Влияние флуктуаций весового вектора на статистические характеристики адаптивных антенных решёток

Содержание.
2
Стр.
Введение......................................................................4
Глава 1. Влияние флуктуаций весового вектора на статистические характеристики адаптивных антенных решёток с градиентными алгоритмами настройки....................................................................14
1.1. Постановка задачи пространственной обработки сигналов в адаптивной антенной решёгке с ограничениями........................................... 14
1.2. Использование методов теории возмущений для статистическою анализа характеристик ААР............................................................16
1.3. Корреляционные характеристики выходного сигнала ААР с учётом флуктуаций весового вектора..................................................23
1.4. Нахождение корреляционной функции флуктуаций весового вектора. Теоретическое и модельное исследование одномоментных статистических характеристик ААР............................................................25
1.5. Теоретическое и модельное исследование спектральных характеристик выходного сигнала ААР........................................................32
1.6. Анализ влияния флуктуаций весового вектора на диаграмму
направленности адаптивной антенной решетки...................................35
1 7 Флуктуации весовых коэффициентов в ААР с непрерывными
градиентными алгоритмами.....................................................41
1.8. Выводы..................................................................47
Глава 2. Анализ статистических характеристик адаптивных антенных решёток
с быстрыми алгоритмами нас тройки на основе обращения выборочной оценки корреляционной матрицы входных сигналов......................................48
2.1. Вывод итеративного алгоритма обращения выборочной оценки корреляционной матрицы для ААР с многократными линейными ограничениями................................................................48
2.2. Статистический анализ характеристик ААР с быстрым итеративным алгоритмом настройки.........................................................55
2.3. Корреляционные характеристики выходного сигнала ААР.....................57
2.4. Теоретическое и модельное исследование одномоментных статистических характеристик ААР............................................................60
2.5. Анализ спектральных характеристик ААР...................................64
2.6. Теоретическое и экспериментальное исследование диаграммы
з
направленности ААР...........................................................66
2.7. Исследование ААР, использующей алгоритм прямого обращения выборочной корреляционной матрицы............................................71
2.8. Выводы..................................................................76
Глава 3 Сравнительный анализ сходимости и флуктуаций в градиентном и быстром алгоритмах настройки адаптивных антенных решёток.....................77
3.1. Сравнительный анализ скорости сходимости весового вектора в градиентном и быстром рекуррентном алгоритмах................................77
3.2. Анализ сходимости выходной мощности ААР. «Кривые обучения»..............79
3.3. Сравнение флуктуаций весового вектора в быстром рекуррентном и
градиентном алгоритмах в стационарном состоянии..............................91
3.4 Выводы...................................................................99
Заключение..................................................................100
Литература..................................................................102
Приложение 1. Основные свойства проекционных матриц.........................108
Приложение 2. Некоторые матричные соотношения для псевдообратных
матриц......................................................................110
Приложение 3. Алгоритмы обращения выборочной ковариационной матрицы при различных способах построения оценок....................................114
Введение.
В современной статистической радиофизике активно развивается научное направление, связанное со статистическим анализом адаптивных антенных решёток (ААР) - адаптивных систем, используемых для пространственной фильтрации сигналов в изменяющейся помеховой обстановке. Отличительная особенность адаптивных антенн по сравнению с обычной (неадаптивной) антенной системой [1,2] состоит в том, что в процессе работы они могут автоматически изменять свои параметры (или даже структуру ^“приспосабливаясь” к априори неизвестным или изменяющимся условиям функционирования [3,4]. Среди самых первых работ, посвящённых статистическому анализу ААР, можно отметить статьи [5,6], ставшие уже классикой данного научного направления. Б них описана наиболее общая схема адаптивной антенной решётки, а именно, ААР с многократными линейными ограничениями, и изложены некоторые методы статистического анализа таких систем. Основополагающие результаты по общей теории адаптивных антенн были изложены в ряде монографий [7-18]. Наиболее полное изложение методов расчёта стационарных режимов работы ААР дано в работах А. А. Писголькорса и О. С. Литвинова [19-25].
