Оглавление
Введение 5
1 Комплексные отображения и ассоциирующиеся с ними фрактальные объекты. Множество Мандельброта и множества Жюлиа (Обзор) 11
1.1 Одномерные комплексные аналитические отображении как специальный
класс динамических систем. Их связь с двумерными действительными отображениями. Условия Коши-Римана ................................... 11
1.2 Множество Мандельброта и множества Фату и Жюлиа как феномены
комплексной аналитической динамики.................................... 12
1.3 Бифуркационный анализ множества Мандельброта.......................... 16
1.4 Классификация множеств Жюлиа. Диски Зигеля, кольца Эрмана, цветок
Л о-Фату.............................................................. 21
1.5 Основные свойства и методы построения множеств Жюлиа.................. 26
1.6 Потенциал множества Жюлиа и множества Мандельброта ................... 29
1.7 Хаусдорфова размерность фрактальных объектов, возникающих в комплексной аналитической динамике ........................................... 31
1.8 Обобщения комплексных чисел .......................................... 36
1.9 Различные приложения комплексной аналитической динамики. Построение моделей реальных физических систем..................................... 39
1.9.1 Возникновение множества Мандельброта при исследовании динамики движения частицы в магнитном поле ................................ 39
1.9.2 Теория фазовых переходов........................................ 40
1.9.3 Теория лерколяции .............................................. 45
1.9.4 Динамика иерархических цепочек имиедансов....................... 46
1.9.5 Агрегация фрактальных кластеров................................. 48
1.9.6 Проблема сходимости метода Ньютона (задача Кэли) ............... 50
1.9.7 Аналогия с гамильтоновыми системами ............................ 52
1.9.8 Квантовое туннелирование в хаотической системе ................. 54
2 Использование связанных отображений и систем с периодическим воздействием для реализации феноменов комплексной аналитической динамики 56
2.1 Введение.............................................................. 56
2.2 Система связанных логистических отображений .......................... 56
2
2.3 Универсальность метода представления комплексных отображений в виде связанных действительных систем............................................. 59
2.4 Реализация множества Мандельброта в физическом эксперименте .... 60
2.4.1 Экспериментальная установка...................................... 60
2.4.2 Результаты эксперимента.......................................... 62
2.5 Связанные отображения Эно.............................................. 64
2.6 Система связанных нелинейных осцилляторов с гармоническим внешним воздействием................................................................ 66
2.7 Связь феноменов комплексной аналитической динамики с проблемой разрушения синхронизации....................................................... 72
2.8 Выводы................................................................. 74
3 О возможности реализации феноменов комплексной аналитической динамики в связанных автономных потоковых системах - осцилляторах Ресслера 75
3.1 Введение............................................................... 75
3.2 Усеченная система связанных осцилляторов Ресслера...................... 75
3.3 Связанные осцилляторы Ресслера с общим уравнением для фазы .... 80
3.4 Связанные осцилляторы Ресслера с дополнительной связью, синхронизующей фазы................................................................... 80
3.5 Система связанных осцилляторов Рссслсра с различными переменными времени..................................................................... 83
3.6 Выводы................................................................. 87
4 О свойствах скейлинга в динамике двумерных отображений вблизи особых точек, характерных для комплексной аналитической динамики 90
4.1 Введение .............................................................. 90
4.2 РГ анализ.............................................................. 93
4.3 Модельное отображение и локальные скейлинговые координаты вблизи точки 08К................................................................... 98
4.4 Скейлинговые свойства расширенного пространства параметров вблизи
критической точки..................................................... 101
4.5 Существование точки СБК для неаналитического отображения Гунаратне 106
4.6 Точка С8К для комплексифицированного отображения Эно...................107
4.7 Процедура получения скейлинговых координат............................ 107
4.8 Процедура численного нахождения критической точки..................... 112
3
4.9 Возможность наблюдения каскада утроений периода в системах специального вида и в физическом эксперименте 116
4.10 Выводы...................................................................116
