2
Оглавление
Основные обозначения Введение
1. Основные проблемы виртуального выращивания оксидных кристаллов из расплава
1.1. Моделирование радиационного тенлопереноса
1.2. Моделирование процесса выращивания и системы управления ростом кристалла
2.Численный метод решении задач радиационного теплонсрсноса
2.1. Постановка задачи радиационного переноса тепла
2.1.1. Краевые условия для уравнения переноса
2.1.1.1. Краевые условия на непрозрачных границах
2.1.1.2. Краевые условия на прозрачных границах
2.1.2. Задача переноса излучения в осесимметричном случае
2.2. Метод дискретного переноса (discrete transfer method)
2.2.1. Осесимметричный случай
2.2.1.1. Разбиение области
2.2.1.2. Дискретизация уравнения переноса
2.2.1.3. Дискретизация граничных условий
2.2.1.4. Вычисление £ divq'r/r
2.2.1.5. Итерационная схема решения задачи переноса излучения
2.2.1.6. Тестирование метода дискретного переноса
2.2.2. Трехмерный случай
2.2.2.1. Тестирование трехмерного варианта метода дискретного переноса
2.3. Выводы
3. Динамическая модель процесса Чохральского
3.1. Предварительные замечания
3.2. Моделирование эволюции формы кристалла
3.3. Модель управления нагревателем
3.4. Итерационный алгоритм нахождения тройной точки
3.4.1. Простой алгоритм
3.4.2. Улучшенный алгоритм
3.5. Корректировка сетки по мере роста кристалла
3.6. Выводы
4
6
11
14
17
20
20
22
22
24
26
29
30
31
32
34
36
39
39
44
46
48
51
51
55
59
61
62
67
74
76
3
4. Исследование явления инверсии фронта кристаллизации при выращивании кристаллов гадолиний-галлисвого граната (Gd3GasOi2) 77
4.1. Описание ростового процесса и теплового узла 78
4.2. Влияние радиационных свойств свободной поверхности кристалла и конвекции Марангони на форму межфазной границы 80
4.3. Влияние высоты мениска расплава на работу автоматической системы управления 83
4.4. Моделирование роста кристаллов ГГГ большого размера 84
4.3. Выводы 86
5. Управление многосекцноннм.м нагреват елем в процессе выращивании кристаллов германата висмута в структуре силлснита (Bi^GeCbo) способом Чохральского с малыми температурными градиентами 87
5.1. Введение 87
5.2. Описание установки 88
5.3. Описание стандартного процесса роста 91
5.4. Условия получения качественных кристаллов 94
5.5. Теплофизические свойства германосилленита Bii2GeO20 98
5.6. Результаты моделирования процесса роста кристаллов германосилленита 100
5.6.1. Предварительные замечания 100
5.6.2. Результаты 102
5.6.2.1. Первый этап. Оптимизация 102
5.6.2.2. Второй этап. Динамическое моделирование 109
5.6.2.3. Выводы по результатам расчетов 115
5.7. Экспериментальная проверка 116
5.8. Выводы 118
6. Моделирование тепловых полей и оптимизация тепловой зоны при выращнваннн лент сапфира (ЛЬ Оз) методом Степанова 119
6.1. Постановка задачи и алгоритм численного решения 121
6.2. Результаты расчета для базисно храненных лент шириной 30 мм 129
6.2.1. Экспериментальная проверка 132
6.3. Результаты расчета для базисно ограненных лент шириной 50 мм 135
Заключение 141
Список цитированных источников 143
Приложения 150
Л. Эффективный алгоритм трассировки луча в осесимметричном случае 150
B. Условие постоянства формы фронта 154
C. Расист распределения температуры резистивного нагревателя 156
D. Влияние ориентации ленты на тсрмоупругис напряжения 157
г
ЫТ)
п
чг
Т*
°¥
е
и
м
8
Уст
ь
е
в
КРуК1уКо
к;, к;
п
п
4
Основные обозначения
спектральная интенсивность излучения вектор координат
интенсивностью излучения абсолютно черного тела показатель преломления среды температура границы
поток излучения, падающий на границу
шггснсивность излучения время
шаг по времени температура квадратурный вес
координата на характеристике (вдоль нее) вектор плотности потока теплового излучения
половина тора, полученного вращением полигональной ячейки 1т секториальная подобласть осесимметричной области
схема выбора дискретных направлений на единичной сфере мощность тепловыделения нагревателя электрическое напряжение масса
ускорение свободного падения, 9.812 м/с2 скорость кристаллизации
скрытая теплота плавления сигнал ошибки
задаваемое изменение веса кристалла со временем показание весового датчика коэф ф и циенты П ИД-рс I у ля гора поправочные коэффициенты
вектор нормали к поверхности показатель преломления
Грсческие символы
единичный вектор направления распространения излучения частота излучения
спектральныц коэффициент поглощения спектральный коэффициент рассеяния
спектральный коэффициент ослабления
постоянная Стефана-Больцмана, 5.67*10'8 Вт/(м2 • К4) длина волны излучения