Под статистическим анализом ААР в данной работе мы будем понимать нахождение их характеристик с учётом флуктуаций адаптируемых (автоматически настраиваемых) параметров. Флуктуации адаптируемых параметров вызываются как внешними, так и внутренними случайными возмущениями и их величина зависит от алгоритма настройки антенной решётки. Статистический анализ ААР позволяет корректно определять предельную точность настройки адаптивных систем, степень подавления помех, количественно оценивать искажения полезного сигнала, возникающие из-за флуктуаций адаптируемых параметров.
Повышение скорости и точности настройки адаптивных систем являются задачами, имеющими большое практическое значение, поскольку высокая скорость адаптации и достигаемая при этом высокая точность характеризуют успешность применения таких систем. Однако, увеличение скорости настройки приводит к большим флуктуациям весовых коэффициентов и, следовательно, снижает точность настройки в стационарном режиме работы. Поэтому изучение флуктуаций весового вектора даёт разработчикам возможность реализовывать антенные решётки с наилучшим балансом характеристик скорость - точность иасгройки.
Несмотря на очевидную актуальность решения такого типа задач, статистическая теория ААР в настоящее время далека от своего завершения. Это связано с тем, что процесс настройки адаптируемых весовых коэффициентов описывается стохастическими дифференциальными (или разностными для дискретных алгоритмов) уравнениями, которые в качестве коэффициентов содержат некоторые функции от входных сигналов, помех и внутренних шумов системы. Сложность анализа таких систем уравнений с сильно флуктуирующими случайными коэффициентами общеизвестна [26-28]. Общепринятые приближения «белого шума» (некоррелированности входного сигнала) и гауссовости флуктуаций оказываются слишком грубыми и приводят в ряде случаев даже к появлению качественно противоположных эффектов.
Кратко остановимся на основных работах, посвящённых исследуемому в диссертации вопросу. В начале 70-х годов появились первые работы, в которых проводился анализ ААР с градиентными алгоритмами. Одной из первых работ, посвящённых статистическому анализу аналоговых адаптивных систем с учётом флуктуаций весового вектора является статья [29]. В ней методами теории возмущений было впервые проведено статистическое исследование ААР, максимизирующей отношение сигнал/шум (ААР МОСШ). Однако, в работе было использовано предположение о статистической независимости флуктуаций весовых коэффициентов и входных сигналов и несмотря на корректное применение борцовского приближения к расчёту самих флуктуаций весовых коэффициентов, это привело к пренебрежению членами одного порядка малости с оставленными, и авторы сделали неверный вывод об увеличении мощности помех на выходе ААР из-за флуктуаций весового вектора.
Аналогичного типа ошибки неоднократно повторялись и в последующих работах. Так в статье [30] анализ многоканальной адаптивной системы с корреляционными обратными связями проводился автором для непрерывного алгоритма настройки в предположении статистической независимости флуктуаций весового вектора с вектором входных сигналов. Было получено, что учёт флуктуаций весовых коэффициентов в этом приближении приводит к появлению дополнительной ошибки и увеличению остаточной мощности на выходе системы.
В ряде работ предлагали другие методы статистического анализа адаптивных систем с непрерывными алгоритмами настройки. Например, интересная и поучительная попытка была сделана в работе [31]. Для нахождения статистических харак-
теристик выходного сигнала автор использовал хорошо развитую технику гауссовской аппроксимации по марковской совокупности переменных: вектор весовых коэффициентов - входные сигналы (с учётом их статистической зависимости). Однако, результаты этой работы показали, что этот метод не только не позволил найти нужные статистические характеристики, но даже не дал возможности оценить дисперсии флуктуаций весовых коэффициентов (в данном приближении в стационарном режиме работы они оказались стремящимися к нулю). Это наглядно продемонстрировало, что если при статистическом анализе данного класса адаптивных систем использовать предположение о совместном гауссовском вероятностном распределении, то корректно учесть флуктуации весового вектора невозможно. Такое предположение является слишком сильным упрощением для анализа данной задачи.
