Интегральные и дискретные модели процессов фазовой синхронизации автоколебательных систем

ВВЕДЕНИЕ 5 ,
ГЛАВА 1 АНАЛИЗ И МОДЕЛИРОВА11ИЕ ПРОЦЕССОВ СИНХРОНИЗАЦИИ АВТОКОЛЕБАТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ..........................................16
1.1. Интегральное уравнение движения синхронизированных автоколебательных систем с одной степенью свободы...........16
1.2. Исследование режима установившихся автоколебаний под внешним воздействием................................................18
1.3. Исследование устойчивости режима синхронных колебаний 20
1.4. Синхронизация модели осциллятора Ван дер Поля.............23
1.4.1. Интегральная модель..................................23
1.4.2. Дифференциальная модель..............................31
1.5. Синхронизация ЯС-генератора с интегрирующей цепыо обратной связи ......................................................37
1.5.1. Модель генератора....................................37
1.5.2. Анализ режима синхронизации..........................39
1.5.3. Устойчивость режима синхронных колебаний.............40
1.5.4. Численное моделирование динамики процессов синхронизации ............................................................46
1.6. Синхронизация ЯС-гснератора с дифференцирующей цепыо обратной связи..............................................50
1.6.1. Модель генератора....................................50
1.6.2. Анализ установившегося режима синхронных колебаний ....51
1.6.3. Устойчивость режима синхронных колебаний.............53
ГЛАВА 2 АНАЛИЗ И МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ СИНХРОНИЗАЦИИ ПРОСТРАНСТВЕННО-РАСПРЕДЕЛЕННЫХ АВТОКОЛЕБА ТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ............................................................59
2.1. Интегральное уравнение движения автогенератора с ЯС-линией. 59
2.2. Анализ режима синхронизации для автогенератора с кубической передаточной функцией операционного усилителя...............61
2
2.3. Анализ режима синхронизации для автогенератора с релейной передаточной функцией операционного усилителя..................68
2.4. Анализ режима синхронизации для автогенератора с линейной кусочно-непрерывной передаточной функцией операционного усилителя.
...........................................................73
ГЛАВА 3 ФАЗОВАЯ СИНХРОНИЗАЦИЯ ДИСКРЕТНЫХ АВТОГЕНЕРАТОРОВ......................................................79
3.1. Синхронизация ДВ-осциллятора Ван дер Поля гармоническим сигналом.......................................................79
3.1.1. Введение...............................................79
3.1.2. Проектирование ДВ-осциллятора Ван дер Поля.............80
3.1.3. Характеристики стационарного режима синхронных колебаний ................................................................83
3.1.4. Переходные процессы в ДВ-автогенсраторе................86
3.1.5. Устойчивость синхронных колебаний......................88
3.1.6. Моделирование процессов установления режима синхронизации ДВ-осциллятора..................................................89
3.2. Синхронизация томсоновского ДВ-осциллятора...................95
3.2.1. Томсоновский автогенератор в дискретном времени........95
3.2.2. Синхронизация автогенератора внешним гармоническим
сигналом...............................................96
3.2.3. Эффект самосинхронизации ДВ-автогенератора.............99
3.2.4. Синхронизация и самосинхронизации ДВ-автогенератора.. 102
ГЛАВА 4 ДИСКРЕТНАЯ ВО ВРЕМЕНИ МОДЕЛЬ ПРОЦЕССОВ ФАЗОВОЙ СИНХРОНИЗАЦИИ АВТОКОЛЕБАНИЙ БИОЛОГИЧЕСКОГО ОСЦИЛЛЯТОРА.........................................................106
4.1. ДВ-осцилляторы в моделях математической биологии..........106
4.1.1. Введение..............................................106
4.1.2. Дискретные популяционные модели.......................106
4.1.3. Дискретные модели логистического типа..................109
4.1.4. Модель I...............................................111
4.1.5. Модель II.............................................112
4.1.6. Модель III............................................112
4.1.7. Модель IV.............................................113
4.2. ДВ-модель процессов синхронизации в системе «хищник-жертва».
