Квантовополевые методы в космологии

СОДЕРЖАНИЕ
I ГАМИЛЬТОНОВА БФВ - БРСТ ТЕОРИЯ ЗАМКНУТЫХ КОСМОЛОГИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ 14
1 ВВЕДЕНИЕ............................................. 14
‘2 АЛГЕБРА СВЯЗЕЙ ДЛЯ ЗАМКНУТОЙ ВСЕЛЕННОЙ В ДИСКРЕТНОМ
БАЗИСЕ............................................... 17
3 ВЫБОР ВИКОВСКОГО БАЗИСА И АЛГЕБРА СВЯЗЕЙ ДЛЯ КОСМОЛОГИИ БИАНКИ - I........................................... 20
4 КВАНТОВЫЕ ПОПРАВКИ К АЛГЕБРЕ ВИРАСОРО - ПОДОБНЫХ ГЕНЕРАТОРОВ .................... *........................... 24
5 БРСТ ОПЕРАТОР И КРИТИЧЕСКИЕ СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ ПАРАМЕТРАМИ ТЕОРИИ........................................... 33
6 УЛЬТРАФИОЛЕТОВЫЕ РАСХОДИМОСТИ И РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ ОСНОВ-
НЫХ КОММУТАТОРОВ В ТЕОРИЯХ С РЕПАРАМЕТРИЗАЦИ0НН0Й ИНВАРИАНТНОСТЬЮ ....................................... 38
II ВОЛНОВАЯ ФУНКЦИЯ ВСЕЛЕННОЙ В ОДНОПЕТЛЕВОМ ПРИБЛИЖЕНИИ 45
1 НОРМИРУЕМОСТЬ ВОЛНОВОЙ ФУНКЦИИ ВСЕЛЕННОЙ............. 45
2 КРИТЕРИЙ НОРМИРУЕМОСТИ И ОТБОР МОДЕЛЕЙ ФИЗИКИ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ЧАСТИЦ ........................................... 49
3 ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ МАСШТАБ ИНФЛЯЦИИ В МОДЕЛИ С СИЛЬНОЙ
НЕМИНИМАЛЬНОЙ СВЯЗЬЮ................................. 54
4 НЕОДНОРОДНЫЕ МОДЫ: ВОЛНОВАЯ ФУНКЦИЯ БЕЗ ГРАНИЦ И ТУННЕЛИРУЮЩАЯ ФУНКЦИЯ....................................... 57
5 ВЕРОЯТНОСТНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ДЛЯ ИНФЛЯЦИИ: ДАЛЬНЕЙШИЕ
ПОПРАВКИ............................................. 60
6 ЭФФЕКТИВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ И НАЧАЛЬНЫЕ УСЛОВИЯ
ДЛЯ ИНФЛЯЦИИ ........................................ 71
7 ОДПОПЕТЛЕВЫЕ РАСХОДИМОСТИ В МОДЕЛИ С ПРОИЗВОЛЬНЫМ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕМ МЕЖДУ СКАЛЯРНЫМ ПОЛЕМ И ГРАВИТАЦИЕЙ . . 75
1
8 РЕН0РМАЛИЗАЦИ0ННАЯ ГРУППА ДЛЯ НЕПЕРЕНОРМИРУЕМЫХ ТЕОРИЙ: ЭЙНШТЕЙНОВСКАЯ ГРАВИТАЦИЯ СО СКАЛЯРНЫМ ПОЛЕМ . 78
III ОДНОПЕТЛЕВОЕ ЭФФЕКТИВНОЕ ДЕЙСТВИЕ НА МНОГООБРАЗИЯХ
С ГРАНИЦАМИ 90
1 ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ ОБОБЩЕННОЙ ВЕРСИИ С - РЕГУЛЯРИЗАЦИИ 90
2 ВКЛАДЫ ГРАВИТАЦИИ И ПОЛЕЙ МАТЕРИИ В ОДНОПЕТЛЕВУЮ ВОЛНОВУЮ ФУНКЦИЮ ВСЕЛЕННОЙ................................ 103
3 ПРОБЛЕМА СООТВЕТСТВИЯ МЕЖДУ КОВАРИАНТНЫМ И НЕКОВА-РИАНТНЫМ ФОРМАЛИЗМАМИ: ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ИОЛЕ 110
4 ПРОБЛЕМА СООТВЕТСТВИЯ МЕЖДУ КОВАРИАНТНЫМ И НЕКОВА-
РИАНТНЫМ ФОРМАЛИЗМАМИ: ГРАВИТАЦИОННОЕ ПОЛЕ..........119
5 ТЕХНИКА С - ФУНКЦИИ: ДАЛЬНЕЙШИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ .........126
IV КЛАССИЧЕСКАЯ И КВАНТОВАЯ ДИНАМИКА КОСМОЛОГИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ СО СКАЛЯРНЫМ ПОЛЕМ 129
1 КОМПЛЕКСНОЕ ИНФЛАТОННОЕ ПОЛЕ В КВАНТОВОЙ КОСМОЛОГИИ . 129
2 ОБОБЩЕННЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ И РАЗДЕЛИТЕЛЬНЫЕ КРИВЫЕ ................................................... 140
3 ДИНАМИКА ПРОСТЕЙШЕЙ КОСМОЛОГИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ СО СКАЛЯРНЫМ ПОЛЕМ: ФРАКТАЛЬНОСТЬ МНОЖЕСТВА БЕСКОНЕЧНО ОТСКАКИВАЮЩИХ ТРАЕКТОРИЙ................................. 143
4 ДИНАМИКА КОСМОЛОГИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ СО СКАЛЯРНЫМ ПОЛЕМ
И КОСМОЛОГИЧЕСКОЙ ПОСТОЯННОЙ....................... 157
5 ХАОС И ТОПОЛОГИЧЕСКАЯ ЭНТРОПИЯ В ИЗОТРОПНЫХ КОСМОЛОГИЧЕСКИХ МОДЕЛЯХ....................................... 159
