрическими параметрами не хуже, чем у фильт-
17
ров на сферах ЖИГ. Экспериментально показана возможность создания мультиплексоров с числом каналов 2 ч-6, в том числе со смежными и близко отстоящими (не более двух полос) полосами пропускания.
Подраздел 6.3. посвящен обсуждению вопросов, связанных с конструированием МСВ - устройств миллиметрового диапазона. Предложена методика расчета амплитудно-частотной характеристики (АЧХ) запредельных волноводных фильтров вблизи критической частоты с учетом частотной зависимости входного сопротивления линии передачи в области отсечки. Показано, что теоретическая модель позволяет описать данные эксперимента. На основе запредельных линий передачи разработаны и экспериментально исследованы МСВ - устройства с электронным управлением АЧХ: линии задержки и - диапазона (26,50 ч- 40,00 ГГц), фильтры и - и М - диапазона (50,00 ч- 70,00 ГГ ц). В устройствах и - диапазона использовались пленки железоиттриевого граната (ЖИГ ). В качестве ферритового элемента в МСВ - приборах М - диапазона применялись пленки ЖИГ либо гексаферрита бария (ГФБ). Дано сравнение технических характеристик фильтров М диапазона, выполненных на основе ЖИГ и ГФБ пленок.
В подразделе 6.4. предложен новый тип подсистемы на основе прибора на МСВ - имитатор многолучевого радиоканала. Применение линии передачи на МСВ позволило совместить блок замираний и узел формирования сигнала задержанного луча в одном устройстве.
Каждый раздел диссертации завершается выводами, отражающими основные результаты представленных в нем исследований.
В заключении сформулированы основные результаты, полученные в работе.
На защиту автором выносятся следующие основные положения:
!. Теория обобщенных плоских волн (для произвольной взаимной ориентации векторов коэффициента фазы, коэффициента затухания и магнитного поля смещения) в приложении к анализу спектральных характеристик установившихся электромагнитных возбуждений, распространяющихся в изотропной (в отсутствии магнитного поля смещения) намагниченной до насыщения ферромагнитной среде, в консервативном и диссипативном приближениях:
- в изотропной ферромагнитной среде без потерь установившиеся электромагнитные возбуждения в виде обобщенных плоских волн могут быть толь-
18
ко неоднородными. Существование волн с ортогональными плоскостями постоянных фаз и амплитуд возможно только в ситуациях, когда вектор коэффициента фазы либо вектор коэффициента затухания перпендикулярен к направлению магнитного поля смещения;
- изменение законов частотной дисперсии при учете эффектов диссипации, по сравнению с консервативным приближением, может проявляться в возникновении неоднозначных участков па частотных зависимостях длим векторов коэффициента фазы и коэффициента затухания;
- для волн с противоположной ориентацией векторов коэффициента фазы или векторов коэффициента затухания характер дисперсионных зависимостей и модовый состав спектра при учете магнитных потерь в общем случае различен. Исключением являются ситуации, когда плоскости постоянных фаз и амплитуд ортогональны и вектор коэффициента фазы либо вектор коэффициента затухания перпендикулярен к направлению магнитного поля смещения;
- при изменении напряженности магнитного поля смещения закон частотной дисперсии как длины вектора коэффициента фазы, так и длины вектора коэффициента затухания может изменяться с нормального на аномальный.
2. Теория поверхностных МСВ, в приближении обобщенных плоских волн, в изотропном (в отсутствии магнитного поля смещения) намагниченном до насыщения ферромагнитном слое с потерями:
- предсказание обратных поверхностных МСВ в изотропном касательно намагниченном до насыщения ферромагнитном слое, существование которых обусловлено влиянием эффектов диссипации;
- для поверхностных МСВ ориентация плоскостей постоянных фаз и амплитуд по отношению к плоскости ферритового образца зависит от длины вектора коэффициента фазы в плоскости пленки, частоты, напряженности магнитного поля смещения и величины параметра диссипации.
3. Теория длинных "прецессионных" волн и волн смещения доменных границ в касательно намагничиваемом плоскопараллельном ферритовом слое с регулярной двухфазной пластинчатой ДС.
4. Совокупность математических моделей, основанных на приближении обобщенных плоских волн, позволяющих рассчитывать параметры линии передачи на МСВ, как целостного проходного элемента:
19
- расчетная схема для вычисления передаточной функции МСВ - устройства с одним и двумя преобразователями;
- расчетная схема для анализа эволюции огибающей гауссовского импульса МСВ в планарной ферритовой структуре;
- расчетная схема для анализа процесса распространения МСВ в ферритовой пленке, намагниченной неоднородным полем;
- объяснение деформации формы СВЧ импульса, возбуждаемого клис-тронным генератором, при распространении через МСВ устройство;
- теоретическая модель оценки величин коэффициентов связи преобразователь - ферритовый резонатор и ферритовый резонатор - ферритовый резонатор;
- методика расчета АЧХ запредельных волноводных фильтров вблизи критической частоты с учетом частотной зависимости входного сопротивления линии передачи в области отсечки.