коэффициент зеркального отражения непрозрачной поверхности коэффициент диффузного отражения непрозрачной поверхности степень черноты поверхности
коэффициент зеркального отражения френелевской поверхности
угол падения (отражения) излучения на границу коэффициенты диффу зного отражения на прозрачной поверхности
плотность вещества цилиндрические координаты точки азимутальная угловая координата направления И полярная угловая координата направления Л вектор направления дискретной ординаты
оптическое расстояние управляющий параметр ПИ Д-регулятора
луч
коэффициент поверхностного натяжения
6
Введение
Высококачественные кристаллы оксидных соединений широко используются при производстве различного рода оптических приборов, применяемых в медицине, науке и промышленности. Потребность в оксидных кристаллах непрерывно растет, ужесточаются требования к структурному качеству выходной продукции. При этом жесткая конкуренция вынуждает производителей стремиться к постоянному снижению себестоимости производства. Достигнуть этого можно только путем непрерывного совершенствования ростовых технологий. Однако практически любая попытка изменения ростового процесса, например, путем увеличения размеров оксидных кристаллов или модификацией их свойств за счет легирования, радикально меняет тепловые условия выращивания, что приводит к необходимости разработки нового технологического процесса и существенного изменения конструкции ростовой установки.
К сожалению, подобные задачи для оксидных кристаллов (в отличие от полупроводниковых соединений) все еще решаются методом проб и ошибок, что применительно к оксидным кристаллам оказывается, во-первых, чрезвычайно дорогостоящим, поскольку, как правило, используется оснастка из платины или иридия, стоимость которой может достигать сотен тысяч рублей, а также исходные оксиды высокой степени очистки, а, во-вторых, требует недопустимо длительного времени. Поэтому разработка адекватной математической модели ростового процесса является исключительно актуальной, так как оптимизация с активным использованием вычислительного аппарата требует меньшего количества экспериментов, является существенно более дешевой и может быть сделана в более сжатые сроки. Можно сказать, что в этом смысле оксидные кристаллы повторяют путь, пройденный полупроводниками. Однако в отличие от полупроводников, роль моделирования при проектировании и отработке процессов выращивания оксидных кристаллов до сих пор остается весьма и весьма скромной. Причина этого состоит в том, что процессы теплообмена при выращивании оксидов являются гораздо более сложными. Оксидные кристаллы, во-первых, имеют достаточно низкую теплопроводность, как в жидкой, так и в твердой фазе, а во-вторых, как правило, сохраняют достаточную прозрачность для инфракрасного излучения вплоть до температуры плавления. В тоже время расплавы их практически непрозрачны. В результате, при выращивании оксидов перенос тепла в расплаве определяется конвекцией, а в кристалле - излучением. Последнее означает, что кроме расчета радиационного теплообмена между кристаллом, свободной поверхностью расплава и элементами кристаллизационной установки, что обычно делается при любом моделировании роста кристаллов, используя метод угловых коэффициентов [1],
7
необходимо еще решать уравнение переноса излучения внутри кристалла, что существенно усложняет рассматриваемую задачу и требует применения совершенно других численных методов.
Одним из основных промышленных методов получения оксидных кристаллов является метод Чохральского. Хотя в настоящее время имеются пакеты программ, позволяющие моделировать процесс Чохральского, применительно к оксидным кристаллам, все эти пакеты могут рассчитывать лишь стационарные поля и стационарную форму фронта кристаллизации при заданной форме кристалла, то есть собственно процесс роста не рассматривается. С другой стороны, задача создания виртуального процесса Чохральского, позволяющего моделировать на компьютере весь процесс роста оксидного кристалла от момента затравления до окончания процесса вытягивания, является чрезвычайно заманчивой, поскольку сс решение позволило бы проектировать и отрабатывать процесс выращивания кристалла непосредственно на компьютере. При этом для оксидов потребность именно в таком нестационарном моделировании является существенно большей, чем для полупроводников, например, из-за явления инверсии фронта кристаллизации, когда прогиб фронта резко уменьшается за относительно небольшой промежуток времени.