5 Моделирование процесса автоэлектронной эмиссии в цилиндрическом диоде с фрактальной поверхностью внутреннего проводника, определяющегося множеством Жюлиа 120
5.1 Введение ............................................................120
5.2 Методика численного моделирования процесса автоэлектронной эмиссии
с фрактальной поверхности................................................ 123
5.3 Расчет вольтамперных характеристик.......................................128
5.4 Расчет эффективной площади эмиссии.......................................132
5.5 Влияние фрактальной размерности па характеристики автоэлектронной
эмиссии...................................................................133
5.6 Выводы.................................................................. 140
Заключение 141
Литература 143
4
Введение
Актуальность работы
Нетривиальная структура встречающихся в природе объектов и процессов сейчас во многом занимает центральное место в моделях, строящихся для понимания природы [1,2]. В последние годы было опубликовано множество работ, например по исследованию структуры поверхностей металлов и композитных материалов, геометрии траекторий частиц, линий тока в гидродинамике, по исследованию динамики некоторых волновых процессов и других систем из различных областей естествознания, в которых использовалось понятие фрактала [3-11]. Всеобщий интерес к фрактальной геометрии природы был пробужден работами Бенуа Мандельброта [12-14]. Но Мандельброту фракталом называется структура, состоящая из частей, которые в каком-то смысле подобны целому или фрактальная размерность которых строго больше топологической. Существует большое число задач, в которых фрактальная структура и размерность служат основными характеристиками системы. Так, в турбулентности теория фракталов тесно связана с теорией масштабной инвариантности. Далее, у теории фракталов много точек соприкосновения с методом ренормализациоиной группы (РГ) и теорией фазовых переходов и теорией перколяции.
При развитии теории фракталов обнаружились новые, неизвестные ранее объекты. В теории динамических' систем одним из самых замечательных открытий последнего времени была универсальность Фейгенбауиа, связанная с последовательностью бифуркаций удвоения периода для семейства отображений х' -» Л - х2. Если считать х, \ -комплексными, то наряду с удвоениями периода могут возникать бифуркации утроения, учетвереиия периода и т.д. Области на плоскости параметра Л, в которых реализуется периодическая динамика со всевозможными циклами образуют самоподобный фрак-тальный объект, окруженный сложным фрактальным узором для которого характерна ограниченная в фазовом пространстве хаотическая динамика. Совокупность областей периодичности, ограниченная множеством с хаотической динамикой, была впервые численно построена Мандельбротом и называется множеством Мандельброта. Локальная структура этого фрактала связана с универсальными законами, обобщающими универсальность Фейгенбаума. Эти законы, а также ряд других уникальных свойств множества Мандельброта характерны лишь для определенного класса систем, а именно, для комплексных аналитических отображений, изучению которых посвящен один из развитых разделов нелинейной динамики — комплексная аналитическая динамика (КАД). В рамках этого раздела используются такие понятия, как множество Мандельброта, а также множества Жюлиа и Фату, диски Зигеля и кольца Эрмана и т.д. До сих пор
5
остается неясным вопрос, имеют ли эти формальные и абстрактные математические понятия какое-либо отношение к динамике реальных физических систем (в частности, систем радиофизики и электроники). В последние годы появляется все больше исследований, посвященных попыткам применить результаты КАД к описанию свойств реальных сложно устроенных фрактальных объектов, а также попыткам реализовать само фрактальное множество Мандельброта (а также множества Жюлиа) в физических системах [15-20] (подробнее см. раздел 1.9). В настоящей работе также будут приведены результаты, дающие новые направления применения феноменов КАД, и возможности для их возникновения в моделях радиофизических систем и в эксперименте.
Цель и задачи диссертационной работы
Исследовать феномены комплексной аналитической динамики и возможность их реализации в системах радиофизики и электроники и их моделях. Рассмотреть возможность приложения комплексной динамики к решению различных задач физики.
Методы исследований
Во второй и третьей главах, для реализации множества Мандельброча в динамических системах различного вида развит метод, основанный на использовании связанных систем, демонстрирующих удзоения периода. Исследования свойств скейлин-га пространства параметров двумерного отображения общего вида в четвертой главе проводятся в рамках метода реиормгруппы. который позволяет вскрыть универсальный характер феноменов, имеющих место па границе хаоса. В пятой главе для расчета эквипотенциальных линий фрактального объекта применен метод, заключающийся в разбиении расчетной области сеткой, в узлах которой вычисляется значение потенциала.