5. Совокупность экспериментальных результатов подтверждающих теоретические закономерности, установленные исходя из применения приближения обобщенных плоских волн для анализа волновых процессов в планарных фер-ритовых образцах как в области существования ДС, так и в насыщающих полях.
6. Подход к конструированию устройств на МСВ с учетом выполнения условия синфазности возбуждаемой волны и возбуждающего излучения, конструкции перестраиваемого многорезонаторный фильтр на МСК и перестраиваемых мультиплексоров на МСК, а также конструкции устройств на МСВ, на которые получены авторские свидетельства и патент: а) СВЧ - устройство на МСВ; б) линии задержки на МСВ с неоднородным полем подмагничивания; в) новый тип подсистем на основе прибора на МСВ - имитатор многолучевого радиоканала.
Совокупность теоретических и экспериментальных результатов, связанных с получением новых данных об общих свойствах установившихся возбуждений электромагнитной природы, распространяющихся в гиромагнитных средах, а также новые технические решения, позволяют заключить, что в диссертации решена крупная научная проблема в области радиофизики, имеющая важное практическое значение для создания СВЧ устройств на основе планарных ферритовых структур различного функционального назначения.
Основные материалы диссертации опубликованы в 1979 - 2000 гг. в работах [А1 - А63], список которых приведен в конце диссертации.
20
Результаты диссертационной работы докладывались на международных, всесоюзных конференциях и семинарах, в том числе: на V, VI, XI, XII, XIII, XIV Международных конференциях по гиромагнитной электронике (Вильнюс, 1980; Болгария, Varna, 1982; Алушта 1992, Болгария, Gyulechitsa, 1994; Румыния, Busteni, 1996; Венгрия, Eger, 1998); Европейской конференции по магнитным материалам и их применению (EMMA, Германия, Дрезден, 1991); 8 Международной конференции по ферритам (ICF8, Япония, Kyoto, 2000); Международной конференции по магнитоэлектронике (Красноярск, 1992); XVI Всесоюзной конференции по физике магнитных явлений (Тула, 1983); VII, VIII, IX Всесоюзных школах-семинарах "Новые магнитные материалы для микроэлектроники" (Ашхабад, 1980; Донецк, 1982; Саранск, 1984); XV Всероссийской школе-семинаре "Новые магнитные материалы микроэлектроники" (Москва, 1996); XVI и XVI Международных школах-семинарах "Новые магнитные материалы микроэлектроники" (Москва, 1998, Москва. 2000); II. Ill, IV, V, VI Всесоюзной üJKOJiax-семинарах "Спин-волновая электроника СВЧ" (Ашхабад, 1985; Краснодар, 1987; Львов, 1989; Звенигород, 1991; Саратов, 1993); XVI Всесоюзном семинаре "Гиромагнитная электроника и электродинамика" (Куйбышев, 1990); IV семинаре по функциональной магнитоэлектронике (Красноярск, 1990); 11 Всесоюзной научно-техническая конференции
"Устройства и методы прикладной электродинамики" (Одесса, 1991); Первой Обьединепной конференции по магнитоэлектронике (Москва, 1995); республиканских семинарах "Устройства интегральной и функциональной СВЧ электроники" (Киев, 1989, 1991); Всероссийской научно-технической конференции "Радио и волоконно-оптическая связь, локация и навигация" (Воронеж, 1997).
1. ОСНОВНЫЕ ИСХОДНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ О ВОЛНАХ. ОБОБЩЕННЫЕ ПЛОСКИЕ ВОЛНЫ
21
Обсудим содержание основных, исходных понятий о волне и волновом процессе, используемых в настоящей работе. Эго необходимо сделать в силу следующих причин. Во-первых, нужно, как можно более конкретно, определить предмет нашего дальнейшего рассмотрения. Во-вторых, приближение обобщенных плоских волн относительно мало изучено и в литературе, до настоящего времени не сложилась установившаяся, общепринятая терминология. Разные авторы иногда под одними и теми же названиями понимают существенно отличные физические объекты. В силу этого обстоятельства, не приводя сравнительного анализа используемой терминологии, мы будем применять (разумеется, со ссылкой на источники) те термины, которые, на наш субъективный взгляд, наиболее полно отражают физическую сущность описываемого объекта.
Распространение в пространстве изменений какой-либо физической величины, обладающей свойствами физического поля, и несущее с собой энергию принято называть волной [1, 2]. Известно и другое определение: волна - это распространение колебаний в пространстве, происходящее с конечной скоростью [3]. Второе определение будет использоваться в настоящей работе, как одно из основных, исходных положений.