V КЛАССИКАЛИЗАЦИЯ КВАНТОВОЙ ВСЕЛЕННОЙ: ДЕКОГЕРЕНТНОСТЬ И ПРОБЛЕМА ПРЕДПОЧТИТЕЛЬНОГО БАЗИСА 168
1 ДЕКОГЕРЕНТНОСТЬ И МНОГОМИРОВАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ .......................................... 168
2 ДЕКОГЕРЕНТНОСТЬ И УЛЬТРАФИОЛЕТОВЫЕ РАСХОДИМОСТИ В КВАНТОВОЙ КОСМОЛОГИИ ...................................... 172
2
3 КОНФОРМНАЯ ПАРАМЕТРИЗАЦИЯ БОЗОННЫХ ПОЛЕЙ............176
4 ДЕКОГЕРЕНТНОСТЬ И ФЕРМИОНЫ......................... 179
5 ПРЕДПОЧТИТЕЛЬНЫЙ БАЗИС В МНОГОМИРОВОЙ ИНТЕРПРЕТАЦИИ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ...................................... 194
6 ПРЕДПОЧТИТЕЛЬНЫЙ БАЗИС: КЛАССИЧНОСТЬ И СИММЕТРИИ СИСТЕМЫ ..................................................202
VI ЗАКЛЮЧЕНИЕ 208
3
ВВЕДЕНИЕ
Настоящая диссертация содержит результаты исследований автора, целью которых являлось развитие и применение методов квантовой теории поля ко Вселенной как целому. Такой подход традиционно называется квантовой космологией, подразумевая, что Вселенная в его рамках рассматривается как единая квантовая система, подчиняющаяся тем же общим принципам квантовой механики и квантовой теории поля, что и более привычные объекты. Хотя иногда и высказываются сомнения в том, что такое расширение сферы применимости квантовой теории является вполне законным, мы будем принимать его как постулат.
По нашему мнению, квантовая космология занимает уникальное место в современной теоретической физике, что связано с тремя группами причин. Во-первых, построение квантовой космологии тесно связано с попытками создания последовательной теории квантовой гравитации, которая, в свою очередь, необходима для разработки единой теории элементарных частиц и фундаментальных взаимодействий и требует синтеза двух основных направлений теоретической физики нашего столетия-общей теории относительности [1, 2, 3] и квантовой теории [4, 5, 6'.
Во-вторых, квантовая космология тесно связана с так называемой инфляционной космологией [7], которая приобрела в последние годы статус наблюдательной науки, благодаря открытию анизотропии микроволнового фонового космического излучения [8], предсказанной в начале 80-х годов [9j.
Наконец, математическая структура теории гравитации в значительной степени аналогична структуре таких бурно развивающихся областей теоретической физики как теории струн и мембран [10, И, 12], и, поэтому, изучение взаимоотношений между ними представляет значительный интерес.
Прежде чем перейти к перечислению проблем, рассмотренных в данной диссертации, и предварительному изложению результатов, необходимо дать краткое введение в историю современной классической и квантовой космологии.
Эта история началась с работ A.A. Фридмана, который показал, что зависящая от времени метрика, описывающая расширяющуюся или сжимающуюся изотропную и однородную Вселенную, удовлетворяет уравнениям Эйнштейна [13, 14]. Эта метрика
4
может быть представлена в виде:
ds2 = dt2 - a2(t) + f3(^2 + sm2 0d<f>2)j , (0.1)
где t - время в так называемой синхронной системе отсчета, г, 0 и ф - пространственные координаты, a(t) - космологический радиус, описывающий эволюцию пространственных сечений четырехмерного пространства-времени. Число к может принимать три значения: 1,0, -1, причем значение 1 соответствует закрытой модели, чьими пространственными сечениями являются трехмерные сферы, 0 соответствует плоской модели, (пространственные сечения - трехмерные евклидовы пространства) и -1 описывает открытую модель, чьими пространственными сечениями являются трехмерные гиперболоиды.