В статье [32] для ААР МОСШ с непрерывным градиентным алгоритмом первого порядка был получен точный качественный результат, который показал, что в этой системе флуктуации коэффициентов могут привести только к уменьшению остаточной мощности помех на выходе ААР. Однако, автору не удалось получить количественных оценок эффекта “перекомпенсации” (Эффект уменьшения мощности выходного сигнала адаптивной системы при учёте флуктуаций весового вектора по сравнению с мощностью выходного сигнала при постоянных оптимальных весовых коэффициентах мы сейчас и далее будем называть эффектом “перекомпенсации”).
Первой работой, в которой впервые корректно было количественно учтено влияние флуктуаций в одноканальном компенсаторе помех, стала статья [33]. Использованный в ней для анализа аппарат вариационных производных позволил рассмотреть “не белые” входные воздействия и учесть тем самым корреляцию помех и управляющих напряжений (весовых коэффициентов).
В дальнейших работах о влиянии флуктуаций весовых коэффициентов на статистические характеристики аналоговых адаптивных систем были выявлены те причины, из-за которых эффект “перекомпенсации” имеет место, а именно: наличие статистической зависимости между вектором флуктуаций весовых коэффициентов и вектором входных сигналов (предположение о неравенстве нулю кумулянтной функции третьего порядка) и конечное время корреляции входных сигналов [34-43].
Так в работе [41] было показано, что корректный статистический анализ данной задачи связан с учётом негауссовской статистической зависимости вектора весовых коэффициентов и вектора входных сигналов. На основании этих выводов было обнаружено, например, что в ААР с непрерывными градиентными алгоритма-
7
ми настройки флуктуации весовых коэффициентов приводят к уменьшению суммарной мощности на выходе, т.е. к появлению эффекта “перекомпенсации”.
Отдельно стоит работа [44], в которой рассматривается влияние на характеристики адаптивной антенной решётки быстрых флуктуаций параметров входных нерегулируемых элементов системы (случайного движения элементарных приёмников, изменения коэффициента усиления антенно-фидерного тракта), которые не были вызваны флуктуациями адаптируемых параметров. Было показано, что ААР более чувствительны к таким флуктуациям, чем обычные неадаптивные решётки.
Среди работ, посвящённых исследованию влияния флуктуаций весового вектора на характеристики адаптивных систем с различными алгоритмами настройки, особое место занимают диссертационные работы [45-48]. Так в кандидатской диссертации О. В. Музычука [45] проводился статистический анализ стохастических систем с сильными флуктуациями параметров, а в работе Позументова И. Е. [46] были найдены статистические характеристики адаптивных антенных решёток с ограничениями, настраивающихся по непрерывным градиентным алгоритмам: среднее значение и матрица ковариации вектора весовых коэффициентов, суммарная мощность выходного сигнала ААР и выходное отношение сигнал/помеха. Анализ проводился с учётом конечного времени корреляции полезного сигнала, помехи и собственных шумов элементов решётки. Автором было показано, что дисперсия флуктуаций компонент вектора весовых коэффициентов уменьшается по сравнению с ААР без ограничений в соответствии с числом наложенных линейно - независимых ограничений, обеспечивающих нужную частотную характеристику .ААР в заданном направлении.
В докторской диссертации А. А. Мальцева [47] были разработаны точные и приближённые методы статистического анализа адаптивных систем с непрерывными градиентными алгоритмами настройки, позволяющие корректно рассчитывать флуктуации весовых коэффициентов и учитывать их влияние на статистические характеристики таких систем. В отличие от известных методов при этом не делается предположений о статистической независимости или гауссовости совместного распределения вектора весовых коэффициентов и вектора входных сигналов.
В докторской диссертации О. В. Музычука [48] были разработаны методы анализа линейных и нелинейных стохастических систем. Так, например, в данной работе представлен кумулянтный подход к вероятностному описанию линейных стохастических систем, а также метод матричных цепных дробей для нахождения
статистических моментов выходного сигнала квазилинейных непрерывных стохастических систем, находящихся под воздействием интенсивных случайных сил. Приведённые в диссертации методы позволяют проводить статистический анализ не только линейных, но и нелинейных стохастических систем, подверженных интенсивным случайным воздействиям.