Волны могут иметь различную форму: импульса, цуга и т.д. Импульсом принято называть сравнительно короткое возмущение в пространстве, не имеющее регулярного характера. Ограниченный ряд повторяющихся в пространстве возмущений называют цугом. Бхли волна представляет собой неограниченный ряд периодически повторяющихся в пространстве и во времени возмущений, то говорят об установившемся волновом процессе.
1.1. Гармоническая волна
Особое значение в теории волн имеет представление о гармонической волне, т.е. о бесконечно повторяющихся возмущениях, для которых все изменения состояния в любой точке среды во времени происходят по закону коси-
22
нуса. В рамках второго определения понятия волны: гармоническая волна есть ничто иное, как распространяющееся в пространстве гармоническое колебание.
Основной характеристикой гармонической волны является период волны Т - время, за которое совершается один полный цикл колебания в точке. Величина / = \/Т называется частотой и определяет число колебаний в единицу времени. Величина со = 2 к f - называется угловой (или циклической) частотой.
Для гармонической волны изменение какой-либо физической величины V
—>
во времени / в точке Р с координатами г описывается формулой:
V(r ,1)= А( г )cos{ft>/-<р(г )}, (1.1)
—>
где А ( г ) - амплитуда волны, т.е. максимальное значение, которое может при-
—> —У —У
нять величина V, (р(г) - начальная фаза в точке Р, Ф(г ) = cot - <р( г ) назы-
вается фазой волны. В любой другой точке Р , с координатами г , изменение V со временем происходит но такому же закону, но, в общем случае, с другими
—> —у
значениями амплитуды А(г {) и начальной фазы (р ( г , ). Следовательно, формулу (1.1) можно рассматривать, как математическую форму записи выражения, описывающего гармоническую волну с частотой со в общем случае, по-
”> —>
лагая при этом, что А(г ) и (р(г ), являются вещественными скалярными функциями положения.
1.2. Фазовые соотношения
Важной характеристикой волны является вид поверхностей, в любой точке
которых в данный момент времени фазы одинаковы
—>
<p(r) = const. (1.2)
Такие поверхности называют поверхностями постоянной фазы [4], поверхностями равных фаз [1, 3], волновыми поверхностями [4] или фронтами волны [1]. Форма поверхности равной фазы зависит от условий возникновения и распространения волны. В простейшем случае такой поверхностью является плоскость, и такая волна называется плоской волной.
Проанализируем функцию (р(г ) для случая плоской гармонической волны. Введем произвольным образом прямоугольную декартовую систему координат x,y,z. Известно [5], что любую плоскость можно определить уравнением первой степени относительно декартовых прямоугольных координат
В 1 X + В 2 У + в з 2 + В 4 = 0, ( 1.3)
где В j, В 2 и В з не равны нулю одновременно. Положим, что уравнение (1.3)
—»
описывает одну из плоскостей постоянной фазы. Пусть е - единичный вектор
ортогональный к этой плоскости равных фаз: е = {ех, еуп е2} = {cos<9,, cos^, cos.9 3}. Здесь направляющие косинусы определяются по формулам:
cos 9 ,=±В , 1у[в | + В I + В j , / = 1,2,3,. (1.4)
Знак перед корнем выбирается так, чтобы соблюдалось условие -
р = ±В4/^В ] +В 2 +В з <0.
Если В 4 =0, то выбор положительного направления на нормали к плоскости
произволен. Перейдем в новую прямоугольную декартовую систему координат
—>
У, У, 2' путем поворота осей, так чтобы направление оси У совпало с на-
—> —> —> правлением вектора е . Направление двух других осей у' и z' можно выбирать произвольно, лишь бы все оси координат были взаимно перпендикулярны. Новая координата У связана с исходными координатами х, у и z формулой:
У = xcos«9 , + у cos »9 2 +zcos*9 3. (1.5)
Уравнение (1.3) в новых переменных запишется следующим образом:
у + р = о. (1.6)
—>
Из общих физических соображений будем полагать, что (р(г ) является однозначной функцией переменных х ,y,z, а ее значения либо остаются постоянными, либо монотонно неограниченно возрастают по абсолютной величине при удалении от источника возмущения. В силу вышесказанного необходимо определить положение источника в среде. Для упрощения описания дальнейшего
—>
анализа ограничим область определения функции (р(г) сектором 0<х<а>,
24
0<y<oo, 0<z<oo , предполагая, что источник возбуждения расположен вне этой области пространства. Эти допущения не нарушают общности рассмотрения, гак как полученные результаты могут быть распространены, как на случай,
->
когда область определения функции (р{ г ) есть все пространство, за исключением источника, так и на случай любою другого положения источника возмуще-
ний. Предположим, что вещественная скалярная функция (р{г ), имеющая область определения 0 < х < со, 0 < у < со, 0 < z < со , является аналитической в окрестности точки Р о с декартовыми координатами {jc'0 , / 0 , z’ 0 }, принадлежащей этой области. Разложим ее в кратный степенной ряд Тейлора по переменным х\у и z* [5]:
<P(h=t X X ».,/ {Х'-Х~ 0)т{у'-у'0)" (z'-z'о)', (1.7)
от = 0 л = 0 / = О
где а тп/ коэффициенты, величина которых может зависеть от параметров х' о , у 0 и z' 0. Отметим, что выбор в качестве переменных, по которым производится разложение, декартовых координат-, строю говоря, является делом субъективным. В нашем случае он обусловлен геометрией задачи - определением условий, при которых поверхностью постоянной фазы является плоскость.