Достоверность полученных результатов
Достоверность результатов подтверждается согласованностью и воспроизводимостью всех данных, совпадением независимых 'теоретических результатов, численного и физического эксперимента.
Научная новизна работы
1. Разработан новый универсальный подход к реализации комплексной аналитической
динамики в физических системах, основанный на использовании двух связанных подсистем, способных демонстрировать переход к хаосу через удвоения периода, и реализована физическая система (электронная схема), на плоскости параметров которой впервые в реальном эксперименте наблюдалось множество Мандельброта.
2. Показано, что критическая точка Гольберга-Синая-Ханина, ассоциирующаяся с пре-
делом последовательности бифуркаций утроения периода в комплексном аналити-
6
чес ком отображении, не выживает в двумерных отображениях общего вида; изучены и проиллюстрированы свойства скейлинга в расширенном пространстве параметров, связанные с включением неаналитического возмущения.
3. Предложено использовать фрактальные множества, известные в комплексной аналитической динамике, как модели сложной неоднородной структуры, характерной для поверхности некоторых типов катодов, рассчитаны характеристики эмиссии с фрактальной поверхности и установлена связь этих характеристик с фрактальной размерностью.
Положения, выносимые на защиту
1. Феномены комплексной аналитической динамики (множества Мандельброта, Жюлиа
и др.) могут быть реализованы в физических системах построенных на базе двух идентичных, связанных определенным образом подсистем, описываемых отображениями или дифференциальными уравнениями, демонстрирующими переход к хаосу через удвоения периода. В силу универсальности и широкой распространенности этого сценария перехода к хаосу, данный подход применим ко многим радиофизическим системам и системам иной физической природы.
2. В противоположность утверждению исходной работы Гольберга-Синая-Ханина 1983
г., критическая точка, ассоциирующаяся с пределом последовательности бифуркаций утроения периода в комплексном аналитическом отображении, не выживает в двумерных отображениях общего вида, как феномен коразмерности два. Число существенных действительных параметров, необходимых для полного описания структуры окрестности критической точки, равно 4, причем в расширенном пространстве параметров имеет место свойство скейлинга, связанное с включением неаналитического возмущения и характеризующееся новой универсальной комплексной масштабной константой.
3. Фрактальные множества, известные в комплексной аналитической динамике, могут
рассматриваться как модели сложных структур поверхности некоторых типов катодов. Имеет место взаимосвязь характеристик эмиссии и фрактальных свойств катодов: фрактальная размерность поверхности обусловливает эффективную величину коэффициента усиления паля и наклон вольт-амперных характеристик, лрогда как полный ток определяется в первую очередь структурой микронеоднородностей, а не фрактальной размерностью.
7
Научная и практическая значимость работы. Рекомендации по использованию научных выводов
Результаты работы, касающиеся рассмотрения связанных систем, открывают подход к построению систем с новыми нетривиальными функциональными возможностями, при атом, с комплексной аналитической динамикой оказываются увязанными реальные объекты.
Результаты по экспериментальному наблюдению множества Мандельброта позволяют рекомендовать постановку дальнейших физических экспериментов, направленных на реализацию всевозможных феноменов, характерных для комплексной динамики в системах различной физической природы.
Результаты ренормгруппового анализа критической точки Гольберга-Синая-Ханина дают возможность количественного описания динамики двумерных отображений общего вида вблизи точки накопления бифуркаций утроения периода.
Результаты исследования автоэлектрониой эмиссии с фрактального катода позволяют объяснить ряд несоответствий между теоретическими и экспериментальными данными для некоторых материалов, а также дают возможность предсказания эмиссионных свойств в зависимости от степени неоднородности эмитирующей поверхности, определяющейся ее фрактальной размерностью.
Необходимо отметить также методическое значение работы и возможность использования ее результатов в учебном процессе.
Личный вклад автора
Теоретическое и численной обоснование возможности реализации феноменов комплексной аналитической динамики в связанных системах и ренормгругшовой анализ критической точки Гольберга-Синая-Ханина выполнены автором самостоятельно при консультациях с научным руководителем. В части работы, посвященной экспериментальному наблюдению множества Мандельброта, вклад, автора состоит в выработке основной идеи эксперимента, а также в теоретической обработке полученных результатов. В части работы, исследующей эмиссию электронов с фрактальной поверхности, участие автора заключалось в разработке компьютерных программ, проведении расчетов и физической интерпретации полученных результатов.