Иногда более удобным является использование конформного времени гзадаваемого соотношением
a(rj)drj = dt. (0.2)
При переходе к конформному времени метрика (0.1) приобретает вид
ds2 = a2(rj) ^drj2 - + r2(^3 + s*n2 9d<f>2)j . (0.3)
Для простейшей модели Вселенной, заполненной пылью, то есть материей с уравнением состояния
р = 0, (0.4)
где р - давление, фридмановский закон эволюции имеет следующий вид: для закрытой Вселенной
a(rj) = <*о(1 - cos»?), (0.5)
для плоской Вселенной
a(rj) = a0rj2, (0.6)
или
a(t) = а012/\ (0.7)
о
и для открытой Вселенной
а(г]) = а0(созіі77 — 1).
(0.8)
Аналогично, для Вселенной, наполненной излучением с уравнением состояния
(0.9)
где е - плотность энергии, закон эволюции будет иметь такую форму: для закрытой Вселенной
В конце 20-х годов Хаббл наблюдал эффект разбегания галактик, после чего представление о расширяющейся по фридмановскому закону Вселенной стало общепринятым. Так была завершена первая, по определению Я.Б.Зельдовича [15], космологическая революция. Тогда же была введена так называемая константа Хаббла, описывающая скорость расширения Вселенной
Определение значения этой величины в настоящее время является одной из важнейших задач наблюдательной астрономии, тогда как величина постоянной Хаббла в начале эволюции Вселенной должна быть определена в результате теоретического анализа квантово-космологических моделей.
Вторая космологическая революция была связана с развитием теории Большого Взрыва или теорией горячей Вселенной, которая была выдвинута в работах Г. Гамова в конце
а (ту) = а0 вігі 77,
(0.10)
для плоской Вселенной
«(»?) = “о!
(0.11)
или
а(і) = а0і1/2,
(0.12)
и для открытой Вселенной
а(і) — «сліпії 77.
(0.13)
а
(0.14)
6
сороковых годов [16]. Открытие реликтового излучения Пензиасом и Вильсоном в середине 60'Х годов стало блестящим подтверждением этой теории.
Тем не менее, теория горячей Вселенной обладала рядом недостатков, исправить которые была призвана третья космологическая революция - создание инфляционной космологии, предложенной в работах A.A. Старобинского [17], А.Л. Линде [18]. А. Гуса [19] и ряда других авторов. Суть инфляционной космологии заключается в предположении, что в начале космологической эволюции Вселенная расширялась по (квази) -экспоненциальному закону,
где постоянная Хаббла Я связана с эффективной космологической постоянной
Эта постоянная, в свою очередь, генерируется скалярным полем - инфлатоном ф, имеющим ненулевое классическое среднее значение. В начале космологической эволюции это скалярное поле меняется очень медленно и космологический член определяется потенциалом скалярного поля
затем скалярное поле начинает осциллировать, значение космологической постоянной уменьшается и происходит “изящный” выход из инфляции, Вселенная начинает эволюционировать по степенному закону.
Разрешая ряд известных проблем стандартной модели горячей Вселенной, инфляционная модель не может предсказать начальных условий инфляции, то есть ответить на вопрос какими были начальное значение космологического радиуса и постоянной Хаббла. Ответ на этот вопрос является одной из основных задач квантовой космологии. Однако, прежде чем мы сформулируем основные задачи и результаты, представленные в настоящей диссертации, имеет смысл ввести основные элементы аппарата квантовой космологии.
Мы будем рассматривать гравитационное действие в N + 1 - мерном пространстве - времени:
a(t) ~ ехр(Я£),
(0.15)
ЗЯ2 = Aej/.