В общем случае, не зная распределения волновых поверхностей в среде, не представляется возможным определить при каких значениях коэффициентов а тп1 поверхности постоянной фазы, определяемые уравнением (1.2), являются плоскостями. Однако, задача определения условий, при которых поверхности постоянных фаз являются плоскими, существенно упрощается, если ограничить класс рассматриваемых плоских волн, приняв предположение, что все поверхности постоянных фаз параллельны друг другу. Положение этих плоскостей в пространстве, относительно введенной прямоугольной декартовой
системы координат х, у, z задастся вектором е . Следовательно, полагая х1 = const, мы определяем плоскость, на которой мгновенное значение фазы должно быть постоянным. В силу вышесказанного все слагаемые в выражении (1.7), содержащие у' и z’, должны быть равны нулю, т.е. а тп1 =0 для всех
значений индексов пФ 0, IФ0. Формулу (1.7) можем переписать в виде
25
<рСг)= t“'Лx'-x'oУ\ (1-8)
т ^ О
где коэффициенты а т =а ш00, причем, как уже отмечалось выше, их величина может зависеть от параметров х’ 0, у 0 и
Проанализируем выражение (1.8) используя предположение, что величина
разности фаз для гармонической волны с частотой со для любых произвольно
-» —>
ВЗЯТЫХ двух точек Р ] и Р 2 ( г 1 = {х’ | , Vі , , г' \ } И /* 2 = { х’ 2 , У 2 9 2 } > со"
ответствующие, радиус - векторы) не зависит от выбора точки Р 0, в окрест-
—^
пости которой выполнено разложение функции (р(г ), или, что в данном конкретном случае равносильно, от выбора начала системы координат. Это модельное приближение на первый взгляд кажется вполне очевидным, однако в рамках настоящей работы не представляется возможным дать строгое его обоснование. В силу сказанного необходимо рассматривать такое допущение,
как второе - основное исходное положение, принятое в настоящей работе.
—>
Вместо строго представления функции (р(г ) в виде ряда (1.8) будем рассматривать ее приближение в виде конечной суммы
<?('•)= X ат (х'-х'о)т я £ ат(х'-х' 0)т=<рм(г). (1.9)
т = 0 т —О
Величина М определяет количество учитываемых первых членов в разложе-нии (р(г ) в ряд, поэтому будем называть се порядком приближения по фазе.
1.2.1. Нулевое приближение
—>
Этот случай соответствует ситуации, когда функция <р( г ) остается постоянной по величине при удалении от источника возмущения. Можем записать:
—^
<Рй (г)=<Ро =сои.ї/. (1.10)
Тождественно аналогичное выражение получается и в случае, когда область
—^
определения функции (р(г ) есть все пространство, за исключением источника. Физический смысл, полученного результата - фазы колебаний возмущения
26
во всех точках среды в любой фиксированный момент времени одинаковы.
Отметим, что в соответствии с выше оговоренной терминологией, в нулевом приближении волна не является плоской.
1.2.2. Линейное приближение
В рамках этого приближения можем записать:
ЛФ |2 =а , (У , -У 2) = а , ДУ |2 .
Не трудно убедиться, что величина ЛФ 12не зависит от значений параметров
х' 0> У о и z' 0, если выполняется следующее условие:
д а \1 де= 0, где с = х’ 0 , v* 0 ,z' 0.
Выберем точку Р Q в начале системы координат х, у, z, получим х' = 0.
Уравнение для поверхности постоянной фазы можем записать в виде
(р ( г ) = а 0 + а , л-' = const, (1-10
где величина коэффициента а 0, как уже отмечалось выше, может зависеть от
параметров х'0, у\ и z’0, a a j - постоянный коэффициент. Физический смысл,
установленной в линейном приближении зависимости (1.11), состоит в том, что величина разности фаз АФ 12 для гармонической плоской волны с частотой со
в двух точках г , и г 2 пропорциональна положению этих точек (пропорцио-
—> —> —>
нальна вектору А г - г , - г 2), причем векторный коэффициент пропорцио-
_> ~> -> нальносги постоянен для всей среды: ЛФ ,2 = А '( /* , - г 2 )•
Выражение (1.11) применимо для описания фазы волны, удаляющейся от источника, не только в области 0 < х < оо, 0 < у < оо, 0 < z < со , но и в любых других областях пространства, не содержащих источника возмущений. В этом нетрудно убедиться, если проделать расчеты, аналогичные приведенным выше. В рассматриваемом приближении, допускающем разложение функции
ср(г ) в степенной ряд с точностью до линейных слагаемых, формулу (1.11) для гармонической плоской волны можно записать в виде
Ф(г) = cot-k'r+(p0. (1-12)
Здесь использованы обозначения: к' = а , • е = {к' х , к' у ,к' Д, (р0 = - а 0, х - а \ ‘е х ~ а 1 'соя ^ и ^ ^ I Л 1 со$«9 2, к' г = , е . = ^ , «соя# 3.