...........................................................114
4.2.1. Явление синхронизации стохастических автоколебательных
систем.................................................114
4.2.2. Дискретные модели с запаздыванием......................115
4.2.3. Дискретные модели роста взаимодействующих популяций 116
4.2.4. Дифференциальная модель системы «хищник-жертва» 117
4.2.5. Уравнения движения системы «хищник-жертва» в дискретном
времени................................................121
4.2.6. Численный эксперимент..................................123
ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ...........................................129
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ ....................................130
4
ВВЕДЕНИЕ
1.1. Актуальность работы
Основы представлений об автоколебательных системах, как об особом классе нелинейных диссипативных систем, способных генерировать незатухающие колебания с параметрами, не зависящими от начальных условий и определяемыми лишь свойствами самой системы, были сформулированы академиком A.A. Андроновым [1-3] в первой трети XX века. С тех пор автоколебательные системы и модели нашли широкое распространение во многих отраслях науки и техники. Например, представления об автоколебаниях широко используются в моделях химических реакций [4], биологических систем [5, 6], механических конструкций [7].
Но наиболее полная и детальная теория автоколебаний сформировалась в радиофизике, где автоколебания и автоколебательные системы являются одним из центральных объектов исследований.
Синхронизация - универсальное явление, характерное для всех без исключения автоколебательных систем. В рамках классической теории различают вынужденную синхронизацию, то есть синхронизацию автоколебаний внешним сигналом, и взаимную синхронизацию, наблюдающуюся при взаимодействии двух автоколебательных систем. В обоих случаях проявляются одни и те же эффекты, связанные с двумя классическими механизмами синхронизации: захватом собственных частот (и соответственно фаз) колебаний или же подавлением одной из двух независимых частот.
Не так давно было обнаружено, что явление, подобное синхронизации, можно наблюдать в классе колебательных систем, не являющихся, строго говоря, автогенераторами. Речь идет о так называемых стохастических осцилляторах - нелинейных диссипативных системах, в которых колебания возникают под действием шума. Различают два типа стохастических осцилляторов: возбудимые осцилляторы и бистабильные осцилляторы. Для
5
возбудимых систем характерна генерация импульсов в условиях, когда сигнал внешнего воздействия превышает некоторый пороговый уровень. В результате действия шума такая система, представляющая собой случайную последовательность импульсов, совершает стохастические колебания. Бистабильный стохастический осциллятор - это нелинейная система с двумя устойчивыми состояниями. Присутствие шума приводит к случайным переключениям состояний из одного состояния в другое.
Это - синхронное изменение клеточных ядер, синхронная генерация потенциалов действия нейтронами, различные формы коллективного поведения насекомых, животных (к примеру, «система хищник-жертва») и, даже, человеческих обществ. Данные объекты, как правило, не отделены от своего окружения, а, наоборот, взаимодействуют с другими объектами, то есть являются открытыми системами. И порой очень трудно охарактеризовать подобную систему как автоколебательную. Явление синхронизации может оказаться определяющим фактором в определении данных систем. Как правило, взаимодействие открытых систем с другими объектами очень слабое, едва заметное, но, тем не менее, оно приводит к качественному изменению состояния: объект подстраивает свой ритм, согласуя его с ритмами других объектов.
В радиофизике было введено в рассмотрение и подробно исследовано множество типов аналоговых автоколебательных систем, различающихся по физическим принципам взаимодействия колебаний с источником энергии, видам нелинейностей, структурам резонаторов. Изучены основные физические явления и эффекты, сопутствующие автоколебаниям, в том числе и синхронизация, определены способы их практического использования. .