Апробация работы и публикации
Основные материалы работы представлялись на Международной конференции “SYNCHГ (Саратов, 2002), Международной конференции “Vacuum electron source conference” (Саратов, 2002), Всероссийской школе “Нелинейные волны” (Нижний Новгород, 2002), Всероссийской щколе-конференции “Нелинейные дни в Саратове для молодых” (1998, 1999, 2000, 2001,2002), Международной школе-конференции “Хаотические автоколебания и
8
образование структур’’ (Саратов, 1998, 2001), Международной школе “Nonlinear science festival III” (Люнгби, Дания, 2001), на международной щколе по СВЧ электронике и радиофизике (С.-Петербург, 1999), на XI международной зимней школе по СВЧ электронике и радиофизике (Саратов, 1999), на научных семинарах в Саратовском отделении ИРЭ РАН. По теме диссертации имеется 17 публикаций [214—229] (5 статей в реферируемых изданиях, статья опубликованная в Интернете, 7 статей в сборниках трудов научных конференций и 4 тезиса докладов). Работа выполнялась на кафедре динамических систем СГУ при поддержке Научно-образовательного центра нелинейной динамики и биофизики СГУ (грант АФГИР и Минобразования РФ REC-006) и Российского фонда фундаментальных исследований (гранты №97-02-16414, №97-02-16546, №00-02-17509, №01-02-06385, №02-02-06467).
Структура и объем работы
Диссертация состоит из введения, 5 глав и заключения. Диссертация содержит 160 страниц текста, включая 82 рисунка, 9 таблиц и список литературы из 213 наименований на 15 страницах.
Краткое содержание работы
В первой главе представлен обзор известных результатов комплексной аналитической динамики и характерных для нее феноменов, таких как множества Мандельброта и Жюлиа, диски Зигеля и кольца Эрмапа. Рассматриваются приложения комплексной динамики к различным областям физики и предложенные в литературе возможности ее реализации в физических системах.
Во второй главе исследуется возможность наблюдения феноменов комплексной ана,-литической динамики в моделях радиофизических систем в рамках нового подхода, основанного на использовании связанных систем, причем парциальные системы должны демонстрировать переход к хаосу через последовательность удвоений периода. Продемонстрировано присутствие объектов, аналогичных множествам Мандельброта и Жюлиа соответственно, в пространстве параметров и фазовом пространстве дискретных отображений и потоковых систем с периодическим внешним воздействием. В качестве парциальных систем рассматриваются отображение Эно и неавтономный квадратичный осциллятор.
В третьей главе обсуждается проблема наблюдения феноменов КАД в автономных потоковых системах, на примере связакиых осцилляторов Ресслера. Обсуждается связь феноменов комплексной аналитической динамики с проблемой синхронизации.
В четвертой главе анализируется динамика, порождаемая квадратичным комплексным отображением вблизи точки накопления бифуркаций утроения периода, описанной в работах Гольберга - Синая - Ханина и Цвитановича - Мирхейма. Показано, что
9
для двумерных действительных отображений, не удовлетворяющих условиям Коши-Римана, критическое поведение данного типа разрушается. Установлено, что скейлинго-вые свойства расширенного пространства параметров двумерного отображения в окрестности критической точки утроений периода определяются двумя комплексными константами, первая из которых = 4.6002 - 8.9812* соответствует аналитическим отображениям (получена ранее в указанных работах), а вторая 62 = 2.5872+1.80671 связана с нарушением аналитичности. Скейлинговые свойства пространства параметров проиллюстрированы диаграммами в специальной локальной нелинейной системе координат. Таким образом, показано, что критическая точка, связанная с каскадом утроений периода в расширенном пространстве параметров двумерных отображений общего вида имеет коразмерность 4.