(р 0 - имеет физический смысл начальной фазы в точке, выбранной в качестве начала координат, к' х, к' у, к' г- определяют в любой фиксированный момент
времени изменение фазы при смещении на единицу длины вдоль соответствующей оси координата. Каждый из коэффициентов к' х, к' у, к' 2 может иметь
любое вещественное значение. Однако, в силу условия на параметры В ,, В 2 и В 3, оговоренного выше, величины коэффициентов к' х, к' у, к' 2не равны ну-
лю одновременно. Вектор к' называют вектором коэффициен та (|)азы или вол-
—► —►
новым вектором. Он ортогонален к плоскости постоянной фазы, т.е. к* || е . На-
—>
личие в выражении (1.12) множителя, который изменяется в зависимости от г по закону косинуса, позволяет рассматривать плоскую гармоническую волну в любой фиксированный момент времени, как периодическое чередование минимумов и максимумов возмущений в пространстве. Это обстоятельство служит основанием ввести для плоской гармонической волны еще одну характеристику Я, называемую длиной волны или пространственным периодом. Длина волны -расстояние между двумя соседними максимумами (минимумами) по направлению вдоль нормали к плоскости постоянной фазы. Действительно, значение косинуса не изменится, если фаза изменится на величину, кратную 2яг. Следова-
—> —> -> ^ —у )
тельно, можем записать: к'( г + е Л) - к' г = 2/г. Отсюда Л = 2я!к' , где к' = \к'\.
1.2.3. Квадратичное приближение
В этом случае разность фаз возбуждения между точками Р , и Р 2 равна: ДФ12=в, (х'1-х'2) + о2[(х'1-х'0)2-(х'2-х'0)2]. (1.13) Величина ДФ ,2 не зависит от параметров х' 0» У о и о ПРИ любых значений л-', и х129 если выполняются следующие условия: а 2 =0 и дах!де- 0. Здесь е = х' о, У 0, г\. Это означает, что квадратичный член в разложении (1.9) тождественно равен нулю. Не трудно убедиться, что и в случае приближе-
28
ния более высокого порядка ( М > 2) мы придем к аналогичному результату -величина АФ J2 не зависит от выбора начала системы координат если да , f дє = 0 и а т = 0 для всех значений т от 2 до М.
—>
Следовательно в разложении <р(г ) достаточно ограничиться только постоянным членом и линейными слагаемыми (значения индекса М = 0,1).
1.3. Амплитудные соотношения
Вид поверхностей, в любой точке которых в данный момент времени амплитуды одинаковы так же, как и форма поверхностей постоянной фазы, является важной характеристикой гармонической волны
А ( г ) = D = const. (1*14)
Если поверхности постоянной амплитуды совпадают с поверхностями постоянной фазы, то говорят, что такая волна однородная [4]. В противном случае -волна неоднородная.
—)
І Іроанализируем функцию А ( г ) для случая плоской гармонической волны. Будем использовать для анализа те же приемы, что и выше, при исследо-
вании функции ф( г ).
Положим, что уравнение, описывающее одну из плоскостей постоянной амплитуды, имеет в декартовых координатах х> у > z вид
В \ Х +В 2У + В = ^» (El 5)
•—** '■V 'S/
где В ,, В 2 и В 2 не равны нулю одновременно. Отметим, что в общем случае предполагается, что плоскости постоянной амплитуды не совпадают с плоскостями постоянной фазы.
—>
Пусть Е- единичный вектор ортогональный к этой плоскости постоянной
—^
амплитуды: Е = {Ех, Еу, Ez} = {cos 0 ,,cos 0 2, cos 0 3 }. Здесь направляющие косинусы определяются по формулам аналогичным (1.4). Перейдем в новую прямоугольную декартовую систему координат х", у", z" путем поворота
29
осей, так чтобы направление оси х" совпало с направлением вектора Е. Па-
—> —>
правление двух других осей у" и z" выбирается произвольно, лишь бы псе
оси координат был и взаимно перпендикулярны. Новая координата х" связана с
исходными координатами х, у и z формулой:
.г" = х cos 0 х + у cos 0 + zcos 0г. (116)
Уравнение (1.15) в новых переменных запишется следующим образом:
х" + р = 0, (1.17)
где p = ±'bjJb] +В\ +в\ >0.