Одна из первых математических моделей автоколебательной системы с одной степенью свободы, получивших широкую известность среди радиофизиков как осциллятор Ван дер Поля, описана в работе [8]. Б. Ван дер Поль предложил также приближенный аналитический метод
решения нелинейного дифференциального уравнения движения автогенератора, дающий адекватное описание динамики высокодобротных и слабо нелинейных автоколебательных систем — систем томсоновского типа [9]. Для исследования периодических режимов томсоновских автоколебательных систем успешно применялись также методы возмущений Ляпунова-Пуанкаре [2, 10]. В дальнейшем наиболее полное развитие приближенные методы анализа нелинейных колебаний получили в работах научных школ Л.И. Мандельштама [11], Н.М. Крылова, H.H. Боголюбова,
Ю.Н. Митропольского [12,13] и других исследователей [14,15]. Были разработаны асимптотический метод Крылова-Боголюбова и метод усреднения Боголюбова-Митропольского, имеющие строгое математическое обоснование и позволяющие получать приближенные решения уравнений движения автоколебательных систем различных порядков по параметру нелинейности.
Первый порядок метода усреднения и его разновидность - метод медленно меняющихся амплитуд (метод ММА) - получили широкое распространение в инженерной практике [16]. На основе метода усреднения С.М. Рытовым [17], А.Н. Малаховым [18], Р.Л. Сгратановичем [19] была пос троена теория флуктуаций в автоколебательных системах.
Асимптотический метод Крылова-Боголюбова и метод усреднения широко используются при анализе автоколебательных систем со многими степенями свободы [20] и распределенных автоколебательных систем [21,22]. Проведено их обобщение на автоколебательные системы с запаздывающими связями [23, 24].
Начиная с первых работ 20-х годов прошлого века и до настоящего времени, подавляющее большинство моделей автоколебательных систем в радиофизике формулируется в дифференциальной форме - в форме нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений и систем уравнений, а также дифференциальных уравнений в частных производных с соответствующими физической ситуации граничными условиями.
7
Использование асимптотических методов теории нелинейных колебаний позволяет понизить порядок дифференциальной модели, сводя задачу анализа к решению системы укороченных уравнений для амплитуд и фаз автоколебаний. При этом решение укороченных уравнений, как правило, проводится численными методами [25, 26]. Численные методы можно использовать и для выполнения процедуры неявного формирования системы укороченных уравнений (см., например, [27-29]).
Вместе с тем среди автоколебательных систем можно выделить системы дискретного и дискретно-распределенного типов. В них локализованный в пространстве (дискретный) активный элемент взаимодействует либо с сосредоточенной колебательной системой, либо с распределенным резонатором. В любом из указанных автогенераторов линейная колебательная система или цепь обратной связи по отношению к точкам включения нелинейного активного элемента может быть описана импульсной характеристикой [30]. При надлежащем выборе се физической размерности, т.е. переменных «вход-выход» резонатора, для самосогласованной системы «активный элемент—резонатор» можно записать нелинейное интегральное уравнение движения, относящееся к классу интегральных уравнений Вольтерра второго рода [31]. Такие интегральные модели не получили заметного распространения в теории автоколебательных систем. По-видимому, это обусловлено с тем, что нелинейные уравнения движения, как дифференциальные, так и интегральные, не имеют точных аналитических решений, а приближенные и численные решения традиционно строятся для дифференциальных моделей. В связи с интегральными моделями можно лишь отметить публикации, в которых линейные флуктуационные интегральные уравнения используются при анализе фазовых шумов радиочастотных автогенераторов [32] и полупроводниковых инжекционных лазеров [33, 34].
Между тем, в статье [35] и диссертации [38] показано, что интегральные модели автоколебательных систем позволяют синтезировать дискретные во
времени автогенераторы - алгоритмы генерации дискретных сигналов. Такие автогенераторы (алгоритмы) можно использовать для обработки цифровых сигналов [36] и защиты информации от несанкционированного доступа [37].