(0.16)
(0.17)
(0.18)
7
где N+lg и N+lR -пространственновремеинап метрика и скалярная кривизна, а 1Р - план-ковская длина, введенная в (0.18) таким образом, чтобы действие было безразмерным. Затем, переходя к гамильтонову формализму, [20, 21] мы получаем
Ял. = lp-1Gij,k,n'iTrkl - J^gR + Ял. т«,!ег, (0.19)
Hi = -2gij*}k,k -{9ik,m + (Jim,к - 9km,i)*mk + Hi matter, (0.20)
где (jij - метрика на пространственноподобных сечениях пространства- времени, rr,J -импульс, сопряженный метрике и представляющий внешнюю кривизну пространствен-иоподобной гиперповерхности. Суперметрика ДеВитта йц,ы имеет следующий вид:
Оцм - 2 (sikOji + 9u9jk ~ pjr_ 19ij9ki) , (0.21)
тогда как обратная к ней
QHM = 1 , + gilgjk _ 2gijgHj (0 22)
Hi. matter И Hi maUcr ' ВКЛЭДЫ ПОЛвЙ МатерИИ В СуПерГаМИЛЬТОНИЭН И СуПврИМНуЛЬС, СО-ответственно. Супергамильтониан и суперимпульсы представляют собой связи первого рода [22]. Их явный вид зависит от конкретных полей материи и взаимодействий, хотя соотношения инволюции между связями являеотся универсальными, поскольку имеют чисто геометрическое происхождение [23]. Эти соотношения инволюции имеют следующий вид:
{Н±(х),н±(х’)} = g(x)^(x)H,(T)^S(x,x')
-д(х')д'’(х')Ъ(х')^6(х,х'), ' (0.23)
{Я,(*),Ях(*')} = ffi(*)^(*,*0
-И±[х')£гЛ*,Л (0-24)
{Щх),НМ} = Н}[х)£-5(х,х')
-Hi{x')-^5(x,x'). (0.25)
8
Здесь {,} обозначают скобки Пуассона, которые для канонических переменных имеют следующий вид:
При переходе к квантовой теории поля канонические переменные становятся операторами, скобки Пуассона заменяются на их коммутаторы. Для системы связей первого рода правило квантования, восходящее к Дираку [24] требует уничтожения квантового состояния изучаемой системы операторами связей. В применении к квантовой космологии это дает следующую систему уравнений:
где |Ф} - это волновая функция или квантовое состояние Вселенной. Уравнение (0.27) называется уравнением Уилера - ДеВитта и является основным уравнением квантовой космологии, тогда как уравнения (0.28) отражают инвариантность волновой функции Вселенной по отношению к пространственным диффеоморфизмам.
Исследование уравнения Уилера - ДеВитта, сформулированного в середине 60-х годов получило новый импульс в начале 80-х, когда были предложены два новых рецепта построения волновой функции Вселенной: так называемая волновая функция “без границ” Хартла и Хокинга [26, 26] и туннелирующая волновая функция, предложенная в работах Виленкина (27, 28] и других авторов [29, 30, 31]. В основе обоих рецептов лежит аналогия между туннелированием в нерелятивистской квантовой механике и “рождением Вселенной из ничего”. Математическим выражением этой аналогии является использование аналитического продолжения, связывающего пространство-время с естественной лоренцовой сигнатурой с евклидовым многообразием, которое описывает состояние, в некотором смысле предшествующее рождению Вселенной. Построение этого аналитического продолжения, последовательное описание неоднородных степеней свободы, а также выход за рамки древесного приближения теории возмущений являются весьма нетривиальными проблемами квантовой космологии. Эти проблемы тесно связаны с исследованием поведения Вселенной при приближении к космологической сингулярности, которое является традиционной задачей классической космологии.
(0.26)
Я±|Ф) = 0,
А|ф) = о,
(0.27)
(0.28)
9
Однако даже построение волновой функции Вселенной, обладающей требуемыми свойствами, не объясняет тот факт, что мир, рожденный в результате акта квантового туннелирования, обладает сегодня классическими свойствами. Таким образом, проблема классикализации квантовой Вселенной также является важной проблемой квантовой космологии. Основным подходом к решению этой задачи является исследование эффекта декогерентности, который изначально изучался для объяснения феномена редукции волнового пакета в квантовой.механике [32, 33, 34].
Упомянутые выше вопросы обсуждаются уже достаточно долго. Однако есть еше один важный аспект квантовой космологии, который, по нашему мнению, не получил достаточного внимания. Это - вопрос о самосогласованности дираковского квантования систем со связями в применении к космологии. Действительно, обычно, требуют одновременного удовлетворения уравнений (0.27) и (0.28). Такой подход восходит к дира-ковскому квантованию систем со связями [24]. Действительно, на классическом уровне эти связи принадлежат к первому роду и находятся в инволюции относительно скобок Пуассона [22]. Однако, когда мы рассматриваем операторы и их коммутаторы, алгебра может оказаться разомкнутой и дираковское квантование - невозможным. Подобная ситуация хорошо изучена в теории струн [10, 11], где, например в квантовой теории бозонной струны вместо замкнутой алгебры связей первого рода имеется центрально расширенная алгебра Вирасоро. Соответственно, только половина связей уничтожает физические состояния и квантовая теория является самосогласованной только в том случае когда размерность объемлющего пространства равна
О = 26. (0.29)
Представляется очень важным исследование проблемы самосогласованности квантования системы со связями первого рода в квантовой космологии.
В свете всего выше сказанного становится понятным, почему исследования, представленные в настоящей диссертации сконцентрированны вокруг попыток ответить на следующие вопросы:
1. Как обеспечить самосогласованное квантование алгебры гравитационных связей и к каким последствиям приводит требование такой самосогласованности?