Из общих физических соображений будем полагать, что вещественная ска-
лярная функция положения Л(г ) является однозначной и непрерывной в любой точке пространства, за исключением источника возмущения, и монотонно стремится к нулю при удалении от источника. Отметим, что условие Зоммер-фельда [3], определяющее поведение на бесконечности функции, описывающей возмущение, сформулировано для случая сферической волны и непосредственно в данном случае применено быть не может. В силу вышесказанного необходимо
определить положение источника в среде. Для упрощения описания дальнейше-
—>
го анализа ограничим, как и выше, область определения функции А (г ) сектором 0<х< со, 0<>’<co,0<z<x, предполагая, что источник возбуждения расположен вне этой области пространства. В дальнейшем полученные результаты необходимо будет обобщить на случай, когда область определения функ-—>
ции А (г ) есть все пространство, за исключением источника возмущений.
—»
Отметим еще одно отличие рассматриваемой функции от (р( г ), она мо-
—>
жет принимать только положительные значения, т.к. по определению А ( г ) есть амплитуда колебаний возмущения в точке г .
—►
Указанными выше особенностями поведения функции А(г) при удалении от источника на бесконечность обусловлена невозможность ее разложения в сходящийся кратный степенной ряд Тейлора по переменным х", у” и z", т.к.
30
область сходимости в этом случае меньше, чем область изменения аргументов. Введем новые переменные соотношениями:
£=ехр(-а , д-"), Ç=c\р(-а 2/')> ç= exp (-a 3z"), (1.18)
где а ,, а 2 , сс 3 - некоторые постоянные коэффициенты.
—^
Предположим, что вещественная скалярная функция А (г ) является аналитической функцией переменных £ и ç в окрестности точки 0ос координатами {£0 , Ç0 , ç 0}.Разложим ее в кратный степенной ряд Тейлора [5]:
00 ОО 00
Л(0=1 I О-19)
/и = О /1*0 / = о
где /> тп1 коэффициенты, величина которых может зависеть от параметров 0,
С о и £ о •
В общем случае, не зная распределения поверхностей постоянных амплитуд в среде, не представляется возможным определить при каких значениях коэффициентов Ъ тп1 эти поверхности, определяемые уравнением (1.13), являются плоскостями. Однако, задача определения условий, при которых поверхности постоянных амплитуд являются плоскими, существенно упрощается, если ограничить класс рассматриваемых волн, приняв предположение, что все поверхности постоянных амплитуд параллельны друг другу. Положение этих плоскостей в пространстве, относительно введенной прямоугольной декарто-
вой системы координат дг, у, z, задается вектором Е. Выражение х” -const, а в силу соотношений (1.18) оно равносильно ç = const, определяет плоскость, на которой мгновенное значение амплитуды должно быть постоянным. Следовательно, все слагаемые в выражении (1.19), содержащие Ç и ç, должны быть равны нулю, т.е. b тп1 =0 для всех значений индексов п* 0, /^0. Формулу (1.19) можем переписать в виде
а0)= ±bm{Ç-Ç0)\ (1.20)
т-0
где коэффициенты b т =b ш00, причем, как уже отмечалось выше, их величина может зависеть от параметров £ 0, Ç о и ç 0 •
Проанализируем выражение (1.20), используя предположение, что изме-
31
пение амплитуды гармонической волны с частотой со для любых произвольно
—> —>
взятых двух точек Q , ( г ,) И Q 0 ( г ) С координатами, соответственно,
{£ !, ^ , С |} и {£ 2 > (Г2 > £ 2 } не зависит от выбора точки О о, в окрестности
—>
которой выполнено разложение функции А (г ), или, что в данном конкретном случае равносильно, от выбора начала системы координат. Это модельное приближение, как и аналогичное относительно разности фаз, сделанное выше, на первый взгляд кажется вполне очевидным, однако в рамках настоящей работы не представляется возможным дать строгое его обоснование. В силу сказанного необходимо рассматривать такое допущение, как третье - основное исходное
положение, принятое в настоящей работе. Аналогично, как и при исследовании
—> —>
функции (р{г ), заменим приближенно представление А(г ) в виде ряда (1.20)
на выражение в виде конечной суммы:
Л(0= * £ ьтц-$и)т = л NCr). (1.21)
»1 = 0 /и = 0
Величина N определяет количество учитываемых первых членов в разложении выражения для амплитуды волны в ряд, поэтому будем называть ее порядком приближения по амплитуде.
1.3.1. Нулевое приближение
В этом случае функция А (г ) остается постоянной но величине при удалении от источника возмущения, т. е. имеет качественно иной характер изменения, чем оговаривалось выше. Однако, если ограничиться рассмотрением волновых процессов без учета эффектов диссипации, то исходное требование к поведению амплитуды на бесконечности можно заменить условием регулярности, которое в нулевом приближении удовлетворяется.