Для создания виртуального процесса Чохральского необходимо решение двух основных задач: разработки динамической модели ростового процесса, позволяющей отслеживать эволюцию формы кристалла и формы межфазной границы во времени, и объединение этой модели с моделью системы автоматического управления ростом кристалла.
Помимо метода Чохральского получили распространение и другие технологии выращивания оксидных кристаллов. Для выращивания профилированных кристаллов широко используется способ Степанова, который позволяет получать монокристаллы с сечением практически любой формы. Наиболее актуальные профили - это стержни, трубки и ленты. Особый интерес представляют монокристаллические ленты лейкосапфира с базисной гранью параллельной широкой стороне ленты (базисноограненные ленты). Базисноограненные (БО) ленты сапфира являются чрезвычайно привлекательным материалом как для использования в качестве подложек при эпитаксии нитридных структур, так и при изготовлении различного рода оптических изделий. Такие ленты обладают зеркально-гладкой поверхностью, что снижает до минимума потребность в их дорогостоящей механической обработке. С другой стороны, указанные ленты являются чрезвычайно интересным модельным объектом для изучения как процессов возникновения дефектной структуры кристаллов, так и механизмов
формообразования кристаллов в случае выхода гранен на их внешнюю поверхность. Отличительная особенность процесса выращивания БО лент сапфира состоит в том, что в таких лентах очень трудно предотвратить образование блоков, в то время как при выращивании лент сапфира другой ориентации подобная проблема не возникает. Основная причина образования блочной структуры в БО лентах - это термоупругие напряжения, возникающие в кристалле в процессе роста. Поэтому, чтобы бороться с образованием блоков, необходимо управлять температурным нолем внутри установки. Для этого требуется качественно новый уровень в понимании процессов теплообмена внутри теплового узла. И в этом случае без помощи численного моделирования обойтись невозможно. Происходящие внутри кристаллизационной установки тепловые процессы слишком сложны, а возникающие эффекты слишком тонки для их понимания исключительно на основе экспериментальных измерений.
Целью диссертационной работы являюсь:
1) Разработка алгоритмического и численного инструментария для изучения на компьютере процесса роста оксидных кристаллов из расплава методами Чохральского и Степанова.
2) Использование этого инструментария для исследования глобального теплообмена в кристаллизационной установке, оптимизации тепловых условий выращивания и проведения численных экспериментов, моделирующих во времени реальный процесс роста кристалла.
3) Сопоставление результатов моделирования с реальными технологическими процессами и выработка на этой основе рекомендаций но изменению режимов выращивания кристаллов и модификации конструкции тепловой зоны ростовых установок.
Структура диссертации
Диссертация содержит введение, 6 глав и заключение. Ее условно можно разделить на две половины: «теоретическую» и «практическую». В первой из них описывается программный и алгоритмический инструментарий, а во шорой - с помощью этого инструментария приводятся результаты вычислительных экспериментов по выращиванию оксидных кристаллов методами Чохральского и Степанова с целью оптимизации ростового процесса и выработки рекомендаций но его совершенствованию.
В первой главе диссертации описываются основные проблемы, рассматриваемые в данной работе, и дается обзор литературы.
9
Вторая глава посвящена решению проблемы моделирования радиационного теплообмена в областях сложной формы, заполненных поглощающей и излучающей средой с различными коэффициентами поглощения и преломления. Излагается численный метод решения уравнения переноса излучения, позволяющий, с одной стороны, эффективно решать задачи как с диффузно, так и с зеркально отражающими и преломляющими границами, а, с другой, - избежать численной диффузии*. Осесимметричный вариант метода применялся при моделировании процесса Чохральского, а трехмерный использовался для расчета теплообмена внутри кристаллизационной установки при выращивании лент сапфира методом Степанова.
Третья глава посвящена разработке динамической модели выращивания оксидных кристаллов методом Чохральского и модели автоматического управления ростом кристалла по датчику веса. Описывается комплекс программных инструментов, позволяющих исследователю после задания геометрии ростовой установки, размеров кристалла, теплофизических и радиационных свойств кристалла, расплава и элементов установки, а также параметров системы управления получить полную картину процесса выращивания оксидного кристалла, включающую изменение во времени формы и размеров кристалла, формы фронта кристаллизации, тепловыделения в нагревателе, распределения температуры и тепловых потоков во всей установке.