В пятой главе исследуются характеристики автоэлектрон ной эмиссии с поверхности двумерного фрактального объекта, границей которого служит множество Жюлиа. Показано, что эмиссия концентрируется главным образом на мелкомасштабных, самоподобных неоднородностях, где происходит многократное усиление поля. Выясняется связь эмиссионных свойств с фрактальной размерностью поверхности. Представленные результаты помогают объяснить необычные эмиссионные свойства ряда материалов (таких, как пористый кремний, углеродные нанотрубки - тубелены, алмазоподобные пленки), характеризующихся развитой структурой поверхности.
10
Глава І
Комплексные отображения и ассоциирующиеся с ними фрактальные объекты. Множество Мандельброта и множества
Жюлиа (Обзор)
1.1 Одномерные комплексные аналитические отображения как специальный класс динамических систем. Их связь с двумерными действительными отображениями. Условия Коши-Римана
В настоящем разделе будет дано краткое описание понятий, использующихся в комплексной аналитической динамике. Более подробное введение в теорию функций комплексного переменного можно найти в книгах [21-23].
Как известно, комплексные числа г — х 4- гу, где х и у - действительная (ж = Лег) и мнимая (у = 1тг) части 2, а г - мнимая единица, можно рассматривать как плоские вектора и представлять в виде 2 = (я, у), где х • 1 - вектор, направленный но оси абсцисс, а у • і - вектор, направленный но оси ординат. Соответственно 1 и і - единичные вектора. Длина вектора, определяющегося комплексным числом, называется
его модулем \г\ = у/х2 + у2, а угол, образованный вектором с осью абсцисс, - аргументом ащ2 = апД^. Можно записать 2 = [^((созСаг^г) -+ гвт(агй2)) = |г|е‘агб*. Числа 2 и 2* называются комплексно-сопряженными, если их действительные части равны, а мнимые отличаются знаком.
Если каждому значению 2 = х 4- іу из некоторой области О комплексной плоскости поставлено в соответствие значение ю = и 4- гг1, то V) есть функция 2, то есть ъ) = /(г). Очевидно, что одномерная функция одного комплексного переменного эквивалентна двум действительным функциям двух действительных переменных и = и(х, у) И V .= ь(х,у). Функция їй = /(г) = и.(х, у) -\- іх(х,у) является дифференцируемой в области О если для нее выполняются условия аналитичности (Коши-Римана):
ди _ дг дь _ ди .
дх~Ъу' дх~~ду' ( }
Если еще раз продифференцировать последние выражения по т и по у получается уравнение Лапласа
д2и д2и д2у д2и .
дх* + 1&~ д^ + д^~ ^ }
Функции, удовлетворяющие уравнению Лапласа, называются гармоническими, а гармонические функции, удовлетворяющие (1-1), - сопряженными. Таким образом, действительная и мнимая части аналитической функции являются сопряженными гармоническими функциями.
11
Аналитические функции комплексного переменного могут быть как рациональными, так и трансцендентными. Рациональные функции представляются в виде отношений полиномов R(z) — • Примерами трансцендентных функций могут служить
е* = єх (cos у + 2 sin у), log г = log|z| +■ г arg 2, sin 2 = (еіг - e~'z)/2і, cos 2 = (е‘г + е~*г)/2.
1.2 Множество Мандельброта и множества Фату и Жюлиа как феномены комплексной аналитической динамики
Рассмотрим итерации обобщенного на комплексный случай квадратичного отображения
2п-и = fx(zn) = А - г*, А,2 € С, (1.3)
где А - комплексный параметр, 2 - комплексная переменная. Обсудим вначале случай, когда А = 0. Геометрически возведение комплексного числа в квадрат означает возведение в квадрат его модуля и удвоение аргумента. Нетрудно видеть, что если взять начальную точку го внутри единичного круга (т.е. |г0| < 1), то в процессе итерирования (1.3) она не покинет этого круга. Точка же взятая вне единичного круга убежит в бесконечность. Таким образом, существует два аттрактора - нуль и бесконечность, а плоскость комплексных чисел разбивается на два подмножества - бассейна притяжения. Граница между этими двумя множествами - единичная окружность. В этом простейшем примере граница является регулярной кривой, однако, при А ф 0 отображение (1.3) может порождать и фрактальную границу. Эти границы называют множествами Жюлиа J, а их дополнения на комплексной плосксти C\J- множествами Фату FK Совокупность ограниченных множеством J бассейнов притяжения, которая является подмножеством F, называется наполненным множеством Жюлиа Р.