Следует также отметить, что на уровне физических представлений о процессах генерации автоколебаний существуют две обобщенные структурные схемы автогенератора. Одна из них - это колебательный контур с внешним отрицательным затуханием, другая - усилитель с положительной обратной связью. И если дифференциальная форма уравнений движения является адекватным описанием первой структуры, то интегральная модель полностью соответствует структуре «усилитель плюс обратная связь».
Таким образом, разработка и анализ моделей автоколебательных систем с дискретными [39] и дискретно-распределенными параметрами [40], основанных на интегральных уравнениях движения, является актуальной задачей радиофизической теории колебаний, решение которой имеет общетеоретическое, прикладное и методическое значение.
1.2. Цель работы
Цель диссертационного исследования состоит в разработке методики математического моделирования процессов фазовой синхронизации автоколебательных систем с дискретными в пространстве нелинейностями на основе интегральных уравнений движения, преобразованиях интегральных моделей к форме дискретных во времени нелинейных рекурсивных фильтров и моделировании процессов синхронизации автоколебательных систем, функционирующих в дискретном времени.
1.3. Методы исследования
Работа выполнена на основе методов теории нелинейных колебаний, математического моделирования, теории радиотехнических сигналов и систем, теоретических и экспериментальных методов цифровой обработки сигналов.
9
Численные результаты получены на основе алгоритмов, реализованных с использованием компьютерных систем математических вычислений.
Научная новизна диссертационной работы заключается:
- в методе моделирования синхронизации автоколебательных систем с сосредоточенными активными элементами, основанном на интегральных уравнениях движения систем;
- в распространении метода медленно меняющихся амплитуд теории нелинейных колебаний на неавтономные автоколебательные системы, функционирующие в дискретном времени;
- в новых математических моделях синхронизированных автогенераторов с сосредоточенными и распределенными /?С-цепями обратных связей;
- в методике и результатах численного моделирования ряда автоколебательных систем.
1.4. Практическая значимость работы
Предложенные в диссертационной работе методы численного анализа и моделирования автоколебаний могут найти применение при решении задач проектирования радиочастотных генераторов, аналоговых и цифровых устройств обработки сигналов, прогнозирования процессов развития систем различной физической природы, в учебном процессе высших учебных заведений.
Достоверность полученных в диссертации результатов подтверждается:
- использованием математически обоснованных и физически аргументированных методов анализа автоколебательных систем;
- хорошей согласованностью приближенных аналитических результатов и результатов численного эксперимента;
- соответствием результатов проведенного анализа и моделирования их аналогам, полученным другими авторами;
10
соответствием основных результатов численного анализа и моделирования общим физическим закономерностям.
1.5. Положения, выносимые на защиту
1. Метод анализа и численного моделирования процессов фазовой синхронизации дискрстно-распределенных автоколебательных систем.
2. Интегральные модели синхронизированных автогенераторов с дискретными и распределенными ЯС-цепями обратной связи.
3. Результаты анализа частотных характеристик синхронизации автогенератора с RC-линией обратной связи.
4. Способ проектирования ДВ-автогенераторов томсоновского .типа и результаты анализа и моделирования процессов их синхронизации гармоническим сигналом.
5. Модель синхронизации системы «хищник-жертва» в дискретном времени.
1.6. Апробация работы
Материалы диссертации докладывались на
VI, VII, IX Международных научно-технических конференциях «Физика и технические приложения волновых процессов» (г. Казань, 2007 г.; г. Самара, 2008 г.; г. Челябинск, 2010 г);
VIII Международной научно-технической конференции «Современные проблемы радиоэлектроники и связи» (г. Иркутск, 2009 г.);
XI региональной научной школе-семинар «Актуальные . проблемы физической и функциональной электроники» (г. Ульяновск, 2009 г.);
- IX международной школе-семинар «Хаотические автоколебания и. формирование структур» (г. Саратов, 2010 г.);
II Международной научно-технической конференции «Математическая физика и ее приложения» (г. Самара, 2010 г.).
11