Внедрение в практику научных исследований электронно-вычислительных машин и сигнальных процессоров, реализующих различные адаптивные алгоритмы обработки цифровых сигналов, привело к тому, что появился ряд работ, посвящённых статистическому анализу адаптивных систем с различными дискретными алгоритмами настройки. В одной из первых подобных работ [49] при рассмотрении антенной решётки с дискретным градиентным алгоритмом настройки, минимизирующей средний квадрат ошибки (ААР МСКО), был сделан вывод об увеличении мощности выходного сигнала ААР из - за флуктуаций весовых коэффициентов, названный автором эффектом «недорегулированности» системы (лиаасУшипет). Именно из-за этого результата аналогичные выводы в работах других авторов о влиянии флуктуаций весового вектора на характеристики выходного сигнала адаптивных систем воспринимались как правильные и “физически понятные”.
Аналогично и в целом ряде других работ был сделан тот же вывод об увеличении мощности сигнала на выходе ААР из - за флуктуаций весового вектора [17, 50-55]. Во всех этих работах при статистическом анализе харакгеристик ААР подразумевается статистическая независимость вектора входных сигналов и текущих значений весового вектора. Это основное предположение строго доказывается, если последовательные во времени выборочные значения входных сигналов независимы и поэтому может быть обосновано только для дискретных адаптивных систем, в которых настройка осуществляется по достаточно редким выборочным значениям входных сигналов.
Однако предположение о статистической независимости отсчётов входных сигналов заведомо не выполняется, когда на адаптивную систему воздействуют мощные узкополосные (по сравнению с полосой полезного информационного сигнала) помехи, поскольку их близкие отсчеты будут заведомо сильно коррелированы. Заметим, что учёт даже “удобной” модельной статистической зависимости выборочных значений входных процессов существенно усложняет задачу анализа адаптивных систем с дискретными алгоритмами, в силу чего ранее делались только асимптотические оценки их простейших статистических характеристик [56].
9
Постепенно в рамках исследования вопроса о влиянии флуктуаций адаптируемых параметров на статистические характеристики адаптивных систем стали появляться экспериментальные и теоретические результаты, в которых наряду с избыточным шумом на выходе, был обнаружен эффект подавления полезного сигнала на выходе адаптивной системы в присутствии внешних мощных квазигармонических помех и для ААР с дискретными градиентными алгоритмами настройки [57-60].
Дальнейшее развитие адаптивных систем связано с использованием цифровых процессоров, позволяющих реализовывать так называемые быстрые алгоритмы настройки, которые обладают большой скоростью сходимости в сложной помехо-вой обстановке, но и требуют больших вычислительных затрат и поэтому раньше не применялись. В монографиях [16-18] излагаются основы построения быстрых алгоритмов и их представления, удобные для реализации на цифровом процессоре. Анализу характеристик ААР с быстрыми алгоритмами посвящено всего несколько работ [61-63].
В первой статье, опубликованной ещё в 1974 году [61], для адаптивной системы, работающей по критерию МОСШ, с алгоритмом прямого обращения выборочной корреляционной матрицы исследовалось, как влияет замена истинной корреляционной матрицы её оценкой на различные статистические характеристики системы. Авторами найдено нормализованное отношение сигнал/шум (ОСШ) в предположении, что оценка весового вектора, полученная на основе выборочной корреляционной матрицы, фиксирована. Данное отношение, нормализованное на верхнюю границу ОСШ, показывает, что имеет место уменьшение точности настройки адаптивной антенными качество её работы зависит от того, насколько близка выборочная оценка ковариационной матрицы к истинной ковариационной матрице.
В работе [62] дан статистический анализ адаптивной антенной решётки с многократными линейными ограничениями, в которой для оценивания корреляционной матрицы также используется её выборочная оценка. Возникающие при этом флуктуации весового вектора (в алгоритме непосредственного обращения матрицы) приводят к тому, что среднее значение выходной мощности (при использовании выборочной оценки корреляционной матрицы) меньше, чем выходная мощность, рассчитанная при использовании истинной корреляционной матрицы, т.е. имеет место эффект “перекомпенсации” мощности. Статья [63] является развитием предыдущей работы. В ней уточняется полученное в [62] отношение сигнал/шум, а затем данное отношение вычисляется для формирователя лучей, использующего рекур-