Наполненное множество Жюлиа достаточно просто построить с помощью компьютера2. Необходимо рассмотреть динамику точек плоскости начальных значений zq при итерировании 1.3, определяя сходимость к ограниченному в фазовом пространстве периодическому аттрактору (в данном случае он только один). Чтобы определить, насколько большим должно стать гп для убегания на бесконечность, при изучении ее бассейна притяжения, вводится величина
r(A) = тах(|А|,2). (1.4)
’•Эти фрактальные множества названы в честь известных французских математиков - Гастона Жюлиа (1893-1978) к Пьера Фату (1878-1929), которые внесли значительный вклад в теорию комплексных отображений. П частности. Фату еще в 1906 год)- обнаружил наличие фрактального бассейна притяжения в виде канторова множества для рационального комплексного отображения. Более сложные фрактальные бассейны притяжения были построены гораздо позже Мандельбротом.
2Методы построения непосредственно множества Жюлиа будут приведены в разделе 1.5
12
Если превышает г(Л) по абсолютному значению, то можно говорить о том, что она убежала в бесконечность. Действительно, если гп > Л и гп > 2, то можно сделать простую оценку гл41 = |А - г%\ > \г\\ - |А| > \гп\2 - \гп\ = |*п|(к»| - 1) > Ы- Таким образом, наполненное множество Жюлиа можно определить как
На рис. 1.1 приведено изображение множества Фату па плоскости начальных значений переменной г. Черным цветом изображено наполненное множество Жюлиа, а различными оттенками серого изображены множества точек с различными временами убегания на бесконечность (или динамическим расстоянием до аттрактора на бесконечности), то есть с различным числом итераций, необходимых для убегания из круга радиуса г (А).
Вполне естественно, что вид множества Фату, а следовательно и множества Жюлиа, должен зависеть от выбора параметра А. Меняя А, можно получать невероятное разнообразие форм. Разделяют два основных типа множеств Жюлиа: некоторые из них являются цельными (точнее, связными), а другие представляют собой облака из точек (или обобщенные канторовы множества) (см. рис. 1.2). Тем самым появляется возможность ввести новое множество - множество значений А, для которых J связно. Оно называется множеством Мандельброта АР. Множество Жюлиа для данного значения параметра является связным в том случае, если траектория, стартующая из экстремума отображения (в случае квадратичного отображения (1.3) это г = 0) не убегает на бесконечность. Этот факт был доказан в фундаментальных работах Фату и Жюлиа. Таким образом, множество Мандельброта определяется как
Итак, поведение итерационного отображения зависит от параметра А и от начальной точки 20. Если зафиксировать А и изменять в поле комплексных чисел, то мы получим множество Жюлиа, а если зафиксировать г0 = 0 и изменять параметр А, то получим множество Мандельброта.
На рис. 1.3 представлено множество Мандельброта и его увеличенные фрагменты, демонстрирующие удивительное многообразие составляющих его сложных узоров, спиралей и бесконечного числа подобных целому множеству М маленьких копий множества Мандельброта.
Следует отмстить, что множество Мандельброта, как и множества Фату и Жюлиа, является фрактапом, демонстрирующим ряд интересных свойств [1,2,25). Так, несмо-
3Впервиезто множество было построено и 1978 году при проведении простейшего компьютерного эксперимента французским ученым Бенуа Мандельбротом (р. 1924).
р = (*»Ш*>)1 < г(А),п -> оо}.
(1.5)
М = {А||/л(0)| < г(А),п -» оо}.
(1.6)
13
-1.5_________________
-1.5 Щг) 1.5
Рис. 1.1. Множество Фату на плоскости начальных значений комплексной переменной
г отображения (1.3). Различными оттенками серого цвета обозначены области с различными временами убегания на бесконечность, черным цветом - наполненное множество Жюлиа. Представлено несколько траекторий (белый цвет), сходящихся ко второму аттрактору.
Рис. 1.2. Дихотомия множеств Жюлиа и мн&іШгво Мандельброта^ Для значений параметра, принадлежащих множеству Мандельброта (в) реализуются связные множества Жюлиа (б), а для значений параметра вне множества Мандельброта несвязные (а).
14
- Київ+380960830922