Нетрудно убедиться, что независимо от выбора начала системы координат
справедливо соотношение А Ап = А(г А (г 2) = 0. Можем записать
—у
А о ( г ) = А о = const. (1.22)
Тождественно аналогичное выражение получается и в случае, ког да об-
32
—У
ласть определения функции А ( г ) есть вес пространство, за исключением источника.
Физический смысл, полученного результата - амплитуды возмущения во всех точках среды в любой фиксированный момент времени одинаковы.
1.3.2. Линейное приближение
В рамках этого приближения можем записать:
А А |2 = b 1 • (£ | - С 2 ) = b , • Д£ J2* (1-23)
Не трудно убедиться, что величина А А ,2 не зависи т от значений параметров
4 оу Со и Со> если выполняется следующее условие: дЬ у!де-О, £~%0>С о>£о-
Уравнение для функции, описывающей амплитуду волны, можем записать
A^) = A](h = b0+b](t-Z0), (1.24)
где величина коэффициента b 0 , как уже отмечалось выше, может зависеть от
параметров С о> С о и о> а ^ Г постоянный коэффициент.
—У
Функция А(г ) должна монотонно стремиться к нулю при удалении от источника возмущения, т.е. удовлетворять условию регулярности на бесконечности. Следовательно, b () - b , С о s 0 . Тогда уравнение (1.24) можно переписать следующим образом:
Щг)=Л,(г)- Ъ, € . (1-25)
здесь b , - амплитуда волны в начале координат. Для однотипности используемых обозначений, будем обозначать амплитуду волны в начале координат тем же символом, что и в нулевом приближении, т.е. Ь , = А 0.
Выражение (1.25) можно записать, используя исходные переменные х, у и z, в виде
А , ( г ) = А 0 ехр(- к" г ) = А 0 ехр( - к" х х - к" у у - к" 2 z). (1.26)
-> ->
Здесь использованы обозначения: к" = а , • Е = {к" х , у , к" 2},
к" а \ 'Е а у -cos 0 ,, к" у = а 2%Е у = a 2 - cos 02, к": = а 3-Е z = ar3*cos©3.
33
А" Т,А" у, А" 7- определяю! в любой фиксированный момент времени изменение
амплитуды мри смещении на единицу длины вдоль соответствующей оси коор-
—>
дината, причем А" х >0, А" у >0, А" . >0. Вектор А" называют вектором коэффициента затухания. Он ортогонален к плоскости постоянной амплитуды, т.е. —> —> —>
А"||Я. Скалярную величину А" = |А"| будем называть коэффициентом затухания. Отметим, что к" не следует путать с коэффициентом потерь, характеризующим только эффекты преобразования энергии волны в друг ие виды энергии.
Обобщение выражения (1.26), допускающее описание амплитуды волны, удаляющейся от источника, не только в области 0 < х < се, 0 < у < со, 0 < 2 < <х> , по и в других секторах пространства, не содержащих источника возмущений, записывается в виде
А](г)= А о ехр( - к" Х\х\ - к" у\у\ - к" 2\г\)> (1.27)
где, как и выше к " х > 0, А" у > 0, А" 2 > 0.
Физический смысл, установленных в линейном приближении зависимо-
—>
стей, состоит в том, чл о амплитуда А (г ) гармонической волны с частотой со
при удалении от источника уменьшается по экспоненциальному закону в зави-
—>
симости от величины проекции радиус - вектора г на перпендикуляр к плос-
кости постоянной амплитуды Я, причем коэффициент, характеризующий этот процесс, А” постоянен для всей среды.
В дальнейшем для упрощения описания будем рассматривать волны в области 0 < х < со, 0<^<оо, 0< г <<х>, предполагая, что источник возбуждения
расположен вне этого сектора пространства, и использовать в линейном приближении формулу (1.26).
1.3.3. Квадратичное приближение
В этом случае разность амплитуд возбуждения между точками £) 1 и () 2 записывается в виде
А Ап=Ь1 (^-£2) + >’21(^-4о)2 -(%2-4о)2]- (1-28)
Величина Д А ,2 зависит от параметров £ 0, £ 0 и д 0 для любых значений
34
и <% 2 > если выполняются следующие условия: b 2 = 0 и dbxtde- 0. Здесь £ = £'0,с 0,Со- Это означает, что квадратичный член в разложении (1.21) тождественно равен нулю. Не трудно убедиться, что и в случае приближения более высокого порядка (N >2) мы придем к аналогичному результату -величина А А ]2 не зависит от выбора начала системы координат если дЬ | / де = 0 и Ъ т =0 для всех значений т от 2 до N.
—►
Следовательно, в разложении А (г ) достаточно ограничиться только линейными слагаемыми (значения индекса /V = 0,1).
1.4. Классификация волн
Основываясь на приведениом выше анализе скалярных функций положе-
ния (р( г ) и Л(г), можно произвести условное разделение гармонических возбуждений на группы, характеризующиеся общими закономерностями изменения как фазы, так и амплитуды.