В четвертой главе выполнено тестирование динамической модели и модели управления на примере выращивания кристаллов гадолиний-галлиевого граната (ГГГ). Исследуется явление инверсии фронта кристаллизации на стадии разращивания кристалла. Изучается влияние конвекции Марапгони и радиационных свойств свободной поверхности кристалла на вариации формы межфазной границы.
В пятой главе исследуется рост кристаллов германата висмута в структуре силленита ВйгСсОго (в дальнейшем - ВвО) способом Чохральского с малыми температурными градиентами. Рассмотрена задача оптимизации глобального теплообмена в кристаллизационной установке с целью выработки обоснованных алгоритмов управления тепловыделением в многосекционном нагревателе, который используется для достижения низких градиентов температуры в расплаве. Найденные алгоритмы были апробированы сначала «виртуально» с помощью динамической модели процесса Чохральского, а зачем использованы в реальном технологическом процессе.
В главе 6 рассматривается проблема получения базисноогранснных лепт лсйкосалфира методом Степанова. Исследовано влияние конструкции тепловых экранов на величину термоупругих напряжений в лентах шириной 30 и 50 мм. Объяснено, почему
* Численная диффузия - численный дефект, выражающийся в размытии и сглаживании решения.
10
в тепловой зоне с наклонными экранами удается выращивать беэблочные 30 мм ленты и не удается выращивать ленты шириной 50 мм. Предложены конструкции тепловой зоны, позволяющие снизить почти до нуля уровень остаточных напряжений в 30 мм лентах и в два раза уменьшить уровень термоупругих напряжений в лентах шириной 50 мм.
В заключении приводятся новые результаты, полученные в диссертации.
11
1. Основные проблемы виртуального выращивания оксидных кристаллов из расплава
Изучение роста кристаллов из расплава на компьютере путем проведения вычислительного эксперимента требует использования моделей, которые максимально приближены к реальным процессам. Однако чем лучше модель отображает действительность, тем больше вычислительных ресурсов необходимо для проведения моделирования и, следовательно, тем более высокие требования предъявляются к используемым методам расчега.
Хотя моделированием процессов теплообмена при выращивании диэлектрических полупрозрачных кристаллов занимаются уже более 30 лет, количество работ, посвященных данной проблеме, сравнительно невелико, по крайней мере, по сравнению с полупроводниковыми кристаллами. Как уже отмечалось, причина этого лежит в существенно большей сложности указанных задач в случае выращивания диэлектрических кристаллов. В результате, с одной стороны, моделирование не могло дать адекватного ответа на запросы промышленности, а с другой — промышленность вполне обходилась без моделирования, пока размеры кристаллов были относительно небольшими. Однако сейчас ситуация изменилась. Во-первых, накоплен значительный опыт в моделировании роста полупрозрачных кристаллов и разработаны соответствующие методы расчета, а во-вторых, появилась потребность в кристаллах большого размера, для которых разработка технологии выращивания без помощи моделирования, причем такого моделирования, которое позволяет реализовать на компьютере виртуальный процесс роста кристаллов, оказывается проблематичной, либо вообще невозможной.
Изначально при моделировании роста оксидных кристаллов основное внимание уделялось изучению конвекции (см., например, [2], [3]). Это объясняется, во-первых, тем, что исторически моделирование выращивания кристаллов началось с процесса Чохральского, в котором роль конвекции чрезвычайно велика. Во-вторых, при выращивании оксидных кристаллов методом Чохральского сразу же столкнулись с явлением инверсии фронта кристаллизации, когда форма фронта быстро меняется от сильно прогнутой в расплав до почти плоской [4]. Детальные экспериментальные и численные исследования позволили выяснить, что причиной инверсии является смена режима течения в расплаве. Под влиянием либо увеличения диаметра кристалла в результате его разращивания, либо из-за увеличения скорости вращения кристалла,
12
исходное свободно-конвективное течение заменяется течением, в котором доминирующую роль играет вынужденная конвекция, вызванная вращением кристалла
[5].