2. Как построить волновую фуункцию Вселенной в однопетлевом приближении с включением неоднородных степеней свободы? Как предсказать начальные условия для ин-
фляционной Вселенной?
3. При каких условиях можно избежать космологической сингулярности?
4. Каким образом квантовое рождение Вселенной приводит к появлению классического мира, который мы наблюдаем в настоящее время?
Диссертация состоит из настоящего Введения, пяти глав и Заключения. В первой главе рассматривается гамильтонова БФВ-БРСТ теория замкнутых космологических моделей [202]. Первый параграф посвящен формулировке задачи. Во втором параграфе выписаны скобки Пуассона для системы гравитационных связей в дискретном базисе. В третьем параграфе выписаны структурные константы алгебры гравитационных связей для обобщенной модели Бианки - I. В четвертом параграфе вычислены вклады гравитонов и полей материи в первую квантовую поправку к коммутаторам между связями. В пятом параграфе построен БРСТ оператор для рассматриваемой космологической модели, проверено условие его нильпотентности и проанализированы полученные критические соотношения, связывающие размерность пространства и спектр набора материальных полей, населяющих это пространство. В шестом параграфе рассмотрена ультрафиолетовая регуляризация основных коммутаторов струнных теории с точки зрения ее возможного применения к исследованию ультрафиолетовых расходимостей в квантовой гравитации [203].
Вторая глава диссертации посвящена исследованию волновой функции Вселенной в однопетлевом приближении [204, 205, 206, 207, 208, 209, 210, 211, 212]. В первом параграфе анализируется проблема нормируемости волновой функции Вселенной в однопетлевом приближении и выведен критерий, определяющий эту нормируемость [204]. Во втором параграфе этот критерий применяется к исследованию различных моделей физики элементарных частиц [205, 206, 211]. В третьем параграфе исследована модель с сильной неминимальной связью и, в рамках этой модели, получен энергетический масштаб инфляции [207, 208]. В четвертом параграфе проанализирована проблема описания неоднородных степеней свободы с помощью волновой функции Вселенной в прескрипции Хартла - Хокинга и туннелирующей волновой функции и показано, что строгий анализ ситуации подтверждает выводы предыдущих работ [209]. В пятом параграфе исследована проблема аналитического продолжения лоренцева мног ообразия в евклидово в случае когда невозможно избежать комплексификации полевых переменных (208, 210].
11
В шестом параграфе выписаны эффективные уравнения движения для инфлатонного скалярного поля в однопетлевом приближении. Последние два параграфа второй главы посвяшены применению реномгрупповых методов к исследованию структуры эффективного лагранжиана скалярного поля, взаимодействующего с гравитацией [213, 214). В седьмом параграфе получено выражение для однопетлевых расходимостей в теории с произвольным взаимодействием между скалярным полем и гравитацией, а в восьмом параграфе выписаны и проанализированы соответствующие уравнения ренормализаци-онной группы.
В третьей главе представлена техника однопетлевых вычислений в квантовой теории поля на многообразиях с границами, основанная на модифицированной версии ( - регуляризации и продемонстрированы ее приложения к квантовокосмологическим задачам [215, 216, 217, 218, 219, 220, 221, 222, 223, 224, 225, 226, 227, 228, 229, 230, 231, 232, 233). Первый параграф третьей главы посвящен формулировке нашей версии С - регуляризации и выводу формул для однопетлевого эффективного действия в случае, когда явный вид спектра соответствующего оператора неизвестен [215, 216, 217]. Во втором параграфе вычислен гравитонный вклад в волновую функцию Вселенной на части де-сигтерового евклидова многообразия с границей [215] и значения аномального скей-линга для различных полей на этом многообразии [216, 217, 218]. В третьем параграфе мы исследуем проблему соответствия между ковариантным и нековариантным формализмами при вычислениях на многообразиях с границами для электромагнитного поля [219, 220, 221, 222, 226]. В четвертом параграфе та же проблема исследуется на примере гравитационного поля [223, 224, 225). В пятом параграфе рассмотрены различные типы граничных условий и различные применения разработанной техники [227, 228, 229, 230, 231, 232, 233).
Четвертая глава диссертации посвящена исследованию классической и квантовой динамики космологических моделей со скалярным полем [234, 235, 236, 237, 238, 239, 240, 241, 242]. Первый параграф четвертой главы посвящен исследованию космологической модели с комплексным неминимально связанным скалярным полем [234, 235, 236, 237, 239, 241]. Показано, что в рамках этой модели существует возможность предсказания начальных условий инфляции уже в древесном приближении для обеих прескрипций для волновой функции Вселенной. Во втором параграфе выписаны уравнения движе-
12
ния для обобщенной космологической модели со скалярным полем. В третьем параграфе исследована классическая динамика космологической модели с действительным скалярным полем и дана классификация множества траекторий, избегающих сингулярности [237,238, 239,241]. В четвертом параграфе исследовано влияние космологической постоянной на структуру множества траекторий, рассмотренных в предыдущем параграфе. В пятом параграфе исследован вопрос о хаосе в изотропных космологических моделях и разработан метод вычисления топологической энтропии для широкого класса таких моделей [242].