1.4.1. Однородные колебания
—> —у
Нели в разложении (р{ г) (1.9) и А(г ) (1.21) ограничиться нулевым приближением, мы получим, что фаза и амплитуда гармонического возбуждения в любой фиксированный момент времени / не зависят от координат. В этом случае формулу (1.1) можно записать в виде
V(r ,t)= А 0 cos {(Ot + <p0), (1.29)
где А о И (р о - постоянные величины.
В соответствии с определением гармоническое возбуждение вида (1.29) является не волной, а однородным колебанием. Приближение однородных колебаний широко применяется в физике, например при исследовании явления магнитного резонанса в ферромагнитных образцах [6].
1.4.2. Плоские синусоидальные волны
Рассмотрим случай гармонической плоской волны, для которой примени-
35
—> —»
мо линейное приближение функции (р{г ) и нулевое - для А(г ). Используя
->
для Ф( /• ) выражение (1.12), а для А(г )- (1.22), можем переписать формулу (1.1) следующим образом
V( г , î ) - A Q cos ( со / - к ' г + (р 0 ). (1.30)
Возбуждение, описываемое выражением вида (1.30), принято называть плоской синусоидальной волной [7]. У плоской синусоидальной волны поверхность постоянной фазы плоская, а амплитуда одинакова и постоянна во всех точках среды. Для иллюстрации на рис. 1.1а представлена зависимость
—> —> * возмущения V(г,/) от длины радиус вектора |/* | вдоль направления s
—> —>
(I s I = 1, s • е * 0 ) в фиксированный момент времени t.
Напомним, что модель плоских синусоидальных волн можно использовать только в приближении отсутствия потерь.
1.4.3. Экспоненциальные волны
Под термином "экспоненциальная волна" будем понимать случай гармонической волны, у которой амплитуда стремится к нулю при удалении от источника на бесконечность, поверхность постоянной амплитуды плоская, а фаза в любой точке среды одинакова и зависит только от частоты и времени [8]. Следовательно, в силу определения, этот частный тип гармонических возбуждений не относится к классу плоских волн. Экспоненциальные волны описываются выражением
V( г , t ) = А 0 ехр {- к " г } cos ( со і + (р о ). (1.31)
Эта формула следует из ( 1.1 ) в случае, если для фазы гармонической волны применимо нулевое приближение (1.10) в разложении (1.9), а для амплитуды -линейное приближение (1.26) в разложении (1.21). Качественный вид за-
—> —>
висимости возмущения V( г ,/) от длины радиус вектора |г | вдоль направле-
—^ —> —> —>
ния s (I s |= 1, s • Е * 0) для экспоненциальной волны в фиксированный момент времени t проиллюстрирован на рис. 1.1 б.
36
1.4.4. Обобщенные плоские полны
Под термином обобщенная плоская волна [9] будем понимать волну, у которой поверхности постоянных фаз и постоянных амплитуд плоские и могут не совпадать друг с другом, а амплитуда при удалении от источника возмущений на бесконечность стремится к нулю. Этот случай соответствует волнам, для которых применимо линейное приближение по фазе (1.12) и линейное приближение по амплитуде (1.26). В литературе [7] такой тип волн называют еще "затухающими плоскими волнами". Для математического описания обобщенной плоской волны будем использовать выражение вида
—> —у —> —> —>
У (г ,/) = А 0 ехр { - к" г } cos (cot - к' г + ср 0), (1-32)
где А 0 и (р 0 - амплитуда и начальная фаза колебания в точке, выбранной в
качестве начала координат. Качественный вид зависимости возмущения
—> —>
У(г ,/) для обобщенной плоской волны от длины радиус вектора |г | вдоль
—> —> —> —> —> —>
направления s (| .91 = 1, я • е Ф 0, .у • Е Ф 0 ) в фиксированный момент времени
/ представлен на рис. 1.1 в.
Из проведенных выше математических выкладок можно сделать вывод,
—>
что в случае обобщенных плоских волн, векторы коэффициента фазы к' и ко-
—^
эффициента затухания к "явным образом не связаны. Напомним, что в рамках рассматриваемого подхода ориентация этих векторов считается заданной.
Обобщенные плоские волны, в свою очередь, в литературе [3, 4, 9, 10] разделяют на неоднородные и однородные плоские волны. Под неоднородной плоской волной понимается волна, у которой поверхности постоянных фаз и постоянных амплитуд плоские и не совпадают друг с другом. Под однородной плоской волной понимается волна, у которой поверхности постоянных фаз и постоянных амплитуд плоские и совпадают друг с другом.
Именно обобщенные плоские волны будут предметом нашего дальнейшего рассмотрения.
Формально приближения однородных колебаний, синусоидальных плоских волн и экспоненциальных волн можно считать частным случаем обобщенных плоских волн, если принять либо к'= 0 и к" = 0, либо А" = 0, либо