Несмотря на важность конвекции, всегда существовало понимание того, что адекватное моделирование роста оксидных кристаллов из расплава является невозможным без корректного расчета радиационного теплообмена внутри кристалла, поскольку оксидные кристаллы, как правило, сохраняют достаточную прозрачность для инфракрасного излучения вплоть до температуры плавления, с одной стороны, и имеют низкую теплопроводность с другой. Однако поскольку моделирование радиационного теплопереноса в многомерных областях, заполненных поглощающей и излучающей средой, до сих пор остается весьма трудной задачей, в большинстве работ при моделировании оксидных кристаллов использовались достаточно сильные допущения и приближения. В работе [6] при решении уравнения переноса излучения применялось Р\ приближение [1], [7], которое, вообще говоря, применимо только к кристаллам с оптической толщиной существенно большей единицы. Наоборот, в работах [8], [9] в методе направленной кристаллизации использовалась двухполосная модель, когда весь спектр излучения разбивался на две области, в одной их которых кристалл считался полностью прозрачным, а в другой непрозрачным. При расчете радиационно-кондуктивного теплообмена в тонкостенных профилированных кристаллах, выращиваемых методом Степанова, использовалось световоднос приближение [10], в котором при решении уравнения переноса излучения удерживались только те лучи, которые падают на боковую поверхность кристалла под углом большим угла полного внутреннего отражения. Корректное рассмотрение радиационного теплообмена было выполнено в [11] применительно к методу Бриджмена. Однако эта задача является существенно более простой, чем в случае процесса Чохральского, поскольку отсутствует боковая поверхность, на которой происходит отражение и преломление световых лучей. Использование аналогичного подхода для моделирования роста кристаллов ГГГ по Чохральскому, потребовало введения дополнительного предположения о наличии на поверхности кристалла непрозрачной пленки [12]. Такое же допущение было использовано в [13] и [14]. Решение уравнения переноса излучения в приближении оптически тонкого слоя было выполнено в [15] при моделировании процесса Чохральского для кристаллов ниобата лития. Строгое рассмотрение указанной проблемы было дано в работах [16] и [17]. При этом боковая поверхность кристалла считалась диффузно отражающей и преломляющей. Необходимо отметить, что указанное допущение использовалось во всех зарубежных работах. Вместе с тем, боковая
13
поверхность кристалла в методе Чохральского весьма часто явллется скорее зеркально, чем диффузно отражающей. Решение задач радиационного теплообмена в областях сложной формы с зеркальными (френелевскими) границами практически не рассматривалось. Первые работы в этом направлении применительно к выращиванию кристаллов германата висмута были выполнены в 90 годах [18]. Было обнаружено, что распределение тепловых потоков на фронте кристаллизации существенно зависит от характера отражения излучения на свободной поверхности кристалла. Эго позволило объяснить вариацию формы межфазной границы при выращивании кристаллов гермаиоэвлитина вариантом метода Чохральского с низкими градиентами температуры [19]. Вместе с тем, в этих работах для решения уравнения переноса излучения использовался метод характеристик [20], [21], который, как оказалось, обладает весьма сильной сеточной диффузией, что ограничивает применение этого метода случаем достаточно коротких кристаллов. Таким образом, возникла потребность в разработке метода, способного эффективно решать задачи радиационного переноса тепла в полупрозрачных кристаллах любого размера независимо от характера отражения и преломления излучения на боковой поверхности.
С другой стороны, в моделировании радиационного теплообмена существенную роль играют не только размеры кристаллов, но и их форма. До сих пор моделирование теплообмена в кристаллах проводилось в приближении осевой симметрии. Такой подход, однако, мало пригоден в случае выращивания профилированных кристаллов способом Степанова, поскольку применим лишь к простейшим профилям с сечением в виде круга или кольца, а уже такой «простой» профиль как лента требует трехмерного моделирования. Поскольку трехмерные модели радиационного теплообмена требуют существенно больших затрат вычислительных ресурсов, то практическое использование подобных моделей для изучения роста кристаллов возможно лишь при наличии эффективных методов их расчета.
Высокая сложность решения задач теплообмена при выращивании оксидных кристаллов является, по-видимому, основной причиной, почему до сих пор указанные задачи рассматривались только в статической постановке [22], когда форма кристалла считалась заданной и соответствовала некоторому мгновенному состоянию ростовой системы. Оправданием такого подхода служит обычно малая скорость вытягивания диэлектрических кристаллов, которая для метода Чохральского составляет порядка нескольких миллиметров в час, а для метода Степанова, хотя и является на порядок большей, тем не менее, остается весьма низкой. Предполагается, что при таких скоростях температурное поле в кристалле успевает подсгроиться к изменению его размеров и
- Київ+380960830922