В пятой главе рассмотрена проблема классикализации квантовой Вселенной [243, 244, 245,246, 247,248]. В первом параграфе дано краткое объяснение того, что такое квантовая декогерентность и что собой представляет много.мировая интерпретация квантовой механики. Во втором параграфе пронализирована проблема ультрафиолетовых расходимостей при вычисления фактора декогерентности в квантовой космологии и показано, что наивное применение размерной регуляризации не позволяет построить непротиворечивую редуцированную матрицу плотности [243]. В третьем параграфе показано, что можно получить непротиворечивый вклад бозонных полей в редуцированную матрицу плотности в квантовой космологии, используя конформную репараметризацию этих полей. В четвертом параграфе показано, что методы, использованные при исследовании бозонных вкладов в редуцированную матрицу плотности, неприменимы при вычислении фермионных вкладов, и, что можно получить матрицу плотности, обладающую разумными свойствами, осуществляя нелокальное боголюбовское преобразование [244]. В пятом параграфе предложено обобщение базиса Шредингера- Цен в многомировой интерпретации квантовой механики [246, 247], а в шестом параграфе этот базис используется для анализа ряда квантовомеханических моделей [247, 248].
В Заключении сформулированы основные результата диссертации.
13
I ГАМИЛЬТОНОВА БФВ - БРСТ ТЕОРИЯ ЗАМКНУТЫХ КОСМОЛОГИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ
1 ВВЕДЕНИЕ
В настоящее время мы наблюдаем бурное развитие в квантовой гравитации и теории струн, которые имеют много общего (10, 11, 12]. С точки зрения теории систем со связями [22] эти теории обладают определенным сходством, проистекающим из репа-раметризационной инвариантности, которая является калибровочной симметрией для обеих. Однако, обычно эти теории рассматриваются весьма различным образом с точки зрения пертурбативиых разложений. Различные модели теории струн рассматриваются сегодня как разложения относительно различных предельных значений константы связи некоторой неизвестной фундаментальной суперструнной теории (“М - теория”) [35]. С другой стороны, для гравитации общепризнанным кандидатом на роль фундаментальной теории является эйнштейновское действие, или, возможно, некоторое его обобщение, но ее пертурбативная трактовка является многолетней нерешенной проблемой общей теории относительности.
Главным содержанием работы [202], представленной в этой главе, является попытка гамильтонова БФВ - БРСТ квантования замкнутых космологических моделей посредством использования сходства между калибровочными теориями струн и гравитации.
Обычно, имеются существенные отличия в подходах к квантованию струн и гравитации. Квантуя струны, работают с дискретным набором мод, описывающим струйные возбуждения и дискретным набором связей, образующих алгебру Вирасоро. При этом квантовые коммутаторы связей приобретают центральное расширение и квантовая самосогласованность теории может быть обеспечена лишь для критических значений размерности и интерсепта. Одним из наиболее эффективных методов наблюдения этого явления являетя БФВ - БРСТ квантование систем со связями [36, 37, 38, 39, 40]. В рамках этого метода можно показать как условие нильпотетности для оператора БРСТ определяет значения критических параметров для струн [41, 42] и мембран [43].
Каноническое квантование гравитации и космологии обычно связано с использованием непрерывного базиса динамических переменных и связей, который может удовлетворительно описывать локальную динамику, но не является глобально хорошо опре-
14
деленным на компактных пространтсвенно- подобных сечениях пространства-времени. Между тем, рассмотрение космологических возмущений на языке глобально определенных гармоник использовалось при исследовании различных проблем в классической [44, 45] и квантовой [46] космологии. Однако, глобально определенный дискретный базис связей для квантовой космологии замкнутых вселенных ранее не рассматривался. Между тем, последовательное квантование требует глобального определения как динамических мод так и связей, поскольку это необходимо для согласованного выбора упорядочения для мод и для связей. Например, в случае виковского упорядочения мод бозонных струн, квантовые поправки для коммутаторов связей приводят к центральному расширению представления алгебры Вирасоро в фоковском пространстве. Затем, алгебра квантовых связей может быть сделана самосогласованной при условии, что выбран подходящий базис связей (Ь и I вместо традиционных для космологов генераторов хода и сдвига Н±, Яц и, более того, лишь часть генераторов должна уничтожать физические состояния). В то же время, прямолинейное следование дираковской схеме с Н± и Яц, действующими на физическом подпространстве степеней свободы приводит к противоречию.
В статье [202], была предложена новая схема канонического квантования замкнутых космологических моделей. Отличительными чертами этой схемы являются разложение как динамических переменных так и связей по гармоникам, которые являются собственными функциями оператора Лапласа для максимально симметричного пространства данной топологии; выделение подалгебры диффеоморфизмов, сохраняющих объем, из общего набора гравитационных связей, в то время как оставшиеся связи образуют Вирасоро-подобные генераторы; квантование этой системы со связями производится на языке БФВ - БРСТ формализма; исследуя условие квантовой нильпотентности для оператора БРСТ, мы применяем некоторое пертурбативное разложение связей и структурных функций по малому параметру //>/К1/АГ, где V - пространственный объем Вселенной, N - размерность пространства. Мы применяем эту схему к стационарной обобщенной модели Бианки - I под которой мы подразумеваем космологическую модель, чьи пространственные сечения имеют топологию N - мерного тора. Мы считаем фоновую метрику этого тора плоской и независимой от времени. Специфика топологии определяется формой структурных функций, которые могут быть выражены через
15
коэффициенты Клебша-Гордана соответствующего представления группы симметрии. В случае модели Бианки - I, эти коэффициенты очень просты ввиду того что группой симметрии является группа Ц( 1)^. Хотя мы и выбрали эту модель для упрощения вычислений, она представляет и определенный физический интерес [47, 4Б, 49]. С другой стороны, N - мерный тор позволяет использовать прямую аналогию с замкнутой бозонной струнной сигма - моделью при проверке нильпотентности БРСТ заряда. Интересно то, что процедура БРСТ - квантования, будучи примененной к эйнштейновской гравитации, связанной с полями материи приводит к появлению связи между числом материальных степеней свободы и размерностью пространства N. Например, когда имеется лишь (I безмассовых скалярных полей, уже первая квантовая поправка приводит к следующему соотношению между </ и
<* = 30 + !(ЛГ + 1)(ЛГ-2), (1.1)
которое является условием нильпотентности квантового БРСТ заряда. Интересно, что при N — 1 (когда тор сводится к окружности и связи образуют алгебру Вирасоро) соотношение 1.1 дает (I = 25. Этот результат легко объясняется с точки зрения струнной сигма-модели, не обладающей вейлевской инвариантностью [50]. Действительно, теория бозонной струны не может рассматриваться в качестве одномерного предела эйнштейновской гравитации, связанной с набором из И скалярных полей, посколько струна обладает дополнительной калибровочной симметрией, а именно - вейлевской инвариантностью, тогда как вышеупомянутая сигма-модель не обладает вейлевской инвариантностью. Как известно [50], критическая размерность сигма-модели равна 25, в отличие от 26 для струн. Это легко понять, вспомнив что вейлевская инвариантность откали-бровывает конформную моду 1+1 метрики, тогда как в неконформиой а - модели эта мода дает вклад в генераторы Вирасоро на тех же основаниях, что и струнные моды. Таким образом, в обоих случаях критическая размерность равна 26, но для о - модели это число состоит из 25 струнных координат и одной гравитационной конформной моды.
16
2 АЛГЕБРА СВЯЗЕЙ ДЛЯ ЗАМКНУТОЙ ВСЕЛЕННОЙ В ДИС КРЕТНОМ БАЗИСЕ
Рассматривая компактные многообразия, можно выразить переменные фазового пространство и связи посредством дискретного набора коэффициентов гармонического разложения. Функциональный базис этого разложения образован собственными функциями оператора Лапласа, определенного на максимально симметричном пространстве заданной топологии. Для случая космологии Бианки - I эти функции являются просто элементами разложения Фурье на торе, тогда как для космологии Бианки - IX -гиперсферическими функциями [44, 45].
В терминах гармонических функций суиергамильтониан может быть записан как
ЯД*) = £#<"><?<»>(*), (1.2)
(«)
где фМ(а?) - это скалярная гармоника соответсвующегооператора Лапласа. Дискретный набор связей #[п) дается формулой
Я["> = І (IV Я±(х)<Э*<")(*), (1.3)
где гармоники нормировании
1х)<?*(п>(*) = <5(п)(га). (1.4)
Структура разложения суперимпульса является несколько более сложной:
Я,(х) = £ Я<">ад<п>(ж) + £ яМ>5р>(,), (1.5)
(«) (А)
где 5-'4)(х) соответсвует поперечным векторным гармоникам, подчиняющимся соотношениям:
У\?}л)(*) = 0. (1.6)
Таким образом, появляются два типа гармоник в разложении для суперимпульса: продольные Яц и поперечные Н[АК Обратные соотношения для Яц и Я(/1) таковы:
(1„
17
Я(д> = ІІУ Ні(х)3'і{А\х)
(1.8)
где А<п> - собственное значение лапласиана, соответствующее собственной функции
С^п\х). Поперечные гармоники определяют соответствующее непрерывное подмножество суперимпульсных связей:
где ковариантная производная определена по отношению к метрике минимально симметричного пространства, которую мы будем называть фоновой метрикой.
Удобно рассматривать свертки связей с произвольными весовыми функциями. В случае Нг(х) эти функционалы связей
Скобка Ли двух бездивергентных векторных полей также является бездивергентной. Коммутационные соотношения (1.13) типичны для генераторов диффеоморфизмов, сохраняющих объем, введенных в статье [51) и интенсивно исследуемых в теориях р -бран [52, 53, 54, 55).
Продольная часть суперимпульсов будет скомбинирована с дискретными компонентами супергамильтониана (1.3) таким образом, чтобы образовать Вирасоро-подобные генераторы. В непрерывном базисе эти генераторы имеют вид
&(*) = £ . (Л)
(1.9)
Связи Ні(х) очевидно являются бездивергеитными
г) = 0,
(1.10)
Легко проверить, что скобки Пуассона между Я,-(я) снова дают Н^х)
(1.11)
(1.12)
где /1(х) могут быть выбраны бездивергеитными, образуют замкнутую алгебру относительно скобок Пуассона
(1.13)
ад) ± д^'я.оо,
(1.14)
18
где ковариантная производная V* и оператор Лапласа Д определены относительно фоновой метрики. Аналогично, диффеоморфизмы, сохраняющие объем в непрерывной параметризации выглядят как
(5j _ ViIv<) Я„ (1.15)
Динамические переменные разлагаются по гармоникам аналогичным образом. Например, для скалярного поля
(п)
где <3(п) - тот же самый набор гармоник, что и в разложении Н±(х) (1/2). Разложение для метрики имеет вид:
9аМ = - 4") Qln>(x)
+ £ с'л>(<)(У.5И(х) + V,S^(z)) + £ (1.17)
(A) (a)
где - фоновая метрика, - набор поперечных бесследовых тензорных гар-
моник. Аналогичные разложения могут быть выписаны и для других канонических переменных.
Разложения для gtJ (1.17) вовлечены не только в супергамильтоииан и суперимпульсы, но и в структурные функции алгебры связей, поэтому мультипольные моды а(п)(г),6(п)(г),с<Л)(г) and dta\t) входят в коэффициенты инволюции. Однако при вычислении квантовых поправок в первом приближении можно опустить вклад мультиполей в структурные функции.
Что же касактся немультипольной (фоновой) части структурных функций, то она оказывается пропорциональна интегралам от трех гармонических функций типа
I dVQW(x)QW{x)Q'W(x), f dVQM(x)Qim\x)S'(A\x),
I dVQW(x)SJ(A\x)S?B\x),
J dVS\A\x)S?\x)S$c\x). (1.18)
19
Интегралы (1.18) могут быть выражены через билинейные коэффициенты Клебша -Горда на соответствующей группы симметрии с помощью теоремы Вигнера - Эккарта (см., например [56]).
При разложении связей по гармоникам динамических мод, коффициенты при билинейных комбинациях мультиполей также могут быть выражены посредством аналогичных интегралов. Существенно то, что только квадратичные комбинации гармоник в связях могут дать вклад в постоянную часть первой квантовой поправки к соотношениям инволюции. Этот вклад является весьма интересным поскольку для случая струн [41, 42] и мембран [43] именно он определяет критические параметры.
3 ВЫБОР ВИКОВСКОГО БАЗИСА И АЛГЕБРА СВЯЗЕЙ ДЛЯ КОСМОЛОГИИ БИАНКИ - I
В отличие от обычной квантовой механики, квантовые теории с бесконечным числом степеней свободы могут быть неэквивалентными при различном выборе операторных символов. Хотя различные символы (или, иными словами, различные упорядочения) формально связаны унитарными преобразованиями, появление ультрафиолетовых расходимостей может разрушить унитарность этих преобразований. Например, виков-ские символы связей Вирасоро в теории бозонной струны дают неисчезающее конечное центральное расширение, тогда как вейлевский символ тех же связей не приводит к появлению поправок к коммутационным соотношениям. Таким образом, выбор упорядочения является не техническим, но фундаментальным шагом, определяющим теорию.
Традиционное понимание учит нас, что моды осцилляторного типа должны быть проквантоваиы по Вику, а моды, имеющие неосцилляторную динамику (обычно, нулевые моды) должны быть упорядочены в соответствии с правилом Вейля.
Для того чтобы можно было проквантовать по Вику часть связей и построить фоков-ское представление для модели мы должны ввести некоторое расщепление множества N - мерных волновых векторов на N - торе. В случае струны подобная проблема разрешается просто, поскольку одномерные векторы - это целые числа п. Положительные числа считаются соответствующими операторам уничтожения ап и операторам рождения а*, а отрицательные числа соответствуют операторам рождения а+ и операторам уничтожения ап. В свою очередь, операторы духов, соответствующие связям Вирасоро
20